Documentul detaliază metodele de integrare numerică, inclusiv metoda dreptunghiurilor și formula trapezelor utilizate pentru a calcula aproximativ integralele definite. Acesta discută despre eroarea asociată acestor metode și propune algoritmi pentru implementarea lor. Algoritmizarea implică pași clari pentru calcularea ariilor și determinarea numărului de divizări necesar pentru o eroare prestabilită.

1. Integrarea numerică. Metoda
dreptunghiurilor pentru calculul
aproximativ al integralei definite.
Formula trapezelor.
Elaborat de: Mustea Ecaterina

2.  Metoda dreptunghiurilor pentru culculul aproximativ
al integralei definite
 Eroarea metodei dreptunghiului
 Algoritmizarea metodei dreptunghiului
 Formula trapezelor
 Eroarea metodei
 Algoritmizarea metodei
Cuprins

3. Se aplică formula: I=h 𝑖=0
𝑛
f(a+ih+
ℎ
2
), unde:
n-numărul de divizări ale segmentului inițial
h-lungimea segmentului elementar
i- valoarea calculată a integralei
 Calculul integralei se transformă în calcul valorii unei expresii
aritmetice care depinde doar de numărul de diviziuni ale
segmentului de integrale și de valoare funcției la punctele de
mijloc ale segmentelor elementare.
 Metoda care reduce calculul integralei la calculul unei sume de
arii a dreptunghiurilor este numită metoda dreptunghiurilor.
Metoda dreptunghiului pentru
calculul aproximativ al integralei
definite

4.  Valoarea calculată a integralei este de cele mai multe
ori diferită de valoarea exactă, calculată analitic.
Eroarea apare din motivul aproximării pe fiecare
segment elementar a funcției f(x) cu o funcție
constantă g, iar mărirea erorii ε este determinată de
integrala erorii de aproximare.
Eroarea metodei

5. Deoarece în cazul calculelor cu o eroare ce nu depășeste valoarea
prestabilită ε numărul necesar de divizări poate fi stabilit apriori,
este suficient să se realizeze un singur algoritm- pentru un număr
fixat de divizări n:
 Pasul 1. Inițializare: se întroduc valorile extremităților
segmentului de integrare a,b și numărul de divizări n,
 Pasul 2. se calculează lungimea segmentului elementar
 Pasul 3. pentru toți i de la 0 la n-1:
a. Se calculează valorile z
b. Se calculează aria dreptunghiului elementar
c. Aria calculatăse sumează cu ariile precedente
 Pasul 4. se afiseaza aria totala calculată S. SFÎRȘIT.
Algoritmizarea metodei

6.  Aria trapezului elementar determinat de punctele Xi
si Xi+1 va fi calculată după formula:
Itr =h
𝒇 𝒙 +𝒇(𝒙𝒊+𝟏)
𝟐
Prin urmare, pe [a,b] valoarea calculată a integralei va fi:
 Itr =
𝒉
𝟐 𝒊=𝟎
𝒏
(𝒇 𝒙𝒊 + 𝒇 𝒙𝒊 + 𝟐 )
Formula trapezelor

7.  La fel ca și în cazul formulei dreptunghiurilor, eroarea
de calcul de integrare va fi cercetată ca suma
integralelor erorilor de aproximare a funcției f(x)
printr-o funcție liniară pe fiecare segment elementar.
 Eroarea de integrare a segmentului [a,b] este
considerată ca fiind suma erorilor de integrare pe
segmentele elementare
Eroarea metodei

8.  Pasul 1. Inițializare. Se întroduc valorile extremităților
segmenului de integrare a,b și numărul de divizări n.
 Pasul 2. se calculează lungimea segmentului
elementar.
 Pasul 3. Pentru toți I de la 0 la n-1:
a) Se calculează valorile xi.
b) Se calculează aria trapezului.
c) Aria calculată se sumează cu ariiile precedente.
Algoritmizarea metodei