Documentul discută metodele de căutare a minimului pentru funcții unimodale și derivabile, inclusiv tehnici precum metoda injumătățirii intervalului și metoda Newton. Se analizează eficiența acestor metode și restricțiile pe care le impun, precum și compararea lor în contextul funcțiilor de mai multe variabile. Algoritmii propuși se bazează pe evaluarea valorilor funcției și a derivatelor, punând accent pe importanța condiției de convexitate pentru convergența procesului de căutare.

1. 2.2.Cautarca functiilor o singura
minimului de prin
variabila evaluarea
derivatei
Metodele anterioare impun ca functia sa fie unimodala (convexa sau strict convexa). Prezentamin
continuaremetode de calcul a valorii minime a unei functii care utilizeaza pe langa valorile functiei
obiectiv si valori ale derivatei acesteia. impune deci ca functia sa fie unimodalasi derivabila pe
Se
intervalul de incertitudin analizat.
e
* Metoda injumatatirii intervaluluide cautare
rie O(.L):la,bl convexasi deci derivabila.Se dorestedeterminarea 7 pentru carefwctia 0()")
lui
esteminima.
variazainintervalulde incertitudine4 eloo,boT
. e'(h)=o +
-44
/1k = A deci),
"rt"punaul
deminim
' o'(nu),
o + prr. 1> Lu, 0(7), e(Lr)
e'
(a)'o
Figura I
loou,br,*rl=lou,1u7
. o'(h).0 + ptr. A < Au,0(1), e(4)

2. )<o
louu,bu*r!=Ilu,bul
- minim sa fre intr-unul
14, "rl. Daca consideram esteechiprobabilca situareamunchrlui de
ca
din celedouaatunciseimpuneconditia:
. (
mln imax|.Do- /Lk,Ak a* )j
-
/t 4 ^ r)
Rezultaca valoareade test )"utrebuiesa sesituezela jumatea intervalului de incertitudine.
Vitezade convergenta algoritmului estedatade vitezade contractiea intervalului de incertitudine:
a
bo*r-ar*,-l
vk>1,
bo-au 2
Dupa n interatii, lungimeaintervalului de incertutudine fi :
va
bn*t - Qn+L* I
bn*t - on*t =br-o, <l
br-a, 2" 2"
- ar
2n ,b,
I
Relatiaoferaposibilitateasa stabilim numarul de iteratii ale calculului.

3. * Metoda Newton
Consideramfunctia e(1,):la,bl-+ R, convexasi de doua ori derivabilape intervalul considerat.
Functia criteriu se poate aproxima in punctul )"u prn dezvoltareasa in serie Taylor in jurul acestui
punct(seobservaca seconsidera functia arecavariabila pasul de cautare):
ca
q(x) e(hl.r &)(t - ).)* +,t'
= - +... -
(x)(1 r*)' +t" (r)(x xu)"
i,
+
Dacaconsideram paffiica a acesteifunctii :
aproximarea
= h.)**t',Q)@- 1r)'
q(1) 0(1ot.i, @r)Q-
atuncieaareun punct de minim daca:
q'(1):0 = q' (1) = e' (lr) + e" (lr)Q" - 1o)= 0
Rezultacapentru 2n-ffitunctia
* Aoo,- q(1) vaaveaunminim.
Metodaestevaloroasa iterativa a pasuluide cautare.
prin aceea propuneun algoritu de determinare
ca Cum
procesul de cautare se va lansa dintr-un punct xr, noile puncte de test se vor determina ca
f i i n d : x o *= x * - 4 .
,
deci ca iteratiile procesuluide cautare sase facacu pasul
Serecomanda
^'/^
o"n: ),
tro = ^r -
r, ^
o (tr.)
Obs:

4. ) metodaimpuneconditii puternicrestrictive( existenta A"(4)
aceasta hi ri 0'(4)+0 in
toatepunctelede evaluare).
dacaseefectueaza
aproximarea patraticaa functiei, determinarea
punchrluide minim seface dintr-
un singurpas.Dacanu se acceptaaproximarea functiei 0 &) ( pu*,iru sauprintr-unnumar
finit de termeni), atunci in punctele 4,a nu se va depistadupaprimul paspunctul de minim. Se
n'lr
-
retinenumai ca esterecomandat pasulde cautare sufr" At *t - 7t
ca #
a Ao)
t proceduraeste eficace dacapunctul de initializare a cautarii este aproapede punctul de minim.
panacandse ajungeb )o*r:
Procedura efectueaza
se tro*,-, ceeace inseamna se va gasi
ca
o'()*-,-r)
acelpunctpentrucareraportul -a-
e (a+t-l)

5. Concluzii privind alegereauneia din metodele determinara a minimului unei functii de o variabila
de
(metodece utilizeazavalori ale functiei obiectiv precum si derivate ale acesteia)
l. Metodele care ttilizeaza derivata a doua sunt puternic restrictive si limiteaza functiile caxese
preteazala aplicareaalgoritmilor prezentati.Evaluareaderivatelor complica calculele si fac ca
durataprocesuluide cautarese fie innaceptabilde mare.
Toate metodeleasiguraconvergentaalgoritmilor daca functia obiectiv este garantatconvexape
I
intervalu analizatla, bf
3 . Dacaderivataintai poatefi calculata acelasiordin de dificultatecu functiaobiectiv,atuncise
cu
recomandaalegereametodei de cautareprin injumatatirea intervalului de cautare si evaluarea
derivateiintai.
4. Daca derivata este calculata prin diferente finite in raport cu doua valori ale functiei obiectiv,
atunci se recomanda alegerea uneiadin metodelede cautareiterativa cu evaluarea functiei intr-un
singurpunct la fiecareiteratie (respectivmetodasectiuniide aur sauFibonacci).
J. Metoda Fibonacci este in generalmai eficienta decatmetoda sectiunii de aur. Daca numarul de
iteratii estemareele suntaproximativechivalente raport cu vitezade convergenta.
in
6. O comparatieintre acestemetode,dacase consideraacelasinumar de evaluari ale lui d(2) sau
0' (1, pune in evidentanumarul de divizari succesive intervaluluiinitial la,bl
ale O"nt o
fiecaremetodain parte :
Cautaredihotomica Cautaredihotomica Metoda Fibonacci Metoda sectiunii de
aur
carcur
0'(A) ZxeQ")
Calcul
rc24(21o) 32(2s) 89 x76
3. Functii de mai multe variabile. Metode de cautare a extremelor(f*rn) in absenta
restrictiilor
Similm cautarii minimului unei functii de o singuravariabila, vom propunemetodede cautarea minimului
functiilor de mai multe variabileprin utilizareavalorii functiei obiectiv saua valorii derivatelor acesteia.
3.1. Determinarea minimului functiilor de mai multe variabile prin cautalc ciclica (fara
utilizarea derivatelor)
Cautarea ciclica dupa axele de coordonate esteo particularizarea metodeigeneralede cautareliniara si
a
iterativaa valorii de minim pentrufunctia de o variabila.
In general,presupunand ne situam la iteratia ft in procesul de cautarea minimului unei functii de
ca
variabilaxeR", -f :R" +R. Se alegeo directie do de cautare valorii de minim, cu lungimea
a
pasului d , obtinut
pasuluide cautare 2 . Se determinapunctul de minim relativ allur f , corespunzator
valorilor functiei obiectiv pentru Y ), e R :
prin inspectarea
tr = trs1min $r +t.dr))l
(f ')
[ ;'C

6. Noul punct de lucru este .rfr+l=h*Q'd. Procesuliterativ se reia pentru fiecarenoua directie de
cautare.Cautareasi determinarea punctului de minim pe fiecare directie do se realizeazaptn aplicarea
anterioara.
unuia din algorituii de minimizarea unei functii de o variabilaprezentatiin sectiunea
+ Metoda cautarii ciclice dupa axele de coordonate
Metoda se bazeazape cautareaciclica a extremului minim al functiei obiectiv, dupa cele n dtrectii
corespunzatoare functia obiectiv. Cautareasuccesiva
rxelor de coordonatein care estereprezentata dupa
una din axelede coordonate efectueaza
se considerand celelelteaxe sunt inghetate.
ca
Dupa o cautarecompletape cele n directii ale axelor de coordonatedt, d2, ....d, cautarea reia
se
ordine.In planul axelor de coordonate
ciclic in aceeasi (*ro*r), curbelede izonivel care
se considera
suntgrafice ale locului geometrical punctelorcaresatisfacconditia f (*t,*r) = constant dacaadmitem
ca functie obiectiv se poatereprezentainfi-un spatiu fidimensional. Intr-un spatiu n dimensional,aceste
cwbe carelocalaeazapunctulde munim gasitprin cautarea una din axe,nu sepot reptezenta
pe graftc.
Punctulde debutal cautariieste /r(",,,trr). Se porneste valorii minime alui f
cautarea pe directia
punctul de coordonate(xrrrxrr)
0", . S. gaseste punctul de pornire a cautariipe illa
va reprezenta
"*"
hr,, s" a.t"rrriou punctul yr(xrrrxrr) am pe
. Deoarece epuizatcautarea directiile
lr(xrrrxrr).
procesulsereia cu punct de initializare .
axelorde coordonate,

7. tr)
l r( xr ,xr r )
Figura 4
Algoritmul seoprestecanOllxo., - toll a a . [n acestcazpunctul t]+r estepunctul de minim. Dacarelatia
algoritrnul sereia.
inca nu esteadevarata,
+ Un inconveniental metodei constain aceeaca algoritrnul de cautareeste in functie de sistemulde
coordonate careestereprezentata
in functia obiectiv. Orice schimbarea axelor de coordonate (rotatie,
fianslatie) poateconducela cresteresau scadere eficientei metodeipropuse,punctul de minim fiind
a
acelasi.Se poate alegeun sistemde coordonatein care anumite directii ale axelor de coordonatesa
favoizeze avansarea rapida sprepunctul de minim in procesulde cautare.La fel de bine, se poateca
functia, sa faca cautarea
din motive obiective,sistemulde referinta in care estereprezentata greoaiesi
din multe cicluri.
Obs: reprezentarea functii !, = f (x,xr,..xns)
unei chiar dacase modifica sistemul
esteaceeasi
de referinta(Oxrxr..x,-r)
+ Un alt inconvenientconstain aceeaca, desi conditia de stop a algoritnului sa fie indeplinita, punctul
.trr+l sa fie departede punctul real de minim. In plus, cautareadupa acestalgoritm este foarte lenta
deoarecese fianforma intr-un traseu de cautarede forma anui zigzag prelungit, care in apropierea
punctului de minim seface cu pasi mici si ineficineti.
Algoritmul cautarii ciclice dupa axelede coordonateesteurmatorul( senoteaza indicele 7 axadupa
cu
crre sefacecautarea cu ft contorulciclului curent) :
si
Initializare. !r: xt, e > 0;
Pas1.
)., = argni" f (yo + ).d j)
!i+t=Yi+)"idi
. li<n, j=i+7 -+ pas I
daca I
-+ pas 2
lj =n
Pas2.

8. xt*t = !r*t)
-trll< a -+ sroP, * rr*r val'deminim
aoro [ll*0., -, pas3
ffr=/c+1, =1,!r=xk*r
j