Metoda-coardei

1. METODA
COARDEI
Efectuat de către Botnarenco Veronica

2. DESCRIEREA METODEI
La fel ca metoda înjumătățirii intervalului, metoda falsei poziții începe cu două
puncte a1 și b1 astfel încât f(a1) și f(b1) sunt de semne opuse, ceea ce înseamnă,
conform teoremei valorilor intermediare că funcția continuă f are cel puțin un
zero în intervalul [a1, b1].
Metoda constă în producerea unui șir descrescător de intervale [ak, bk] care
conțin rădăcina funcției f. La pasul k, este calculat numărul
După cum se poate verifica, ck este abscisa intersecției dreptei care trece prin
punctele al liniei prin (ak, f(ak)) și (bk, f(bk)) cu axa, absciselor. Dacă f(ak) și f(ck)
au același semn, atunci punem ak+1 = ck și bk+1 = bk; altfel,
punem ak+1 = ak și bk+1 = ck.

3. Dacă f(ak) și f(ck) au același semn, atunci punem ak+1 = ck și bk+1 = bk;
altfel, punem ak+1 = ak și bk+1 = ck.
Acest proces se repetă până când se ajunge la o valoare a funcției suficient
de aproape de zero.
Pentru a verifica corectitudinea algoritmului, considerăm numerele
reale a și b. Construim dreapta care trece prin punctele (a, f(a)) și (b, f(b)), ca
și în contra figura alăturată. Această dreaptă este o coardă a graficului
funcției f. Ecuația acestei drepte se determină folosind formula ecuației
dreptei care trece printr-un punct și are o pantă dată:
Se determină acum c, abscisa intersecției acestei drepte cu axa x
Rezolvarea ecuației de mai sus oferă ck.

4. Etapele successive ale
metodei falsi pe intervalul
[a1;b1]. Rădăcina funcţiei
este punctul marcat cu
culoarea roşie

5. CONVERGENȚĂ
Dacă valorile inițiale a0 și b0 sunt luate încât f(a0) și f(b0) să fie de semne opuse,
sunt de semn opus, atunci metoda coardei converge la un zero al lui f. Într-
adevăr, din modul de construcție al intervalelor an și bn, rezultă că an este un șir
crescător, iar bn este un șir descrescător. Ambele șiruri sunt monotone și
mărginite, deci convergente. Notând cu a* - limita șirului an, iar cu b* - limita
șirului bn, rezultă că f(a*)<=0<=f(b*). Cel puțin unul din numerele f(a*) și f(b*)
este egal cu 0, altfel pentru orice vecinătate a numărului c=(a*.f(b*)-
b*.f(a*))/(f(b*)-f(a*)) ar exista un număr întreg N astfel încât pentru n>N, xn ar
aparține acestei vecinătăți, iar f(a*)<=xn<=f(b*) pentru orice n>N, în
contradicție cu convergența șirului de intervale.
Se demonstrează că dacă funcția f este strict monotonă și convexă sau concavă
( și de semn constant), atunci viteza de convergență este superlineară, mai
rapidă decât metoda îmjumătățirii.

6. Într-adevăr, presupunem fără a restrânge generalitatea că f(a)<0 și f(b)>0
(în caz contrar, înlocuim funcția f cu -f, iar ecuația f(x)=0 ar fi echivalentă
cu -f(x)=0). Deci în acest caz, funcția f este strict crescătoare, iar f'>0.
Pentru a fixa ideile, mai presupunem că f>0 la fel ca în figura de mai sus
(dacă f<0 ar urma un raționament asemănător).
Deci funcția f' este strict crescătoare. Conform formulei lui Taylor, există
două numere x1 și x2, astfel încât a<x1<x<x2<b, iar:
si

7. Conform ipotezei inițiale, f'(x1)<f'(x2), de unde rezultă că
După calcule elementare, această diferență este egală cu
f'(x2) - f'(x1) =
Conform relației de calcul a lui x, se poate verifica că acesta este egal cu
Rezultă că
=

8. Deoarece a<x<b, rezultă că f(x) este de semn opus cu f'(x2) - f'(x1). În ipoteza
suplimentară de convexitate, rezultă că f(x)<0.
Deci f(x) este de același semn cu f(a), iar algoritmul construiește șirul de
intervale închise [an,bn] astfel încât bn=b la fiecare pas.
Pentru superliniaritate, din modul de construcție al șirului xn, obținem
= . .
Notăm cu x* - soluția unică a ecuației. Cum xn tinde spre x* care este diferit de
b, rezultă că ultimele două fracții din membrul al doilea converg spre 1.

9. Deci limita șirului este egală cu limita șirului
= . .
Cum prima fracție din membrul al doilea converge spre f'(x*)>0, iar a doua
fracție converge spre 1/f'(x*), rezultă că șirul are aceeași limită
cu șirul . Cum = - . ,
rezultă că = 1 - . a cărui limită este
1 - f'(x*).(b-x*)/(f(b)-f(x*)).
Se observă că acest număr este cuprins între 0 și 1.

10. PSEUDOCOD
ʹ ʹ Nʹ ʹ ← 1
While ''N'' ≤ ''NMAX'‘
{
ʹ ʹ c ʹ ʹ ← ʹ ʹ a ʹ ʹ - ʹ ʹ f(a) ʹ ʹ *( ʹ ʹ b ʹ ʹ - ʹ ʹ a ʹ ʹ)/(ʹ ʹ f(b) ʹ ʹ - ʹ ʹ f(a) ʹ ʹ)
If (ʹ ʹ f ʹ ʹ(ʹ ʹ c ʹ ʹ) = 0 or (ʹ ʹ b ʹ ʹ –ʹ ʹa ʹ ʹ)/2 < ʹ ʹ TOL ʹ ʹ then
{
Output(ʹ ʹ c ʹ ʹ) Stop
}
ʹ ʹ N ʹ ʹ ← ʹ ʹ N ʹ ʹ + 1
If sign(ʹ ʹ f ʹ ʹ (ʹ ʹ c ʹ ʹ )) = sign(ʹ ʹ f ʹ ʹ(ʹ ʹ a ʹ ʹ)) then ʹ ʹ a ʹ ʹ ← ʹ ʹ c ʹ ʹ else ʹ ʹ b ʹ ʹ ← ʹ ʹc
ʹ ʹ
}
Output
("Algoritmul nu determină soluția în numărul maxim de iterații.")

11. IN LIMBAJUL C
#include<iostream.h>
#include<math.h>
#define eps 0.00000000001
#define iter 200 double f(double x)
{
return x*x*x-2*x*x*cos(x)+x-3;
}
void main()
{
unsigned char i;
double x,x0,x1,a,b,y;
cout<<"a=";cin>>a;cout<<"b=";cin>>b;
i=0;x0=a;x1=b;x=x0;y=f(x);

12. if (f(x0)*f(x1)<0)
{
while ( (i<=iter) && ((y<-eps) || (y>eps)) )
{
x=x0-f(x0)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));
y=f(x);
if (f(x0)*y<0) x1=x;
else x0=x;
cout<<"nnf("<<x<<")="<<f(x)<<" la iteratia "<<(int)i;
i++;
}
if (i>iter) cout<<"problema nu se poate rezolva in nr.maxim de iteratii";
} else cout<<"interval invalid";
}