a cura di Federica Caffù

1.  Definizione di parabola
Disegno delle parabole
Equazioni delle parabole
Concavità
Grafici
Esempio dell’applicazione della
definizione di parabola
Formule, spiegazioni e esempi
Tangenti ed esempi
Passaggi risolutivi

2. La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto
fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.
La parabola può presentarsi con
le seguenti equazioni:
Y = ax2 + bx + c
Y = ax2 + bx
Y = ax2 + c

3. Esempio dell’applicazione della definizione di parabola
Determinare l’equazione di una parabola con fuoco F(3;5) e con direttrice
y=1; considerando un punto P(x;y) appartenente alla parabola e H(x;1)
derivante dall’incontro perpendicolare tra P e la direttrice.
PF = PH
=
X2-6x+9+y2-10y+25 = y2-2y+1
-8y = -x2+6x-33
Y= x2 - x+

4. Per disegnare una parabola cosa mi occorre conoscere??
• VERTICE V=
• FUOCO F=
• DIRETTRICE Y =
• ASSE DI SIMMETRIA X =
• EQUAZIONE DI UNA PARABOLA
CONOSCENDO V E a
Y –Yv = a(X-Xv)2

5. Determina l’equazione di una parabola con V(3:5) e passante per un punto A (1;-6)
Y –Yv = a(X-Xv)2
Y-5 = a(X-3)2 *
-6-5 = a(1-3)2
11
a=−
-11 = 4a 4
11
* Y-5 = − (X2-6X+9)
4
11 33 99
X2 +
Y=5− X−
4 2 4
11 33 99 20
X2 +
Y= − X− +
4 2 4 4
11 33 79
X2 +
Y= − X−
4 2 4

6. TANGENTE DELLA PARABOLA IN UN SUO PUNTO
Y - Yo = m ( X - Xo )
2aXo + b
ESEMPIO DI APPLICAZIONE FORMULA
Y = X2 + 2X+1
Xo =2
Yo = 4+4+1=9
m = 2*2*1+2 = 6
Y-9 = 6 ( X-2 )
Y-9 = 6X – 12
Y = 6X - 3

7. TANGENTI ALLA PARABOLA MANDATE DA UN PUNTO ESTERNO
������ = −������ 2 + 4 ������ 6; 9 → ������������������������������ ������������������������������������������
Determino il fascio di rette
������ − 9 = ������(������ − 6)
������ = −������ 2 + 4
−������ 2 + 4 − 9 = ������������ − 6������
−������ 2 − ������������ + 6������ − 5 = 0
������ 2 + ������������ − 6������ + 5 = 0
Δ = 0 → Per determinare m
������ 2 − 4 −6������ + 5 =0
������ 2 + 24������ − 20 = 0
Δ/4 = 144 +20 = 164
������1 = −12 ± 164
2
������1: ������ = −12 − 2 41 ������ − 6 −12 − 2 41 +9
������ = −2 6 + 41 ������ + 72 + 12 41 + 9
������ = −2 6 + 41 ������ + 81 + 12 41
������2: ������ = −12 + 2 41 ������ − 6 −12 + 2 41 +9
������ = −2 6 − 41 ������ + 72 − 12 41 + 9
������ = −2 6 − 41 ������ + 81 − 12 41

8. • PARABOLA PASSANTE PER 3 PUNTI
1. Sostituisco alla X e alla Y dell’equazione generale le coordinate del 1° punto
2. Sostituisco le coordinate del 2° punto
3. Sostituisco le coordinate del 3° punto
4. Risolvo con la sostituzione o con la regola di Cramer il sistema in a; b; c
• RAPPRESENTA LA PARABOLA Y = aX 2 + bX + C graficamente
1. Determino le coordinate del vertice
2. Analizzo la concavità della parabole per capire se la parabola taglia l’asse delle X
3. Determino l’intersezione con l’asse Y legando al sistema la parabola con X = 0
4. Determino le eventuali intersezioni con l’asse X o con una opportuna retta
parallela all’asse X legando al sistema la parabola con Y = 0 se si interseca con
l’asse X oppure Y = k nell’altro caso.
5. Rappresento graficamente

9. • DETERMINA L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA NOTI IL FUOCO E LA DIRETTRICE Y = d
1. Considero un punto P (x ; y) appartenente alla parabola
2. Considero un punto H (x ; d) appartenente alla direttrice
3. Imposto l’equazione PH = PF; dove F rappresenta il fuoco della parabola
4. Risolvendo l’equazione sopra riportata ricavo la parabola richiesta
5. N.B: ripassare i 3 casi di distanza tra due punti
• TANGENTI DA RICAVARE AD UNA PARABOLA IN UN SUO PUNTO
1. I dati a disposizione sono: l’equazione della parabola e l’ascissa del punto di
tangenza. Utilizzo la formula Y-Yо = m (X - Xo).
2. Determino, per prima cosa, l’ordinata del punto di tangenza sostituendo alla X
dell’equazione della parabola il valore assegnato
3. Lego l’equazione della parabola all’equazione ricavata dalla formula sopra
indicata. Risolvo la formula scambiando la lettera m con il valore corrispondente
trovato dopo l’esecuzione dei calcoli, ponendo Δ=0 avremo un'equazione di
secondo grado in incognita quot;mquot; e non più in quot;xquot; .
4. Risolviamo l'equazione e troviamo il valore di quot;mquot; che sarà il coefficiente
angolare della tangente richiesta

10. Federica F. Caffù
2c igea
A.s. 2008/2009