I radicali

I radicali 1

Claudio CANCELLI
(www.claudiocancelli.it)

Ed. 1.0 www.claudiocancelli.it Dec. 2011

I radicali 2

INDICE DEI CONTENUTI

1. I RADICALI............................................................................................................................... 3
INDICE DI RADICE PARI .......................................................................................................................................................4

INDICE DI RADICE DISPARI ...............................................................................................................................................5

RADICALI SIMILI ...................................................................................................................................................................6

PROPRIETA’ INVARIANTIVA DEI RADICALI .................................................................................................................6

POTENZA DI UN RADICALE .................................................................................................................................................6

RADICE DI UN RADICALE .....................................................................................................................................................7

RADICALE ED ESPONENZIALE............................................................................................................................................7

TRASPORTO DI UN RADICALE FUORI DAL SEGNO DI RADICE ..............................................................................7

TRASPORTO DI UN RADICALE SOTTO IL SEGNO DI RADICE ................................................................................8

2. OPER AZ IONI CON I R ADICALI......................................................................................... 9
RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE......................................................................................................9

SOMMA E DIFFERENZA DI RADICALI .............................................................................................................................9

PRODOTTO DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE..........................................................................10

QUOZIENTE DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE.......................................................................10

3. SEM PLIFICAZ IONI DI R ADICALI.................................................................................. 12
RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI............................................................................................................................14


I radicali 3

1. I RADICALI

L’espressione radice n-esima di x prende il nome di radicale (fig. 1).

Radicale

n
√ x
Fig. 1 - Radicale

Radicale, indice di radice e radicando sono segnalati in figura 1.

Indice di
√ x
n
radice

Radicando

Fig. 2- Indice di radice e radicando

Il simbolo riportato in fig, 3 è chiamato segno del radicale.

Segno del
radicale √
Fig. 3- Segno del radicale

Vogliamo rappresentare in inglese la radice cubica di x-4?

Fig.4 - Cube root of "x-4"

E per concludere mettiamo in evidenza l’eventuale coefficiente che precede il radicale con il
segno di prodotto:

k√ x
Coefficiente
n
del radicale


I radicali 4

La radice n- esima di x , è quel numero y la cui pot enza n- esima è uguale ad x , ossia:

n n
√ x =y y = x
∗ con x maggiore o uguale a zero
∗ con n numero naturale maggiore di zero
∗ con y maggiore o uguale a zero

ESEMPI DI RADICI

SI PRONUNCIA "radiice quadratta di 2 "
rad ce quadra a

SI PRONUNCIA "radiice cubiica di 5"
rad ce cub ca

SI PRONUNCIA "radiice quartta di 9"
rad ce quar a

SI PRONUNCIA "radiice quiintta di 7"
rad ce qu n a

SI PRONUNCIA "radiice diiciiassettttesiima di 9234"
rad ce d c asse es ma

INDICE DI R ADICE PAR I
INDICE DI R ADICE PAR I

Con n pari ( 2, 4, 6, 8 …)

Condizione di esistenza x≥0
Condizione di segno y≥0

Esempi: 4
16 = 2 Possibile, poiché 16 > 0

Esempi: 4
− 16 Impossibile, poiché -16 < 0


I radicali 5

INDICE DI R ADICE DISPAR I
INDICE DI R ADICE DISPAR I

Con n dispari (1, 3, 5, 7, …)

Condizione di esistenza x≥0 o x<0
Condizione di segno y≥0 o y<0

Esempio: 4=? Il problema è posto in questi termini: QUAL’E’ QUEL
NUMERO REALE POSITIVO CHE ELEVATO AL QUADRATO DA COME RISULTATO 4. LA

RISPOSTA E’ 2, POICHE’ 22 =4. Quindi 4 =2⇒2 = 4 2

Esempio: 3
− 8 =? Il problema è posto in questi termini: QUAL’E’ QUEL
NUMERO REALE NEGATICO CHE ELEVATO AL CUBO DA COME RISULTATO -8. LA

RISPOSTA E’ -2, POICHE’( -2)3 = -8. Quindi 3
− 8 = −2 ⇒ (−2) = −8
3

Esempio: Calcolare la radice quinta d i-32.

5
− 32 = −2 ⇒ (−2) = −32
5
infatti l’operazione (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) porta al risultato -32.

Esempio: Calcolare la radice quadrata di 49
Mentalmente si può effettuare il calcolo, iniziando da 1. 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9, 4 * 4 = 16, 5 *
5 = 25, 6 * 6 = 36, 7 * 7 = 49. Ecco la soluzione è pari a 7.

49 = 7

Esempio: Per calcolare la radice quadrata di 12, poiché mentalmente si è
constatato con l’esempio precedente che non esiste alcun numero naturale il cui quadrato porta
alla soluzione 12, si può utilizzare la calcolatrice ed ottenere il risultato uguale a 3,46 .

12 = 3, 46


I radicali 6

RADICALI SIMILI

Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando.

Esempio: i radicali : 7 ; −2 7 ; sono radicali simili in quanto
hanno diversi coefficienti ma stesso indice di radice, pari a 2, e stesso radicando uguale a 7.

PROPRIETA’ INVARIANTIVA DEI RADICALI

Il valore di un radicando non cambia se si moltiplica per un numero intero positivo p, sia
l’indice di radice sia l’esponente del radicando. Ossia:

n
x = m np
x mp

Esempio: il radicale
3
35
equivale al radicale 3⋅2
3 = 3
5⋅2 6 10

6
a bc10 12 4
equivale al radicale
3⋅2
a b c = abc
5⋅2 6⋅2 2⋅2 3 5 6 2

Indice di radice ed esponente di tutti i fattori sono stati divisi per lo stesso numero (2).

3
abc 2 3
equivale al radicale
3⋅2
a b c = abc
1⋅2 2⋅2 3⋅ 2 6 2 4 6

Indice di radice ed esponente di tutti i fattori sono stati moltiplicati per lo stesso numero (2).

POTENZA DI UN RADICALE

La potenza m -esima di un radicale è un radicale con lo stesso indice di radice e con il
radicando elevato all’esponente n. Ossia:

( x) n
m

= n
x m

Esempio: il radicale ( 3)3
2
equivale a 3
3 = 9
2 3

( 2)
3
−
Esempio: il radicale 3 2 equivale a
3 31 1

2 =2 =2 = 1 = 1
3 − − ⋅ −
2 23 2
1
2 2
2

I radicali 7

RADICE DI UN RADICALE

La radice n-esima della radice m-esima positiva, è uguale ad una radice avente indice di radice
il prodotto degli indici dei due radicali e per radicando il medesimo radicando. Ossia:

n m
x = nm
x

Esempio: la radice del radicale
3
3 equivale a
3⋅2
3= 3 6

RADICALE ED ESPONENZIALE

Per trasformare un radicale nella forma esponenziale, vale la regola:

m
n
x =xm n

1

Esempio: la radice
3
8 può essere riscritta
8 3

1

Esempio: la radice
5
− 32 può essere riscritta (−32) 5

1

Esempio: la radice
4
81 può essere riscritta (81) 4

1

Esempio: la radice
6
32 può essere riscritta (32) 6

TRASPORTO DI UN RADICALE FUORI DAL SEGNO DI RADICE

Un fattore di un radicando può essere portato fuori dal segno di radice purchè il suo
esponente sia maggiore dell’indice di radice n. Ossia:

n
a x =
o m n
a a x =a a x
n p m n p m

Si possono portare fuori dalla radice solo i fattori che hanno l’esponente maggiore o uguale
all’indice della radice (o ≥ n, n+p = o, m < o).


I radicali 8

Esempio:essendo 4 > 3, con 4 = 3 + 1, risulta:
3
3 = 3 ⋅3 = 3 3
4 3 3 1 3

Esempio:
3
x z = x ⋅x ⋅z = x x⋅z
4 3 3 1 3

TRASPORTO DI UN RADICALE SOTTO IL SEGNO DI RADICE

Un coefficiente di un radicale lo si può portare sotto il segno di radice e farlo diventare un
fattore del radicando purchè lo si elevi a potenza con esponente uguale all’indice di radice.
Ossia:

a x =
n m n
a x n m

Esempio: il radicale − x x equivale a − x ⋅x =− x
2 3

Attenzione al segno meno: non va portato sotto il segno di radice


I radicali 9

2. OPERAZIONI CON I RADICALI

RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE

Per ridurre due o più radicali allo stesso indice di radice:

Ø si calcola il minimo comune multiplo tra tutti gli indici di radice e si assume come indice
comune a tutti i radicali;

Ø si divide il m.c.m. per ciascun indice e si moltiplica il risultato per l’esponente di ciascun
termine del rispettivo radicando.

Esempio: ridurre i radicali allo stesso indice
3
3 3
Risulta: m.c.m. (3,2) = 6

6 6
Quindi 3 ⇒ 9; 8
6 6
3
; 2 2 6 6

Esempio: ridurre i radicali allo stesso indice
3
3
a a 7 5
a
Risulta: m.c.m. (3,2,5) = 30

30 ( 302 )⋅7 (305 )⋅3
Quindi ⇒
30 10 18
a 3
; 30
a ; 30
a 30
a ; 30
a ; 105 30
a

SOMMA E DIFFERENZA DI RADICALI

Per poter effettuare la somma algebrica i radicali devono essere simili. In tal caso il
coefficiente del radicale simile è la somma algebrica dei coefficenti dei radicali.

Esempio: eseguire la somma algebrica 6 7 −2 7
Poiché i radicali sono simili, risulta:

(6 − 2) 7=4 7

Esempio: eseguire la somma algebrica 3
3+ 2 3
3 −5 3 3

3
Poiché i radicali sono simili, risulta:
3
(
3 1+ 2 − 5 = 3 0 = 0
3 5
) 3
( )

I radicali 10

PRODOTTO DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE

Se due radicali hanno lo stesso indice di radice il loro prodottoo è uguale ad un radicale con lo
stesso indice di radice ed il radicando uguale al prodotto dei due radicandi:

n
x ⋅ w = xw
n n

Esempio: usare la regola del prodotto per moltiplicare 3
3e 3
2
Risulta: 3
3 ⋅ 2 = 3⋅ 2 = 6
3 3 3

Esempio: le regole della somma e del prodotto siano da applicare all’espressione:

2 2+2 8
Risulta:

2 2 + 2 4 ⋅2 = 2 2 + 2 4 2 = 2 2 + 2⋅2 ⋅ 2 = 2 2 + 4 ⋅ 2 = 6 2

Esempio: applicare la regola del prodotto all’espressione 3 3⋅4 3
Risulta, dopo aver moltiplicato i coefficienti dei due radicali:

12 3 3 = 12 3 ⋅ 3 = 12 9 = 12 ⋅ 3 = 36

Esempio: semplificare l’espressione
3x
3
WARNING
Non commettere l’errore di semplificare la radice di 3 con 3

3x 3⋅ x
Il risultato sarà pertanto: = ≠ x
3 3

QUOZIENTE DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE

Se due radicali hanno lo stesso indice di radice il loro quoziente è uguale ad un radicale con lo
stesso indice di radice ed il radicando uguale al quoziente dei
due radicandi: n
x x
= n
n
w w

I radicali 11

Esempio: usare la regola del quoziente per effettuare il quoziente tra
3 e 2
3 3

Risulta: 3
3 3
= 3
3
2 2


I radicali 12

3. SEMPLIFICAZIONI DI RADICALI

RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI

a. Il radicale può essere scritto nella notazione esponenziale rispettando la seguente regola:
m
n
x =x m n

Esempi: i seguenti radicali: 4, 8,3 5
243 possono essere espressi con la
notazione esponenziale nel modo seguente:

4 = 41 2 3
8 = 81 3 5
243 = 2431 5

Per i primi due esercizi i risultati si possono semplificare ulteriormente utilizzando la regola delle
potenze (potenza di potenza).
1 1 1 1

4 = 4 = (2 ) = 2
2 2 2 3
8 = (2 ) = 2 3 3 5
243 = 243 = (3 ) = 3
15 5 5

b. Il radicale può essere semplificato se, dopo aver scomposto in fattori primi l’indice di
radice e l’esponente del radicando, uno dei fattori è comune in entrambe le scomposizioni,
ossia:

np
x mp
= n
x m

21
35
2 può essere semplificato nel modo seguente:

35
2 = 2 = 2
21 5•7 3•7 5 3

Esempio: semplificare il radicale 72
Dopo aver scomposto il numero 72 in fattori primi si applica la regola appena menzionata:

72 = 36 ⋅ 2 = 6 ⋅ 2 = 6 ⋅ 2 2

c. Un modo per semplificare un radicale quando si presenta nella forma riportata di seguito, con m,
n, o maggiore o uguale ad n:
m n o
n
x w z
è riportato con l’esempio riportato di seguito.


I radicali 13

Esempio: semplificare 5 6 8
3
96 x y z
Step 1: scomporre in fattori primi ed espandere le potenze
3
2 ⋅ 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅3⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z

Step 2: isolare a gruppi di tre (è il valore dell’indice di radice) ciascun fattore e riportarlo
in basso

3
2 ⋅ 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅3⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z ⋅ z

2 x y y z z

Step 3: portare fuori dal segno di radice ciascun fattore individuato nel punto precedente

2 ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ z ⋅ z ⋅ 2⋅ 2 ⋅3 ⋅ x ⋅ x ⋅ z ⋅ z
3

Step 4: semplificare effettuando i prodotti

2 ⋅ x ⋅ y ⋅ z ⋅ 12 ⋅ x ⋅ z
2 2 3 2 2

Esempio: come si può semplificare la radice quadrata di x elevato alla settima?
7
x
Osserviamo la seguente sequenza:

x =x
1
x =x
2
x =x x 3
x =x
4 2

x =x
5 2
x x =x
6 3
x =x
7 3
x
E quindi:

Una reg ol a general e può esser e qu el l a di di vi dere l ’espon en te d el radi cando per du e e
l asci are i l resto nel radi cand o.

Per esten si on e, se n è mag gi ore di m, n/ m = q e resto s

m
x =x n q
x s


I radicali 14

7
Esempio: semplificare x
3
Risulta che 7/2 = 3 con resto 1, quindi x x
RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI


I radicali 15

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Qualsiasi osservazione che possa contribuire a rendere il
documento più completo è ben accolta!

c.cancelli@tiscali.it

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððð


I radicali

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