2. Parabola................................................................................................................................................3
Definizione.......................................................................................................................................3
Parabola con vertice nell’ origine e asse coincidente con l’ asse y..................................................3
Concavità della parabola..................................................................................................................4
Equazione della parabola con asse parallelo asse y..........................................................................5
Vertice, Fuoco e direttrice della parabola.........................................................................................6
Parabola con asse di simmetria parallelo all’ asse x.........................................................................8
Concavità parabola con asse parallelo asse x.................................................................................10
Casi particolari................................................................................................................................10
Posizioni di una retta rispetto ad una parabola...............................................................................10
Tabella riassuntiva..........................................................................................................................11
Rette tangenti alla parabola............................................................................................................12
1. Il punto è esterno alla parabola...............................................................................................12
2. Il punto appartiene alla parabola............................................................................................12
3. Il punto è interno alla parabola...............................................................................................12
Condizioni generali per determinare l’equazione di una parabola.................................................13
Segmento parabolico......................................................................................................................13
Generalizzazione............................................................................................................................14
Dimostrazioni.................................................................................................................................14
Formulario......................................................................................................................................15
Antonella Greco
Rosangela Mapelli
3. Parabola
È stato osservato che i corpi lanciati, ovverossia i proiettili, descrivono una linea curva di un qualche tipo;
però, che essa sia una parabola, nessuno l'ha mostrato. Che sia così, lo dimostrerò insieme ad altre non poche
cose, né meno degne di essere conosciute…..(Galileo Galilei)
Il percorso che compie un pallone lanciato dal calciatore, l’acqua che zampilla dalla fontana, il
proiettile sparato dal cannone, la pallina che rimbalza, ha la stessa forma in tutti i casi, si
tratta di una curva particolare che in m viene chiamata parabola che vuol dire "mettere
accanto"
Consideriamo un punto A nel piano
cartesiano equidistante da un punto
F e da una retta d, parallela all'
asse x.
Supponiamo che il punto A disti 12
sia da F (-3, 4) che da d di
equazione y=-4, cioè la distanza di
A da E sia 12.
Spostiamo il punto E lungo la retta
d e osserviamo il luogo che disegna
il punto A
Come puoi osservare dalle
immagini riprodotte, il punto A
disegna una curva Tale curva è un
luogo geometrico ed è chiamato
parabola
Definizione
Si definisce Parabola il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto Fuoco e
da una retta d detta direttrice.
Parabola con vertice nell’ origine e asse coincidente con l’ asse y.
Consideriamo il punto generico appartenente all’
asse y F(0, p) e la retta d: y=-p.
Indichiamo con A (x; y) un punto generico del
piano cartesiano. Il punto A deve
essere equidistante da F e dalla retta d.
Calcoliamo AH =| y + p | , otteniamo
x 2 + ( y − p ) 2 =| y + p |
eleviamo al quadrato entrambi i membri
x 2 + ( y − p)2 = ( y + p)2
x 2 + y 2 − 2 py + p 2 = y 2 + 2 py + p 2
x 2 = 4 py
x2
Ricavando y otteniamo y =
4p
4. 1
Poniamo a = l’ equazione diventa
4p
y = ax 2 equazione della parabola con vertice nell’ origine
1
Dalla relazione a = ricaviamo p in funzione di a e determiniamo le coordinate del fuoco
4p
1 1
4 p e d: y = − 4 p .
e l’ equazione della direttrice , F 0,
La parabola ammette asse di simmetria, in questo caso coincidente con l’ asse y, passante per
il vertice e per il fuoco.
Concavità della parabola
Osserva le parabole nella figura 1.
Possiamo dedurre che:
•Hanno tutte la concavità verso l’alto
•Il coefficiente a è positivo
•Al crescere del valore di a l’apertura
della parabola diminuisce
Figura 1
5. Osserva le parabole nella figura 2.
Possiamo dedurre che:
•Hanno tutte la concavità verso il basso
•Il coefficiente a è negativo
•Al decrescere del valore di a l’ apertura
della parabola diminuisce
Generalizzazione
Se a>0 la parabola ha la concavità rivolta
verso l’alto, e al crescere di a la apertura
diminuisce.
Se a<0 la parabola ha la concavità rivolta
verso il basso, e al decrescere di a l’
apertura
Figura 2
Equazione della parabola con
asse parallelo asse y
Consideriamo la parabola con vertice nell’
origine di equazione y = ax .
2
Prendiamo un punto nel piano V1 ( xv ; yv )
Applichiamo una traslazione di vettore OV1 ,
otteniamo un nuovo sistema di assi
cartesiani XV1Y .
In tale sistema l’equazione della parabola
traslata P , congruente a quella data, è
1
Y = aX 2
Le equazioni della traslazione sono:
X = x − xv
Y = y − yv
Dimostrazione
Sostituiamo nell’equazione della parabola P e troviamo la sua equazione rispetto al sistema
1
xOy.
y − yv = a ( x − xv ) 2
2
y − yv = ax 2 − 2axv x + axv
2
y = ax 2 − 2axv x + axv − yv
Poniamo
b = −2axv
otteniamo y = ax + bx + c
2
2
c = axv − yv
6. Equazione della parabola con asse parallelo all’ asse y.
Vertice, Fuoco e direttrice della parabola
b = −2axv
Dalle equazioni determiniamo le coordinate del vertice.
c = axv 2 − yv
−b −b −b
b = −2axv xv = 2a
xv = 2a
xv = 2a
⇒ ⇒ ⇒
y = b − 4ac
2
c = axv − yv
yv = a ( − b ) 2 − c
2
y = a b − c
2
2a v
4a 2 v
4a
b ∆
Le coordinate del vertice sono V −
;−
2a 4 a
b
L’ asse di simmetria ha equazione x = −
2a
b 1− ∆
Il fuoco ha coordinate F − ;
2a 4a
1+ ∆
La direttrice ha equazione y = −
4a
Casi particolari
Osserva la figura al lato.
La parabola passa per
l’origine degli assi
cartesiani. Le coordinate
di O devono soddisfare l’
equazione della parabola
y = ax 2 + bx + c
Sostituiamo e otteniamo:
c = 0.
L’ equazione della
parabola diventa
y = ax 2 + bx
7. Osserva la figura al
lato.
La parabola ha il
vertice sull’asse y,
conseguentemente
l’ ascissa del vertice
è nulla, quindi:
b
− =0⇒b=0
2a
Le coordinate del
vertice sono V (0; c)
e l’equazione della
parabola diventa
y = ax 2 + c
Osserva la figura al
lato.
La parabola ha il
vertice nell’ origine.
La parabola è passante
per l’ origine e ha il
vertice sull’ asse y
contemporaneamente,
quindi valgono le due
condizioni b = 0 ∧ c = 0
.
L’ equazione della
parabola è
y = ax 2
8. Tabella Riassuntiva
Parabola Generica nel piano
y = ax 2 + bx + c
b ∆
V − ;−
2a 4 a Vertice
b 1− ∆
F− ; Fuoco
2a 4a
1+ ∆
y=− direttrice;
4a
b
x=− asse di simmetria
2a
Parabola con il vertice sull’ asse y
y = ax 2 + c
V (0; c) Vertice
Parabola passante per l’ origine
y = ax 2 + bx
Parabola con il vertice nell’ origine
y = ax 2
Parabola con asse di simmetria parallelo all’ asse x
Consideriamo la parabola di
equazione y = ax + bx + c e la
2
bisettrice del I e III quadrante di
equazione y = x .
Determiniamo la parabola
simmetrica a quella data, rispetto a
tale retta.
Le equazioni della simmetria sono
x = y
y = x
Dimostrazione
Applichiamole alla parabola e
otteniamo
x = ay 2 + by + c
Le coordinate del vertice, del fuoco e le equazioni dell’ asse di simmetria e della direttrice si determinano applicando
la medesima simmetria alle corrispondenti formule relative alla parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y,
secondo la corrispondenza che segue:
b ∆ ∆ b
V − ; − il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è V − ;−
2a 4 a 4a 2a
b 1− ∆ 1− ∆ b
F− ; il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è F ;−
2a 4a 4a 2a
1+ ∆ 1+ ∆
y=− il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è x = −
4a 4a
9. b b
x=− il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è y = −
2a 2a
10. Concavità parabola con asse parallelo asse x
Alla parabola con asse parallelo all’asse y e concavità verso l’alto corrisponde, nella simmetria
rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, una parabola con asse parallelo all’ asse x e
concavità rivolta verso destra.
Generalizzazione
se a>0 la concavità della parabola è verso destra
se a<0 la concavità della parabola è verso sinistra
Casi particolari
Per la parabola con asse parallelo all’asse x valgono le medesime proprietà viste per la
parabola con asse parallelo all’asse y.
Tabella Riassuntiva
Parabola Generica nel piano
x = ay 2 + by + c
∆ b
V − ;− Vertice
4a 2a
1− ∆ b
F ;− Fuoco
4a 2a
1+ ∆
x=− direttrice;
4a
b
y=− asse di simmetria
2a
Parabola con il vertice sull’asse x
x = ay 2 + c
V (c;0) Vertice
Parabola passante per l’origine
x = ay 2 + by
Parabola con il vertice nell’origine
x = ay 2
Posizioni di una retta rispetto ad una parabola
Una retta rispetto ad una parabola può essere:
•Secante, se retta e parabola si incontrano in due punti
•Tangente, se retta e parabola si incontrano in un punto
•Esterna, se retta e parabola non si incontrano in alcun punto
Per determinare la posizione della retta di equazione y = mx + q rispetto alla parabola di
equazione y = ax + bx + c bisogna svolgere il sistema tra l’equazione della retta e quella della
2
parabola
y = mx + q
y = ax + bx + c
2
risolvendo si ottiene un’equazione di secondo grado, per la quale si può verificare uno dei casi
seguenti:
11. 1. ∆ > 0 , l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte. La retta incontra la parabola
in due punti, quindi è secante.
2. ∆ = 0 , l’equazione ammette due soluzioni coincidenti. La retta incontra la parabola in
un punto, quindi è tangente.
3. ∆ < 0 , l’equazione non ammette soluzioni reali. La retta non incontra la parabola in
nessun punto, quindi è esterna.
Tabella riassuntiva
Secante
La retta incontra
la parabola in
due punti
distinti.
y = mx + q
y = ax + bx + c
2
∆>0
Tangente
La retta incontra
la parabola in un
punto
y = mx + q
y = ax + bx + c
2
∆=0
12. Esterna
La retta non
incontra la
parabola
y = mx + q
y = ax + bx + c
2
∆<0
Rette tangenti alla parabola
1. Il punto è esterno alla parabola
Data l' equazione di una parabola y = ax + bx + c
2
e un punto A( x1 , y1 ) esterno alla parabola, determinare le equazioni delle rette tangenti alla
parabola passanti per A.
Per risolvere questo problema dobbiamo procedere nel seguente modo:
•determinare il fascio di rette di centro A
y − y1 = m( x − x1 )
•mettere in sistema l' equazione della parabola con il fascio proprio
y − y1 = m( x − x1 )
y = ax + bx + c
2
•si ottiene un' equazione di II grado.
Ricordando che una retta è tangente ad una parabola quando il discriminante dell' equazione di
II grado è nullo, poniamo la condizione ∆ = 0
•otteniamo un’ equazione di II grado in m.
Si risolve e si determinano i due valori di m che, sostituiti nell’ equazione del fascio daranno le
due rette tangenti.
2. Il punto appartiene alla parabola
Determinare l' equazione della retta tangente alla
parabola di equazione y = ax + bx + c in un suo
2
punto A( x1 , y1 )
Determiniamo l' equazione del fascio di centro A
y − y1 = m( x − x1 )
il coefficiente angolare della retta tangente si trova
con l’equazione m = b + 2ax1
oppure si utilizza la regola dello sdoppiamento
Equazione retta tangente in un punto appartenente
alla parabola
y + y1 x + x1
= ax1 x + b +c
2 2
3. Il punto è interno alla parabola
Se il punto è interno alla parabola non esistono rette tangenti alla parabola, ma solo secanti.
13. Condizioni generali per determinare l’equazione di una parabola
L'equazione di una parabola, sia quella con asse parallelo all’asse delle y, y = ax + bx + c sia
2
quella con asse parallelo all’asse delle x, x = ay + by + c dipende dai tre parametri a,b,c quindi
2
per ricavare l'equazione dobbiamo avere tre relazioni indipendenti fra loro che ci permettano di
determinare i parametri.
Alcuni casi che possono presentarsi più frequentemente:
1.Passaggio per tre punti
2.Conoscenza delle coordinate del vertice e del fuoco
3.Conoscenza delle coordinate del vertice e passaggio per un punto
4.Conoscenza delle coordinate del vertice e dell’equazione della direttrice
5.Passaggio per due punti e tangenza ad una data retta
6.Conoscenza dell’equazione dell’asse e della direttrice, e passaggio per un punto.
Segmento parabolico
Teorema di Archimede (area del
segmento parabolico)
Consideriamo la parabola con vertice
nell’origine O (0,0) e che ha come asse quello
delle ordinate y = ax 2 (a > 0);
consideriamo una retta r parallele all’asse
delle ascisse che interseca la parabola nei
punti A e B.
Definizione
La regione finita S del piano delimitata
dall’arco AVB di parabola e dal segmento
AB viene detta segmento parabolico.
Vogliamo trovare l’area del segmento
parabolico. Questa area S risulta uguale alla
differenza tra l’area del rettangolo AA’BB’e
quella della regione delimitata dall’arco A’VB’ e
dai segmenti AA’, BB’ e A’B’, che per simmetria rispetto all’asse delle y risulta doppia della
regione T delimitata dall’arco AV e dai segmenti AA’ e VA’.
I punti hanno coordinate: A( − h; ah ) , B( h; ah ) , A' ( − h;0) , B' ( h;0) avremo:
2 2
AS = A( AA' BB ') − 2 AT
Dove
A( AA' BB ') = BB' ⋅ A' B ' = 2h ⋅ ah 2 = 2ah3
Per calcolare l’area della regione T si può utilizzare o un metodo di approssimazione o un
1 3
metodo mediante l’integrale definito di funzione, che dà come risultato AT = ah .
3
1 4 3 2
Troviamo perciò AS = A( AA' BB ' ) − 2 AT = 2ah − 2 ah =
3 3
ah che non è altro che i dell’area
3 3 3
del rettangolo AA’BB’
14. Generalizzazione
2
L’area del segmento parabolico AVB è uguale ai
3
dell’area del rettangolo AA’BB’ (teorema di
Archimede).
Questo risultato vale anche quando la retta che
interseca la parabola non è perpendicolare al suo
asse.
Consideriamo una parabola di equazione
y = ax + bx + c e una generica retta r y = mx + q che
2
interseca la parabola nei punti A e B. Tracciamo la
retta t tangente alla parabola e parallela alla retta r;
tracciamo le proiezioni di A e B sulla retta tangente,
2
l’area del segmento parabolico ABV è uguale a
3
dell’area del rettangolo AA’BB’
Dimostrazioni
Dimostrazione: Regola dello sdoppiamento
"Determinare l' equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = ax + bx + c in
2
un suo punto P ( x1 , y1 ) "
Determiniamo l' equazione del fascio di centro P: y − y1 = m( x − x1 ) e svolgiamo il sistema con
l'equazione della parabola
y − y1 = m( x − x1 )
⇒ ax 2 + bx + c = mx − mx1 + y1
y = ax + bx + c
2
ax 2 + bx + c = mx − mx1 + y1 ⇔ ax 2 + (b − m) x + c + mx1 − y1 = 0
Il punto P appartiene alla parabola, quindi l' equazione di II grado ammette due soluzioni
coincidenti con x1 = x2 .
Per la relazione esistente tra le soluzioni di un' equazione di II grado e i suoi coefficienti
sappiamo che:
b b−m
x1 + x2 = − ⇒− = 2x1 ricaviamo m e otteniamo m = b + 2ax1 sostituiamo nell'equazione
a a
del fascio di rette
2
y − y1 = (b + 2ax1 )( x − x1 ) ⇒ y − y1 = 2axx1 − 2ax1 + bx − bx1
2
Consideriamo la condizione di appartenenza di P alla parabola y1 = ax1 + bx1 + c
2
moltiplichiamo entrambi i membri per 2 e otteniamo 2 y1 = 2ax1 + 2bx1 + 2c
2 2
Sommiamo membro a membro y − y1 = 2axx1 − 2ax1 + bx − bx e 2 y1 = 2ax1 + 2bx1 + 2c
otteniamo y − y1 = 2axx1 + bx − bx1 + 2c raccogliamo b e dividiamo per 2
y − y1 x − x1
= ax1 x + b +c
2 2
che è l’equazione per determinare la retta tangente in un punto appartenente alla parabola
15. Formulario
PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE ORDINATE
Equazione della parabola y = ax 2 + bx + c
Coordinate del vertice b ∆
V − ;−
2a 4 a
Equazione asse di simmetria b
x=−
2a
Equazione della direttrice 1+ ∆
y=−
4a
Coordinate del fuoco b 1− ∆
F− ;
2a 4a
Equazione parabola con vertice y = ax 2
nell’origine degli assi V (0;0)
Equazione parabola che passa per y = ax 2 + bx
origine degli assi
Equazione parabola con asse di y = ax 2 + c
simmetria asse delle ordinate, vertice
V (0; c)
Equazione retta tangente in un punto y + y1 x + x1
appartenente alla parabola = ax1 x + b +c
2 2
Coefficiente angolare della retta m = b + ax1
tangente
PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE ASCISSE
Equazione della parabola x = ay 2 + by + c
Coordinate del vertice ∆ b
V−
4a ;− 2a
Equazione asse di simmetria b
y=−
2a
Equazione della direttrice 1+ ∆
x=−
4a
Coordinate del fuoco 1− ∆ b
F ;−
4a 2a
Equazione parabola con vertice x = ay 2
nell’origine degli assi V (0;0)
Equazione parabola che passa per x = ay 2 + by
origine degli assi
Equazione parabola con asse di x = ay 2 + c
simmetria asse delle ordinate, vertice
V (0; c)
Equazione retta tangente in un punto x + x1 y + y1
appartenente alla parabola = ax1 x + b +c
2 2
