Il documento tratta del piano cartesiano e delle equazioni delle rette, evidenziando come le coordinate di un punto siano rappresentate da valori numerici x e y. Viene illustrata l'equazione generale delle rette, inclusi i coefficienti angolari, e le condizioni di parallelismo e perpendicolarità, insieme a vari esempi pratici per il calcolo e la rappresentazione grafica. Infine, si presentano esercizi per applicare le nozioni apprese sulla rappresentazione e l'interazione delle rette nel piano cartesiano.

1. PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010
1) PIANO CARTESIANO
serve per indicare, identificare, “chiamare” .... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti
COORDINATE).
La prima coordinata è chiamata ASCISSA -- La seconda coordinata è chiamata ORDINATA
e solitamente vengono indicate con x e y
2) Una retta ( una parabola, una curva .......) nel piano cartesiano sono un INSIEME DI PUNTI
L’EQUAZIONE di una retta (di una parabola, di una curva...) nel piano cartesiano rappresenta una relazione tra la x e y coordinate dei
punti della retta
cioè tutti i punti della retta hanno coordinate (x e y) i cui valori numerici soddisfano l’equazione della retta,
quindi se si sostituiscono nella equazione i valori numerici di x e y si ottiene una uguaglianza vera.
3) Esempio
La mia tariffa telefonica è di 0,10 cent. al minuto più 0,12 cent. di scatto alla risposta.
Quanto mi costa una telefonata di 1 minuto? Spesa = 0,10 • 1 + 0,12= 0,22 cent.
Quanto mi costa una telefonata di 2 minuti? Spesa = 0,10 • 2 + 0,12= 0,32 cent
Quanto mi costa una telefonata di 3 minuti? Spesa = 0,10 • 3 + 0,12= 0,42 cent
Quanto mi costa una telefonata di 4 minuti? Spesa = 0,10 • 4 + 0,12= 0,52 cent
Quanto mi costa una telefonata di x minuti? (dove x è un numero qualunque) Spesa = 0,10 • x + 0,12= ..........
Chiamato “y” il costo della telefonata e “x” il numero di minuti durata della telefonata, l’operazione per calcolare il costo della telefonata
è espressa dalla formula y=0,10 x+0,12
Questa formula, che indica la relazione tra il costo e la durata della telefonata, è una equazione in x e y e può essere
RAPPRESENTATA sul piano cartesiano.
Individuando sul piano cartesiano tutti i punti le cui coordinate x e y sono legate dalla relazione, cioè tutte le coordinate che compaiono
nella tabella seguente in cui, noto il valore della x posso calcolare, con la formula indicata, il valore della y
numero dei minuti costo della telefonata
x y=0,10x+0,12
1 0,22
2 0,32
3 0,42
4 0,52
5 0,62
6 0,72
10 1,12
15 1,62
20 2,12
4) RETTA PER L’ORIGINE
Osserva i punti della retta nel prossimo grafico e considera le loro coordinate.
Per il teorema di Talete - oppure considerando la similitudine dei triangoli in figura POA e P’OA’ - si può dimostrare che
PA P ' A' yP yP '
= cioè =
OA OA' xP xP '
Quindi tutti i punti di questa retta hanno coordinate x e y per cui
y
= valore costante = numero fisso
x
y
in questo caso = valore costante = 2
x
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2. y 2
esempio punto P1 (1,2) = =2
x 1
y 6
punto P2 (3,6) = =2
x 3
y 10
punto P3 (5,10) = =2
x 5
Se questo rapporto costante viene indicato con la lettera m
y
=m si può scrivere y = mx
x
Questa è la condizione che soddisfano tutte le coordinate dei punti della retta
cioè y = mx è la EQUAZIONE della RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE
m viene chiamato coefficiente angolare della retta
Se un punto appartiene alla retta allora le sue coordinate soddisfano la
equazione y = mx --- se si sostituiscono nella equazione i valori
numerici di x e y si ottiene una uguaglianza vera.
Significato geometrico del coefficiente
angolare
m indica la pendenza della retta, cioè
l’angolo con cui la retta interseca l’asse
delle x
se m>0 la retta è crescente
se m<0 la retta è decrescente
se m=1 la retta è la bisettrice del I e III
quadrante
se m=-1 la retta è la bisettrice del II e IV
quadrante
condizione di parallelismo
due rette con lo stesso coefficiente angolare
sono parallele
condizione di perpendicolarità
due rette i cui coefficienti angolari soddisfano
1
la seguente relazione m1 = ! sono
m2
perpendicolari
5) RETTE OBLIQUE non PASSANTI per L’ORIGINE
La loro equazione sarà del tipo y = mx + q
con m e q valori numerici
Il valore di q (detto “intercetta”) rappresenta l’ordinata ( la y) del punto in cui
la retta interseca l’asse delle y
Due rette con lo stesso coefficiente angolare m sono parallele
Due rette con la stessa intercetta q si intersecano nel punto (0,q)
La retta in figura è la retta di equazione y=x+2
Nota: il punto in cui interseca l’asse delle y è (0,2)
infatti vale la uguaglianza 2=0+2
il punto in cui interseca l’asse delle x è (-2,0)
infatti vale la uguaglianza 0=1•(-2)+2
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3. 6) RETTE ORIZZONTALI E RETTE VERTICALI
una retta orizzontale è l’insieme di tutti i punti che hanno una y fissata
per es. tutti i punti che hanno la y=-1 si trovano sulla retta orizzontale
disegnata in figura, quindi y=-1 è l’equazione di quella retta
in generale tutte le rette orizzontali avranno una equazione
del tipo y=q dove q è un valore numerico
le rette orizzontali possono essere pensate come rette del tipo y=mx+q con
coefficiente angolare m=0
una retta verticale è l’insieme di tutti i punti che hanno una x fissata
per es. tutti i punti che hanno la x=+1 si trovano sulla retta verticale
disegnata in figura, quindi x=+1 è l’equazione di quella retta
in generale tutte le rette verticali avranno una equazione
del tipo x=k dove k è un valore numerico
le rette verticali non possono essere scritte come rette del tipo y=mx+q
7) ESERCIZI ( esempi di esercizi standard)
a) data l’equazione disegnare la retta
basta trovare una coppia di punti che soddisfino l’equazione della
retta e poi tracciare la retta per i due punti
es. y=2x+1
x=1 ----> y=2•1+1=3
x=3 ----> y=2•3+1=7
Una richiesta che può essere fatta per il rappresentare
graficamente una funzione, può essere quella di determinare i Esempio
punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi
cartesiani. y = 2x ! 6
L’intersezione con l’asse delle ordinate (y)
se x = 0
si trova dalla condizione x=0
y = -6
L’intersezione con l’asse delle acsisse (x)
si trova dalla condizione y=f(x)=0
se y = 0
(tali punti si chiamano anche zeri della funzione – una funzione
x=3
lineare avrà al massimo un solo zero)
es. y=2x+1
x=1 ----> y=2•1+1=3
x=3 ----> y=2•3+1=7
b) dato un punto sapere se appartiene ad una retta di equazione data oppure no
basta sostituire le coordinate del punto nella equazione della retta : es. y=2x+1
x=1, y=3 ----> 3=2•1+1 VERO (1,3) è sulla retta
se si ottiene una uguaglianza vera --> il punto appartiene alla retta x=2, y=4 ----> 4=2•2+1 FALSO (2,4) non è sulla retta
se si ottiene una uguaglianza falsa --> il punto NON appartiene alla retta
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4. c) dati due punti del piano determinare la pendenza del segmento che li unisce
determinare il coeff. ang. della retta per i due punti
Esiste una formula da ricordare, legata alla definizione di m vista nel Es.
paragrafo 4 Punto A (x=1, y=3)
Punto B (x=2, y=4)
y !y
m= 2 1 dove (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) sono le coordinate dei 2 punti y !y 4!3 1
x2 ! x1 m= 2 1 = = =1
x2 ! x1 2 !1 1
d) dati due punti del piano determinare l’equazione della retta per i due punti
L’equazione della retta ( se i due punti non sono sulla stessa verticale) è Es. Determinare l’equazione della retta y = mx + q
del tipo y = mx + q , per cui, per determinarla, bisogna determinare i passante per i due punti :
valori di m e di q
Punto A (x=1, y=3)
Per trovare m si usa il procedimento di cui all’esercizio 3) Punto B (x=2, y=4)
Si calcola
y !y 4!3 1
y2 ! y1 m= 2 1 = = =1
m= dove (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) sono le coordinate dei 2 punti x2 ! x1 2 !1 1
x2 ! x1
Quindi l’equazione sarà y = 1x + q
Per trovare q si sfrutta l’informazione che la retta passa per uno qualsiasi
Dovendo la retta passare per il punto A deve essere
dei 2 punti (equivalente a dire che i punti appartengono alla retta) per cui
verificata l’equazione 3 = 1•1+ q ottenuta sostituendo le
deve valere la condizione di cui all’esempio 2)
Cioè, sostituendo le coordinate del punto nella equazione della retta coordinate (x,y)=(1,3) nell’equazione y = 1x + q
y=mx+q (dove ora si conosce il valore di m già calcolato) si deve ottenere 3 = 1•1+ q 3=1+q
una uguaglianza vera. Da cui si ricava
3-1=q q=2
Questa sostituzione conduce ad una equazione con il parametro q come
incognita. La sua risoluzione permette di trovare q La retta cercata è y=x+2
NB: come per molti esercizi di geometria analitica esistono più modi per risolvere questo problema. Ne segnaliamo rapidamente tre,
che saranno approfonditi nelle lezioni in classe
a) uso della formula per determinare l’equazione della retta per due punti Soluzione con il metodo C
y ! y1 x ! x1
= Scrivo l’equazione del fascio di rette proprio per il punto
y2 ! y1 x2 ! x1 A(1,3)
b) Scritta l’equazione generale della retta y=mx+q , imporreil passaggio y ! y A = m(x ! x A ) " y ! 3 = m(x !1) " y = mx + 3 ! m
della retta per i due punti, sostituendo le loro coordinate nell’equazione , e Imporre il passaggio per B(2,4) significa sostituire nella
risolvere il sistema così ottenuto nelle variabili m e q. equazione del fascio le coordinate di B
y = mx + 3 ! m " 4 = 2m + 3 - m " m = 1
c) Utilizzare la formula del fascio di rette per un punto (scegliendo uno dei
quindi l’equazione della retta cercata sarà
due punti dati come centro del fascio) y ! y0 = m(x ! x0 ) y = mx + 3 ! m con m=1 " y = x + 2
e poi imporre il passaggio per l’altro punto per determinare il valore di m
e) determinare l’equazione di una retta parallela ad una retta nota e passante per un punto
Il problema è analogo al precedente . Es. Determinare l’equazione della retta y = mx + q
Si tratta di determinare l’equazione della retta del tipo y = mx + q , per parallela alla retta y=2x-1 e passante per il punto :
cui, per determinarla, bisogna determinare i valori di m e di q
Punto A (x=1, y=3)
Per trovare m si usa la regola per cui due rette parallele hanno lo stesso m= coefficiente angolare della retta nota y=2x-1
coeff. angolare, per cui m si ricava subito dalla equazione della retta nota. cioè m=2
Per trovare q si fa esattamente come prima
Si sfrutta l’informazione che la retta passa per il punto indicato Quindi l’equazione sarà y = 2x + q
(equivalente a dire che il punto appartiene alla retta) per cui deve valere la
condizione di cui all’esempio 2) Dovendo la retta passare per il punto A deve essere
Cioè, sostituendo le coordinate del punto nella equazione della retta verificata l’equazione 3 = 2 •1+ q ottenuta sostituendo
y=mx+q (dove ora si conosce il valore di m già calcolato) si deve ottenere le coordinate (x,y)=(1,3) nell’equazione y = 2x + q
una uguaglianza vera.
Questa sostituzione conduce ad una equazione con il parametro q come 3 = 2 •1+ q 3=2+q
Da cui si ricava
incognita. La sua risoluzione permette di trovare q 3-2=q q=1
La retta cercata è y=2x+1
NB . anche in questo caso si può risolvere l’esercizio con altri metodi, ad
esempio utilizzando la già citata formula y ! y0 = m(x ! x0 ) - in cui m si
utilizza m ricavato dalla condizione di parallelismo e il punto dato come
centro del fascio
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5. Esercizi da svolgere
3
y= x
2
y = !2
3
1) Disegnare le rette 3 y = x +1
x= 2
2
y = !2x !1
2) Stabilire quali dei seguenti punti appartengono alla retta y=2x-1
A(1,1) B(2,3) C(-1;-1) D( 2; -5)
3) Trovare l’equazione della retta che passa per i punti A(0,0) e B(3,2)
4) Trovare l’equazione della retta che passa per il punto A(2,3) parallela alla retta y=2x+1 e l’equazione della retta che passa per il
punto A(2,3) perpendicolare alla retta y=2x+1 e
5) Trovare la equazione (la formula, la relazione....) che permette di calcolare il prezzo di una vacanza di n gg al mare, se il viaggio
costa 240€ e l’albergo 50€ a notte, dove n è un numero variabile tra 1 e 14 giorni.....
Disegnare la retta corrispondente nel piano cartesiano avente in ascissa il numero di giorni ed in ordinata il prezzo totale.
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