Percorso didattico sulla retta nel piano, rivolto a studenti della terza classe di scuola media superiore di secondo grado.

1. PROJECT WORK
FINALE
Prof.ssa Arcangela Bennardo

2. Le rette nel piano cartesiano
• Il percorso didattico che presento in questo project work è rivolto a
•
•
•
•
studenti della terza classe di un istituto tecnico per geometri.
La finalità è quella di utilizzare le conoscenze acquisite nel capitolo
relativo alle rette nel piano per risolvere un dato problema.
Il problema è quello di calcolare l’area di una figura di cui si
conoscono solo le coordinate dei vertici.
Lo studente, per calcolare l’estensione della figura data, dovrà
individuare una opportuna suddivisione in figure regolari e di queste
calcolarne l’estensione.
Il percorso, si articola nelle seguenti fasi:
1. Presentazione dei contenuti teorici.
2. Teoria in sintesi.
3. Autoverifica delle conoscenze.
4. Problema proposto.

3. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
Copyright © 2011 Zanichelli editore
Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

4. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
1.LE EQUAZIONI LINEARI DI DUE
1. LE EQUAZIONI LINEARI DI DUE VARIABILI
VARIABILI
Un’equazione lineare in due variabili x e y è un’equazione di primo
grado per entrambe le incognite. Può essere scritta nella forma:
a x + b y + c = 0 con a, b, c
(a e b non entrambi nulli).
Una soluzione dell’equazione è una coppia (x0; y0) di numeri reali che la
soddisfa.
ESEMPIO
3x + 2y – 6 = 0
con x = 1
3·1 + 2y – 6 = 0
cioè
Inoltre
2y = 3
è una soluzione.
E nello stesso tempo rappresenta un
punto nel piano cartesiano.
x
y
0
3·0 + 2y – 6 = 0
y=3
2
3x + 2·1 – 6 = 0
3·2 + 2y – 6 = 0
y=0
1

5. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
2.LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI
2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI
ESEMPIO
Retta parallela all’asse x
Retta parallela all’asse y
PROPRIETÀ
Equazione di una retta parallela a un asse
L’equazione di una retta parallela all’asse x è y = k.
L’equazione di una retta parallela all’asse y è x = h.

6. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI
PROPRIETÀ
Le equazioni degli assi
L’equazione dell’asse x è y = 0.
L’equazione dell’asse y è x = 0.

7. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI
Retta non parallela agli assi
Condizione di allineamento
Consideriamo tre punti P, P1 e P2 e le
loro proiezioni sugli assi.
La condizione perché P (x; y)
appartenga alla retta passante per
P1(x1; y1) e P2(x2; y2) è:

8. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI
TEOREMA
Retta non parallela agi assi
A ogni retta del piano cartesiano
corrisponde un’equazione lineare
in due variabili e, viceversa, a
ogni equazione lineare in due
variabili corrisponde una retta del
piano cartesiano.
Due casi particolari
dell’equazione di una retta

9. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
3. LA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
Equazione della retta passante per due punti
La condizione di allineamento fornisce l’equazione della retta passante per
i punti (x1; y1) e (x2; y2):
y y1
x x1
.
y2
y1
x2
x1
ESEMPIO
Determiniamo l’equazione della retta r passante per i punti A(-2;5) e B(1;-4) e
stabiliamo se i punti C(-1;2) e D(1;3) appartengono alla retta.
y – 5 = – 3x – 6
C(–1;2), y + 3x + 1 = 0
D(1;3), y + 3x + 1 = 0
y + 3x + 1 = 0
2 + 3·(–1) + 1 = 0
3 + 3·1 + 1 ≠ 0

10. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
4. DALLA FORMA IMPLICITA ALLA FORMA
ESPLICITA
Equazione della retta in forma
implicita
ax+by+c=0
Equazione della retta in forma
esplicita
y=mx+q
coefficiente angolare
ordinata all’origine
ESEMPIO
Scriviamo in forma esplicita l’equazione 9x + 3y − 2 = 0 .
3y = − 9x + 2
y=−
Il coefficiente angolare è − 3
L’ordinata all’origine è
x+
y = − 3x +

11. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE
COORDINATE DI DUE PUNTI
Se l’ascissa aumenta di una certa quantità fissa,
l’ordinata cresce anch’essa di una quantità fissa.
Quando l’ascissa
aumenta di 1 unità,
l’ordinata aumenta di
m.

12. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE
COORDINATE DI DUE PUNTI
PROPRIETÀ
Coefficiente angolare e coordinate
di due punti
Il coefficiente angolare di una retta non
parallela all’asse y è il rapporto fra la
differenza delle ordinate e la differenza
delle ascisse di due punti distinti della
retta:
y 2 y1
m
.
x2
x1
ESEMPIO
Il coefficiente angolare della retta passante per A(1;
) e B(3; 4) è:

13. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE
COORDINATE DI DUE PUNTI
Il coefficiente angolare fornisce informazioni
sull’angolo tra la retta e l’asse x *, ossia sulla
pendenza della retta.
* Angolo
tra la semiretta i cui punti hanno ordinata
positiva e il semiasse x di verso positivo.
Pendenza positiva
m=2
Pendenza positiva
m = 1/3
Pendenza negativa
m = −2

14. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
6. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER UN
PUNTO
Equazione della retta di coefficiente angolare m passante per P (x1; y1):
y – y1 = m·(x – x1)
ESEMPIO
Troviamo la retta di coefficiente
angolare m = , passante per P (1; 2).
y–2=
·(x – 1)
Equazione di una retta passante
per l’origine: y = mx

15. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
7. RETTE PARALLELE E RETTE PERPENDICOLARI
Date due rette parallele esse hanno lo stesso coefficiente angolare

16. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
7. RETTE PARALLELE E RETTE PERPENDICOLARI
Date due rette perpendicolari esse hanno coefficiente angolare uno
l’antireciproco dell’altro.

22. Autoverifica
• Collegati a ZTE e vai alla pagina degli esercizi interattivi

23. Problema
• Nella slide successiva è riportata, su di un piano
cartesiano, la figura ABCDEFG che ha una estensione di
66 u2 .
• Dimostrare che la figura in questione si può scomporre in
figure elementari la cui somma delle aree è uguale
all’area della figura data.
• Per ogni figura elementare individuata dimostrare le
proprietà relative alla definizione data dalla geometria
euclidea: esempio, se individui un parallelogramma devi
dimostrare che i lati opposti sono paralleli.

25. BUON LAVORO
prof.ssa Arcangela Bennardo