Procedimento per determinare quali parabole staccano sull'asse x una corda di determinata lunghezza

2. TESTO DELL’ESERCIZIO
Libro “Nuova Matematica” a colori 3 vol di Leonardo Sasso, editore Petrini
Pag. 443 n.290
“Utilizzando il metodo dei fasci, scrivi le equazioni delle parabole che
soddisfano le condizioni assegnate” :
 passa per i punti A(0,1) e B(-1,0)
 e stacca sull’asse x una corda di misura 2.

3. 1) DALL’ANALISI DEL TESTO AL PROCEDIMENTO
passa per i punti A(0,1) e B(-1,0)
Supponiamo che i due punti siano i due punti base di un fascio di parabole.
a) Pertanto la prima operazione da fare è quella di scrivere l’equazione del
fascio con i due punti base assegnati A e B

4. 2) DALL’ANALISI DEL TESTO AL PROCEDIMENTO
e stacca sull’asse x una corda di misura 2.
Occorre determinare una corda della parabola sull’asse x
Pertanto è necessario
 Trovare le intersezioni del fascio di parabole con l’asse x
 Quindi scrivere la lunghezza del segmento corda
 Ed imporre che questa lunghezza misuri 2

5. 3) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONE
scrivere l’equazione del fascio con i due punti base assegnati A e B
 Conoscendo I punti base conviene:
 trovare subito le due parabole degeneri
Scrivere I’equazione del fascio come
combinazione lineare delle due parabole degeneri

6. 4) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONE
Trovare le intersezioni del fascio di parabole con l’asse x
Si determinano I due punti di intersezione come funzioni del parametro k
 x1=f(k)
 x2=g(k)

7. 5) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONE

8. ATTENZIONE EVITARE I POSSIBILI ERRORI

9. ATTENZIONE ALLE VARIANTI

10. 6) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONE

11. SVOLGIMENTO I
Le Parabole degeneri passanti per I punti base A(0,1) e B(-1,0)
le due rette verticali di ascissa 0 e -1:
x=0 x(x+1)=0
x =-1
La retta passante per I due punti A e B:
m = Δy/ Δx= (0-1)/(-1-0)=1
y-y1=m(x-x1) => y-1=x
y= x+1

12. SVOLGIMENTO II
L’equazione del fascio costruito con le generatrici parabole degeneri
Y=mx+q+k(x-x1)(x-x2)
Sostituendo le equazioni delle parabole degeneri trovate:
y = x+1 + kx(x+1)

13. SVOLGIMENTO III

14. PASSAGGI ALGEBRICI

15. DISTINGUO DUE CASI: PRIMO CASO, PRIMO SOTTOCASO

16. PRIMO CASO, SECONDO SOTTOCASO

17. SECONDO CASO, PRIMO SOTTOCASO

18. SECONDO CASO, SECONDO SOTTOCASO

19. RIEPILOGO DELLE SOLUZIONI
Abbiamo quindi trovato due soluzioni accettabili:
K=1/3
K=-1

20. LE EQUAZIONI DELLE PARABOLE CERCATE 1.

21. LE EQUAZIONI DELLE PARABOLE CERCATE 2.

22. FINE