1. ผศ.ดร.เจษฎา ตัณฑนุช
พีชคณิตของพหุนาม
-การแยกตัวประกอบ ทฤษฎีเศษเหลือ การแยกเศษส่ วนย่ อย
การหาผลเฉลยของสมการพหุนามกาลังมากกว่าสอง
ฟังก์ ชันและกราฟ
- กราฟของสมการเชิงเส้ น เส้ นโค้ง
-ภาคตัดกรวย วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเปอร์ โบลา
-การย้ ายแกน กราฟและพีชคณิตของรูปทรงพืนฐาน
้

2. พีชคณิตของพหุนาม
พนุ นามเป็ นการขยายความคิดจากฟั งก์ชนเชิ งเส้น โดย
ั
พนุ นามและสมการพนุ นาม มีความยุ่งยาก และซับซ้อน
ในการหาผลเฉลยมากกว่า ปั ญ หาเชิ ง เส้ น แต่ ส ามารถ
นาไปประยุกต์ แก้ปัญหาในชีวิตประจาวันได้หลากหลาย
มากขึ้นเช่นกัน

3. พหุนาม
่
เราเรี ยกพจน์ซ่ ึงอยูในรู ป
n 1
P( x)  an x  an1 x
n
   a2 x  a1 x  a0
2
โดยที่ an  0
ว่าพหุนาม (polynomail) ระดับขั้น (degree) n
และเรี ยก an , an1 ,, a2 , a1, a0
ซึ่งเป็ นค่าคงตัวว่า สัมประสิทธิ์ (coefficients) ของพหุนาม

4. P( x)  an xn  an1 x n1    a2 x 2  a1 x  a0
เรี ยก an ว่าสัมประสิ ทธิ์หน้าพจน์ x n
เรี ยก an1 ว่าสัมประสิ ทธิ์หน้าพจน์ x n1

เรี ยก a1 ว่าสัมประสิ ทธิ์หน้าพจน์ x
เรี ยก a0 ว่าสัมประสิ ทธิ์หน้าพจน์ 1

5. ตัวอย่ าง (quardratic polynomail)
x 2  2 x  1 เป็ นพหุนามระดับขั้น
x  2x
2
เป็ นพหุนามระดับขั้น
x 1
2
เป็ นพหุนามระดับขั้น
2 x x 2
เป็ นพหุนามระดับขั้น

6. ตัวอย่ าง (cubic polynomail)
x 3  3x 2  3x  1 เป็ นพหุนามระดับขั้น
10x  x 3
เป็ นพหุนามระดับขั้น
x x
3 2
เป็ นพหุนามระดับขั้น

7. ตัวอย่ าง (quartic polynomail)
x4  4 x3  6 x2  4 x  1 เป็ นพหุนามระดับขั้น
x  2x
4
เป็ นพหุนามระดับขั้น
x 1
4
เป็ นพหุนามระดับขั้น

8. กาหนดให้ P( x)  4x  2x  5
2
จงหาค่า P(1) P(0.5) P(2) P( y )

9. การเท่ ากันของพหุนาม
สองพหุนามใดๆ จะมีคาเท่ากันก็ต่อเมื่อ มีสมประสิ ทธิ์
่ ั
หน้า x เท่ากันทุก k=1,…,n
k
ตัวอย่ าง
2 x  4 x  7 x 10  Ax  Bx  Cx  D
3 2 3 2
A
B
C
D

10. ตัวอย่ าง
Ax3  Bx2  Cx  D  x2  4
A
B
C
D

11. คุณสมบัติความเป็ นเชิงเส้ นของพหุนาม
1. การคูณด้วยค่าคงตัวใดๆ
  an x  an 1 x
n n 1
   a2 x  a1 x  a0  
2
 an  x n
  an 1  x n 1
    a2  x   a1  x   a0 
2
ตัวอย่ าง
4  2 x  4 x  7 x  10  
3 2

12. ตัวอย่ าง
(2)  2 x  4 x  7 x  10  
3 2
(0)  2 x  4 x  7 x  10  
3 2

13. 2. การบวกกันของพหุนาม
ให้ทาการบวกและลบกันเฉพาะสัมประสิ ทธิ์ที่อยูหน้า x
่ k
ตรงกันเท่านั้น
 an x n    a1 x  a0    bn x n    b1 x  b0 
  an  bn  x n     a1  b1  x   a0  b0 
 an x n    a1 x  a0    bn x n    b1 x  b0 
  an  bn  x n     a1  b1  x   a0  b0 

14. ตัวอย่ าง
 2x 3
 4 x  7 x  10    x  2 x  4 x  1 
2 4 2
 2x 3
 4 x  7 x  10    x  2 x  4 x  1 
2 3 2

15. แบบฝึ กหัด
 2x 3
 4 x  7 x  10    4 x  2 x  5 
2 2
 2x 3
 4 x  7 x  10    4 x  5 
2 2

16. จงหาค่ า
2  2 x  4 x  7 x  10   3  4 x  5 
3 2 2

17. การคูณกันของพหุนาม
การคูณกันของพหุนามให้ทาการคูณกระจายเหมือน
การคูณตัวเลขทัวไป
่
( x  1)(1  x) 

18. (2 x  1)(2  x) 
(2  x)(2 x  1) 

19. กาหนดให้ P( x) และ R( x) เป็ นพหุนาม
่
สังเกตได้วาการคูณกันของพหุนาม มีคุณสมบัติสลับที่
P( x) R( x)  R( x) P( x)

20. ( x  1)(1  x  x ) 
2

21. ( x  1)( x  x  1) 
2

22. แบบฝึ กหัด
จงหาค่า P( x ) R( x ) เมื่อ
P( x)  4 x  5 R( x )  3 x 3  x 2  4 x  6

23. การยกกาลังของพหุนาม
 P( x)   P( x)P( x)P( x)
n
 
 
n times
( x  1)  ( x  1)( x  1) 
2
( x  1)3 

24. ( x  1) 
8

25. สามเหลียมปาสคาล (Pascal Triangle)
่
1

26. ( x  y) 
0
( x  y) 
1
( x  y) 
2
( x  y) 
3

27. ( x  2) 
4
( x  2) 
4

28. ถ้า x  5x  6  ( x  A)( x  B)
2
จงหาค่า A และ B

29. การหารพหุนาม
การหารพหุนาม ทาได้โดยการหารยาว ซึ่งในการ
หารนี้เราจะได้ ผลหาร (quotient) และ เศษเหลือ
(remainder)

30. จงหาผลหารและเศษเหลือของพหุนาม เมื่อต้องการ
หารพหุนาม P( x)  2x  3x  x  5x  6 ด้วย
4 3 2
x  x2
2

31. จงหาผลหารและเศษเหลือของพหุนาม เมื่อต้องการ
หารพหุนาม P( x)  x 1 ด้วย x  1
3

32. พหุนาม = ตัวหาร x ผลหาร + เศษเหลือ
ถ้ าเศษเหลือมีค่าเป็ น 0
พหุนาม = ตัวหาร x ผลหาร
ตัวประกอบ (factor)

33. x  x  x  1  ( x  1)( x  1)  2
3 2 2
เศษเหลือ (remainder) คือ 2
x  x  x  2  ( x  1)( x  1)  1
3 2 2
เศษเหลือ (remainder) คือ -1
x  x  x  1  ( x  1)( x  1)
3 2 2
ตัวประกอบ (factor)

34. x  1  ( x  1)( x  x  1)
3 2
ตัวประกอบของ x3  1
x  1  ( x  1)( x  x  1)
3 2
ตัวประกอบของ x 1
3

35. x  5x  6  ( x  3)( x  2)
2
ตัวประกอบของ x  5x  6
2
x  2 x  1  ( x  1)  ( x  1)( x  1)
2 2
ตัวประกอบของ x  2x 1
2

36. ทฤษฎีบท เศษเหลือจากการหารพหุนาม
P( x)  an xn  an1 x n1    a2 x 2  a1 x  a0
ด้วย xa คือ P(a)

37. ตัวอย่ าง
จงหาเศษเหลือของพหุนาม เมื่อต้องการหารพหุนาม
P( x )  x  1
3
x 1 ด้วย

38. ตัวอย่ าง
จงหาเศษเหลือของพหุนาม เมื่อต้องการหารพหุนาม
P( x )  x  1
3
x 1 ด้วย

39. ตัวอย่ าง
จงหาเศษเหลือของพหุนาม เมื่อต้องการหารพหุนาม
P( x )  3 x  2 x  4 x  9
3 2
x2 ด้วย

40. แบบฝึ กหัด
จงหาค่า a เมื่อเศษเหลือจากการหารพหุนาม
2x  x  a
3 2
x  ด้วย คือ -9
2

41. สมการพหุนาม
่
สมการพหุนามคือสมการที่อยูในรู ป
P( x)  0 หรื อ a x  a x    a x  a
n
n
n 1
n 1
1 0 0

42. n 1
an x  an1 x
n
   a1 x  a0  0
รากของสมการ
(root of the equation.)

43. n 1
an x  an1 x
n
   a1 x  a0  0
รากของสมการ
(roots of the equation.)

44. รากของสมการพหุนาม
รากของสมการพหุนาม (roots of the equation)
คือ ค่า x0 ที่ทาให้สมการพหุนามมีค่าเท่ากับ 0
P( x0 )  0 หรื อ
n 1
an x0  an1 x0
n
   a1 x0  a0  0

45. ตัวอย่ าง
x 1  0
3 มีรากของสมการคือ x=
x  5x  6  0
2
มีรากของสมการคือ

46. ( x  1)  0
10
มีรากของสมการคือ
x 1  0
2
มีรากของสมการคือ

47. ถ้าพหุนาม an x0  an1 x0
n n 1
   a1 x0  a0
สามารถแยกตัวประกอบ (factor)ได้เป็ น
an x0    a1 x0  a0  ( x  a) R( x)
n
a จะเป็ นรากของสมการพหุนาม
an x0 n  an1 x0 n1    a1 x0  a0  0

48. ตัวอย่ าง
x 1  (
3
)( )
รากของสมการพหุนาม x 1  0
3
คือ

49. x  5x  6  ( x  3)( x  2)
2
รากของสมการพหุนาม x  5x  6  0
2
คือ

50. วิธีการหารากของสมการพหุนามระดับขั้นสอง
Method for finding roots of quadratic equations
ax  bx  c  0
2
b  b  4ac2
x
2a

51. 1. b  4ac  0
2
ax  bx  c  0
2
มีสองรากที่แตกต่างกันคือ
b  b  4ac
2
x1 
2a
b  b  4ac 2
x2 
2a

52. 2. b  4ac  0
2
ax  bx  c  0
2
มีเพียงรากเดียว คือ
b
x
2a

53. 3. b  4ac  0
2
ax  bx  c  0
2
หาผลเฉลยที่เป็ นจานวนจริ งไม่ได้

54. จงหารากของสมการ x  5x  6  0
2

55. จงหารากของสมการ x  5x  7  0
2

56. จงหารากของสมการ 4x  4x 1  0
2

57. ถ้าพหุนามสามารถแยกตัวประกอบ (factor)ได้
เราก็จะได้รากของสมการ และในทางกลับกัน ถ้า
ได้รากของสมการพหุนาม เราก็จะสามารถแยก
ตัวประกอบได้

58. x  5x  6  0
2
มีรากคือ
ดังนั้นพหุนาม x  5x  6
2
สามารถแยกตัวประกอบได้เป็ น

59. x  5x  6  0
2
มีรากคือ
ดังนั้นพหุนาม x2  5x  6
สามารถแยกตัวประกอบได้เป็ น

60. x  x  x 1  0
3 2
มีรากคือ 1
ดังนั้นพหุนาม
x3  x 2  x  1  0
สามารถแยกตัวประกอบได้เป็ น

61. x  x  x 1  0
3 2
มีรากคือ 1
ดังนั้นพหุนาม x  x  x  1  0
3 2
สามารถแยกตัวประกอบได้เป็ น

62. หารสั งเคราะห์ (synthetic division)
หารสั ง เคราะห์ เ ป็ นวิ ธี ห นึ่ งที่ จ ะช่ ว ยในการแยกตัว
ประกอบของพหุนามโดยใช้เพียงแค่สมประสิ ทธิ์หน้า x
ั n
เท่านั้นมาทาการคานวณ

63. ตัวอย่างการหารสังเคราะห์ที่เทียบเท่ากับการหารพหุนาม
2 x  3x  4 x  5  0 ด้วย x  1
3 2
1 2 -3 -4 5
เศษเหลือ

64. ตัวอย่างการหารสังเคราะห์ที่เทียบเท่ากับการหารพหุนาม
x  x  x  1  0 ด้วย x  1
3 2

65. ตัวอย่างการหารสังเคราะห์ที่เทียบเท่ากับการหารพหุนาม
x  x  x  1  0 ด้วย x  1
3 2

66. ตัวอย่างการหารสังเคราะห์ที่เทียบเท่ากับการหารพหุนาม
x 1  0
3
ด้วย x  1

67. การประยุกต์ใช้หารสังเคราะห์ในการแยกตัวประกอบ
พหุนาม an x  an1x    a2 x  a1x  a0
n n 1 2
b an an1  a2 a1 a0
0
B เป็ นค่าที่ได้จาก เศษเหลือต้องเป็ น 0
ตัวประกอบของ a0 หารด้ วยตัวประกอบของ an

68. จงประยุกต์ใช้หารสังเคราะห์ในการแยกตัวประกอบ
พหุนาม x  2x  x  2
3 2

69. จงประยุกต์ใช้หารสังเคราะห์ในการแยกตัวประกอบ
พหุนาม 2 x  5x  x  6
3 2

70. แบบฝึ กหัด
1. จงหาผลหาร และ เศษเหลือที่ ได้จากการหารพหุนามต่อไปนี้
1.1 3
2x - x - 12
หารด้วย x- 1
1.2 3
2x - x - 12 หารด้วย x+ 1
1.3 5
x + x- 4 หารด้วย x- 1
1.4 5
x + x- 4 หารด้วย x+ 1
1.5 5
x - 32 หารด้วย x+ 3

71. 2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
2.1 3 2
x - 2x - x + 2
2.2 3
18x - 9 x - 5x + 22
2.3 3 2
x + x - x- 1
2.4 4
x - 25x + 144 2
2.5 5
x - 32