The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against developing mental illness and improve symptoms for those who already suffer from conditions like anxiety and depression.
1. เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
1) ตอบ 2 1 ∈ A, 2 ∈ A แต 3∈A
จาก p → q ≡∼ q →∼ p -------------------------------------------------------------------------
∀x[ P( x)] → ∃x[∼ Q( x)] ≡∼ ∃x[∼ Q( x)] →∼ ∀x[ P( x)] 5) ตอบ 1
≡ ∀x[Q( x)] → ∃x[∼ P( x)] (2 x + 1)( x − 1)
≥0
2− x
------------------------------------------------------------------------- (2 x + 1)( x − 1)
−1 คูณตลอด ≤0
2) ตอบ 4, x−2
กําหนด U = {n ∈ I + / n ≤ 10}
= {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} 1
พิจารณาขอ 4 ( x − y ) ≥ y + 9 xy
2 2 2
1
A = (−∞, − ] ∪ [1, 2)
x − 2 xy + y
2 2
≥ y + 9 xy
2
2
x 2 − 2 xy ≥ + 9 xy
x 2 ≥ 11xy 2 x2 − 7 x + 3 < 0
x.x ≥ x(11y ) (2 x − 1)( x − 3) < 0
x ≥ 11y เปนเท็จ ทุก x, y ∈ U
x ≥ 11y 1
2
------------------------------------------------------------------------- 1
B = ( ,3)
3) ตอบ 2 2
นักเรียนทั้งหมด n(U ) = 880
ตองการศึกษาตอ n( A) = 725
ตองการทํางาน n( B) = 160
1
ตองการศึกษาตอหรือทํางาน n( A ∪ B) = 813 2
813 = 725 + 160 − x A ∩ B = [1, 2) = [c, d )
x = 72 ดังนั้น 6c − d = 6(1) − 2 = 4
160 −
x
725 −
x
-------------------------------------------------------------------------
x
6) ตอบ 1
( x 2 − 1)( x 2 − 3) ≤ 15
n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)
x 4 − 4 x 2 + 3 ≤ 15
813 = 725 + 160 − n( A ∩ B)
x 4 − 4 x 2 − 12 ≤ 0
n( A ∩ B) = 72
( x 2 − 6)( x 2 + 2) ≤ 0
-------------------------------------------------------------------------
( x 2 − 6) ≤ 0
4) ตอบ 4
( x − 6)( x + 6) ≤ 0
A = {1, 2,{1, 2},{1, 2,3}}
พิจารณาตัวเลือก 4 {1, 2,3} ⊂ A แลว
2. เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
a 2 − 10a + 25 = a 2 − 5
a=3
− 6 6
( fg )( x) = f ( x) + g ( x)
A = [− 6, 6]
= ( x − 5) x 2
( fg )(3) = (3 − 5).32 = −18
ดังนัน
้ a = − 6, b= 6
-------------------------------------------------------------------------
(b − a) = ( 6 − (− 6)) = 24
2 2
9) ตอบ 1
------------------------------------------------------------------------- กําหนด f ( x) = x 2 + x + 1
7) ตอบ 3
f ( a + b) = f ( a − b)
x 4 − 13x 2 + 36
≥0 (a + b) 2 + (a + b) + 1 = (a − b$) 2 + (a − b) + 1
x2 + 5x + 6
( x 2 − 4)( x 2 − 9) a 2 + 2ab + b 2 + a + b + 1 = a 2 − 2ab + b 2 + a − b + 1
≥0
( x + 2)( x + 3)
2ab + b = −2ab − b
( x − 2) ( x + 2) ( x − 3) ( x + 3)
≥0 4ab = −2b
( x + 2) ( x + 3)
1
a=−
( x − 2)( x − 3) ≥ 0 , x ≠ −2, −3 2
1
ดังนั้น a2 =
4
-------------------------------------------------------------------------
10) ตอบ 1
(2, ∞) r = {( x, y ) / x ∈ [−1,1] และ y = x 2 }
S = (−∞, −3) ∪ (−3, −2) ∪ (−2, 2] ∪ [3, ∞) พิจารณา ก
a เปนจํานวนทีนอยที่สุด ของ S ∩ (2, ∞) = [3, ∞)
่ จากความสัมพันธ r ; Dr = [−1,1]
จะได a = 3 ; Rr = [0,1]
b เปนจํานวนลบที่มีคามากที่สุด ที่ b∈S
จะได b = −2 หา r −1 ; x = y 2 , x ∈ [0,1]
ดังนั้น a 2 − b2 = 32 − (−2)2 = 9 y=± x, x ∈ [0,1]
------------------------------------------------------------------------- r −1 = {( x, y ) / x ∈ [0,1] และ y = ± x }
8) ตอบ 2 พิจารณา ข
โจทยกําหนด f ( x) = x − 5, g ( x) = x 2
gof ( x) = g ( f ( x)) fog ( x) = f ( g ( x))
= ( x − 5) 2 = x2 − 5
และ gof (a) = fog (a)
(a − 5) 2 = a 2 − 5
a 2 − 10a + 25 = a 2 − 5
3. เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
2
⎛5⎞ ⎛5⎞
32 = ⎜ ⎟ + x 2 − 2 ⎜ ⎟ x cos(180o − θ ) − − (2)
⎝2⎠ ⎝2⎠
r (1,1)
จาก cos(180o − θ ) = − cos θ
2
⎛5⎞
(1) + (2) ; 3 + 4 = 2 ⎜ ⎟ + 2 x 2
2 2
⎝2⎠
(0, 0) 25
25 = + 2 x2
r −1 2
5
x=
2
กราฟตัดกันที่จุด (0, 0) และ (1,1) ดังนัน BC = 2 x = 2( 5 ) = 5
้
2
------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------
11) ตอบ 3 13) ตอบ 1
sin 30o cos 30o π
= − arcsin(5 x) + arcsin( x) =
sin10o sin10o 2
sin 30o cos10o − cos 30o sin10o π
= arcsin(5 x ) = − arcsin( x )
sin10o cos10o 2
π
= 2 . sin(30 − 10 o
o o
) sin(arcsin(5 x)) = sin( − arcsin( x))
o
2 sin10 cos10 2
o
5 x = cos(arcsin( x))
= 2. sin 20o
sin 20
=2 กําหนด
-------------------------------------------------------------------------
A = arcsin x
12) ตอบ 3
sin A = x
B
1
x x
4
θ D
5 180 o
x 1 − x2
−θ
2
A C 5 x = cos A
3 5x = 1 − x2
จากกฏของ cos ine
25 x 2 = 1 − x 2
จะได AB 2 = AD 2 + BD 2 − 2 AD.BD cos θ 1
x2 =
⎛5⎞
2
⎛5⎞ 26
42 = ⎜ ⎟ + x 2 − 2 ⎜ ⎟ x cos θ − − (1) 1
⎝2⎠ ⎝2⎠ x=± ใชคาบวกเพราะอยูใน Q-1
26
และ AC 2 = AD 2 + CD 2 − 2 AD.CD cos(180O − θ )
1
tan(arcsin x) = tan(arcsin )
26
4. เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
| c1 − c2 |
PQ =
1 12 + 22
กําหนด B = arcsin( )
26 | 5 − c2 |
1 4 5=
sin B = 12 + 22
26 20 =| 5 − c2 |
26 ±20 = 5 − c 2
1 c2 = 5 ± 20
c2 = −15, 25
5
สรางเสนตรงที่ขนานทั้ง l1 และ l2 และผานจุด
tan(arcsin x) = tan( B) (5, 0) ซี่งเปนจุดศูนยกลางของวงกลม
=
1 จะไดวา x − 2y + c = 0
5 แทน ( x, y ) = (5, 0) ; 5 − 2(0) + c = 0
------------------------------------------------------------------------- c = −5
จากรูปจะไดเลือก c2 = −15 มาแทนในสมการเสนตรง l2
ดังนั้นจะไดสมการ l2 : x − 2 y − 15 = 0
แทนคาในตัวเลือก 4 x − 2 y − 15 = 0
15 − 2(0) − 15 = 0
0 = 0 เปนจริง
(ขอนี้หาคําตอบไดหลายวิธขี้นอยูกับมุมมอง)
ี
-------------------------------------------------------------------------
14) ตอบ 4
l1 : x − 2 y + 5 = 0
15) ตอบ 1
x − 2y −5 = 0
S = {( x, y ) / x 2 + y 2 ≤ 1}
P l 2 ; x − 2 y − c2 = 0 A = {( x, y ) / x 2 − y 2 = 1}
A = {( x, y ) / y 2 − x 2 = 1}
(5, 0) p∈S ∩ A และ q∈S ∩B
Q
จากโจทยจะได เสนตรง l1 ขนานกับเสนตรง l2
จะไดวา m1 = m2
( x − 5) 2 + y 2 = 20
( x − 5) 2 + y 2 = (2 5) 2
ดังนั้น PQ ยาว 4 5
5. เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
y 2 − x2 = 1 (0, 17)
q
2x + y − 6 = 0
y = −8 x
2
p x2 − y2 = 1
F (−2, 0)
(− 17, 0) ( 17, 0)
(0, − 17)
พาราโบลา y 2 = −8 x
y 2 = 4(−2) x
แกสมการ x + y = 17
2 2
---- (1) โฟกัสของพาราโบลา คือ (0,-2)
x − y =1
2 2
---- (2) เสนตรงคือ 2 x + y − 6 = 0
(1)+(2) 2 x 2 = 18 ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรงคือ
x = ±3
| Ax1 + By1 + C |
แทน x = 3 จะได y = ±2 2 d=
A2 + B 2
แทน x = −3 จะได y = ±2 2 | 2(−2) + (0) − 6 |
=
22 + 12
แกสมการ x + y = 17
2 2
---- (3) 10
y − x =1
2 2
---- (4) = = 2 5
5
(1) - (2) 2 x = 16
2
-------------------------------------------------------------------------
x = ±2 2
แทน x = 2 2 จะได y = ±3
17) ตอบ 4
แทน x = −2 2 จะได y = ±3 ตองการสรางสมการวงรี ตองรู 2 อยาง
1) จุดศูนยกลาง (0, 0)
ดังนั้นหาระยะหางระหวาง p(3, 2 3) และ q(2 2,3)
2) คา a และ b
pq = (3 − 2 2) 2 + (2 2 − 3) 2
จากรูปคา b = 1 จะไดคา a = 12 + 12 = 2
= 2(3 − 2 2)
=3 2 −4
-------------------------------------------------------------------------
16) ตอบ 1
6. เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
Y
19) ตอบ 2
x, y > 0 ถา xy = yx และ y = 5x
F (0,1) จะได x (5 x ) = (5 x) x
a
Take log; log x (5 x ) = log(5 x) x
X
(5 x) log x = ( x) log 5 x
(−1, 0) b=1 (1, 0)
5(log x) = log 5 x
5(log x) = log(5) + log x
F (0, −1)
4(log x) = log 5
1
log x = log 5
4
1
( x − h) 2 ( y − k ) 2 log x = log 5 4
รูปมาตรฐาน + = 1 (วงรี รีตามแกน Y )
b2 a2 1
x2 y2 x = 54
+ =1
12 ( 2) 2 x ≈ 1.5
y2 -------------------------------------------------------------------------
x + 2
=1
2 20) ตอบ 1
จุดที่อยูบนวงรี คือจุดที่ไปแทนในสมการวงรีแลวทําใหสมการเปนจริง a, b, c > 1
2
⎛4⎞ log a d = 30, log b d = 50, log abc d = 15
⎜ ⎟
2
⎛1⎞ ⎝ 3⎠
พิจารณาตัวเลือก 4 ⎜ ⎟ + =1 1 1
log d a = , log d b = , log d abc =
1
⎝3⎠ 2 30 50 15
1 8
+ =1
9 9 log d a + log d b + log d c = log d abc
1 = 1 เปนจริง
------------------------------------------------------------------------- 1 1
+ + log d c =
1
30 50 15
18) ตอบ 3 1 1 1
log d c = − −
log 2 (4 − x) = log 2 (9 − 4 x) + 1 15 30 50
1
log 1 (4 − x) = log 2 (9 − 4 x) + log 2 2 log d c =
22 75
2 log 2 (4 − x) = log 2 (9 − 4 x)(2) log c d = 75
log 2 (4 − x) 2 = log 2 (18 − 8 x) -------------------------------------------------------------------------
(4 − x) 2 = (18 − 8 x)
21) ตอบ 4
A = [aij ]2 x 2 det A = 4
16 − 8 x + x 2 = 18 − 8 x
A − 3I เปนเมตริกซเอกฐานแสดงวา det( A − 3I ) = 0
x2 = 2
⎡a b ⎤
x = ± 2 ∈ [−2, 2) กําหนด A=⎢ ⎥
⎣c d ⎦
-------------------------------------------------------------------------
7. เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
จาก det A = 4 จะได ad − bc = 4 ---- (1) x = 1
⎡ a b ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ a − 3 b ⎤ ดังนั้น 1 2 3 1 2 3
+ + = + + = 0
A − 3I = ⎢ ⎥ − 3 ⎢0 1 ⎥ = ⎢ c
⎣c d ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ d − 3⎥
⎦ x y z 1 −1 3
det( A − 3I ) = (a − 3)(d − 3) − bc = 0 -------------------------------------------------------------------------
= ad − 3a − 3d + 9 − bc = 0
23) ตอบ 4
= (ad − bc) + 3a − 3d + 9 = 0 ---- (2)
⎡3 4⎤
2A − B = ⎢ − − − (1)
⎣3 6⎥
⎦
แทน ad − bc = 4 ใน (2) จะได
⎡ −1 2⎤
A + 2B = ⎢ − − − (2)
4 − 3a − 3d + 9 = 0 ⎣4 −2 ⎥
⎦
4 + 9 = 3a + 3d ⎡6 8⎤
4 A − 2B = ⎢ − − − (3)
12 ⎥
(1) x 2
3a + 3d = 13 ---- (2) ⎣6 ⎦
⎡ 5 10 ⎤ ⎡1 2 ⎤
(2) + (3) 5A = ⎢ ⎥ ; A=⎢ ⎥
⎡a b ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ a + 3 b ⎤ ⎣10 10 ⎦ ⎣2 2⎦
A + 3I = ⎢ ⎥ + 3 ⎢0 1 ⎥ = ⎢ c
⎣c d ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ d + 3⎥
⎦ ⎡1 2 ⎤
แทน ; A = ⎢ ⎥ ใน (1)
⎣2 2⎦
ตองการหา det( A + 3I )
det( A + 3I ) = (a + 3)(d + 3) − bc ⎡1 2⎤ ⎡3 4 ⎤
2⎢ ⎥ − B = ⎢3 6 ⎥
⎣2 2⎦ ⎣ ⎦
= ad + 3a + 3d + 9 − bc
= (ad − bc) + (3a + 3d ) + 9 ⎡ 1 2 ⎤ ⎡3 4 ⎤
B = 2⎢ ⎥−⎢ ⎥
แทนคา ad − bc = 4 และ 3a + 3d = 13 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣3 6 ⎦
= 4 + 13 + 9
= 26 ⎡ −1 0 ⎤
B=⎢ ⎥
------------------------------------------------------------------------- ⎣ 1 −2 ⎦
22) ตอบ 1
⎡1 2 ⎤ ⎡ −1 0 ⎤ 1 −4 ⎤
x, y , z ∈ ดังนั้น AB = ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎡
⎢ ⎥
⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 1 −2 ⎦ ⎣ 0 −4 ⎦
2x − 2 y − z = 1 − − − (1)
x − 3y + z = 7 − − − (2) ⎡ −4 4 ⎤
1
( AB ) −1 =
− x + y − z = −5 − − − (3) 1(−4) − (−4)(0) ⎢ 0 1 ⎥
⎣ ⎦
(2) + (3) −2 y = 2 ; y = −1
−2 x + 2 y − 2 z = −10 − − − (4) ⎡ 1 −1 ⎤
(3) x 2 1 ⎡ −4 4 ⎤ ⎢
1⎥
−1
( AB) = ⎢ 0 1⎥ = ⎢
(1) + (4) −3 z = −9 ; z =3 −4 ⎣ ⎦ 0 − ⎥
⎣ 4⎦
แทนคา y = −1 และ z =3 ใน (1) -------------------------------------------------------------------------
2 x − 2(−1) − (3) = 1 24) ตอบ 4
8. เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
กําหนด u และ v เปนเวคเตอร 1 หนวย จะได | u |=| v |= 1 = | i + 2−i |
และ 3u + v ตั้งฉากกับ u + 3v =2
1
จะไดวา (3u + v ).(u + 3v ) = 0 กรณีแทน z 2 = −i = |( − i ) + 2 +
(−i )
|
3 | u |2 +9u .v + u .v + 3 | v |2 = 0 = | −i + 2+i |
3(1) + 10u .v + 3(1) = 0 =2
10u .v = −6 -------------------------------------------------------------------------
และ | 5u − v |2 = 25 | u |2 −10u.v + | v |2
| 5u − v |2 = 25(1) − (−6) + (1) 27) ตอบ 1
| 5u − v |2 = 32 กําหนด z1 = a + bi , z2 = c + di
| 5u − v |= 4 2 จาก | z1 + z2 |= 3 จะได | (a + bi ) + (c + di) |= 3
------------------------------------------------------------------------- | (a + c) + (b + d )i |= 3
25) ตอบ 2 (a + c) 2 + (b + d ) 2 = 9
กําหนด | u.v |≠| u || v | a 2 + 2ac + c 2 + b 2 + 2bd + d 2 = 9 − − −(1)
จาก u .v =| u || v | cos θ แสดงวา cos θ ≠ 1
จะไดวา u ไมขนานกับเวคเตอร v จาก z1 z2 = 3 + 4i จะได (a + bi )(c − di ) = 3 + 4i
a (v − 2u ) + 3u = b(2u + v ) ac − adi + bci − bdi 2 = 3 + 4i
av − 2au + 3u = 2bu + bv ac − adi + bci − bd (−1) = 3 + 4i
(−2a + 3 − 2b)u = (b − a)v (ac + bd ) + (bc − ad )i) = 3 + 4i
จะไดวา −2a + 3 − 2b = 0 − − − (1)
ดังนั้น ac + bd = 3 − − −(2)
b−a =0 − − − (2) และ bc − ad = 4 − − −(3)
จาก (2) จะได b = a และ แทน b = a ใน (1)
จาก (1) จะได a 2 + c 2 + b 2 + d 2 = 9 − 2(ac + bd )
−2 a + 3 − 2 a = 0
−4a = −3 แทน ac + bd = 3 ; a 2 + c 2 + b 2 + d 2 = 9 − 2(3)
3
a= a 2 + c2 + b2 + d 2 = 3
4
-------------------------------------------------------------------------
ตองการหา | z1 |2 + | z2 |2 = | (a + bi) |2 + | (c + di) |2
26) ตอบ 2
จาก z4 +1 = 0 = ( a 2 + b 2 ) + (c 2 + d 2 )
( z 2 − i )( z 2 + i ) = 0 =3
z = ±i 2 -------------------------------------------------------------------------
1 2
| z + | = | z2 + 2 + 2 |
1 28) ตอบ 3
z z
1 สมการวัตถุประสงค P = 5 x + 4 y
กรณีที่ 1 แทน z 2 = i = |(i ) + 2 + |
(i ) สมการเงื่อนไข x + y ≤ 40
9. เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
3x + 2 y ≤ 60 แสดงวา an ตองอยูในรูป 5n + k
x ≥ 0, y ≥ 0 จาก an = 5n + k
a7 = 5(7) + k
หาจุดตัดแกน X (แทนคา y = 0 )
50 = 5(7) + k
หาจุดตัดแกน Y (แทนคา x = 0 ) k = 15
หาจุดตัดของเสนตรง 2 เสน คือการแกสมการเชิงเสนสองตัว ดังนั้น an = 5n + 15
แปร a100 = 5(100) + 15 = 515
-------------------------------------------------------------------------
Y
30) ตอบ 4
(0,30) ⎛ 2n k ⎞
A = lim ⎜
n →∞ 1 + 8 + 27 + .. + n 3 ⎟
เปนจํานวนจริงบวก
⎝ ⎠
(0, 20) (10,15) ⎛ ⎞
⎜ k ⎟
X ⎜ 2n ⎟
A = lim
n →∞ ⎜
⎡ n(n + 1) ⎤ ⎟
2
(20, 0) (40, 0) ⎜⎢ ⎥ ⎟
⎝⎣ 2 ⎦ ⎠
x + 2 y = 40 ⎛ 8n k
A = lim ⎜ 2
⎞
2 ⎟
3 x + 2 y = 60 n →∞ n ( n + 1)
⎝ ⎠
⎛ 8n k ⎞
P = 5x + 4 y
A = lim ⎜ 4
n →∞ n + 2n + n
3 2 ⎟
จะได k=4
⎝ ⎠
(0, 20) P = 5(0) + 4(20) = 80 A=8
(10,15) P = 5(10) + 4(15) = 110 -------------------------------------------------------------------------
(20, 0) P = 5(20) + 4(0) = 100 31) ตอบ 3
คาสูงสุดของ P คือ 110 ∞
1
∑n − n2
4
=A
------------------------------------------------------------------------- n=2
∞
1
29) ตอบ 2 ∑ (n2 − 1)n2 = A
n=2
an เปนลําดับเลขคณิต ∞
⎡ 1 1⎤
a9 + a5 = 100 ∑ ⎢ (n2 − 1) − n2 ⎥ = A
n=2 ⎣ ⎦
(a7 + 2d ) + (a7 − 2d ) = 100 ∞
1 ∞
1
2a7 = 100 ∑ (n2 − 1) − ∑ n2 = A
n=2 n=2
a7 = 50 ∞
1 ∞
1
∑ (n − 1)(n + 1) − ∑ n2 = A
n=2 n=2
an − a1 ∞ ∞
และ )=5 1 1
lim(
n →∞ n ∑ n2 = ∑ (n − 1)(n + 1) − A
n=2 n=2
a a
lim( n ) − lim( 1 ) = 5
n →∞ n n →∞ n
พิจารณา
∞
1
a
lim( n ) = 5 =∑
n →∞ n n = 2 ( n − 1)( n + 1)
10. เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
1 1 1 1 1 1
= + + + + + + ...
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8
⎡ 1 1 1 ⎤ ⎡ 1 1 1 ⎤
33) ตอบ 4
=⎢ + + + ...⎥ + ⎢ + + + ...⎥
⎣1.3 3.5 5.7 ⎦ ⎣ 2.4 4.6 6.8 ⎦ f (1) = g (1) = h(1) =1 และ f '(1) = g '(1) = h '(1) = 2
1 ⎡1 ⎤ 1 ⎡1⎤ ( fg + h) '( x) = ( fg ) '( x) + h '( x)
= ⎢1 ⎥ + (4 − 2) ⎢ 2 ⎥
(3 − 1) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= [ f ( x) g '( x) + g ( x) f '( x)] + h '( x)
1 1 3
= (1 + ) =
2 2 4 ( fg + h) '(1) = ( f (1) g '(1) + g (1) f '(1)) + h '(1)
= [(1)(2) + (1)(2)] + (2)
=6
-------------------------------------------------------------------------
∞ ∞
จาก ∑ 12 = ∑ 1
−A
n n=2 (n − 1)(n + 1)
n=2
∞
1 3
∑n
n=2
2
=
4
−A
34) ตอบ 4
------------------------------------------------------------------------- y = 2 x3 −
1
x
32) ตอบ 2 1
กําหนด f '( x) = 3x 2 + x − 5 , f (0) = 1 แทน x = 1; ได y = 2(1)3 − =1
1
จาก ∫ f '( x)dx = ∫ (3x + x − 5)dx
2
f ( x) = 2 x − x
3
−
1
2
2
x 1 −3
f ( x) = x3 + − 5x + c f '( x) = 6 x 2 − (− ) x 2
2 2
(0) 2 1 −3
แทน x = 0 ; f (0) = (0)3 + − 5(0) + c f '( x) = 6 x + x 2
2
2 2
1= c 1 − 3 13
แทน x = 1; f '(1) = 6(1) + (1) 2 = 2
x2 2 2
ดังนั้น f ( x) = x + − 5 x + 1
3
2 ดังนั้นเสนสัมผัสเสนโคงมีความชัน = 13
1 1
x 2 2
∫1 f ( x)dx = −∫1 ( x + 2 − 5 x + 1)dx
3
−
=
x 4 x3 5 x 2
+ − +x
1 เสนตรงที่ตองการซึ่งตั้งฉากจะมีความชัน = − 2
4 6 2 −1 13
และผานจุด (1,1)
⎡ (1) 4 (1)3 5(1) 2 ⎤
=⎢ + − + (1) ⎥ สรางสมการเสนตรง y − y1 = m( x − x1 )
⎣ 4 6 2 ⎦
2
⎡ (−1) (−1) 5(−1) 2
4 3
⎤ y − 1 = − ( x − 1)
−⎢ + − + (−1) ⎥ 13
⎣ 4 6 2 ⎦
13 y − 13 = −2 x + 2
⎡1 1 1 1 5 5 ⎤
= ⎢ − + − (− ) − − (− ) + 1 − (−1) ⎥
⎣4 4 6 6 2 2 ⎦ 2 x + 13 y − 15 = 0
=
7 -------------------------------------------------------------------------
3
35) ตอบ 2
-------------------------------------------------------------------------
ตองการสรางเลขคู 4 หลัก จากเลขโดด 0,1, 2,3, 7,8