นำความรู้เรื่อง ลำดับและอนุกรมไปใช้

2. ดอกเบี้ยทบต้น
คือ การนาดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นไปรวมกับเงินต้น
เพื่อนามาเป็นเงินต้นของงวดถัดไป ซึ่งจะเรียก
ว่า เงินรวม
(Compound Interest)

3. รูปแบบของเงินรวม เมื่อเงินต้น P บาท คิดอัตราดอกเบี้ย
แบบทบต้นต่องวด i % คิดทั้งหมด n งวด ดังนี้
เงินรวมสิ้นงวดที่ 1 คือ 𝑨 𝟏 = 𝐏 + 𝐏𝐢 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)
เงินรวมสิ้นงวดที่ 2 คือ 𝑨 𝟐 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 + 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐢 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝟐
เงินรวมสิ้นงวดที่ 3 คือ 𝑨 𝟑 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝟐+𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐢 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝟑
เงินรวมสิ้นงวดที่ n คือ 𝑨 𝒏 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝒏−𝟏
+𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐢= 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐧
สูตรการหาเงินรวมแบบดอกเบี้ยทบต้น คือ 𝐀 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐧

4. สูตรการหาเงินรวมแบบดอกเบี้ยทบต้น คือ 𝐀 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐧
เมื่อ A แทนเงินรวมทั้งหมด
P แทนเงินต้น
i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด
n แทนจานวนงวดที่คิดดอกเบี้ยทบต้น

5. ตัวอย่างที่ 1 ชะเอมฝากเงินกับธนาคารเป็นจานวนเงิน 50,000 บาท ซึ่งธนาคาร
ให้อัตราดอกเบี้ย 2.5 % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน เมื่อเวลา
ผ่านไป 2 ปี ชะเอมจะได้รับดอกเบี้ยทั้งหมดเท่าไร
วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 50,000 , i =
𝟐.𝟓%
𝟒
= 0.625% , n = 8 งวด
A = P(1 + i)n
จากสูตร
A = 50,000 1 +
0.625
100
8
= 50,000 1 + 0.00625 8
≈ 52,555.38
ดังนั้น เมื่อฝากเงินครบ 2 ปี ชะเอมจะได้รับดอกเบี้ยทั้งหมดประมาณ
52,555.38 − 50,000 = 2,555.38 บาท

6. ตัวอย่างที่ 2 แอมฝากเงินกับธนาคารเป็นจานวนเงิน 100,000 บาท เมื่อเวลา
ผ่านไป 2 ปี แอมได้ตรวจสอบเงินในบัญชีแล้วพบว่า ในบัญชีมีเงินประมาณ
106,152.02 บาท ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 4 เดือน อยาก
ทราบว่าธนาคารให้อัตราดอกเบี้ยเท่าไรต่อปี
วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 100,000 , A = 106,152.02 , n = 6 งวด
A = P(1 + i)n
จากสูตร
106,152.02 = 100,000 1 + i 6
1 + i 6
= 1.0615
1 + i ≈ 1.0100
ดังนั้น ธนาคารให้อัตราดอกเบี้ยประมาณ 0.0100 x 3 x 100% = 3%
i ≈ 0.0100

7. มอบหมายงาน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 3 เรื่อง
ดอกเบี้ยทบต้น

8. มูลค่าของเงิน
เมื่อเวลาเปลี่ยน ค่าของเงินจะมีการเปลี่ยนแปลง
(Value of Money)
แบ่งเป็น – มูลค่าปัจจุบัน (present value)
– มูลค่าอนาคต (future value)
เช่น นักเรียนซื้อเครื่องคิดเลขราคา 1,000 บาท ถ้านักเรียน
จ่ายตอนสิ้นเดือน จะต้องจ่ายเงิน 1,100 บาท ซึ่งเงิน 1,000
บาท จะเรียกว่า มูลค่าปัจจุบัน และเงิน 1,100 บาท จะเรียกว่า
มูลค่าอนาคต

9. แสดงมูลค่าของเงิน ณ เวลาใด ๆ ด้วย เส้นเวลา
100 100 100 100 100
. . .
100
เวลา
0 1 2 3 4 n. . .
สิ้นปีที่ 0 หรือต้นปีที่ 1
สิ้นปีที่ 1 หรือต้นปีที่ 2
สิ้นปีที่ 2 หรือต้นปีที่ 3 สิ้นปีที่ n
ตัวเลขด้านบนแสดงถึงจุดสิ้นสุดของเวลา(งวด)ที่เกี่ยวข้อง
ตัวเลขด้านล่างแสดงถึงมูลค่าของเงินที่เกิดขึ้น ณ เวลานั้น
หมายเหตุ งวดเวลาจะเป็นปี เดือน หรือวัน ก็ได้

10. พิจารณาข้อความดังนี้ ทรายฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่งจานวน 15,000 บาท
ซึ่งธนาคารให้อัตราดอกเบี้ย 1.8% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกปี เป็นระยะ
เวลา 4 ปี
เมื่อฝากเงินครบ 1 ปี จะมีเงินรวมเท่ากับ 15,000(1+0.018) = 15,270 บาท
เมื่อฝากเงินครบ 2 ปี จะมีเงินรวมเท่ากับ 15,000(1 + 0.018)2
= 15,544.86 บาท
เมื่อฝากเงินครบ 3 ปี จะมีเงินรวมเท่ากับ 15,000(1 + 0.018)3= 15,824.67 บาท
เขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างมูลค่าปัจจุบันกับมูลค่าอนาคตได้ ดังนี้
𝐅𝐕 = 𝐏𝐕(𝟏 + 𝐢) 𝐧
เมื่อ FV แทนมูลค่าอนาคต
PV แทนมูลค่าปัจจุบัน
i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด
n แทนจานวนงวดเวลา
หรือ 𝐏𝐕 = 𝐅𝐕 𝟏 + 𝐢 −𝐧

11. ตัวอย่างที่ 1 ป่านฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่งซึ่งให้อัตราดอกเบี้ย 2.5% ต่อปี
โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน ถ้าป่านต้องการให้มีเงินในบัญชี 250,000
บาท ในอีก 4 ปีข้างหน้า ป่านต้องฝากเงินต้นเท่าไร
วิธีทา จากโจทย์กาหนด FV = 250,000 , i =
𝟐.𝟓%
𝟐
= 1.25% , n = 8 งวด
เขียนเส้นเวลาแสดงจานวนเงินฝาก ดังนี้
250,000(1 + 0.0125)−8
. . .
250,00
0 1 2 3 8
PV = FV(1 + i)−n
จากสูตร
PV = 250,000 1 + 0.0125 −8
≈ 226,349.61
จะได้
ดังนั้น ป่านต้องฝากเงินต้นประมาณ 226,349.61 บาท

12. ตัวอย่างที่ 2 เอกเป็นสมาชิกของสหกรณ์ออมทรัพย์และได้กู้เงินจากสหกรณ์
ออมทรัพย์จานวน 2 ยอด ซึ่งยอดแรกต้องชาระคืน 28,654.56 บาท ในอีก 2 ปี
ข้างหน้า และยอดที่สองต้องชาระคืน 39,267.27 บาท ในอีก 3 ปีข้างหน้า ถ้า
สหกรณ์ออมทรัพย์คิดอัตราดอกเบี้ย 6.9 % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก
4 เดือน ให้หาจานวนเงินทั้งหมดที่เอกกู้จากสหกรณ์ออมทรัพย์
วิธีทา จากโจทย์กาหนด เวลา 2 ปี : FV = 28,654.56 , I = 6.9% , n = 6 งวด
เวลา 3 ปี : FV = 39,267.27 , I = 6.9% , n = 9 งวด
28,654.56(1 + 0.023)−6
39,267.27
0 1 2 3
28,654.56
39,267.27(1 + 0.023)−9

13. ยอดที่ 1 เนื่องจาก FV = 28,654.56 , i =
𝟔.𝟗%
𝟑
= 2.3% = 0.023 , n = 6 งวด
PV = FV(1 + i)−nจากสูตร
PV = 28,654.56 1 + 0.023 −6
≈ 25,000
จะได้
ดังนั้น เอกกู้เงินจากสหกรณ์ออมทรัพย์ทั้งหมดประมาณ
25,000 + 32,000 = 57,000 บาท
ยอดที่ 2 เนื่องจาก FV = 39,267.27 , i =
𝟔.𝟗%
𝟑
= 2.3% = 0.023 , n = 9 งวด
PV = FV(1 + i)−nจากสูตร
PV = 39,267.27 1 + 0.023 −9
≈ 32,000
จะได้

14. มอบหมายงาน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 3 เรื่อง
มูลค่าของเงิน

15. ค่ารายงวด
หมายถึง การจ่ายเงินหรือฝากเงินเป็นงวด ๆ ติดต่อกันหลายงวด
(Annuity)
แต่ละงวดมีระยะเวลาห่างเท่า ๆ กัน เช่น การซื้อสินค้าเงินผ่อน
การออมเงินแบบฝากประจากับธนาคาร

16. มูลค่าในอนาคตของค่ารายงวดสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ
1. ค่ารายงวด ณ ตอนปลายงวด หมายถึง มูลค่ารวมในอนาคตของ
ค่ารายงวด ซึ่งเท่ากับผลรวมของค่ารายงวดแต่ละงวด ทบต้นด้วย
ดอกเบี้ยตามระยะเวลา
เขียนเส้นเวลาแสดงค่ารายงวด ณ ตอนปลายงวดได้ ดังนี้
A A A
0 1 2 n. . .
A
n-1
A(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟐
A(1+i)
...
A(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟏

17. เงินปลายงวดที่ 1 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-1 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟏
เงินปลายงวดที่ 2 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-2 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟐
เงินปลายงวดที่ 3 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-3 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟑
เงินปลายงวดที่ n คิดดอกเบี้ยทบต้น 0 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀
เงินรวมทั้งหมด A + A(1+i) + + + . . . +A(1 + i)2 A(1 + i)3
A(1 + i)n−1
สรุป สูตรเงินรวมทั้งหมด =𝐅𝐕𝐀 𝐧 =
เมื่อ FVAn แทนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นงวดที่ n
A แทนจานวนเงินที่ได้รับหรือจ่ายแต่ละงวด
i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด
n แทนจานวนงวดเวลา
𝐀 𝟏− 𝟏+𝐢 𝐧
𝟏−(𝟏+𝐢)
A
(𝟏+𝐢) 𝐧−𝟏
𝐢

18. ตัวอย่างที่ 1 เปาวลีฝากเงิน 3,000 บาท กับธนาคารแห่งหนึ่งทุกสิ้นเดือนเป็นเวลา
2 ปี ซึ่งธนาคารให้อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน
เมื่อสิ้นปีที่ 2 เปาวลีจะได้รับเงินทั้งหมดเท่าไร
วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 3,000 , i = 3
12 x 100
= 0.0025 , n = 24 งวด
เขียนเส้นเวลาแสดงจานวนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นปีที่ 2 ได้ ดังนี้
3,000
0 1 2 24
. . . 23
3,000(1.0025)22
3,000(1.0025)
...
3,000 3,000 3,000
3,000(1.0025)23
จะได้ FVA24 = 3,000 + 3,000 1.0025 + + … +3,000(1.0025)2 3,000(1.0025)23
ดังนั้น FVAn = ≈ 74,108.453,000
(1.0025)24
−1
0.0025
นั่นคือ เมื่อสิ้นปีที่ 2 เปาวลีจะได้รับเงินทั้งหมดประมาณ 74,108.45 บาท
. . .

19. 2. ค่ารายงวด ณ ตอนต้นงวด หมายถึง มูลค่ารวมในอนาคตที่เกิดขึ้น
ณ ตอนต้นงวด โดยจะเกิดขึ้นเร็วกว่ากรณีที่เกิด ณ ตอนปลายงวด
มีผลทาให้ค่ารายงวดมีการทบต้นดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นอีก 1 งวด
เขียนเส้นเวลาแสดงค่ารายงวด ณ ตอนต้นงวดได้ ดังนี้
A A
0 1 2 n. . .
A
n-1
A(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟐
A(1+i)
...
A(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟏
A
A(𝟏 + 𝐢) 𝐧

20. เงินต้นงวดที่ 1 คิดดอกเบี้ยทบต้น n ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧
เงินต้นงวดที่ 2 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-1 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟏
เงินต้นงวดที่ 3 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-2 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟐
เงินต้นงวดที่ n คิดดอกเบี้ยทบต้น 1 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢)
เงินรวมทั้งหมด A(1+i) + + + . . . +A(1 + i)2 A(1 + i)3 A(1 + i)n
สรุป สูตรเงินรวมทั้งหมด =𝐅𝐕𝐀 𝐧 =
เมื่อ FVAn แทนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นงวดที่ n
A แทนจานวนเงินที่ได้รับหรือจ่ายแต่ละงวด
i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด
n แทนจานวนงวดเวลา
𝐀(𝟏+𝐢) 𝟏− 𝟏+𝐢 𝐧
𝟏−(𝟏+𝐢)
A(1+i)
(𝟏+𝐢) 𝐧−𝟏
𝐢

21. ตัวอย่างที่ 2 คีตาฝากเงิน 10,000 บาท กับธนาคารแห่งหนึ่งทุกต้นปี ซึ่งธนาคาร
ให้อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี ให้หาเงินรวมทั้งหมด
ของคีตาเมื่อสิ้นปีที่ 4
วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 10,000 , i = 3
100
= 0.03 , n = 4 งวด
เขียนเส้นเวลาแสดงจานวนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นปีที่ 2 ได้ ดังนี้
0 1 2
10,000(1.03)2
10,000(1.03)
จะได้ FVA4 = 10,000 1.03 + + +
ดังนั้น FVA4 = ≈ 43,091.3610,000 1.03
(1.03)4
−1
0.03
นั่นคือ เมื่อสิ้นปีที่ 4 คีตาจะได้เงินรวมทั้งหมดประมาณ 43,091.36 บาท
10,000
3 4
10,000 10,000 10,000
10,000(1.03)3
10,000(1.03)4
10,000 1.03 2 10,000(1.03)3 10,000(1.03)4

22. มอบหมายงาน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 3 เรื่อง
ค่ารายงวด