Aljabar Linear Elementer FMIPA Universitas Padjadjaran

1. ALJABAR LINEAR
12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 1

2. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 2
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen

3. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 3
REFERENSI :
• Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear Algebra :
Applications Version, 6th edition, John Willey and Sons,
New York
• Arifin, A., 2001, Aljabar Linear, edisi kedua, Penerbit ITB,
Bandung
• Durbin, J. R., 1992, Modern Algebra : An Introduction, 3rd
edition, John Willey and Sons, Singapore
• Kreyszig E., , 1993, Advanced Enginereeng Mathematics, 8th
edition, John Willey & Sons, Toronto
• Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya,
terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta

4. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 4
Sistem Penilaian
UTS 30%
UAS 30%
Quis 20%

5. Nilai Mutu
Nilai Indeks
x  80 A
68  x < 80 B
56  x < 68 C
45 x < 56 D
x < 45 E
12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 5

6. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 6
1. Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan
– Matriks dan Jenisnya
– Operasi Matriks
– Operasi Baris Elementer
– Matriks Invers (Balikan)
Beberapa Aplikasi Matriks
 Representasi image (citra)
 Chanel/Frequency assignment
 Operation Research
 dan lain-lain.

7. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 7
1. Matriks dan Jenisnya
Notasi Matriks
Matriks A berukuran (Ordo) mxn















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211 Baris pertama
Kolom kedua
Unsur / entri /elemen ke-mn
(baris m kolom n)

8. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 8
Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama
A dan B dikatakan sama (notasi A = B)
jika
aij = bij untuk setiap i dan j
Jenis-jenis Matriks
• Matriks bujur sangkar (persegi)
 Matriks yang jumlah baris dan jumlah
kolomnya adalah sama (n x n)
Contoh :











210
121
012
B Unsur diagonal

9. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 9
Matriks segi tiga
Ada dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan
bawah.
• Matriks segi tiga atas
 Matriks yang semua unsur dibawah unsur
diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol.
• Matriks segi tiga bawah
 Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonal
pada kolom yang bersesuaian adalah nol.











800
710
395
E











203
015
002
F

10. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 10
• Matriks Diagonal
 Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur
yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.
• Matriks satuan (Identitas)
 Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya
adalah satu.











100
020
003
D











100
010
001
I

11. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 11
• Transpos Matriks
Matriks transpos diperoleh dengan menukar
baris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya.
Notasi At (hasil transpos matriks A)
Contoh :
maka
Jika matriks A = At maka matriks A dinamakan
matriks Simetri.
Contoh :











01-
2-3
12
A 






02-1
1-32t
A







31
12
A

12. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 12
2. Operasi Matriks
Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :
1. Penjumlahan Matriks
2. Perkalian Matriks
• Perkalian skalar dengan matriks
• Perkalian matriks dengan matriks
3. Operasi Baris Elementer (OBE)

13. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 13
• Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat
dijumlahkan
Contoh
a.
+
b.
+






dc
ba






hg
fe









hdgc
fbea






43
21






87
65







10
6 8
12

14. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 14
Perkalian Matriks
• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
=
• Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn
Syarat : A X B  haruslah q = m
hasil perkalian AB berordo pxn
B X A  haruslah n = p
hasil perkalian BA berordo mxq
Contoh :
Diketahui
dan






sr
qp
k 





skrk
qkpk
32x
fed
cba
A 






23x
ur
tq
sp
B












15. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 15
Maka hasil kali A dan B adalah :
Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran sama
dan ,  merupakan unsur bilangan Riil,
Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :
1. A + B = B + A
2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
3.  ( A + B ) = A + B
4. ( +  ) ( A ) = A + A
























23
32
x
x
ur
tq
sp
fed
cba
AB
ap+bq+cr
dp+eq+fr
as+bt+cu
ds+et+fu
2x2

16. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 16











01-
2-3
12
A
Contoh :
Diketahui matriks :
Tentukan
a. A At
b. At A

17. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 17
Jawab :







02-1
1-32t
A
maka











01-
2-3
12
t
AA 





02-1
1-32
sedangkan










01-
2-3
12







02-1
1-32
AAt






















5
4
-2
13
-2
-3
1-3
4
-4
-4 5
14

18. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 18
• Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris
yang lain.
Contoh : OBE 1











420
321
1-2-3-
A











420
1-2-3-
321
~21 bb
Baris pertama (b1) ditukar
dengan baris ke-2 (b2)

19. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 19
OBE ke-2
¼ b1 ~
OBE ke-3











311-2
7120
4-04-4
A










311-2
7120
1-01-1
Perkalian Baris pertama (b1)
dengan bilangan ¼











311-2
7120
1-01-1
A










 7120
1-01-1
~2 31 bb
Perkalian (–2) dengan b1 lalu
tambahkan pada baris ke-3 (b3)
0 1 1 5

20. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 20
• Beberapa definisi yang perlu diketahui :
– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena
pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris
ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris
masing-masing.
– Bilangan 1 (pada baris pertama kolom pertama)
dinamakan satu utama.
– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur
pada baris ke-3 adalah nol.









 

0000
1300
3111
B

21. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 21
Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1
(dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah
memuat 1 utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),
maka ia diletakkan pada baris paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur
yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika
dipenuhi sifat 1, 2, dan 3
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika
dipenuhi semua sifat

22. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 22
Contoh :
Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari
Jawab :











311-2
7120
1-01-1
A










 7120
1-01-1
2~ 31 bbA











1-01-1
~ 32 bb
0 1 1 5
0 1 1 5
0 2 1 7

23. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 23










 5110
1-01-1
2~ 32 bbA










 5110
1-01-1
~3b











3100
1-01-1
~23 bb











3100
201012 bb
0 0 -1 -3
00 1 3
0 2
0
1
1 0 1
0

24. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 24
Perhatikan hasil OBE tadi :
Setiap baris mempunyai satu utama.
Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah
baris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)










3100
2010
1001

25. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 25
Invers Matriks
Misalkan A adalah matriks bujur sangkar.
B dinamakan invers dari A jika dipenuhi
A B = I dan B A = I
Sebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.
Notasi A = B-1
Cara menentukan invers suatu matriks A adalah
 1
| 
AI IA|
OBE
~
Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriks
identitas maka A dikatakan tidak punya invers

26. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 26
Contoh :
Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :
Jawab :
b1↔b2
~













122
011
123
A












100
010
001
122
011
123












100
001
010
122
123
011









 010011
-3b1+b2
2b1+b3
0 -1 1
00 21 1
0
0
-1 -3

27. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 27
-b2
-b3+ b2
-b2+ b1
Jadi Invers Matriks A adalah










120
010
100
011










120
010
100
011











120
111
100
010











120
031
010
100
110
011











120
111
101
1
A
1 1 -1 3 00
10 0 1-1 -1
111 0 0 0

28. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 28
• Perhatikan bahwa :
dan
maka











120
111
101
1
A













122
011
123
A






















120
111
101
210
121
012
1
AA











100
010
001

29. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 29
11 
A
k
Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :
i. (A-1)-1 = A
ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers
maka (A . B)-1 = B-1 . A-1
iii. Misal k  Riil maka (kA)-1 =
iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n

30. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 30
Latihan
Diketahui
, dan
Tentukan (untuk no 1 – 4) matriks hasil operasi berikut ini :
1. AB
2. 3CA
3. (AB)C
4. (4B)C + 2C











11
21
03
A 




 

20
14
B 






513
241
C

31. 12/07/2018 6:48 Aljabar Linear Elementer 31
Untuk Soal no. 5 – 7, Diketahui :
dan
5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)
6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A,
B, C, D, dan E
7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)











210
121
012
D













144
010
023
E