Matriks Teknik

Matematika Teknik I:
Matriks, Inverse, dan Determinan
Oleh:
Dadang Amir Hamzah, S.Si., M.Si.
STT DR. KHEZ MUTTAQIEN
2012
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 1 / 33

Outline
1 Matriks

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi

Deﬁnisi Matriks
Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom
berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks
dinamakan entri.

Deﬁnisi Matriks
dinamakan entri.
Berikut ini adalah contoh Matriks


1 2
3 0
−1 4

 , 2 1 0 −3 ,


e π −
√
2
0 1
2 1
0 0 0

 , (4).

Deﬁnisi Matriks
dinamakan entri.


1 2
3 0
−1 4

 , 2 1 0 −3 ,


e π −
√
2
0 1
2 1
0 0 0

 , (4).
Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam
suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo
matriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatas
ordo matriksnya adalah 3 × 2, 2 × 1, 3 × 3, dan 1 × 1.

Deﬁnisi Matriks
dinamakan entri.


1 2
3 0
−1 4

 , 2 1 0 −3 ,


e π −
√
2
0 1
2 1
0 0 0

 , (4).
Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam
suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo
matriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatas
ordo matriksnya adalah 3 × 2, 2 × 1, 3 × 3, dan 1 × 1.
Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besar
dan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakan
huruf kecil.

Deﬁnisi Matriks
Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya
ditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn














A =

Deﬁnisi Matriks
Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya
ditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn














A =
Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudian
bagian berwarna merah dinamakan diagonal utama.

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi

Penjumlahan dan Pengurangan
Deﬁnisi
Jika A dan B adalah matriks berukuran sama maka penjumlahan
A + B adalah matriks yang didapat dari menjumlahakan entri-entri
matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Pengurangan
matriks A − B adalah matriks yang didapat dari mengurangkan
entri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Matriks
yang berukuran beda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Tentukan A + B dan A − B dari
A =


2 1 0 3
−1 0 2 4
4 −2 7 0

 B =


−4 3 5 1
2 2 0 −1
3 2 −4 5



Perkalian Skalar
Deﬁnisi
Misalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang
skalar. Perkalian cA adalah matriks yang didapat dari mengalikan
setiap entri matriks A dengan c. Matriks cA disebut perkalian skalar
dari matriks A.
Jika c = −1 dan A =


2 1 0
−1 0 2
4 −2 7

 tentukan cA

Perkalian Matriks
Deﬁnisi
Misalkan A adalah matriks berukuran m × r dan B adalah matriks
berukuran r × n. Perkalian matriks AB adalah matriks berukuran
m × n. Entri ke aij pada matriks AB didapat dengan cara mengalikan
entri dari baris ke i pada matriks A dengan entri yang seletak di kolom
ke j pada matriks B kemudian jumlahkan semua hasil perkaliannya.
Perkalian matriks A dan B terdeﬁnisi jika dan hanya jika banyak
kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B.
Ordo dari matriks hasil perkalian AB adalah banyaknya baris
pada matriks A × banyaknya kolom pada matriks B.

Perkalian Matriks
Perhatikan matriks berikut
A =
1 2 4
2 6 0
, B =


4 1 4 3
0 −1 3 1
2 7 5 2



Perkalian Matriks
A =
1 2 4
2 6 0
, B =


4 1 4 3
0 −1 3 1
2 7 5 2


Perkalian matriks AB terdeﬁnisi karena banyaknya kolom pada
matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena
A berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4.

Perkalian Matriks
A =
1 2 4
2 6 0
, B =


4 1 4 3
0 −1 3 1
2 7 5 2


Misalkan
AB =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke j
kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1
dan j = 2 maka a12 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.

Perkalian Matriks
A =
1 2 4
2 6 0
, B =


4 1 4 3
0 −1 3 1
2 7 5 2


Misalkan
AB =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke j
kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1
dan j = 2 maka a12 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.
Tentukan semua entri matriks AB?

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi

Transpos Matriks
Deﬁnisi
Misalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks A
ditulis At adalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan dari
menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama
At adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolom
kedua A dan seterusnya.

Transpos Matriks
Deﬁnisi
Jika A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 maka At =


a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33



Transpos Matriks
Deﬁnisi
Jika A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 maka At =


a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33


Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut
A =


1 2
3 0
−1 4

 , B = 2 1 0 −3 , C =


e π −
√
2
0 1
2 1
0 0 0

 ,

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi

Pengertian Inverse Matriks
Deﬁnisi
Misalkan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama. Jika
AB = BA = I maka A disebut dapat diinverskan atau invertibel dan B
adalah inverse dari A. Jika tidak ada matriks B yang memenuhi maka
A dikatakan matriks singular atau tidak punya inverse.
Inverse dari matriks A ditulis A−1.
I disebut Matriks Identitas. Matriks identitas dapat juga ditulis
sebagai In. Berikut ini adalah contoh matriks identitas
I2 =
1 0
0 1
, I3 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 , In





1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
...
...
0 0 . . . 1






Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1
=
1
det (A)
(Adj(A))

A−1
=
1
det (A)
(Adj(A))
Contoh: Misalkan A =
a b
c d
maka A−1 = 1
ad−bc
d −b
−c a
.

A−1
=
1
det (A)
(Adj(A))
a b
c d
maka A−1 = 1
ad−bc
d −b
−c a
.
Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dari
A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka
solusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.

A−1
=
1
det (A)
(Adj(A))
a b
c d
maka A−1 = 1
ad−bc
d −b
−c a
.
Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) = 0.

A−1
=
1
det (A)
(Adj(A))
a b
c d
maka A−1 = 1
ad−bc
d −b
−c a
.
Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) = 0.
Bandingkan solusi dari SPL
x + 2y = 5
2x + y = 1
dengan metode substitusi dan inverse.

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi

Pengertian Determinan
Deﬁnition
Misalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudian
A ∈ M. Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakan
An×n ke bilangan x ∈ R. Determinan dari matriks yang tidak persegi
tidak dideﬁnisikan.
Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.
Determinan dari matriks A =
a b
c d
det (A) = det
a b
c d
= ad − bc.
Bagaimana dengan determinan dari matriks 3 × 3 ?

Skema Sarus
Pierre Fr´ed´eric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20
November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus
adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856)
dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarus
menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan
untuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.

Skema Sarus
Pierre Fr´ed´eric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20
November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus
adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856)
dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarus
menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan
untuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.
Misalkan A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33



Skema Sarus
Perhatikan matriks dibawah
+ + +
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32










− − −
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32











Skema Sarus
+ + +
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32










− − −
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32










det (A) =
a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23a32

Skema Sarus
+ + +
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32










− − −
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32










det (A) =
a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23a32
Tentukan determinan dari A =


2 1 0
−1 0 2
4 −2 7



Determinan Matriks
Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untuk
n > 3 ?

Determinan Matriks
n > 3 ?
Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n × n untuk
n > 3?

Determinan Matriks
n > 3 ?
Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n × n untuk
n > 3?
Deﬁnisi
Misalkan A adalah matriks persegi. Minor entri aij dinotasikan dengan
Mij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i
dan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan (−1)i+jMij yang
dinotasikan dengan Cij disebut entri kofaktor dari aij.

Contoh
Misalkan
A =


3 1 4
2 5 6
1 4 8


Minor entri a11 adalah
3 1 4
2 5 6
1 4 8
M11 =
5 6
4 8
= = 16
keterangan: Angka berwarna biru dihapus.

Contoh
Misalkan
A =


3 1 4
2 5 6
1 4 8


3 1 4
2 5 6
1 4 8
M11 =
5 6
4 8
= = 16
Kofaktor a11 adalah
C11 = (−1)1+1
M11 = 16

Contoh
Misalkan
A =


3 1 4
2 5 6
1 4 8


3 1 4
2 5 6
1 4 8
M11 =
5 6
4 8
= = 16
Kofaktor a11 adalah
C11 = (−1)1+1
M11 = 16
Tentukan minor entri dan kofaktor untuk entri-entri lainnya?

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi

Ekspansi Kofaktor
Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat
menuliskan determinan dari matriks A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 yang
berukuran 3 × 3 yaitu
det (A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13

Ekspansi Kofaktor


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 yang
det (A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Coba bandingkan dengan skema Sarus.

Ekspansi Kofaktor


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 yang
det (A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Coba bandingkan dengan skema Sarus.
Secara umum determinan dari matriks M berukuran n × n adalah
det (M) = a11C11 + a12C12 + · · · + a1nC1n
Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama
matriks M.

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi

Deﬁnisi
Misalkan A adalah matriks berukuran n × n dan Cij adalah kofaktor
dari aij. Matriks 




C11 C12 . . . C1n
C21 C22 . . . C2n
...
...
...
...
Cn1 Cn2 . . . Cnn





disebutmatriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut
adjoin dari A dan dinotasikan oleh Adj(A).

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi

Aturan Cramer
Teorema
Misalkan Ax = b adalah sistem persamaan linear atas n persamaan
dan n variabel sedemikian sehingga det (A) = 0. Sistem Ax = b
mempunyai solusi tunggal yaitu
x1 = det (A1
det (A) , x2 = det (A2
det (A) , . . . , xn = det (An
det (A)
dimana Aj adalah matriks yang didapat dari mengganti entri-entri
pada kolom ke j pada matriks A dengan matriks
b =





b1
b2
...
bn






Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi

1 Tentukan nilai a, b, c dari kesamaan matriks berikut
a − b b + c
3d + c 2a − 4d
=
8 1
7 6
2 Misalkan
A =


3 −2 7
6 5 4
0 4 9

 dan B =


6 −2 4
0 1 3
7 7 5


Tentukan
a. Baris pertama dari AB.
b. Kolom ketiga dari AB.
c. Baris ketiga dari AA.
d. Kolom ketiga dari AA.

3. Misalkan A adalah matriks berukuran m × n dan 0 adalah matriks
barukuran m × n yang entri-entrinya nol. Tunjukkan jika kA = 0
maka k = 0 atau A = 0.
4. Misalkan A dan B adalah sebarang matriks sedemikan sehingga
perkalian AB terdeﬁnisi. Tunjukkan jika A mempunyai satu baris
yang semua entrinya nol maka AB juga mempunyai baris nol.
5. Misalkan
A =




1 3 1 1
2 5 2 2
1 3 8 9
1 3 2 2




Tentukan A−1.

6. Gunakan Aturan Cramer untuk menyelesaikan SPL berikut
a.
7x1 − 2x2 = 3
3x1 + x2 = 5.
b.
x1 − 3x2 + x3 = 4
2x1 − x2 = −2
4x1 −x3 = 0.
c.
−x1 − 4x2 + 2x3 + x4 = −32
2x1 − x2 + 7x3 + 9x4 = 14
−x1 + x2 + 3x3 + x4 = 11
x1 − x2 + x3 − 4x4 = −4.
7. Buktikan aturan Cramer.

Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Ekspansi Kofaktor
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi

Referensi
H. Anton, C. Rores. Elementary Linear Algebra 8th Edition,John Wiley and Sons, New York
2000.

Matriks Teknik

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (12)

Similar to Matriks Teknik

Similar to Matriks Teknik (20)

Matriks Teknik