Materi Kelas XII

1. Komposisi
Transformasi
1

2. Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
peta atau bayangan suatu kurva
hasil dari suatu
komposisi transformasi
2

3. Transformasi
Untuk memindahkan suatu titik atau
bangun pada sebuah bidang dapat
dikerjakan dengan transformasi.
Transformasi T pada suatu bidang
‘memetakan’ tiap titik P pada
Bidang menjadi P’ pada bidang itu
pula.
Titik P’ disebut bayangan atau peta
titik P
3

4. Transformasi Invers
Untuk menentukan bayangan
suatu kurva oleh transformasi
yang ditulis dalam bentuk
matriks, digunakan
transformasi invers
4

5. soal
Peta dari garis x – 2y + 5 = 0
oleh transformasi yang
dinyatakan dengan matriks
 1 1  adalah….


 2 3


5

6. Pembahasan
A(x,y)
 1 1

 2 3



A’(x’ y’)
 x'   1 1   x 
 =
 y'   2 3  y 
 
  
 
Ingat: A = BX maka X = B-1.A
 x
1  3 − 1  x' 
 =
 y  3 − 2  − 2 1   y'

 
 

 
6

7.  x
1  3 − 1  x' 
 =
 y  3 − 2  − 2 1   y'

 
 

 
 x   3 − 1  x' 
 =
 y   − 2 1   y'
 
  
 
 x   3x' − y' 
 =
 y   − 2x' + y'

  

Diperoleh: x = 3x’ – y’ dan
y = -2x’ + y’
7

8. x = 3x’ – y’ dan y = -2x’ + y’
disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0
3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0
3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0
7x’ – 3y’ + 5 = 0
Jadi bayangannya:
7x – 3y + 5 = 0
8

9. Komposisi Transformasi
Bila T1 adalah suatu transformasi
dari titik A(x,y) ke titik A’(x’,y’)
dilanjutkan dengan transformasi T2
adalah transformasi dari titik A’(x’,y’)
ke titik A”(x”,y”) maka dua transformasi
berturut-turut tsb disebut Komposisi
Transformasi dan ditulis T2 o T1
9

10. Komposisi Transformasi
Dengan matriks
Bila
dan
a b
T1 dinyatakan dengan matriks 
c d 



 p q
T2 dengan matriks  r s 




maka dua Transformasi berturut-turut
mula-mula T1 dilanjutkan dengan T2
ditulis T2 o T1 =
 p q

 r s



a b

c d 



10

11. Soal 1
Matriks yang bersesuaian dengan
dilatasi dengan pusat (0,0) dan
faktor skala 3 dilanjutkan dengan
refleksi terhadap garis y = x
adalah…
11

12. Pembahasan
M1= Matrik dilatasi skala 3
 3 0
adalah  


 0 3
M2 = Matrik refleksi terhadap
y = x adalah
 0 1

 1 0



12

13. Matriks yang bersesuaian dengan
M1 dilanjutkan M2
ditulis M2 o M1 =
=
 0 1  3 0

 1 0  0 3
 


 

 0 + 0 0 + 3  0 3

 3 + 0 0 + 0 =  3 0
 


 

Jadi matriknya adalah
 0 3

 3 0



13

14. Soal 2
Bayangan segitiga ABC, dengan
A (2,1), B (6,1), C (5,3) karena
refleksi terhadap sumbu Y
dilanjutkan rotasi (0,π)
adalah…
14

15. Pembahasan
Refleksi sb Y: (x,y)
Rotasi π: (x,y)
A(2,1)
sb Y
sb Y
[O, π]
(-x, y)
(-x,-y)
A’(-2,1) (O, π) A”(2,-1)
B(6,1) sb Y B’(-6,1) (O, π) B”(6,-1)
C(5,3) sb Y C’(-5,3) (O, π) Q”(5,-3)
15

16. Soal 3
Luas bayangan
persegi panjang PQRS
dengan P(-1,2), Q(3,2), R(3,-1),
S(-1,-1) karena dilatasi [O,3]
dilanjutkan rotasi pusat 0
bersudut ½π adalah…
16

17. Pembahasan
Dilatasi: (x,y)
[O,k]
Rotasi ½π: (x,y)
P(-1,2)
(kx, ky)
[O,½π]
[O,3] P’(-3,6) (O,½π)
(-y,x)
P”(-6,-3)
Q(3,2) [O,3] Q’(9,6) (O,½π) Q”(-6,9)
R(3,-1) [O,3] Q’(9,-3) (O,½π) Q”(3,9)
S(-1,-1) [0,3] S’(-3,-3) (O,½π) S”(3,-3)
17

18. P”(-6,-3), Q”(-6,9), R”(3,9),
dan S”(3,-3) membentuk
persegi panjang P”Q”R”S”
Q”(-6,9) Y
R”(3,9)
X
O
P”(-6,-3)
S”(3,-3)
Q”P” = 9 – (-3)
= 12
Q”R” = 3 – (-6)
=9
Luas = 12.9 = 108
18

19. Soal 4
T1 adalah transformasi yang
bersesuaian dengan matrik
 1 − 1

−1 2 



dan T2 adalah transformasi yang
bersesuaian dengan
matrik
 3 2

2 1



19

20. Bayangan titik A(m,n) oleh
transformasi T1 dilanjutkan T2
adalah A’(-9,7).
Nilai m - 2n sama dengan….
20

21. Pembahasan
T1 =
 1 − 1 dan

−1 2 



T2 o T1 =
=
T2 =
 3 2

2 1



 3 2   1 − 1

 2 1  −1 2 





 3 − 2 − 3 + 4  1 1 

 2 − 1 − 2 + 2  = 1 0 
 


 

21

22. A(m,n)
1 1 
T2 o T 1 = 
1 0 



A’(-9,7)
 x '  1 1   x 
 =
 y '  1 0   y 
  
  
  
 − 9  1 1   m 
 =
 7  1 0   n 
  
  
  
 − 9
 =
 7 
 
m + n

 m 



22

23.  − 9
 =
 7 
 
m + n

 m 



diperoleh: -9 = m + n dan 7 = m
Nilai m = 7 disubstitusi ke
m + n = -9 ⇒ 7 + n = -9
n = -16
Jadi nilai m – 2n = 7 + 32 = 39
23

24. Soal 5
Jika titik (a,b) dicerminkan
terhadap sumbu Y, dilanjutkan
dengan transformasi sesuai
matriks
− 2 1

 1 2  menghasilkan



titik (1,-8) maka nilai a + b =….
24

25. Pembahasan
Matriks pencerminan terhadap
 − 1 0

sumby Y: T1 = 


0
T2 =
T2 o T1 =
1
− 2 1

 1 2



− 2 1 -1 0  2 1 

 1 2   0 1  =  −1 2 

 



 

25

26. − 2 1 -1 0  2 1 

 1 2   0 1  =  −1 2 

 



 

 2 1 a   1 

 −1 2   b  =  − 8
   

   
a 
 2 − 1 1 
1
 =
 b  4 − ( −1)  1 2  − 8 

 
 

 
a  1  2 + 8 
a  2 
 = 
 b  5 1 − 16  ⇒  b  =  − 3 

   
 


   
Jadi : a + b = 2 + (-3) = -1
26

27. Soal 6
Persamaan peta
garis x – 2y + 4 = 0
yang dirotasikan
dengan pusat (0,0) sejauh +900,
dilanjutkan dengan pencerminan
terhadap garis y = -x adalah….
27

28. Pembahasan
Rotasi +90o: (x,y)
[O,+90o]
Refleksi y = -x: (-y,x)
(-y, x)
y = -x
(-x,y)
Sehingga x” = -x → x = -x”
dan y” = y → y = y”
disubstitusi ke x – 2y + 4 = 0
diperoleh (-x”) – 2y” + 4 = 0
Jadi petanya: x + 2y – 4 = 0
28

29. Soal 7
Persamaan peta
kurva y = x2 - 3x + 2
karena pencerminan terhadap
sumbu x dilanjutkan dilatasi
dengan pusat 0 dan
faktor skala ⅓ adalah…
29

30. • Pembahasan
Refleksi terhadap sumbu x
x’ = x
y’ = -y
Dilanjutkan dengan dilatasi: [O,⅓]
x” = ⅓x’ = ⅓x
y” = ⅓y’ = -⅓y
30

31. dari x” = ⅓x dan y” = -⅓y
diperoleh x = 3x” dan y = -3y”
kemudian disubstitusi ke
y = x2 – 3x + 2
-3y” = (3x”)2 – 3(3x”) + 2
-3y” = 9(x”)2 – 9x” + 2
Jadi petanya: y = -3x2 + 3x - ⅔
31

32. Soal 8
Persamaan peta suatu kurva
oleh refleksi
terhadap sumbu X,
dilanjutkan translasi
 2
 
 3
 
adalah y = x2 – 2. Persamaan
kurva semula adalah….
32

33. Pembahasan
Refleksi terhadap sumbu x
x’ = x
y’ = -y
 2
Dilanjutkan dengan translasi:  3 
 
 
x” = x’ + 2 = x + 2
y” = y’ + 3 = -y + 3
33

34. x” = x + 2 dan y” = -y + 3
disubtitusikan ke: y” = (x”)2 – 2
-y + 3 = (x + 2)2 – 2
-y = x2 + 4x + 4 – 2 – 3
-y = x2 + 4x – 1
Jadi persamaan kurva
semula: y = -x2 – 4x +1
34

35. Soal 9
Persamaan peta garis
3x – 4y = 12 karena refleksi
terhadap garis y – x = 0,
dilanjutkan oleh transformasi
yang bersesuaian dengan
matriks
 − 3 5

 − 1 1



adalah….
35

36. Pembahasan
3x – 4y = 12 y = x 3y – 4x = 12
Dilanjutkan transformasi:  − 3 5 




 − 1 1
 x'   − 3 5  x 
 =
 y'  − 1 1  y →
 
  
 
x’ = -3x + 5y
y’ = -x + y
 x'   − 3 x + 5 y 
 =
 y'   − x + y 

  

x1
x’ = -3x + 5y
x3
3y’ =-3x + 3y
36

37. x’ = -3x + 5y
3y’ = -3x + 3y
x’ -3y’ = 2y
diperoleh:
x'−3 y '
x'−5 y
y=
dan x =
2
2
Disubstitusi ke 3y – 4x = 12
37

38. Disubstitusi ke: 3y – 4x = 12
diperoleh:
 x'−3 y ' 
 x'−5 y ' 
3
 − 4
 = 12
 2 
 2 
ruas kiri dan kanan dikali 2
3x’ – 9y’ – 4x’ + 20y’ = 24
-x’ + 11y = 24
Jadi petanya adalah 11y – x = 24
38

39. Soal 10
Parabola dengan titik puncak (1,2)
dan fokus (1,4) dicerminkan terhadap
garis x = 5, kemudian dilanjutkan
dengan transformasi putaran dengan
pusat O(0,0) sejauh 90o berlawanan
arah jarum jam. Persamaan peta
kurva tersebut adalah….
39

40. Pembahasan
(x,y)
M
x=m
(2m – x,y)
Pusat (1,2)
(1,2) M x = 5 P’(9 ,2)
Fokus (1,4)
(1,4) M x = 5 F’(9,4)
R
R
R
+90
+90
+90
o
(-y, 2m –x)
o
P”(-2,9)
o
F”(-4,9)
Kurva tersebut puncaknya di
P”(-2,9) dan fokusnya di F”(-4,9)
40

41. Kurva yang puncaknya di P”(-2,9)
dan fokusnya di F”(-4,9)
adalah parabola yang terbuka ke
kiri dan p = jarak puncak ke fokus
= 2, sehingga persamaanya
(y – b)2 = -4p(x – a)
(y – 9)2 = -4.2(x – (-2))
(y – 9)2 = -8(x + 2)
Jadi persamaanya: y2 – 18y + 8x + 97 = 0
41

42. 42