1. RINGKASAN MATERI
PENCERMINAN
Definisi:
Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk
setiap titik pada bidang V sebagai berikut:
a. jika P s maka Ms (P) = P
b. jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu 'PP . Pencerminan M pada
garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu
pencerminan / singkat cermin.
Teorema
Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.
Bukti:
Ms: V → V
I. Akan dibuktikan Ms surjektif.
Ambil Sebarang )('' XMsXVX .
Menurut definisi jika SX maka XXXMs ')(
Jadi SXXMsXXVX ),(','
)(',' XMsXXVX dengan S sumbu XX’
Jadi Ms surjektif.
II. Akan dibuktikan Ms injektif.
Kasus 1
Misalkan 21 AA
Untuk SA 1 maka 111 ')( AAAMs .
SA 2 maka 222 ')( AAAMs
Jadi '' 21 AA
Kasus 2
Ambil SASA 21 , maka
2. S
A = A’
i). 111 ')( AAAMs
ii). ,')( 222 AAMsA yakni S sumbu dari '22 AA .
Karena SA 1 dan SA 2 maka '' 21 AA
Kasus 3
Untuk '',, 212121 AAAASASA
Andaikan )()( 21 AMsAMs . Maka dipenuhi :
'11 AA adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya SAA '11 .
'22 AA adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya SAA '22 .
Andaikan 21 AA , maka menurut teorema tidak ada 2 buah garis yang tegak lurus
terhadap garis sumbu S yang melalui titik yang sama.
Artinya jika )()( 21 AMsAMs maka haruslah 21 AA . Padahal diketahui 21 AA .
Jadi haruslah )()( 2121 AMsAMsAA .
Karena Ms surjektif dan injektif maka berlaku bahwa setiap refleksi pada garis adalah suatu
transformasi.
Definisi:
Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ
dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).
Teorema:
Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
Jadi kalau A’ = Ms(A), B = Ms(B) maka AB = A’B’.
Bukti:
Ambil Semarang A, B, A’, B’ V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan A’B’ = AB.
Kasus I
Jika A, B S maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B.
Jadi AB = A’B’ Ms(A)Ms(B) = AB.
Kasus II
3. Jika A S, B S dan Ms(A) = A’ = A dan Ms (B) = B’
Akan ditunjukkan AB = A’B’
Perhatikan CABABC '&
AC = AC (berimpit)
'ACBmABCm (karena siku-siku)
BC = B’C (karena S sumbu simetri)
Menurut teorema karena CABABC '& mempunyai sifat S Sd S yang sama, maka
CABABC ' .
Jadi AB = A’B’.
Kasus III
Jika A, B S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan AB = A’B’
Perhatikan DCBBDC '& .
DC = DC (berimpit)
'DCBmDCBm (karena siku-siku)
BC = B’C (karena S sumbu simetri)
Menurut teorema karena DCBBDC '& mempunyai sifat S Sd S yang sama maka
DCBBDC ' .
Jadi BD = B’D dan DCBmBDCm ' .
Karena DCBmBDCm ' dan DCAmADCm ' (900
)
Maka
''
'90
90
0
0
DBAmABDm
DCBmADBm
BDCmADBm
Perhatikan ADBBAD '&
AD = A’D (berimpit)
DBAmADBm ' (dari pernyataan 1)
DB = DB’ (diketahui)
Menurut teorema karena ADBBAD '& mempunyai sifat S Sd S yang sama maka
ADBBAD ' .
Jadi AB = A’B’.
C
A’
S
A
B’B
4. SOAL LATIHAN
1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula Mg(B).
● ●
A B
Mg(A) = B dan Mg(B) = A
2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan
B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!
Diket : A (1,3), B (-2,-1)
Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B
Jawab :
Persamaan garis AB
0534
4493
)1(4)3(3
12
1
31
3
12
1
12
1
yx
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
Gradien m =
3
4
Gradien yang tegak lurus garis AB, m2 = -
4
3
Titik tengah AB = )1,
2
1
(
2
)2,1(
2
)1,2()3,1(
Persamaan garis yang melalui )1,
2
1
( dengan m = 3 adalah
y – y1 = m (x – x1)
y – 1 = -
4
3
(x +
2
1
)
X1
-1
-1-2
1
2
3
Y
5. y = -
4
3
x -
8
3
+ 1
y = -
4
3
x +
8
5
8y + 6x – 5 = 0
6x - 8y – 5 = 0
Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0
3. Diketahui: g = -3x, yx
Ditanya:
a. Mg(A), bila A(2,1).
b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .
c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.
B (-3,1) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,1) =
2
1
,
2
2
2
,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )2,2(2,6 '' AA yx
1,8, '' AA yx
Jadi A’ = (-8,1)
b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7.
D(-3,7) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,7) =
2
7
,
2
1
2
,
2
'' CCCCCC yxyyxx
Jelas )7,1(14,6 CC yx
7,5, CC yx
Jadi C = (-5,7)
c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.
6. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (-3, yp) =
2
,
2
'' pppp yyxx
pppp
ppppp
yxyx
yyxxy
,6,
),(2,6
'
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y).
4. Diketahui g = 2y, yx
Ditanya:
a. Jika A = 2,3 , tentukan A’ = Mg(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3.
Misal B (3,2) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (3,2) =
2
2
,
2
3
2
,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )2,3(4,6 '' AA yx
24,3, '' AA yx
Jadi A’ = (3, 24 )
b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.
Misal C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,
Maka (2,2) =
2
)4(
,
2
2
2
,
2
'' DDDDDD yxyyxx
Jelas )4,2(4,4 DD yx
8,2, DD yx
Jadi Prapeta D oleh Mg = (2,8)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
7. Jelas Q = (xQ, 2) =
2
,
2
'' pppp yyxx
pppp
ppppp
pppp
p
yxyx
yyxxx
yyxx
x
4,,
,4,2
)
2
,
2
(2,
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-x, 4 - y).
5. Diketahui h = xy, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)
Jawab:
a. Dicari gradien garis y = x, yaitu m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah
1
32
)2(13
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 dengan mensubstitusikannya.
y = y
x = -x – 1
2x = -1
x = -
2
1
substitusikan x = -
2
1
ke persamaan y = x
diperoleh y = -
2
1
.
Jadi titik tengah 'AA (-
2
1
,-
2
1
).
8. Jelas (-
2
1
,-
2
1
) titik tengah 'AA , maka
2
3
,
2
2
2
,
22
1
,
2
1 ''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )3,2(1,1 '' AA yx
2,3, '' AA yx
Jadi A’ = (-3,2)
b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1
Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah
2
53
)3(15
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara substitusi.
y = y
x = -x + 2
2x = 2
x = 1
substitusikan x = 1 ke persamaan y = x
diperoleh y = 1.
Jadi titik tengah 'BB (1,1).
Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka
2
5
,
2
)3(
2
,
2
1,1 '' BBBBBB yxyyxx
Jelas )5,3(2,2 BB yx
3,5, '' AA yx
Jadi A’ = (5,-3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy
)(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
9. Jelas Q = (xQ, yQ) =
2
,
2
'' pppp yyxx
QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).
6. Diketahui k = 0yx, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)
Jawab:
a. Dicari gradien garis k xyyx 0
Jadi mk = -1
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah
5
32
)2(13
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = -x dengan y = x - 5 dengan cara substitusi.
y = y
-x = x – 5
2x = 5
x =
2
5
substitusikan x =
2
5
ke persamaan y = -x
diperoleh y = -
2
5
.
Jadi titik potongnya (
2
5
, -
2
5
)
Karena (
2
5
, -
2
5
) titik tengah 'AA , maka
10.
2
3
,
2
2
2
,
22
5
,
2
5 '''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )3,2(5,5 '' AA yx
2,3, '' AA yx
Jadi A’ = (3,-2)
b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1
Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
8
53
)3(15
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = -x dengan y = x +8 dengan cara substitusi.
y = y
-x = x + 8
2x = -8
x = -4
substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x
diperoleh y = 4.
Jadi titik potongnya (-4,4).
Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka
2
5
,
2
)3(
2
,
2
4,4 '' BBBBBB yxyyxx
Jelas )5,3(8,8 BB yx
3,5, '' AA yx
Jadi A’ = (-5, 3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy
)(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
11. Jelas Q = (xQ, yQ) =
2
,
2
'' pppp yyxx
QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).
7. Diketahui g = 1yx, yx
Ditanya:
a. Mg(0)
b. Mg(A) dengan A(1,2).
c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.
Jawab:
a. Dipunyai g = 1yx, yx , dari x + y = 1 y = 1 – x.
Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1
Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
xy
xy
xxmyy
)0(10
)( 11
Jadi xyh
Titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu
y = y
1 – x = x
2x = 1
x =
2
1
substitusikan x =
2
1
ke persamaan y = x
diperoleh y =
2
1
.
Jadi titik potongnya (
2
1
,
2
1
)
12. Karena (
2
1
,
2
1
) titik tengah 'OO , maka
2
0
,
2
0
2
,
22
1
,
2
1 '0'0'00'00 yxyyxx
Jelas ),(1,1 '0'0 yx
1,1, '0'0 yx
Jadi Mg(O) = (1,1)
b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
1
12
)1(12
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Jadi xyh +1
Mencari perpotongan g dengan h.
y = y
1 - x = x + 1
2x = 0
x = 0
substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 1.
Jadi titik potongnya (0,1).
Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka
2
2
,
2
1
2
,
2
1,0 '''' BBoooo yxyyxx
Jelas )2,1(2.0 '' oo yx
0,1, ' oo yx
Jadi A’ = (-1,0)
c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g = 1yx, yx
Karena Mg(P) = P, maka P )1,( xxP
Diperoleh x + y = 1 01)1(1 xxxyx
13. Dan y = 0 + 1 = 1
Jadi Mg(P) = (0,1).
8. Diketahui g = 013y-x, yx , dan A (2,k).
Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A
Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0,
Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.
Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.
Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1
Jadi nilai k = 1.
9. Diketahui k = 013-ax, yyx , B = (3,-1)
Tentukan a apabila Mk(B) = B!
Karena Mk(B) = B, maka
B = (3,-1) terletak pada garis k.
Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0
3a +3 +1 = 0
3a = - 4
a = -
3
4
Jadi nilai a = -
3
4
.
10. Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)
P = (x, y) V
Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?
Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.
Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2 V maka P1‘P2’ = P1P2
Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3)
T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)
2
12
2
1221P yyxxP
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)3355''P
)3()3()5()5(''P
''''''P
yyxxP
yyxxP
yyxxP
yyxxP
14. Maka P1‘P2’ = P1P2.
karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.
