ΜΑΤΗ Γ ΤΑΧΙ

1. Το Αόριστο Ολοκλήρωμα
Ορισμός:Αντιπαράγωγος Συνάρτησης
Έστω ( )f x μια συνάρτηση. Aντιπαράγωγος ή παράγουσα (primitive ή
antiderivative) της συνάρτησης ( )f x ονομάζεται κάθε συνάρτηση ( )F x αν
( ) ( )F x f x′ =
για κάθε x από το πεδίο ορισμού της f .
Παράδειγμα
Η συνάρτηση F με ( ) 2
F x x= στο ℜ είναι μια αντιπαράγωγος της f με ( ) 2f x x=
γιατί, ( ) ( ) ( )2
2F x x x f x′′ = = = .
Παρατήρηση
Αν η F είναι μια αντιπαράγωγος της f, δηλαδή ( ) ( )F x f x′ = , τότε επειδή ισχύει
( )( ) ( ) ( )F x c F x f x′ ′+ = = για κάθε σταθερά c, τότε όλες οι αντιπαράγωγοι της f
είναι οι συναρτήσεις F+c. Δηλαδή, κάθε συνάρτηση της μορφής F+c είναι
αντιπαράγωγος της f.
Αόριστο Ολοκλήρωμα
Ορισμός:
Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων της f λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα της f και
συμβολίζεται:
( )f x dx∫
Παράδειγμα:
Η συνάρτηση F με ( ) cosF x x= στο ℜ είναι μια αντιπαράγωγος της f με
( ) sinf x x= γιατί ( ) ( ) ( )cos sinF x x x f x′′ = = =
Παρατήρηση:
Αν ( )F x είναι μια αντιπαράγωγος της ( )f x , δηλαδή ( ) ( )F x f x′ = , τότε επειδή
ισχύει ( ( ) ) ( )F x c f x′+ = για κάθε σταθερά c, καταλαβαίνουμε ότι το αόριστο
ολοκλήρωμα δεν οδηγεί σε μια μοναδική συνάρτηση την ( )F x , αλλά σε όλες τις
συναρτήσεις ( )F x c+ με c∈ℜ , δηλαδή
( ). ( )
΄
΄
f x dx F x c
σταθερα ολοκληρωσης ηαντιπαραγωγος η
αυθαιρετη σταθεραπαραγουσα
συµβολο ολοκληρωµ
↓↓
= +∫
1

2. Η διαδικασία εύρεσης της ( )F x c+ ονομάζεται ολοκλήρωση της f . Η ( )F x c+ είναι
η τιμή του ολοκληρώματος και η σταθερά c ονομάζεται σταθερά ολοκλήρωσης ή
αυθαίρετη σταθερά.
Σχόλιο : Το σύμβολο του ολοκληρώματος ∫ προήλθε από το σύμβολο S του
αθροίσματος–αρχικό της λέξης Summus που σημαίνει υπέρτατο. Τη σχέση
ολοκληρώματος αθροίσματος θα τη δούμε αργότερα μιλώντας για το ορισμένο
ολοκλήρωμα.
Το διαφορικό dx δείχνει την ανεξάρτητη μεταβλητή ως προς την οποία γίνεται η
ολοκλήρωση. Το σύμβολο ∫ και το dx θεωρούνται ως ένα σύμβολο για να
δηλώσουμε την πράξη της ολοκλήρωσης, η οποία είναι ανεξάρτητη από το όνομα της
μεταβλητής ολοκλήρωσης x .
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα 2xdx∫
Λύση
2
2xdx x c= +∫ , γιατί 2
( ) ( ) 2F x x x′ ′= = . Δηλαδή η 2
( )F x x= είναι μία
αντιπαράγωγος ( ) 2f x x= και c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης.
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα cos xdx∫
Λύση
cos sinxdx x=∫ γιατί ( ) (sin ) cosF x x x′ ′= = . Δηλαδή η ( ) sinF x x= είναι μία
αντιπαράγωγος της ( ) cosf x x= και c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης
2

3. Βασικά ή Στοιχειώδη Ολοκληρώματα
Στη συνέχεια δίνουμε τον πίνακα των στοιχειωδών αόριστων ολοκληρωμάτων:
Ξέρουμε ότι:
Η παράγωγος μιας στοιχειώδους συνάρτησης είναι πάντοτε μια στοιχειώδης
συνάρτησης.
Όμως:
Το αόριστο ολοκλήρωμα μιας στοιχειώδους συνάρτησης δεν είναι πάντα μια
στοιχειώδης συνάρτηση.
Όταν έχουμε δύσκολα ολοκληρώματα, θα πρέπει να εφαρμόσουμε κατάλληλες
μεθόδους ολοκλήρωσης οι οποίες θα ανάγουν το αρχικό ολοκλήρωμα σε υπολογισμό
βασικών ή στοιχειωδών ολοκληρωμάτων.
Κανόνες Ολοκλήρωσης
Όπως στη παραγώγιση οι σταθερές βγαίνουν έξω από το σύμβολο της παραγώγισης,
και ισχύει [ ( )] ( )cf x cf x′′ = , όπου c σταθερά, έτσι και στην ολοκλήρωση (που είναι
3

4. μια διαδικασία αντίστροφη της παραγώγισης) οι σταθερές βγαίνουν έξω από το
σύμβολο της ολοκλήρωσης, δηλαδή
( ) ( )cf x dx c f x dx=∫ ∫ , για όλες τις συναρτήσεις ( )f x .
Επίσης, ξέρουμε ότι η παράγωγος του αθροίσματος δύο ή περισσοτέρων
συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα των παραγώγων τους, δηλαδή
1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )f x f x f x f x′ ′′+ = +
Το ίδιο ισχύει και για το ολοκλήρωμα αθροίσματος, δηλαδή
1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )f x f x dx f x dx f x dx+ = +∫ ∫ ∫ .
Επομένως, όπως για την παράγωγο ισχύει η γραμμική ιδιότητα:
1 1 2 2 1 1 2 2[ ( ) ( )] ( ) ( )c f x c f x c f x c f x′ ′′+ = +
έτσι ισχύει η γραμμικότητα και για το αόριστο ολοκλήρωμα, δηλαδή
1 1 2 2 1 1 2 2[ ( ) ( )] ( ) ( )c f x c f x dx c f x dx c f x dx+ = +∫ ∫ ∫
Παραδείγματα αόριστων ολοκληρωμάτων που ανάγονται στον πίνακα των
βασικών ολοκληρωμάτων, χρησιμοποιώντας τους κανόνες ολοκλήρωσης.
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα
2
( 3 2)x x dx− +∫
Λύση
2 2 2
3
1
( 2 2) 2 2 2 2
2
3
x x dx x dx xdx dx x dx xdx dx
x
c
− + = − + = − + =
= + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2
x
{
3
2
2 32 2
3
x
c x c x x c
σταθερα ολοκληρωσης
αντιπαραγουσα
+ + + = − + +
14243
όπου 1 2 3c c c c= + + η σταθερά ολοκλήρωσης και
3
2
2
3
x
x x− + η αντιπαράγωγος της
2
2 2x x− + .
Σχόλιο
Από το παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι πρέπει πρώτα να βρίσκουμε τη
τελική μορφή της αντιπαραγώγου και στο τέλος να προσθέτουμε τη σταθερά
ολοκλήρωσης. Δηλαδή υπολογίζουμε τα αόριστα ολοκληρώματα και στο τέλος
γράφουμε μια φορά τη σταθερά ολοκλήρωσης.
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα (2sin 3cos )x x dx−∫
Λύση
4

5. (2sin 3cos ) 2sin 3cosx x dx xdx xdx− = − =∫ ∫ ∫ γιατί
( ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
2 sin 3 cosxdx xdx= − =∫ ∫ γιατί ( ) ( )c f x dx c f x dx=∫ ∫
2( cos ) 3sinx x c= − − + = γιατί sin cosxdx x= −∫ και
cos sinxdx x=∫
2cos 3sinx x c= − − +
Παράδειγμα
( )
( )
2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1
2 11 1 1 1 2 1 1 1 1
ln 2 1
2 2 2 1 2 4 2 1 2 4 2 1 2 4
x x x x x
dx dx dx dx dx dx
x x x x x x
d xdx dx
dx x x x x c
x x x
+ − +
= = = = − =
+ + + + + +
+
= − = − = − = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
γιατί ( )2 1 2d x dx+ = , γιατί
1
lndx x
x
=∫ με 2 1 0 2 1 0x xη+ > + < δηλαδή
2 1 2 1
1 1
2 2
x x
x x
η
η
> − < −
> − < −
Σχόλιο: Γενικά, όταν δεν μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα ένα ολοκλήρωμα, το
αντικαθιστούμε από ένα άλλο το οποίο ελπίζουμε να είναι ευκολότερο. Τα
περισσότερα ολοκληρώματα για να υπολογιστούν ανάγονται στα παραπάνω βασικά
ολοκληρώματα. Όμως υπάρχουν και ολοκληρώματα των οποίων ο υπολογισμός δεν
μπορεί να αναχθεί στα παραπάνω βασικά ολοκληρώματα. Επιβάλλεται επομένως η
αναζήτηση τεχνικών για την επίτευξη του παραπάνω στόχου.
5

6. Στοιχειώδεις Τεχνικές Αόριστης Ολοκλήρωσης
Θα συνεχίσουμε με τους παρακάτω 2 βασικούς κανόνες- μεθόδους –τεχνικές
ολοκλήρωσης
1. μέθοδος αντικατάστασης (κανόνας αντικατάστασης ή αλλαγή μεταβλητής)
2. ολοκλήρωση κατά παράγοντες
A. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση
Έστω το αόριστο ολοκλήρωμα ( )f x dx∫ του οποίου δεν μπορούμε άμεσα να βρούμε
την αντιπαράγωγο. Μια μέθοδος που μπορεί να εφαρμοστεί είναι η μέθοδος της
αντικατάστασης ή αλλαγή μεταβλητής.(substitution change of variable)
Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος ( )f x dx∫ με την μέθοδο αντικατάστασης αν η
μεταβλητή x είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση μιας άλλης μεταβλητής u, δηλαδή
( )x g u= )(δηλαδή η g πρέπει να είναι συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση) βασίζεται
στην αντικατάσταση του x από την συνάρτηση ( )g u και του dx από το ( )g u du′
(γιατι ( ) ( )x g u dx g u du′= ⇒ = ).
Έτσι το αρχικό ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται στο ολοκλήρωμα
( ) ( ( )) ( )f x dx f g u g u du′=∫ ∫ .
Στόχος της αντικατάστασης αυτής είναι να μετασχηματίσουμε το αρχικό
ολοκλήρωμα σε ένα από τα βασικά ολοκληρώματα ή σε ολοκλήρωμα το οποίο θα
μπορεί να υπολογιστεί ευκολότερα.
Σχόλιο:
Μετά τον υπολογισμό του τελευταίου ολοκληρώματος επανερχόμαστε στην αρχική
μεταβλητή μέσα από την αντικατάσταση ( )x g u= .
Παρατήρηση:
Πολλές φορές είναι προτιμότερο να επιλέγουμε μια αλλαγή μεταβλητής της μορφής
( )u g x= αντί της ( )x g u= .
Στη συνέχεια δίνουμε συνοπτικά τα παραπάνω βήματα για τον υπολογισμό του
ολοκληρώματος με τη μέθοδο της αντικατάστασης.
Διαδικασία υπολογισμού του ολοκληρώματος ( ( )) ( )f g x g x dx′∫ με
αντικατάσταση
Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος
6

7. ( ( )) ( )f g x g x dx′∫ με ,f g′ συνεχείς ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία:
1. αντικαθιστούμε την ( )g x με μια άλλη μεταβλητή u, δηλαδή
( )u g x= , οπότε θα έχουμε ( ) ( )du dg x du g x dx′= ⇒ = και το αρχικό
ολοκλήρωμα γίνεται:
( ( )) ( ) ( )f g x g x dx f u du′ =∫ ∫
2. Ολοκληρώνουμε ως προς u.
3. Στο αποτέλεσμα που προκύπτει αντικαθιστούμε το u με το ίσο του ( )g x .
Σχόλιο:
Η επιλογή της αντικατάστασης πρέπει να είναι κατάλληλη για να είναι εύκολος ο
υπολογισμός του ολοκληρώματος. Δεν υπάρχει όμως γενικός κανόνας για την
επιλογή της αντικατάστασης η οποία εξαρτάται κάθε φορά από το ολοκλήρωμα. Αυτό
θα προκύψει με την εξάσκηση και επιπλέον μπορούμε να λάβουμε υπόψη μας
κάποιες γενικές περιπτώσεις που υπάρχουν
Ξέρουμε ότι αν ( ) ( ) ( )u g x du dg x du g x dx′= ⇒ = ⇒ =
π.χ. έστω
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )
( )
sin 2 1 sin 2 1
sin 2 1 * 2 1
cos 2 1 *2
2*cos 2 1
u x du d x
du x x
du x
du x
= + ⇒ = + ⇒
′ ′= + + ⇒
= + ⇒
= +
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα
2
(2 1)x dx+∫
Λύση
Είναι γνωστό ότι ( ) ( ) ( )u g x du dg x du g x dx′= = ⇒ =
Συνεπώς θέτοντας 2 1x u+ = , έχουμε:
1
(2 1) (2 1) 2
2
d x du x dx du dx du dx du′+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =
Οπότε:
3
2 2 2 3 31 1 1 1 1
(2 1) (2 1)
2 2 2 3 6 6
u
x dx u du u du c u c x c+ = = = + = + = + +∫ ∫ ∫
Σχόλιο:
7

8. Θα ξαναγράψουμε το ολοκλήρωμα του παραπάνω παραδείγματος με έναν τρόπο που
να εξηγούνται τα ενδιάμεσα βήματα.
2
(2 1)x dx+ =∫
2 1
2
u du =∫ έστω 2 1x u+ = ,
1
(2 1) 2
2
x dx du dx du dx du′+ = ⇒ = ⇒ =
21
2
u du= =∫
3
1
2 3
u
c= + = ολοκληρώνουμε ως προς u.
31
6
u c= + =
31
(2 1)
6
x c= + + αντικαθιστούμε το u με 2 1x +
8

9. 9

10. 10

11. 11

12. B. ολοκλήρωση κατά παράγοντες
Πολλά ολοκληρώματα που δεν μπορούν να επιλυθούν με αντικατάσταση
υπολογίζονται με ολοκλήρωση κατά παράγοντες, μια τεχνική ολοκλήρωσης την
οποία θα δούμε αμέσως στη συνέχεια.
Η ολοκλήρωση κατά παράγοντες είναι μια τεχνική υπολογισμού ολοκληρωμάτων
της μορφής
( ) ( )f x g x dx∫
δηλαδή μια τεχνική υπολογισμού του ολοκληρώματος ενός γινομένου
συναρτήσεων, όπου η μία συνάρτηση μπορεί να παραγωγιστεί επανειλημμένα και
η άλλη μπορεί να ολοκληρωθεί επανειλημμένα χωρίς δυσκολία.
Σχόλιο
Η ανάγκη ύπαρξης μιας τέτοιας τεχνικής για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος
γινομένου συναρτήσεων επιβάλλεται γιατί το ολοκλήρωμα ενός γινομένου εν
γένει δεν ισούται με το γινόμενο των επιμέρους ολοκληρωμάτων.
Δηλαδή ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx≠ ×∫ ∫ ∫
Παράδειγμα
Αν ( ) ( )f x x g x xκαι= = έχουμε:
2 31
( ) ( )
3
f x g x dx x xdx x dx x c= × = = +∫ ∫ ∫
ενώ
2 2 41 1 1
( ) ( )
2 2 4
f x dx g x dx xdx xdx x x c x c× = × = × + = +∫ ∫ ∫ ∫
Άρα,
( ) ( ) ( ) ( )3 41 1
3 4
f x g x dx x c x c f x dx g x dx= + ≠ + = ×∫ ∫ ∫
Παρατήρηση- ολοκλήρωση κατά παράγοντες
Έστω ( )u u x= και ( )v v x= δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις του x .
Παραγωγίζοντας το γινόμενο των δύο συναρτήσεων κατά τα γνωστά έχουμε:
( )d uv vdu udv= +
Ολοκληρώνοντας τη σχέση αυτή έχουμε:
( )d uv vdu udv
uv vdu udv
udv uv vdu
= + ⇒
= + ⇒
= −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Ο τύπος ολοκλήρωσης udv uv vdu= −∫ ∫ λέγεται τύπος ολοκλήρωσης κατά
παράγοντες.
12

13. Σχόλιο
Ο τύπος αυτός εκφράζει το ολοκλήρωμα udv∫ συναρτήσει ενός άλλου
ολοκληρώματος, του vdu∫ . Έτσι, επιλέγοντας κατάλληλα τα u και v περιμένουμε το
δεύτερο ολοκλήρωμα να είναι ευκολότερο από το πρώτο.
Σχόλιο
Η επιλογή της συνάρτησης που θα γραφεί μέσα στο διαφορικό είναι δική μας, γι’
αυτό πρέπει να είμαστε προσεκτικοί (και να εξασκηθούμε λύνοντας αρκετά
παραδείγματα για να εξοικειωθούμε) ώστε τα ολοκληρώματα που θα προκύπτουν να
υπολογίζονται εύκολα.
ΠΡΟΣΟΧΗ:
Για να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο παραγοντικής ολοκλήρωσης udv uv vdu= −∫ ∫ ,
πρέπει η συνάρτηση μέσα στα ολοκληρώματα να είναι γινόμενο μιας συνάρτησης u
και του διαφορικού μιας άλλης συνάρτησης v.
Όταν εφαρμόζουμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες θα ξεκαθαρίζουμε ποια είναι η u
και ποιο το dv και με τη βοήθεια αυτών των σχέσεων θα εντοπίζουμε τη συνάρτηση v
και το du για να μπορούμε να εφαρμόζουμε τον κανόνα της ολοκλήρωσης κατά
παράγοντες.
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα cosx x dx∫ με ολοκλήρωση κατά
παράγοντες.
Λύση
Ο τύπος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες που θα εφαρμόσουμε είναι
udv uv vdu= −∫ ∫
Επομένως, από το cosx x dx∫ προκύπτει ότι πρέπει { cos
u dv
x xdx∫ 123 .
Έχουμε λοιπόν , cosu x dv xdx= = .
Για την εφαρμογή του τύπου ολοκλήρωσης κατά παράγοντες χρειαζόμαστε ακόμη να
υπολογίσουμε το du και το v .
Επειδή u x du dx= ⇒ = . Επειδή cosdv xdx= η απλούστερη αντιπαράγωγος του
cos x είναι το sin x ( δηλαδή cos sindv xdx v x= ⇒ =∫ ∫ ), οπότε sinv x=
(επιλέξαμε u x= γιατί απλοποιείται όταν παραγωγιστεί -έχει παράγωγο 1- και
cosdv xdx= γιατί ολοκληρώνεται εύκολα)
Άρα,
udv uv vdu= − ⇒∫ ∫ { cos
u dv
x xdx=∫ 123
sin sinx x xdx= − =∫ γιατί ,u x du dx= = , sinv x= , cosdv xdx=
sin ( cos )x x x c= − − + = γιατί sin cosxdx x=−∫ (γιατί (cos ) sinx x′=− )
sin cosx x x c= + +
13

14. Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα ln xdx∫ με ολοκλήρωση κατά παράγοντες.
Λύση
Ο τύπος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες που θα εφαρμόσουμε είναι
udv uv vdu= −∫ ∫
Παρατηρούμε κατ΄ αρχάς ότι το αρχικό ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί στη μορφή
ln 1x dx×∫
Έχουμε lnu x= . →απλοποιείται παραγωγίζοντας:
1
du dx
x
=
dv dx= → ολοκληρώνεται εύκολα: dv dx v x= ⇒ =∫ ∫
Έτσι,
udv uv vdu= − ⇒∫ ∫
{ { { { {ln (ln ) (ln )
u dv v vu dv
xdx x x xd x= − =∫ ∫ 123
ln (ln )x x x x dx′= − =∫ γιατί (ln ) (ln )d x x dx′=
lnx x x= −
1
x
dx =∫ γιατί
1
(ln )x dx dx
x
′ =
lnx x dx= − =∫
lnx x x c= − +
Παρατήρηση
Όταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση εμφανίζεται σαν γινόμενο δύο συναρτήσεων, ένας
άλλος τρόπος τότε για να εφαρμόσουμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες είναι να
γράψουμε τη μία από τις δύο συναρτήσεις μέσα στο διαφορικό και να εφαρμόσουμε
κανονικά τη διαδικασία ολοκλήρωσης κατά παράγοντες.
Για να γράψουμε τη μία συνάρτηση μέσα στο διαφορικό την ολοκληρώνουμε. Αυτό
γίνεται γιατί το ολοκλήρωμα αναιρεί την παράγωγο, οπότε το ( ) ( )d u x dx u x dx=∫
Δηλαδή, ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]u x v x dx v x d u x dx=∫ ∫ ∫
ή ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]u x v x dx u x d v x dx=∫ ∫ ∫
14

15. Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα
x
xe dx∫ με ολοκλήρωση κατά παράγοντες.
Λύση
Έστω ( )u x x= και ( ) x
v x e= .
Σύμφωνα με τον τύπο ολοκλήρωσης κατά παράγοντες udv uv vdu= −∫ ∫ θα έχουμε:
[ ]x x
xe dx x d e dx= =∫ ∫ ∫ γράψαμε την x
e μέσα στο διαφορικό
( )x
xd e= =∫ γιατί
x x
e dx e=∫
x x
xe e dx= − =∫ εφαρμόσαμε τον κανόνα udv uv vdu= −∫ ∫ για
( )u x x= και ( ) x
v x e=
x x
xe e c= − + γιατί
x x
e dx e=∫
15

16. 16

17. 17

18. 18

19. Επανειλημμένη χρήση ολοκλήρωσης κατά παράγοντες
Σχόλιο:
Πολλές φορές μπορεί να πρέπει να εφαρμόσουμε τον τύπο ολοκλήρωσης κατά
παράγοντες περισσότερες από μία φορά.
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα
2 x
x e dx∫ με ολοκλήρωση κατά
παράγοντες.
Λύση
2 2
[ ]x x
I x e dx x d e dx= = =∫ ∫ ∫ γράψαμε την x
e μέσα στο διαφορικό
2
( )x
x d e= =∫ γιατί
x x
e dx e=∫
2 2
( )x x
x e e d x= − =∫ εφαρμόσαμε τον κανόνα udv uv vdu= −∫ ∫ για
2
( )u x x= και ( ) x
v x e=
2
2x x
x e e x dx= − =∫ γιατί 2
( ) 2d x x dx=
2
2x x
x e xe dx= − =∫
Στο σημείο αυτό πρέπει πάλι να εφαρμόσουμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες για τον
υπολογισμό του ολοκληρώματος
x
xe dx∫
Με δεύτερη εφαρμογή ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε:
2
2x x
I x e xe dx= − =∫
2
2[ ]x x x
x e xe e dx= − − =∫
2
2 2x x x
x e xe e dx= − + =∫
2
2 2x x x
x e xe e c= − + + =
2
( 2 2) x
x x e c= − + +
19

20. Παρατήρηση
Όταν εφαρμόζουμε τον τύπο ολοκλήρωσης κατά παράγοντες περισσότερες φορές από
μία τότε μπορεί να εμφανιστεί στο δεύτερο μέλος πάλι το αρχικό ολοκλήρωμα. Ι. Στη
περίπτωση αυτή λύνουμε ως προς Ι και έχουμε το ζητούμενο ολοκλήρωμα.
Παράδειγμα
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
2
sin xdx∫
χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες.
Λύση
2
sinI xdx= =∫ sin sinx xdx =∫ sin ( cos )x x dx′−∫ γιατί (cos ) sinx x′ = −
{sin ( cos )
u
dv
x d x= − =∫ 14243 εφαρμόζουμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες με
sin , ( cos )u x dv d x= = − οπότε sindu d x=
και cosv x= −
{sin ( cos ) ( cos ) sin
u duv v
x x x d x= − − − =∫ 12314243 14243 udv uv vdu= −∫ ∫
sin cos cos cosx x x xdx= − + =∫ γιατί sin cosd x xdx=
2
sin cos cosx x xdx= − + =∫
2
sin cos (1 sin )x x x dx= − + − =∫ γιατί 2 2
os 1 sinc x x= −
2
sin cos sin
I
x x xdx xdx= − + − =∫ ∫14243
sin cosx x x I= − + −
Συνεπώς,
sin cosI x x x I= − + − ⇒
2 sin cosI x x x= − + ⇒
2 sin cosI x x x= − ⇒
sin cos
2
x x x
I c
−
= +
20

21. 21

22. C Αναγωγικοί τύποι
Τύποι, οι οποίοι συνδέουν το ολοκλήρωμα ( )n nI f x dx= ∫ με το ( )1 1n nI f x dx− −= ∫ ή
το ( )2 2n nI f x dx− −= ∫ κ.λ.π. λέγονται αναγωγικοί τύποι.
Παράδειγμα
a) Να δείξετε τον αναγωγικό τύπο 1lnn
n nI x x nI −= − αν lnn
nI xdx= ∫ .
b) Να υπολογίσετε το
5
5 lnI xdx= ∫ , χρησιμοποιώντας το πρώτο ερώτημα
Λύση
a)
( ) ( ) 1
1
1
ln ln ln ln ln
ln ln ln
n n n n n
n
n n n
n
dx
I xdx x x xd x x x xn x
x
x x n xdx x x nI
−
−
−
= = ∗ − = − =
= − = −
∫ ∫ ∫
∫
δηλαδή
1lnn
n nI x x nI −= −
b) Από τον αναγωγικό αυτόν τύπο 1lnn
n nI x x nI −= − του πρώτου ερωτήματος
έχουμε
2
2 1ln 2I x x I= − ∗
( )3 3 2 3 2
3 2 1 1ln 3 ln 3 ln 2 ln 3 ln 6I x x I x x x x I x x x x I= − ∗ = − − ∗ = − + ∗
( )4 4 3 2 4 3 2
4 3 1 1ln 4 ln 4 ln 3 ln 6 ln 4 ln 12 ln 24I x x I x x x x x x I x x x x x x I= − ∗ = − − + ∗ = − + − ∗
( )5 5 4 3 2
5 4 1
5 4 3 2
1
ln 5 ln 5 ln 4 ln 12 ln 24
ln 5 ln 20 ln 60 ln 120
I x x I x x x x x x x x I
x x x x x x x x I
= − ∗ = − − + − ∗ =
= − + − + ∗
Επειδή
0
1 0ln 1 ln ln ln lnI x x I x x xdx x x dx x x x c= − ∗ = − = − = − +∫ ∫ έχουμε
( )
1
5 4 3 2
5
5 4 3 2
ln 5 ln 20 ln 60 ln 120 ln
ln 5 ln 20 ln 60 ln 120 ln 120 120
c
I x x x x x x x x x x x c
x x x x x x x x x x x c
σταθερα
= − + − + − + =
= − + − + − + ∗123
22

23. D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων
Το θέμα μας στην παράγραφο αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας
θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές.
Ορισμός
Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί να γραφεί στην μορφή
( )
( )
p x
q x
, όπου τα
( )p x και ( )q x είναι πολυώνυμα του x με βαθμό του ( ) 1q x ≥ . Δηλαδή η ρητή
συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων.
Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
( )
( )
p x
I dx
q x
= ∫
Πριν δούμε τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος, θα δούμε πρώτα την
τεχνική των μερικών κλασμάτων.
Σύμφωνα με ένα θεώρημα της άλγεβρας, κάθε ρητή συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν
άθροισμα κλασμάτων, τα οποία λέγονται μερικά κλάσματα. Η τεχνική αυτή
καλείται μέθοδος των μερικών κλασμάτων.
Έτσι, το ολοκλήρωμα μιας ρητής συνάρτησης ισούται με το ολοκλήρωμα του
αθροίσματος των μερικών κλασμάτων. Δηλαδή, η ολοκλήρωση της ρητής
συνάρτησης αντικαθίσταται από την ολοκλήρωση του αθροίσματος των μερικών
κλασμάτων, τα οποία είναι απλούστερα και μπορούμε να τα ολοκληρώσουμε με μια
από τις ήδη γνωστές μεθόδους ολοκλήρωσης.
Ας δούμε πρώτα την αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή τη διαδικασία πρόσθεσης
αλγεβρικών κλασμάτων.
Η διαδικασία για την πρόσθεση αλγεβρικών κλασμάτων είναι η εξής:
1. βρίσκουμε έναν κοινό παρανομαστή κάνοντας τα κλάσματα ομώνυμα.
2. αθροίζουμε τα ομώνυμα κλάσματα που προκύπτουν
3. κάνουμε απλοποίηση.
Παράδειγμα:
Βήμα 1:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3 3 12 3
1 3 1 3 1 3
x x
x x x x x x
− +
+ = +
+ − + − + −
Βήμα 2:
( ) ( )
( ) ( )
2 3 3 1
1 3
x x
x x
− + +
=
+ −
Βήμα 3:. 2
5 3
2 3
x
x x
−
=
− −
Άρα αν είχαμε να υπολογίσουμε το 2
5 3
2 3
x
dx
x x
−
− −∫ θα αντιστρέφαμε την παραπάνω
διαδικασία. Έτσι,
2
5 3 2 3
2 3 1 3
x
dx dx dx
x x x x
−
= +
− − + −∫ ∫ ∫
συνεχίζοντας κατά τα γνωστά προκύπτει
2ln 1 3ln 3x x c+ + − + .
23

24. Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να βρούμε το απλούστερο άθροισμα με τη μέθοδο των
μερικών κλασμάτων, στο προηγούμενο παράδειγμα, εφαρμόζοντας ουσιαστικά την
αντίστροφη διαδικασία.
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
2
5 3
2 3
x
dx
x x
−
− −∫
χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των μερικών κλασμάτων.
Λύση
Παραγοντοποιούμε πρώτα τον παρανομαστή:
( ) ( )2
2 3 1 3x x x x− − = + −
κατόπιν προσδιορίζουμε τις τιμές των Α και Β έτσι ώστε:
2
5 3
2 3 1 3
x A B
x x x x
−
= +
− − + −
Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και απλοποιούμε:
( ) ( )}
( ) ( )
5 3 3 1
1 3
x A x B x
x x
πολλαπλασιαζουµε και τα δυο µελη
της εξισωσης µε
− = − + +
+ −
( ) }3A B x A B συγκεντρωνουµε τους οµοειδεις ορους= + − +
Εξισώνουμε τώρα τους συντελεστές όμοιων δυνάμεων, παίρνοντας το ακόλουθο
σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
5
3 3
Α + Β =
− Α + Β = −
Λύνοντας τις εξισώσεις αυτές ως σύστημα παίρνουμε Α = 2 και Β = 3. Συνεπώς,
2
5 3 2 3
2 3 1 3
x
dx dx dx
x x x x
−
= +
− − + −∫ ∫ ∫ =2ln 1 3ln 3x x c+ + − + .
Γενικά, επειδή ο υπολογισμός του ολοκληρώματος
( )
( )
p x
dx
q x
Ι = ∫ με τη μέθοδο των
μερικών κλασμάτων εξαρτάται από το άθροισμα απλούστερων κλασμάτων θα δούμε
πρώτα τον τρόπο με τον οποίο από μια ρητή συνάρτηση θα προκύψει ισοδύναμο
άθροισμα απλούστερων κλασμάτων.
Για την εύρεση των κλασμάτων του αθροίσματος διακρίνουμε δύο περιπτώσεις,
ανάλογα με το βαθμό των πολυωνύμων ( )p x και ( )q x . Έτσι έχουμε:
1η
περίπτωση: βαθμός ( )p x ≥ βαθμός ( )q x
2η
περίπτωση: βαθμός ( )p x < βαθμό ( )q x
Και στις δύο περιπτώσεις θα αναλύσουμε με κατάλληλο τρόπο τη ρητή συνάρτηση σε
άθροισμα απλούστερων κλασμάτων.
24

25. 1η
περίπτωση:
( )
( )
p x
dx
q x∫ με βαθμό ( )p x ≥ βαθμό ( )q x
βήμα 1: Εκτελούμε τη διαίρεση ( ) ( ):p x q x , οπότε έχουμε
( )
( )
( )
( )
p x q x
x xυ π
, δηλαδή ( ) ( ) ( ) ( )p x x q x xπ υ= +
με βαθμό ( )xυ < βαθμό ( )q x
βήμα 2: Υπολογισμός του ολοκληρώματος αφού αντικαταστήσουμε το ( )p x από το
( ) ( ) ( )x q x xπ υ+ που βρήκαμε στο βήμα 1.
Έτσι έχουμε:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
x q x
p x x q x x x q x x
dx dx dx dx
q x q x q x q x
x
x dx dx
q x
υπολογιζεται
κατα τα γνωστα επειδη βαθµοςυ βαθµο
ο υπολογισµος αυτου τουολοκληρωµατος
αναγεται στη η περιπτωση του υπολογισµου
ολοκληρωµατος ρητων συναρτησε
π υ π υ
υ
π
<
+
= = + =
= +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫14243
.ων
14243
Σχόλιο: Δηλαδή η περίπτωση 1 ανάγεται στην περίπτωση 2.
2η
περίπτωση:
( )
( )
p x
dx
q x∫ με βαθμό ( )p x < βαθμό ( )q x
Αναλύουμε το κλάσμα
( )
( )
p x
q x
σε άθροισμα απλών κλασμάτων ανάλογα με τις ρίζες
του παρανομαστή, δηλαδή τις ρίζες του ( )q x .
Έτσι έχουμε τις εξής 4 περιπτώσεις:
a) αν το ( )q x έχει μια απλή πραγματική ρίζα α, τότε
( )
( )
p x A
q x x a
=
−
b) αν το ( )q x έχει μια πολλαπλή ρίζα x a= με βαθμό πολλαπλότητας 2r ≥ ,τότε
( )
( ) ( ) ( )
1 2
2
... r
r
p x A A A
q x x a x a x a
= + + +
− − −
c) αν το ( )q x έχει ζεύγος απλών συζυγών μιγαδικών ριζών 1,2x iλ µ= ± , τότε
( )
( ) ( )
2 2
p x Bx
q x x λ µ
+ Γ
=
− +
π.χ.: αν 1x iλ µ= + και 2 iχ λ µ= −
τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2
1 2x x x x x i x i x i xλ µ λ µ λ µ λ µ− − = − − − + = − − = − +
Όταν ο παρανομαστής είναι άθροισμα τετραγώνων τότε ο αριθμητής θα είναι
πολυώνυμο 1ου
βαθμού, δηλαδή της μορφής ax b+
Δηλαδή το πολυώνυμο με απλές μιγαδικές ρίζες δεν αναλύεται σε γινόμενο,
αλλά γράφεται σαν άθροισμα τετραγώνων.
25

26. d) αν το ( )q x έχει ζεύγος πολλαπλών συζυγών μιγαδικών ριζών με βαθμό
πολλαπλότητας r, τότε το
( )
( )
p x
q x
αναλύεται σε άθροισμα κλασμάτων ως εξής:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
2 22 2 22 2
... r r
r
p x B x B x B x
q x x x xλ µ λ µ λ µ
+ Γ + Γ + Γ
= + + +
− +    − + − +
   
Διαδικασία εύρεσης των ζητούμενων σταθερών
Οι σταθερές , ,i i iA B Γ προκύπτουν ως εξής:
1. κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών
2. εξισώνουμε τους συντελεστές των ίσων δυνάμεων του x
3. λύνουμε το σύστημα που προκύπτει ως προς τα , ,i i iA B Γ και έχουμε τις
ζητούμενες σταθερές.
Παρατήρηση
Έχουμε δει μέχρι τώρα τη μορφή της ανάλυσης μιας συνάρτησης
( )
( )
p x
q x
ανάλογα με
το βαθμό των πολυωνύμων ( )p x και ( )q x και ανάλογα με τις ρίζες του
παρανομαστή ( ) 0q x = .
Είδαμε επίσης τον τρόπο υπολογισμού των σταθερών , ,i i iΑ Β Γ που εμφανίζονται
στους αριθμητές των απλών κλασμάτων, όπου κάνοντας πρώτα απαλοιφή
παρανομαστών και εξισώνοντας τους συντελεστές των ίσων δυνάμεων του x
προέκυψε ένα σύστημα η λύση του οποίου μας έδωσε τις ζητούμενες σταθερές.
Έτσι, τα ζητούμενα ολοκληρώματα θα είναι αντίστοιχα της μορφής:
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 3 42 2 2 2
, , ,m m
Bx dx Bx dxA A
I dx I dx I I
x x x xα α λ µ λ µ
+ Γ + Γ
= = = =
− − − +  − +
 
∫ ∫ ∫ ∫
όπου 2m ≥ .
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( ) ( )
2
3
2 4
1 2
x x
dx
x x
+
− −
∫
Λύση
Θα αναλύσουμε το κλάσμα
( ) ( )
2
3
2 4
1 2
x x
x x
+
− −
σε άθροισμα απλών κλασμάτων.
Ο βαθμός αριθμητή < βαθμό παρανομαστή (περίπτωση 2)
26

27. Άρα θα γράψουμε τον παρανομαστή σαν γινόμενο βρίσκοντας τις ρίζες του, δηλαδή
θα λύσουμε την εξίσωση ( ) 0q x = .
Εδώ δεν χρειάζεται να γίνει αυτό γιατί ήδη ο παρονομαστής είναι στη μορφή αυτή:
( ) ( ) ( )
3
1 2q x x x= − −
Από τη μορφή του παρονομαστή βλέπουμε ότι το
( ) ( ) ( )
3
1 2 0q x x x= − − = έχει την 1 1x = (απλή ρίζα) και την 2 2x = (τριπλή ρίζα).
Οπότε, το
( )
( )
p x
q x
θα αναλυθεί σε άθροισμα 4 κλασμάτων γιατί ο βαθμός του
παρανομαστή είναι 4, με αριθμητή σταθερές.
Συνεπώς έχουμε:
( ) ( )
2
31 2 4
2 33
2 4
( 1)( 2) 1 2 2 2
AA A Ax x
x x x x x x
+
= + + +
− − − − − −
Εφαρμόζοντας τη διαδικασία που αναπτύξαμε παραπάνω για την εύρεση των
σταθερών ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα
Βήμα 1. Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 22
1 2 3 4
3 3 3 33
3 22
1 2 3 4
2 1 2 1 2 12 4
( 1)( 2) 1 2 1 2 1 2 1 2
2 4 2 1 2 1 2 1 ( )
A x A x x A x x A xx x
x x x x x x x x x x
x x A x A x x A x x A x a
− − − − − −+
= + + + ⇒
− − − − − − − − − −
+ = − + − − + − − + −
Από τη σχέση αυτή θα προκύψουν τα 1 2 3 4, , ,A A A A , εκτελώντας τα παρακάτω
βήματα 2 και 3.
Βήματα 2,3 Κάνοντας πράξεις και εξισώνοντας τις ίσες δυνάμεις του x προκύπτει
ένα σύστημα, η λύση του οποίου δίνει τα ζητούμενα , 1,2,3,4iA i =
ή για να αποφύγουμε τις πράξεις μπορούμε να δουλέψουμε ως εξής:
Θέτουμε 2x = στην (α) οπότε προκύπτει 4 16A =
Θέτουμε 1x = στην (α) οπότε προκύπτει 1 6A = −
Δίνουμε δύο αυθαίρετες τιμές π.χ. 0x = και 3x = και έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
1 2 3 40:0 2 1 2 1 2 1x A A A A= = − + − − + − − + −
2 3 2
1 2 3 43: 2 3 4 3 1 2 1 2 1 2x A A A A= ∗ + ∗ = ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗ + ∗
από αυτές προκύπτει: 1 4 2 36, 16, 6, 4A A A A= − = = = −
Οπότε: το αρχικό μας κλάσμα γράφεται σαν άθροισμα απλούστερων ως εξής:
27

28. ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2 3
2 4 6 6 4 16
1 21 2 2 2
x x
x xx x x x
+ − −
= + + +
− −− − − −
Άρα
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
3 2 3
2 3
2 3
2 3
2
2 4 6 6 4 16
1 21 2 2 2
6 6 4 16
1 2 2 2
1 2 2 2
6 6 4 16
1 2 2 2
6ln 1 6ln 2 4 2 2 16 2 2
2
6ln 1 6ln 2 4
x x
dx dx dx dx dx
x xx x x x
dx dx dx dx
x x x x
d x d x d x d x
x x x x
x x x d x x d x
x
x x
− −
− +
+ − −
= + + + =
− −− − − −
= − + − + =
− − − −
− − − −
= − + − + =
− − − −
= − − + − − − − + − − =
−
= − − + − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
( ) ( )
1 3 1
1 2
2
16
2 1 3 1
6ln 1 6ln 2 4 2 8 2
x
c
x x x x c
− +
− −
−
+ + =
− + − +
= − − + − + − − − +
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το
( ) ( )2 2
1
2 4 5
dx
x x x+ + +
∫
Λύση
βαθμός παρανομαστή = 4 >βαθμό αριθμητή = 1
Ο παράγοντας 2
4 5x x+ + έχει 2
4 16 4 1 5 16 20 4 0β αγ∆ = − = − ∗ ∗ = − = − <
Άρα έχει μιγαδικές ρίζες τις 1 2x i= − + και 2 2x i= − − .
Συνεπώς ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
2 22 2
4 5 2 2 2 2 1
x x x x
x x x i x i x i x
− −
+ + = + − + + = + − = + +
(περίπτωση c, με λ=-2 και μ=1: 2 2 2
( ) ( 2) 1x xλ µ− + = + + )
Άρα
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 4
2 2
2
1
2 2
3 41 2
2 2
1
2 4 5
1
2 2 1
2 2 2 1
x A
x x x
x x
A x AA A
x x x
ου βαθµου και σε αυτο αντιστοιχουν επειδη ειναι αθροισµα τετραγωνων
δυο σταθεροι οροι µε σταθερο αριθµητη θα εχει αριθµητη πολυωνυµο ου βαθµου
Α +
=
+ + +
= =
 + + +
 
+
= + +
+ + + +
14243 1442443
28

29. Με απαλοιφή παρανομαστών έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 41 2 1 2 2 1 2x x x x A x   = Α + + + + Α + + + Α + +
   
για
2
1 2 4
1 3 4 2
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1
0 1 10 5 4
0, 0, 1, 1
1 1 2 2
3 1 2 2 3
x A
x A A A
A A A A
x A A A A
x A A A A
= − ⇒ = 
= ⇒ = ∗ + ∗ + ∗ 
= = = − =
= − ⇒ = ∗ + ∗ − + 
= − ⇒ = − ∗ + ∗ − ∗ + 
Άρα
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
1 1 1
2 2 12 2 1 x xx x
= −
  + + ++ + +
 
Επομένως,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 22
2 2
1 1
2 4 5 2 2 1
2 2
2 2 1
1
arctan 2
2
dx
dx dx
x x x x x
d x d x
x x
x c
x
= − =
+ + + + + +
+ +
= − =
+ + +
=− − + +
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
2
3
4
x
dx
x x
−
−∫
(Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε την ανάλυση σε επί μέρους κλάσματα)
Λύση
( )
( )2
3
4
p xx
x x q x
−
=
−
επειδή βαθμός ( )p x < βαθμό ( )q x το κλάσμα επιδέχεται ανάλυση σε άθροισμα
απλών κλασμάτων. Η ανάλυση εξαρτάται από τις ρίζες του παρανομαστή. ( )q x .
Βρίσκουμε τις ρίζες του
( ) ( )2 0
0 4 0 4 0
4 0 4
x
q x x x x x
x x
=
= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ 
− = ⇒ =
οπότε
( )2
3 3
4 4 4
x x A B
x x x x x x
− −
= = +
− − −
Για να υπολογίσουμε τα Α και Β κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών και στη συνέχεια
εξισώνουμε τους συντελεστές των ίσων δυνάμεων του x, οπότε προκύπτει ένα
σύστημα, η λύση του οποίου θα μας δώσει τις σταθερές Α και Β.
29

30. Έχουμε λοιπόν:
( )
( )
( )
1
4
3
3 4
4 4
3 4 3 4
1 4 3
x x
x A B
x A x Bx
x x x x
x Ax A Bx x A B x A
A B A
απαλοιφη
παρανοµαστων
εξισωνουµε τους
συντελεστες
και
−∪
−
= + ⇒ − = − + ⇒
− −
− = − + ⇒ − = + − ⇒
+ = − = −
( (
Έτσι, λύνουμε το σύστημα
1
1 3 3 4 3 1
1 13 3
4 3 4 4 4 4
4 4
A B
A B
B B
A A
+ = 
+ =  −
⇒ ⇒ + = ⇒ = − = = −
− = − = = − 
οπότε το ολοκλήρωμα δίνει:
2
3 3 1 1 1
4 4 4 4 4
3 1 1 1 3 1
( 4) ln ln 4
4 4 4 4 4
x A B
dx dx dx dx dx
x x x x x x
dx d x x x c
x x
−
= + = + =
− − −
= + − = + − +
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
2
5
1
x x
I dx
x
− +
=
−∫
Λύση
Το κλάσμα
( )
( )
2
5
1
p x x x
q x x
− +
=
−
είναι καταχρηστικό, δηλαδή
. . . .βαθµ αριθµ βαθµ παρανοµ> Άρα θα κάνουμε πρώτα τη διαίρεση των
πολυωνύμων p(x), q(x) και έχουμε p(x)=q(x)π(x)+υ(x)×
2
2
5 1
5
x x x
x x x
− +/ / −
− +/ /
δηλαδή ( )2
5 1 5x x x x− + = − + ,
Θα υπολογίσουμε τώρα το ολοκλήρωμα αντικαθιστώντας το ( ) 2
5p x x x= − + με το
ίσο του ( ) ( ) ( ) ( )1 5q x x x x xπ υ× + = − +
Δηλαδή,
( ) ( )2
1 5 15 5 5
1 1 1 1 1
x x x xx x
x
x x x x x
− + −− +
= = + = +
− − − − −
Άρα
30

31. ( ) ( )
( )
2
2 2 2
1 5 15 5 5
1 1 1 1 1
5 1 1
5 5 1 5ln 1
1 2 1 2 1 2
x x x xx x
dx dx dx x dx
x x x x x
x x x
xdx dx dx d x x c
x x x
− + − − +  
= = + = + = ÷  ÷
− − − − −  
= + = + = + − = + − +
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Παράδειγμα:
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( )2 2
1
dx
x x +∫ (με ανάλυση σε άθροισμα απλών κλασμάτων)
Λύση
Η ολοκληρωτέα συνάρτηση
( )2 2
1
1x x +
είναι ρητή με βαθμό αριθμ.< βαθμό παραν.
Βρίσκουμε τις ρίζες του παρανομαστή
( )2 2
11 0 0x x x+ = ⇒ = (διπλή ρίζα) και 2 3,x i x i= = −
Άρα
{ ( )
1
3 4
3 41 2
2 22 2
0
.
1
1
11
x x x x
A x A
A x AA A
x x xx x
µιγαδικες ριζες αριθµ πολυωνυµο
ου βαθµου
− = − =
⇒
+
+
= + +
++
123
βαθμός παρανομαστή (= 4) = πλήθος όρων στο 2ο
μέλος (γιατί το 3 4
2
1
A x A
x
+
+
μπορεί να
‘σπάσει’ σε 2 όρους).
Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών και έχουμε:
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
21 1
2 23 41 2
1 2 3 42 22 2
1
1 1 1
11
xx x x
A x AA A
A x x A x A x A x
x x xx x
+ + ∪
+
= + + ⇒ = + + + + +
++
( (
προσδιορίζουμε τα 1 2 3 4, , ,A A A A από το σύστημα
2 2
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0: 1 1
1: 1 2 2
0, 1, 0, 1
1: 1 2 2
2: 1 10 5 8 4
x A A
x A A A A
A A A A
x A A A A
x A A A A
= = ⇒ = 
= − = − ∗ + ∗ − + 
⇒ = = = = −
= = ∗ + ∗ + + 
= = ∗ + ∗ + ∗ + ∗ 
άρα
( ) 2 22 2
1 1 1
11 x xx x
−
= +
++
Άρα,
( )
2 1
2 1
2 2 22 2
1 1
arctan arctan
1 1 2 11
dx dx x
dx dx x dx x c x x c
x x xx x
− +
− −−
= + = − = − + = − − +
+ + − ++∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
31

32. 1
x
dx
x +∫
Λύση
Έχουμε
( )
( ) 1
p x x
q x x
=
+
οπότε βαθμός αριθμ. = βαθμό παρανομαστή
( )
( )
1
1
1 1
x
x x
x
x
υ
π
↓
+
− −
− =
Επομένως,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
p x x
p x q x x x x
q x q x x
υ
π υ π
−
= ∗ + ⇒ = + = +
+
όπου βαθμός ( )xυ < βαθμό ( )q x
Άρα,
( )
1 1
1
1 1 1 1
1
ln 1
1
x dx
dx dx dx dx x
x x x x
d x
x x x c
x
 
= − = − = − = ÷
+ + + + 
+
= − = − + +
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
32