John Fiorentinos, profile picture
Uploaded byJohn Fiorentinos
605 views

Κυματική εξίσωση και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ

Embed presentation

Download to read offline
ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ ΚΑΙ LORENTZ Σε προηγούμενη εργασία με τον τίτλο «Εξισώσεις Maxwell και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz», είδαμε ότι με εφαρμογή του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου στην τέταρτη εξίσωση του Maxwell (γενικευμένος νόμος του Ampere, ρεύμα μετατόπισης), η εν λόγω εξίσωση δεν παραμένει αναλλοίωτη, ενώ αντίθετα ο μετασχηματισμός Lorentz διατηρεί αναλλοίωτη τη μορφή της συγκεκριμένης εξίσωσης (καθώς και των υπολοίπων εξισώσεων Maxwell). Στη συγκεκριμένη εργασία θα δούμε ότι και η κυματική εξίσωση δεν παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τον μετασχηματισμό Γαλιλαίου, ενώ αντίθετα ο μετασχηματισμός Lorentz «σέβεται» το αναλλοίωτο της εν λόγω εξίσωσης. Θεωρούμε λοιπόν δύο διαφορετικά συστήματα αναφοράς Ο  και Ο΄με το Ο΄ να κινείται με σταθερή ταχύτητα  ως προς το Ο. Για ευκολία θα θεωρήσουμε ότι η κίνηση γίνεται κατά μήκος του άξονα των x (σχήμα 1). Σχήμα 1
Ο μετασχηματισμός Lorentz, έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 1. Είναι γραμμική συνάρτηση του x και του t. 2. Τα y και z δεν αλλάζουν κατά τον μετασχηματισμό Lorentz μεταξύ των συστημάτων του σχήματος 1 3. Η ταχύτητα του κύματος (φωτός) παραμένει αναλλοίωτη. 4. Αν εφαρμόσουμε ένα δεύτερο μετασχηματισμό (θέτοντας  στη θέση του  ) «επιστρέφουμε» στις αρχικές συντεταγμένες 5. Αν θεωρήσουμε μικρές ταχύτητες (   1 ), ο μετασχηματισμός c Lorentz «τείνει» στο μετασχηματισμό του Γαλιλαίου. Ο μετασχηματισμός λοιπόν Lorentz (για τα συστήματα αναφοράς του σχήματος 1) είναι: x   ( x  t ) y  y t    (t  z  z ,  c2 όπου: (1.1) (1.2) (1.3) x)  1 1 (1.4) 2 c2 Για μικρές ταχύτητες (   1 ), έχουμε: c  1 και  c2  0, οπότε παίρνουμε το μετασχηματισμό του Γαλιλαίου. (Στον οποίο επίσης οδηγούμαστε αν θεωρήσουμε ότι c )
Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι: x   ( x  t ) y  y t   (t   ,  c2 (2.1) z  z (2.2) x) (2.3) Έχει ενδιαφέρον να δείξουμε ότι αν εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό πρώτα θεωρώντας την αλλαγή από το σύστημα Ο στο σύστημα Ο΄(ταχύτητα υ) και στη συνέχεια εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό από το Ο΄στο Ο (ταχύτητα –υ), θα πάρουμε τις αρχικές συντεταγμένες. Εφαρμόζοντας λοιπόν τον μετασχηματισμό (από το Ο στο Ο΄) έχουμε: x   ( x  t ) (3.1)
y  y z  z , t    (t   (3.2) (3.3) x) c2 Ας θεωρήσουμε ότι μετασχηματισμού, μας οδηγεί στα η εφαρμογή του δεύτερου x , y  , z  και t  . Θα έχουμε: (4.1) x   ( x  t ) , y  y t    (t   z  z  c2 (4.2) x) (4.3) Από τις σχέσεις (4.1) και (3.1), παίρνουμε: x   ( x  t )   [ ( x  t )   (t    2 x   2t   2t   2   2 (1  2 c2 2  c2 x)]   c2 (5.1) )x  x Από τις σχέσεις (4.3) και (3.3) παίρνουμε: t    (t    2t   2   2 (1   c  c2 2 c2 2 x)   [ (t  x  2 )t  t  c2 x  2  c 2 2 c2 x)   c2  ( x  t )  t (5.2)
Έτσι λοιπόν είναι: , z  z , y  y x  x , αρχικές συντεταγμένες. t   t , καταλήγουμε δηλαδή στις Ο Lorentz βρήκε το μετασχηματισμό που φέρει το όνομά του, στην προσπάθειά του να βρει ένα μετασχηματισμό που να αφήνει αναλλοίωτες τις εξισώσεις του Maxwell, όπως επίσης και την κυματική εξίσωση διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος (που απορρέει από αυτές). Ήταν γνωστό ότι με εφαρμογή του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου κάποιες από τις εξισώσεις του Maxwell δεν παραμένουν αναλλοίωτες κάτι που συμβαίνει και με την κυματική εξίσωση. Στο κενό (όπου η πυκνότητα φορτίου και η πυκνότητα ρεύματος είναι μηδέν), η εξίσωση διάδοσης του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου αντίστοιχα, είναι:   1 2E  E 2 2 0 c t (6.1) 2   1 2B  B 2 2 0 c t (6.2) 2 όπου:     E  E( x, t )  E( x, y, z, t ) και     B  B(x , t )  B(x, y, z, t )  ( Για μια ποσότητα  ( x, t ) , η κυματική εξίσωση είναι: 2  1  2 0 c 2 t 2 (6.3)). Η εξίσωση λοιπόν 6.1, όπως και η 6.2 είναι στην πραγματικότητα μια διανυσματική εξίσωση. Κάθε καρτεσιανή   συνιστώσα του E ή του B υπακούει στην εξίσωση 6.3
Έχει ενδιαφέρον να δούμε πως φθάνουμε στις εξισώσεις 6.1 και 6.2, με αφετηρία τις εξισώσεις του Maxwell στο κενό. Οι  εξισώσεις λοιπόν του Maxwell στο κενό (   0 , j  0 ) παίρνουν τη μορφή:   .E  0 (7.1)   .B  0 (7.2)    B  E   t (7.3)    E  B   0 0 t (7.4)  Για να φθάσουμε στην εξίσωση διάδοσης του E (εξίσωση  6.1), ξεκινάμε με την διανυσματική ποσότητα:  ( E) . Έχουμε:      ( E)  (.E)  2 E  2 E όπου θέσαμε: Όμως:  (.E)  0 (7.5) λόγω της 7.1   B  E   t (εξίσωση 7.3), οπότε:     B  2E  ( E )   ( )   ( B)   0 0 2 t t t (7.6) όπου κάναμε χρήση της εξίσωσης 7.4 Από τις σχέσεις 7.5 και 7.6 βρίσκουμε ότι:   2E  E  0 0 2  0 t 2 (7.7)
καταλήγουμε δηλαδή στην εξίσωση 6.1, με την ταχύτητα c να είναι: c 1 (7.8) 0 0 Με όμοιο τρόπο για να φθάσουμε στην εξίσωση διάδοσης με τη διανυσματική ποσότητα:  του B (εξίσωση 6.2) ξεκινάμε   ( B) . Έχουμε λοιπόν:      ( B)  (.B)  2 B  2 B (7.9) όπου κάναμε χρήση της 7.2 Επίσης, μέσω της 7.4:    E   ( B)   ( 0 0 )  0 0 ( E )  t t    B 2B  0 0 ( )  0 0 2 t t t (7.10) όπου κάναμε χρήση της 7.3 Από τις 7.9 και 7.10 βρίσκουμε ότι:   2B  B  0 0 2  0 t (7.11) 2 καταλήγουμε δηλαδή στην 6.2, με: c 1 0 0 Για την ιστορία να αναφέρουμε ότι όταν ο Maxwell έφτασε στην κυματική εξίσωση, γνώριζε τις τιμές των σταθερών μ0 και ε0 από τα αποτελέσματα διαφόρων πειραμάτων στις ηλεκτρικές και μαγνητικές δυνάμεις. Βρήκε λοιπόν ότι η ταχύτητα του κύματος που
περιέγραφαν οι εξισώσεις του ήταν, μέσα στα όρια του πειραματικού σφάλματος, ίση με την ταχύτητα του φωτός. Έτσι με την όμορφη και κομψή μαθηματική θεωρία του ανακάλυψε ότι το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Πριν όμως επιστρέψουμε στο μετασχηματισμό Lorentz ας δούμε γιατί ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου δεν αφήνει αναλλοίωτη την κυματική εξίσωση. Αναφερόμενοι στα συστήματα του σχήματος 1, ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου είναι: (8.1) x  x  t y  y t  t , z  z (8.2) (8.3) Θα δείξουμε ότι ο παραπάνω μετασχηματισμός δεν αφήνει αναλλοίωτη την κυματική εξίσωση. Ας ξεκινήσουμε με την εξίσωση:
2F 2F 2F 1 2F    0  x 2  y 2  z 2 c 2 t 2 (8.5) Με εφαρμογή του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου, έχουμε:  F  F  x  F t   F     x  x  x t   x  x (8.6) ή 2F 2F   x 2  x 2 (8.7) και επίσης: 2F 2F   y 2  y 2 (8.8) 2F 2F   z 2  z 2 (8.9) Επίσης:
 F  F t   F  x  F F     t t  t  x t t   x (8.10) Οπότε: 2F   F F  (  )(  ) 2 t t   x t   x 2F 2F 2F 2F    2  t 2 t  x  xt   x 2 2F 2F 2F  2  2 t 2  xt   x 2 (8.11) Με τη βοήθεια λοιπόν των σχέσεων 8.7, 8.8, 8.9 και 8.11 η κυματική εξίσωση γράφεται: 2F 2F 2F 1 2F 2F 2F    2 ( 2  2  2 )  y2  y2  z2 c t   xt   x 2 (8.12) Παρατηρούμε λοιπόν ότι κατά την εφαρμογή του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου στην κυματική εξίσωση εμφανίζονται και η ποσότητα 2 2F 2F  2  xt   x 2 και επομένως η κυματική εξίσωση δεν παραμένει αναλλοίωτη. [Βλέπε και: Σημειώσεις Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας, Θ. Χριστοδουλάκης, Ε. Κορφιάτης, Αθήνα 2002, στις σελίδες 19 και 20]. Στη συνέχεια θα δούμε ότι ο μετασχηματισμός Lorentz διατηρεί πράγματι αναλλοίωτη την κυματική εξίσωση 8.5. Η εφαρμογή λοιπόν του εν λόγω μετασχηματισμού, δίνει:
 F  F  x  F t F  F     2  x  x  x  t   x  x c  t (9.1) Επίσης:  F  F t   F  x F F      t t  t  x t t   x (9.2) Ακολούθως: 2 F  F  F  (  2 ) 2 x  x  x c t    2 F  x  2 F t    2 F  x   2 F t    2  2   x2  x  xt   x c  xt   x c t 2  x  2 2F  2F  2F  2F  2 2  2 2  ( 2 ) 2 2   x 2 c  xt  c  xt  c t   2 2F  2F 2 2F  2 2 2  2 4  x 2 c  xt  c t 2 (9.3) Καθώς επίσης: 2 F  F F  (   ) 2 t t t   x  2 F t   2 F  x  2 F t   2 F  x  2       t  t t  x t  xt  t  x2 t 2 2F 2F 2 2 2 F   2    t 2 t  x  x 2 2 (9.4) Οπότε: 1  2 F  2  2 F 2 2  2 F  2 2  2 F   2  c 2 t 2 c 2 t 2 c t  x c 2  x2 (9.5)
Τώρα:  F  F  y  F    y  y  y  y , οπότε: 2F 2F   y 2  y 2 (9.6) Και ομοίως : 2F 2F   z 2  z 2 (9.7) Με τη βοήθεια λοιπόν των 9.3, 9.5, 9.6 και 9.7 η κυματική εξίσωση γράφεται: 2  2F  2F 2 2F 2F 2F  2 2 2  2 4     x 2 c  xt  c t 2  y2  z2  2  2 F 2 2  2 F  2 2  2 F  2  c 2 t 2 c t  x c 2  x2 ( 2  ή  2 2  2 F  2 F  2 F 1 2  2 2  2 F )    (  2 ) 2 c 2  x 2  y  2  z  2 c 2 c t  ή 2 2F 2F 2F 1 2 2 2F )    2  (1  2 ) 2 c 2  x 2  y  2  z  2 c c t  ή  2 (1  2F 2F 2F 1 2F     x2  y2  z2 c 2 t 2 ( όπου κάναμε χρήση της ισότητας: (10)  2 (1  2 c2 ) 1, όπως προκύπτει από τη σχέση 1.4 ορισμού του γ). Βλέπουμε λοιπόν ότι ο μετασχηματισμός Lorentz αφήνει πράγματι αναλλοίωτη την κυματική εξίσωση που θεωρήσαμε.
Ας δούμε τώρα πως «μετασχηματίζεται» η εξίσωση πχ διάδοσης του ηλεκτρικού πεδίου (εξίσωση 6.1) για τον κινούμενο παρατηρητή. Θεωρούμε δύο διαφορετικά συστήματα αναφοράς Ο και  Ο΄ με το Ο΄ να κινείται με σταθερή ταχύτητα  ως προς το Ο. Για ευκολία θα θεωρήσουμε ότι η κίνηση γίνεται κατά μήκος του άξονα των x. Θεωρούμε επίσης ένα ηλεκτρικό και ένα μαγνητικό πεδίο. Για  ευκολία θα θεωρήσουμε το ηλεκτρικό πεδίο E κατά μήκος του y άξονα και το μαγνητικό πεδίο B κατά μήκος του z- άξονα. Επίσης για ευκολία θα θεωρήσουμε ότι και τα δύο πεδία είναι συναρτήσεις μόνο του x και του χρόνου t, δηλαδή ότι είναι:   E  E ( x, t )  E ( x, t ) ˆ j και   ˆ B  B( x, t )  B( x, t )k .   E   E ( x, t ) Στο κινούμενο σύστημα αναφοράς (Ο΄) τα πεδία είναι   και B  B( x, t ) αντίστοιχα. (Σχήμα 2) Σχήμα 2
Στην περίπτωσή μας μπορεί να αποδειχθεί (μέσω του αναλλοιώτου της δύναμης Lorentz, ότι οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι: E   ( E   B) B   ( B   c2 (11.1) E ) (11.2) (Βλέπε πχ σελίδα 464 στο βιβλίο Electromagnetism, G. Pollack, D. Stump, Addison Wesley, 2002). Θεωρούμε λοιπόν τη σχέση 6.1 η οποία στην περίπτωσή 2E 1 2E   x 2 c 2 t 2 μας γίνεται: (12) Θα έχουμε:  E  E  x  E t  E  E     2  x  x  x t   x  x c t  και 2E  2 E  x  2 E t    2 E  x   2 E t     2  2   x2  x 2  x  xt   x c t  x  x c t 2  x  2 2E  2E  2E 2 2E  2 2  2 2  2 4   x 2 c  xt  c t  x c t 2  2 2E  2E 2 2E  2 2 2  2 4  x 2 c  xt  c t 2 (13.1) Από την 11.1 έχουμε: E  E  B     x  x  x , οπότε: 2E  2 E  2 B     x 2  x 2  x 2 (13.2)
2E  2 E  2 B     xt   xt   xt  (13.3) 2E  2 E  2 B    t 2 t 2 t 2 (13.4) Από τις σχέσεις 13.1, 13.2, 13.3 και 13.4 παίρνουμε: 2E  2 E  2 B   2 E  2 B  2  2 E  2 B   2 (   )  2 2 2 (   )   2 4 (   )  x2  x2  x2 c  xt   xt  c t 2 t 2 3  2 E 3  2 B   2 E  2  2 B  2  2 E 3  3  2 B    2 3 2  2 3 2  3 4  4  x2  x2 c  xt  c  xt  c t 2 c t 2 (14) Επίσης:  E  E t   E  x E E      t t  t  x t t   x και 2E  2 E t   2 E  x  2 E t   2 E  x        t 2 t 2 t t  x t  xt  t  x2 t  2 2E 2E 2E  2 2   2 2 t 2 t  x  x2 (15.1) Τώρα από την 11.1 έχουμε επίσης: E  E  B    t  t  t  οπότε: 2E  2 E  2 B    t 2 t 2 t 2 2E  2 E  2 B    t  x t  x t  x Από τις σχέσεις 15.1, 15.2, 15.3 και 13.2 έχουμε: (15.2) (15.3)
2E  2 E  2 B  2 E  2 B  2 E  2 B 2 2 2 2   (   )  2  (   )    (   ) t 2 t 2 t 2 t  x t  x  x 2  x 2 2 2 2  2 E 3  2 B  2 E 3 3 2  B 3 2  E 3 3  B     2   2      t 2 t 2 t  x t  x  x 2  x 2 (16) 3 Αντικαθιστώντας τις 14 και 16 στην 12 (κυματική εξίσωση) έχουμε: 2E 1 2E   x 2 c 2 t 2 ή 2 2 2 2 3 2  2 E  3  2 B  2 B 3   E 3 3   E 3   B     2 2  2 2  4  4   x 2  x 2 c  xt  c  xt  c t 2 c  t 2  3  2 E   3  2 B 2 3  2 E  2 3 2  2 B  3 2  2 E   3 3  2 B  2  2  2  2   2 c  t 2 c  t 2 c t  x c t  x c 2  x2 c  x 2 3 Ή μετά τις απλοποιήσεις (όρων με μαύρο) και τις αναγωγές (χρωματιστοί όροι), παίρνουμε: (1   2  2 E  2  2 B 1  2  2 E 1  2  2 B )   (1  2 )  2 (1  2 ) 2   2 (1  2 ) 2 c 2  x 2 c  x 2 c c t  c c t  ή  2 E   2 B 1  2 E  1  2 B   2  2  x 2  x2 c t 2 c t 2 ή  2 E 1  2 E  2 B 1  2 B   2   ( 2  2 )  x2 c t 2  x c t 2 (17) Από το γεγονός ότι η εξίσωση 12 : 2E 1 2E   x 2 c 2 t 2 και η αντίστοιχη για το μαγνητικό πεδίο: 2B 1 2B   x 2 c 2 t 2 ακριβώς μορφή και από το γεγονός ότι από την 11.1: έχουν ίδια E   ( E   B)
καταλήξαμε στην 17, περιμένουμε ότι από την κυματική εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο: 2B 1 2B   x 2 c 2 t 2 και την 11.2 : B   ( B   c2 E ) με ανάλογο τρόπο να καταλήξουμε σε παρόμοια σχέση (όπου τώρα στο αριστερό μέλος θα βρίσκεται η κυματική εξίσωση για το Β και αντί του  στο δεξί μέλος περιμένουμε να εμφανίζεται το  c2 ) δηλαδή:  2 B 1  2 B   2 E 1  2 E  2  2(  )  x2 c t 2 c  x2 c 2 t 2 (18) Από τις 17 και 18 λοιπόν έχουμε τελικά:  2 E 1  2 E   2 E 1  2 E  2   ( 2 )(  )  x2 c t 2 c  x2 c 2 t 2 (1  ή  2  2 E 1  2  2 E )  2 (1  2 ) 2 c 2  x 2 c c t  ή  2 E 1  2 E   x2 c 2 t 2 (19) Έτσι λοιπόν βλέπουμε ότι η κυματική εξίσωση για τον παρατηρητή Ο, δηλαδή η 2E 1 2E και   x 2 c 2 t 2 εξίσωση για τον παρατηρητή Ο΄ δηλαδή η η αντίστοιχη κυματική  2 E 1  2 E ,   x2 c 2 t 2 έχουν την ίδια ακριβώς μορφή. Έτσι λοιπόν ο μετασχηματισμός Lorentz, όπως είδαμε στο παράδειγμά μας, διατηρεί αναλλοίωτη την κυματική εξίσωση.
Κυματική εξίσωση και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz

More Related Content

PDF
κεφ 3ο τριγωνομετρία
byGiota Papagapitou
 
PDF
практ.заняття 2 теорія поля
byCit Cit
 
PPTX
19 trig substitutions-x
bymath266
 
PDF
уроки геометрії
byСергей Чабан
 
PDF
Εισαγωγή στη Θεωρία Κοινωνικών Δικτύων
byΒιβλιοθήκη & Κέντρο Πληροφόρησης, Πανεπιστήμιο Πατρών
 
PPT
Hausdorff and Non-Hausdorff Spaces
bygizemk
 
PDF
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ μέχρι και συνέχεια
byΜάκης Χατζόπουλος
 
DOCX
Pembuktian teorema thales
bySri Handayani
 
κεφ 3ο τριγωνομετρία
byGiota Papagapitou
 
практ.заняття 2 теорія поля
byCit Cit
 
19 trig substitutions-x
bymath266
 
уроки геометрії
byСергей Чабан
 
Εισαγωγή στη Θεωρία Κοινωνικών Δικτύων
byΒιβλιοθήκη & Κέντρο Πληροφόρησης, Πανεπιστήμιο Πατρών
 
Hausdorff and Non-Hausdorff Spaces
bygizemk
 
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ μέχρι και συνέχεια
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Pembuktian teorema thales
bySri Handayani
 

What's hot

PDF
Equazione dell'ellisse
byRedooc
 
PDF
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 3.4-3.5-3.7 (2020)
byGeneral Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
PDF
kesebangunan dan konruen.pdf
byKuncahyaningFitria1
 
PPTX
Sudut-sudut Berelasi Trigonometri - Sudut-sudut Berelasi Trigonometri
byFarhanPerdanaRamaden1
 
PDF
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο ΓΕΛ 2018 / 3ο διαγώνισμα από θεωρήματα συνέχειας μ...
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPTX
ROTASI TRANSFORMASI FUNGSI KELAS XII GANJIL
byestiratnasari01
 
PPTX
Persamaan bola
byhananisrina6
 
PPTX
Fungsi analitik (2) slide6
bysiti komsiyah
 
PDF
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPT
Solving systems of equations in 3 variables
byJessica Garcia
 
PPT
18 directional derivatives and gradient
bymath267
 
PPT
Polynomials and factoring
byShilpi Singh
 
PPTX
Mεγεθύνω μικραίνω σχήματα
byΓιάννης Φερεντίνος
 
PDF
Geometri_Analitik_Ruang_Bola_pdf.pdf
bygieajeng
 
PPTX
Second Derivative Information
bySharon Henry
 
DOCX
Binomial theorem
byindu psthakur
 
PPT
10 parametric eequations of lines
bymath267
 
DOC
Analisis real alternatif
byAlex Haris Fauzi
 
PDF
trigonometri
byriyana fairuz kholisa
 
Equazione dell'ellisse
byRedooc
 
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 3.4-3.5-3.7 (2020)
byGeneral Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
kesebangunan dan konruen.pdf
byKuncahyaningFitria1
 
Sudut-sudut Berelasi Trigonometri - Sudut-sudut Berelasi Trigonometri
byFarhanPerdanaRamaden1
 
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο ΓΕΛ 2018 / 3ο διαγώνισμα από θεωρήματα συνέχειας μ...
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
byΜάκης Χατζόπουλος
 
ROTASI TRANSFORMASI FUNGSI KELAS XII GANJIL
byestiratnasari01
 
Persamaan bola
byhananisrina6
 
Fungsi analitik (2) slide6
bysiti komsiyah
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Solving systems of equations in 3 variables
byJessica Garcia
 
18 directional derivatives and gradient
bymath267
 
Polynomials and factoring
byShilpi Singh
 
Mεγεθύνω μικραίνω σχήματα
byΓιάννης Φερεντίνος
 
Geometri_Analitik_Ruang_Bola_pdf.pdf
bygieajeng
 
Second Derivative Information
bySharon Henry
 
Binomial theorem
byindu psthakur
 
10 parametric eequations of lines
bymath267
 
Analisis real alternatif
byAlex Haris Fauzi
 
trigonometri
byriyana fairuz kholisa
 

Similar to Κυματική εξίσωση και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz

PDF
Εξισώσεις Maxwell και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz
byJohn Fiorentinos
 
PDF
Μετασχηματισμοί βαθμίδας
byJohn Fiorentinos
 
PDF
μετασχηματισμοι βαθμιδας
byJohn Fiorentinos
 
PDF
Αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας και μηχανισμός Higgs
byJohn Fiorentinos
 
PDF
Aυθορμητο Σπασιμο Συμμετριας και Μηχανισμος Higgs (new)
byJohn Fiorentinos
 
PDF
Lagrangian
byJohn Fiorentinos
 
PPT
Α Λυκείου: Θέση - Χρόνος
byGiorgos Katsaros
 
PDF
6 Ασκησεις Λογισμου Μεταβολων
byTasos Lazaridis
 
PDF
Τα θέματα στη Φυσική Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
byNewsroom8
 
PDF
Θέματα φυσικής πανελλαδικών εξετάσεων 2024
byΘεόδωρος Μαραγκούλας
 
PDF
Πανελλήνιες 2019 - Φυσική Προσανατολισμού
byΘεόδωρος Μαραγκούλας
 
PDF
FysikiALykeioy2017 .pdf
bykostask10
 
PDF
Bαρυτικα Kυματα
byJohn Fiorentinos
 
PDF
Πανελλήνιος Διαγωνισμός Φυσικής Γ΄ Λυκείου 2008 / Β΄ Φάση
byHOME
 
PDF
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Η απλή περίπτωση της σταθερής δύναμης
byJohn Fiorentinos
 
PDF
Particle Motion in Schwarzschild Spacetime
byTheoklitos Bampouris
 
PDF
Πανελλήνιος Διαγωνισμός Φυσικής Β΄ Λυκείου 2001/ Θέματα και Λύσεις
byHOME
 
DOC
2005 physics
byΜαυρουδης Μακης
 
PDF
Oλοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης (ιιι).2
byJohn Fiorentinos
 
PDF
them_fysiki_gel_240612.Panellinies 2024 fysikipdf
bykonstantinantountoum1
 
Εξισώσεις Maxwell και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz
byJohn Fiorentinos
 
Μετασχηματισμοί βαθμίδας
byJohn Fiorentinos
 
μετασχηματισμοι βαθμιδας
byJohn Fiorentinos
 
Αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας και μηχανισμός Higgs
byJohn Fiorentinos
 
Aυθορμητο Σπασιμο Συμμετριας και Μηχανισμος Higgs (new)
byJohn Fiorentinos
 
Lagrangian
byJohn Fiorentinos
 
Α Λυκείου: Θέση - Χρόνος
byGiorgos Katsaros
 
6 Ασκησεις Λογισμου Μεταβολων
byTasos Lazaridis
 
Τα θέματα στη Φυσική Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
byNewsroom8
 
Θέματα φυσικής πανελλαδικών εξετάσεων 2024
byΘεόδωρος Μαραγκούλας
 
Πανελλήνιες 2019 - Φυσική Προσανατολισμού
byΘεόδωρος Μαραγκούλας
 
FysikiALykeioy2017 .pdf
bykostask10
 
Bαρυτικα Kυματα
byJohn Fiorentinos
 
Πανελλήνιος Διαγωνισμός Φυσικής Γ΄ Λυκείου 2008 / Β΄ Φάση
byHOME
 
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Η απλή περίπτωση της σταθερής δύναμης
byJohn Fiorentinos
 
Particle Motion in Schwarzschild Spacetime
byTheoklitos Bampouris
 
Πανελλήνιος Διαγωνισμός Φυσικής Β΄ Λυκείου 2001/ Θέματα και Λύσεις
byHOME
 
2005 physics
byΜαυρουδης Μακης
 
Oλοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης (ιιι).2
byJohn Fiorentinos
 
them_fysiki_gel_240612.Panellinies 2024 fysikipdf
bykonstantinantountoum1
 

More from John Fiorentinos

PDF
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΚΥΜΑΤΑ (ΝΕΟ)
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ)
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
byJohn Fiorentinos
 
PDF
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΗΛΕΚΤΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΠΙΕΣΗ
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ-ΙΣΧΥΣ
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΔΥΝΑΜΕΙΣ
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Α)
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α)
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΝΕΟ)
byJohn Fiorentinos
 
PDF
ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑ
byJohn Fiorentinos
 
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
byJohn Fiorentinos
 
ΚΥΜΑΤΑ (ΝΕΟ)
byJohn Fiorentinos
 
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
byJohn Fiorentinos
 
ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
byJohn Fiorentinos
 
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ
byJohn Fiorentinos
 
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ)
byJohn Fiorentinos
 
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
byJohn Fiorentinos
 
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
byJohn Fiorentinos
 
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB
byJohn Fiorentinos
 
ΗΛΕΚΤΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.
byJohn Fiorentinos
 
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)
byJohn Fiorentinos
 
ΠΙΕΣΗ
byJohn Fiorentinos
 
ΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ-ΙΣΧΥΣ
byJohn Fiorentinos
 
ΔΥΝΑΜΕΙΣ
byJohn Fiorentinos
 
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Α)
byJohn Fiorentinos
 
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
byJohn Fiorentinos
 
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α)
byJohn Fiorentinos
 
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)
byJohn Fiorentinos
 
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΝΕΟ)
byJohn Fiorentinos
 
ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑ
byJohn Fiorentinos
 

Κυματική εξίσωση και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz

  • 1.
    ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥΚΑΙ LORENTZ Σε προηγούμενη εργασία με τον τίτλο «Εξισώσεις Maxwell και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz», είδαμε ότι με εφαρμογή του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου στην τέταρτη εξίσωση του Maxwell (γενικευμένος νόμος του Ampere, ρεύμα μετατόπισης), η εν λόγω εξίσωση δεν παραμένει αναλλοίωτη, ενώ αντίθετα ο μετασχηματισμός Lorentz διατηρεί αναλλοίωτη τη μορφή της συγκεκριμένης εξίσωσης (καθώς και των υπολοίπων εξισώσεων Maxwell). Στη συγκεκριμένη εργασία θα δούμε ότι και η κυματική εξίσωση δεν παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τον μετασχηματισμό Γαλιλαίου, ενώ αντίθετα ο μετασχηματισμός Lorentz «σέβεται» το αναλλοίωτο της εν λόγω εξίσωσης. Θεωρούμε λοιπόν δύο διαφορετικά συστήματα αναφοράς Ο  και Ο΄με το Ο΄ να κινείται με σταθερή ταχύτητα  ως προς το Ο. Για ευκολία θα θεωρήσουμε ότι η κίνηση γίνεται κατά μήκος του άξονα των x (σχήμα 1). Σχήμα 1
  • 2.
    Ο μετασχηματισμός Lorentz,έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 1. Είναι γραμμική συνάρτηση του x και του t. 2. Τα y και z δεν αλλάζουν κατά τον μετασχηματισμό Lorentz μεταξύ των συστημάτων του σχήματος 1 3. Η ταχύτητα του κύματος (φωτός) παραμένει αναλλοίωτη. 4. Αν εφαρμόσουμε ένα δεύτερο μετασχηματισμό (θέτοντας  στη θέση του  ) «επιστρέφουμε» στις αρχικές συντεταγμένες 5. Αν θεωρήσουμε μικρές ταχύτητες (   1 ), ο μετασχηματισμός c Lorentz «τείνει» στο μετασχηματισμό του Γαλιλαίου. Ο μετασχηματισμός λοιπόν Lorentz (για τα συστήματα αναφοράς του σχήματος 1) είναι: x   ( x  t ) y  y t    (t  z  z ,  c2 όπου: (1.1) (1.2) (1.3) x)  1 1 (1.4) 2 c2 Για μικρές ταχύτητες (   1 ), έχουμε: c  1 και  c2  0, οπότε παίρνουμε το μετασχηματισμό του Γαλιλαίου. (Στον οποίο επίσης οδηγούμαστε αν θεωρήσουμε ότι c )
  • 3.
    Ο αντίστροφος μετασχηματισμόςείναι: x   ( x  t ) y  y t   (t   ,  c2 (2.1) z  z (2.2) x) (2.3) Έχει ενδιαφέρον να δείξουμε ότι αν εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό πρώτα θεωρώντας την αλλαγή από το σύστημα Ο στο σύστημα Ο΄(ταχύτητα υ) και στη συνέχεια εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό από το Ο΄στο Ο (ταχύτητα –υ), θα πάρουμε τις αρχικές συντεταγμένες. Εφαρμόζοντας λοιπόν τον μετασχηματισμό (από το Ο στο Ο΄) έχουμε: x   ( x  t ) (3.1)
  • 4.
    y  y z z , t    (t   (3.2) (3.3) x) c2 Ας θεωρήσουμε ότι μετασχηματισμού, μας οδηγεί στα η εφαρμογή του δεύτερου x , y  , z  και t  . Θα έχουμε: (4.1) x   ( x  t ) , y  y t    (t   z  z  c2 (4.2) x) (4.3) Από τις σχέσεις (4.1) και (3.1), παίρνουμε: x   ( x  t )   [ ( x  t )   (t    2 x   2t   2t   2   2 (1  2 c2 2  c2 x)]   c2 (5.1) )x  x Από τις σχέσεις (4.3) και (3.3) παίρνουμε: t    (t    2t   2   2 (1   c  c2 2 c2 2 x)   [ (t  x  2 )t  t  c2 x  2  c 2 2 c2 x)   c2  ( x  t )  t (5.2)
  • 5.
    Έτσι λοιπόν είναι: ,z  z , y  y x  x , αρχικές συντεταγμένες. t   t , καταλήγουμε δηλαδή στις Ο Lorentz βρήκε το μετασχηματισμό που φέρει το όνομά του, στην προσπάθειά του να βρει ένα μετασχηματισμό που να αφήνει αναλλοίωτες τις εξισώσεις του Maxwell, όπως επίσης και την κυματική εξίσωση διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος (που απορρέει από αυτές). Ήταν γνωστό ότι με εφαρμογή του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου κάποιες από τις εξισώσεις του Maxwell δεν παραμένουν αναλλοίωτες κάτι που συμβαίνει και με την κυματική εξίσωση. Στο κενό (όπου η πυκνότητα φορτίου και η πυκνότητα ρεύματος είναι μηδέν), η εξίσωση διάδοσης του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου αντίστοιχα, είναι:   1 2E  E 2 2 0 c t (6.1) 2   1 2B  B 2 2 0 c t (6.2) 2 όπου:     E  E( x, t )  E( x, y, z, t ) και     B  B(x , t )  B(x, y, z, t )  ( Για μια ποσότητα  ( x, t ) , η κυματική εξίσωση είναι: 2  1  2 0 c 2 t 2 (6.3)). Η εξίσωση λοιπόν 6.1, όπως και η 6.2 είναι στην πραγματικότητα μια διανυσματική εξίσωση. Κάθε καρτεσιανή   συνιστώσα του E ή του B υπακούει στην εξίσωση 6.3
  • 6.
    Έχει ενδιαφέρον ναδούμε πως φθάνουμε στις εξισώσεις 6.1 και 6.2, με αφετηρία τις εξισώσεις του Maxwell στο κενό. Οι  εξισώσεις λοιπόν του Maxwell στο κενό (   0 , j  0 ) παίρνουν τη μορφή:   .E  0 (7.1)   .B  0 (7.2)    B  E   t (7.3)    E  B   0 0 t (7.4)  Για να φθάσουμε στην εξίσωση διάδοσης του E (εξίσωση  6.1), ξεκινάμε με την διανυσματική ποσότητα:  ( E) . Έχουμε:      ( E)  (.E)  2 E  2 E όπου θέσαμε: Όμως:  (.E)  0 (7.5) λόγω της 7.1   B  E   t (εξίσωση 7.3), οπότε:     B  2E  ( E )   ( )   ( B)   0 0 2 t t t (7.6) όπου κάναμε χρήση της εξίσωσης 7.4 Από τις σχέσεις 7.5 και 7.6 βρίσκουμε ότι:   2E  E  0 0 2  0 t 2 (7.7)
  • 7.
    καταλήγουμε δηλαδή στηνεξίσωση 6.1, με την ταχύτητα c να είναι: c 1 (7.8) 0 0 Με όμοιο τρόπο για να φθάσουμε στην εξίσωση διάδοσης με τη διανυσματική ποσότητα:  του B (εξίσωση 6.2) ξεκινάμε   ( B) . Έχουμε λοιπόν:      ( B)  (.B)  2 B  2 B (7.9) όπου κάναμε χρήση της 7.2 Επίσης, μέσω της 7.4:    E   ( B)   ( 0 0 )  0 0 ( E )  t t    B 2B  0 0 ( )  0 0 2 t t t (7.10) όπου κάναμε χρήση της 7.3 Από τις 7.9 και 7.10 βρίσκουμε ότι:   2B  B  0 0 2  0 t (7.11) 2 καταλήγουμε δηλαδή στην 6.2, με: c 1 0 0 Για την ιστορία να αναφέρουμε ότι όταν ο Maxwell έφτασε στην κυματική εξίσωση, γνώριζε τις τιμές των σταθερών μ0 και ε0 από τα αποτελέσματα διαφόρων πειραμάτων στις ηλεκτρικές και μαγνητικές δυνάμεις. Βρήκε λοιπόν ότι η ταχύτητα του κύματος που
  • 8.
    περιέγραφαν οι εξισώσειςτου ήταν, μέσα στα όρια του πειραματικού σφάλματος, ίση με την ταχύτητα του φωτός. Έτσι με την όμορφη και κομψή μαθηματική θεωρία του ανακάλυψε ότι το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Πριν όμως επιστρέψουμε στο μετασχηματισμό Lorentz ας δούμε γιατί ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου δεν αφήνει αναλλοίωτη την κυματική εξίσωση. Αναφερόμενοι στα συστήματα του σχήματος 1, ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου είναι: (8.1) x  x  t y  y t  t , z  z (8.2) (8.3) Θα δείξουμε ότι ο παραπάνω μετασχηματισμός δεν αφήνει αναλλοίωτη την κυματική εξίσωση. Ας ξεκινήσουμε με την εξίσωση:
  • 9.
    2F 2F 2F1 2F    0  x 2  y 2  z 2 c 2 t 2 (8.5) Με εφαρμογή του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου, έχουμε:  F  F  x  F t   F     x  x  x t   x  x (8.6) ή 2F 2F   x 2  x 2 (8.7) και επίσης: 2F 2F   y 2  y 2 (8.8) 2F 2F   z 2  z 2 (8.9) Επίσης:
  • 10.
     F F t   F  x  F F     t t  t  x t t   x (8.10) Οπότε: 2F   F F  (  )(  ) 2 t t   x t   x 2F 2F 2F 2F    2  t 2 t  x  xt   x 2 2F 2F 2F  2  2 t 2  xt   x 2 (8.11) Με τη βοήθεια λοιπόν των σχέσεων 8.7, 8.8, 8.9 και 8.11 η κυματική εξίσωση γράφεται: 2F 2F 2F 1 2F 2F 2F    2 ( 2  2  2 )  y2  y2  z2 c t   xt   x 2 (8.12) Παρατηρούμε λοιπόν ότι κατά την εφαρμογή του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου στην κυματική εξίσωση εμφανίζονται και η ποσότητα 2 2F 2F  2  xt   x 2 και επομένως η κυματική εξίσωση δεν παραμένει αναλλοίωτη. [Βλέπε και: Σημειώσεις Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας, Θ. Χριστοδουλάκης, Ε. Κορφιάτης, Αθήνα 2002, στις σελίδες 19 και 20]. Στη συνέχεια θα δούμε ότι ο μετασχηματισμός Lorentz διατηρεί πράγματι αναλλοίωτη την κυματική εξίσωση 8.5. Η εφαρμογή λοιπόν του εν λόγω μετασχηματισμού, δίνει:
  • 11.
     F F  x  F t F  F     2  x  x  x  t   x  x c  t (9.1) Επίσης:  F  F t   F  x F F      t t  t  x t t   x (9.2) Ακολούθως: 2 F  F  F  (  2 ) 2 x  x  x c t    2 F  x  2 F t    2 F  x   2 F t    2  2   x2  x  xt   x c  xt   x c t 2  x  2 2F  2F  2F  2F  2 2  2 2  ( 2 ) 2 2   x 2 c  xt  c  xt  c t   2 2F  2F 2 2F  2 2 2  2 4  x 2 c  xt  c t 2 (9.3) Καθώς επίσης: 2 F  F F  (   ) 2 t t t   x  2 F t   2 F  x  2 F t   2 F  x  2       t  t t  x t  xt  t  x2 t 2 2F 2F 2 2 2 F   2    t 2 t  x  x 2 2 (9.4) Οπότε: 1  2 F  2  2 F 2 2  2 F  2 2  2 F   2  c 2 t 2 c 2 t 2 c t  x c 2  x2 (9.5)
  • 12.
    Τώρα:  F F  y  F    y  y  y  y , οπότε: 2F 2F   y 2  y 2 (9.6) Και ομοίως : 2F 2F   z 2  z 2 (9.7) Με τη βοήθεια λοιπόν των 9.3, 9.5, 9.6 και 9.7 η κυματική εξίσωση γράφεται: 2  2F  2F 2 2F 2F 2F  2 2 2  2 4     x 2 c  xt  c t 2  y2  z2  2  2 F 2 2  2 F  2 2  2 F  2  c 2 t 2 c t  x c 2  x2 ( 2  ή  2 2  2 F  2 F  2 F 1 2  2 2  2 F )    (  2 ) 2 c 2  x 2  y  2  z  2 c 2 c t  ή 2 2F 2F 2F 1 2 2 2F )    2  (1  2 ) 2 c 2  x 2  y  2  z  2 c c t  ή  2 (1  2F 2F 2F 1 2F     x2  y2  z2 c 2 t 2 ( όπου κάναμε χρήση της ισότητας: (10)  2 (1  2 c2 ) 1, όπως προκύπτει από τη σχέση 1.4 ορισμού του γ). Βλέπουμε λοιπόν ότι ο μετασχηματισμός Lorentz αφήνει πράγματι αναλλοίωτη την κυματική εξίσωση που θεωρήσαμε.
  • 13.
    Ας δούμε τώραπως «μετασχηματίζεται» η εξίσωση πχ διάδοσης του ηλεκτρικού πεδίου (εξίσωση 6.1) για τον κινούμενο παρατηρητή. Θεωρούμε δύο διαφορετικά συστήματα αναφοράς Ο και  Ο΄ με το Ο΄ να κινείται με σταθερή ταχύτητα  ως προς το Ο. Για ευκολία θα θεωρήσουμε ότι η κίνηση γίνεται κατά μήκος του άξονα των x. Θεωρούμε επίσης ένα ηλεκτρικό και ένα μαγνητικό πεδίο. Για  ευκολία θα θεωρήσουμε το ηλεκτρικό πεδίο E κατά μήκος του y άξονα και το μαγνητικό πεδίο B κατά μήκος του z- άξονα. Επίσης για ευκολία θα θεωρήσουμε ότι και τα δύο πεδία είναι συναρτήσεις μόνο του x και του χρόνου t, δηλαδή ότι είναι:   E  E ( x, t )  E ( x, t ) ˆ j και   ˆ B  B( x, t )  B( x, t )k .   E   E ( x, t ) Στο κινούμενο σύστημα αναφοράς (Ο΄) τα πεδία είναι   και B  B( x, t ) αντίστοιχα. (Σχήμα 2) Σχήμα 2
  • 14.
    Στην περίπτωσή μαςμπορεί να αποδειχθεί (μέσω του αναλλοιώτου της δύναμης Lorentz, ότι οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι: E   ( E   B) B   ( B   c2 (11.1) E ) (11.2) (Βλέπε πχ σελίδα 464 στο βιβλίο Electromagnetism, G. Pollack, D. Stump, Addison Wesley, 2002). Θεωρούμε λοιπόν τη σχέση 6.1 η οποία στην περίπτωσή 2E 1 2E   x 2 c 2 t 2 μας γίνεται: (12) Θα έχουμε:  E  E  x  E t  E  E     2  x  x  x t   x  x c t  και 2E  2 E  x  2 E t    2 E  x   2 E t     2  2   x2  x 2  x  xt   x c t  x  x c t 2  x  2 2E  2E  2E 2 2E  2 2  2 2  2 4   x 2 c  xt  c t  x c t 2  2 2E  2E 2 2E  2 2 2  2 4  x 2 c  xt  c t 2 (13.1) Από την 11.1 έχουμε: E  E  B     x  x  x , οπότε: 2E  2 E  2 B     x 2  x 2  x 2 (13.2)
  • 15.
    2E  2 E 2 B     xt   xt   xt  (13.3) 2E  2 E  2 B    t 2 t 2 t 2 (13.4) Από τις σχέσεις 13.1, 13.2, 13.3 και 13.4 παίρνουμε: 2E  2 E  2 B   2 E  2 B  2  2 E  2 B   2 (   )  2 2 2 (   )   2 4 (   )  x2  x2  x2 c  xt   xt  c t 2 t 2 3  2 E 3  2 B   2 E  2  2 B  2  2 E 3  3  2 B    2 3 2  2 3 2  3 4  4  x2  x2 c  xt  c  xt  c t 2 c t 2 (14) Επίσης:  E  E t   E  x E E      t t  t  x t t   x και 2E  2 E t   2 E  x  2 E t   2 E  x        t 2 t 2 t t  x t  xt  t  x2 t  2 2E 2E 2E  2 2   2 2 t 2 t  x  x2 (15.1) Τώρα από την 11.1 έχουμε επίσης: E  E  B    t  t  t  οπότε: 2E  2 E  2 B    t 2 t 2 t 2 2E  2 E  2 B    t  x t  x t  x Από τις σχέσεις 15.1, 15.2, 15.3 και 13.2 έχουμε: (15.2) (15.3)
  • 16.
    2E  2 E 2 B  2 E  2 B  2 E  2 B 2 2 2 2   (   )  2  (   )    (   ) t 2 t 2 t 2 t  x t  x  x 2  x 2 2 2 2  2 E 3  2 B  2 E 3 3 2  B 3 2  E 3 3  B     2   2      t 2 t 2 t  x t  x  x 2  x 2 (16) 3 Αντικαθιστώντας τις 14 και 16 στην 12 (κυματική εξίσωση) έχουμε: 2E 1 2E   x 2 c 2 t 2 ή 2 2 2 2 3 2  2 E  3  2 B  2 B 3   E 3 3   E 3   B     2 2  2 2  4  4   x 2  x 2 c  xt  c  xt  c t 2 c  t 2  3  2 E   3  2 B 2 3  2 E  2 3 2  2 B  3 2  2 E   3 3  2 B  2  2  2  2   2 c  t 2 c  t 2 c t  x c t  x c 2  x2 c  x 2 3 Ή μετά τις απλοποιήσεις (όρων με μαύρο) και τις αναγωγές (χρωματιστοί όροι), παίρνουμε: (1   2  2 E  2  2 B 1  2  2 E 1  2  2 B )   (1  2 )  2 (1  2 ) 2   2 (1  2 ) 2 c 2  x 2 c  x 2 c c t  c c t  ή  2 E   2 B 1  2 E  1  2 B   2  2  x 2  x2 c t 2 c t 2 ή  2 E 1  2 E  2 B 1  2 B   2   ( 2  2 )  x2 c t 2  x c t 2 (17) Από το γεγονός ότι η εξίσωση 12 : 2E 1 2E   x 2 c 2 t 2 και η αντίστοιχη για το μαγνητικό πεδίο: 2B 1 2B   x 2 c 2 t 2 ακριβώς μορφή και από το γεγονός ότι από την 11.1: έχουν ίδια E   ( E   B)
  • 17.
    καταλήξαμε στην 17,περιμένουμε ότι από την κυματική εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο: 2B 1 2B   x 2 c 2 t 2 και την 11.2 : B   ( B   c2 E ) με ανάλογο τρόπο να καταλήξουμε σε παρόμοια σχέση (όπου τώρα στο αριστερό μέλος θα βρίσκεται η κυματική εξίσωση για το Β και αντί του  στο δεξί μέλος περιμένουμε να εμφανίζεται το  c2 ) δηλαδή:  2 B 1  2 B   2 E 1  2 E  2  2(  )  x2 c t 2 c  x2 c 2 t 2 (18) Από τις 17 και 18 λοιπόν έχουμε τελικά:  2 E 1  2 E   2 E 1  2 E  2   ( 2 )(  )  x2 c t 2 c  x2 c 2 t 2 (1  ή  2  2 E 1  2  2 E )  2 (1  2 ) 2 c 2  x 2 c c t  ή  2 E 1  2 E   x2 c 2 t 2 (19) Έτσι λοιπόν βλέπουμε ότι η κυματική εξίσωση για τον παρατηρητή Ο, δηλαδή η 2E 1 2E και   x 2 c 2 t 2 εξίσωση για τον παρατηρητή Ο΄ δηλαδή η η αντίστοιχη κυματική  2 E 1  2 E ,   x2 c 2 t 2 έχουν την ίδια ακριβώς μορφή. Έτσι λοιπόν ο μετασχηματισμός Lorentz, όπως είδαμε στο παράδειγμά μας, διατηρεί αναλλοίωτη την κυματική εξίσωση.