Matematika ilmu yang menyenangkan Jangan tajut belajar Matematika Ayo belajar Matematika dengan bahagia Kalau kamu berlatih pasti bisa Matematika itu tidak hanya menghafal rumus Tapi harus berlatih Kalau kamu berlatih pasti bisa Percayalah pasti bisa Matematika ilmu yang menyenangkan Jangan tajut belajar Matematika Ayo belajar Matematika dengan bahagia Kalau kamu berlatih pasti bisa Matematika itu tidak hanya menghafal rumus Tapi harus berlatih Kalau kamu berlatih pasti bisa Percayalah pasti bisa Matematikaitu tidak hanya menghafal rumus Tapi harus berlatih Kalau kamu berlatih pasti bisa Percayalah pasti bisa Jika suatu ruang vektor memiliki basis yang terbatas, semua vektornya dapat dinyatakan secara unik oleh sebuah barisan skalar yang terhingga. Barisan ini dinamakan vektor koordinat, dengan entri-entrinya adalah koordinat dari vektor terhadap vektor-vektor basis. Vektor-vektor koordinat juga membentuk suatu ruang vektor lain, yang isomorfik dengan ruang vektor asalnya. Vektor koordinat umumnya disusun sebagai matriks kolom (juga disebut dengan vektor kolom), yakni sebuah matriks yang berisi satu kolom. Jadi, sebuah vektor kolom menyatakan suatu vektor koordinat, sekaligus vektor di ruang vektor asalnya. wqjedbwqukbdkwq ewjkfbhewufg ewhjfbewhjvfb ehjwbfjewhfb hejwfvwehjvfewhj hejwvfewhjvf jehwvfewhjvfewhjvfj ejhwvfewhjvfewhjvfewhjvfewvhfewvhfvewhjfewhjvfewhjvfewvfjewvfjvew hjewfvewhjvfjewhvfjewhvfjewvhfewvhfhewvfvewhjfvewhjvfjewhvfewvfewvfivweuifvbewiufvewuifgewiufgewuifgewuifgiewugfewuigfuiewgfiuewfeiwu

1. MATRIKS
Disusun oleh : Tri Rahajoeningroem, MT

2. DAFTAR SLIDE
Operasi Matriks
Jenis-Jenis Matriks
Determinan Matriks
Inverse Matriks

3. Definisi Matriks
• Matriks adalah susunan segi empat siku-siku
dari bilangan yang diatur berdasarkan baris
(row) dan kolom (column).
• Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut
dinamakan entri dalam matriks atau disebut
juga elemen atau unsur.
• Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya
baris dan kolom pada matriks tersebut

4. Ordo Matriks
Ordo Matriks A : 3 X 2
Ordo Matriks B : 1 X 4
Ordo Matriks C : ……..
Ordo Matriks D : …….
1 2
3 0
1 4
 
 
  
 

 
A  
2 3 1 6
  
B
2 1 3 4
0 1 7 6
3 2 1 5
0 1 0 4

 
 
 

 

 
 
C
1
2
 
  
 
D

5. Notasi Matriks
• Matriks dinotasikan dengan huruf besar.
• Jika A adalah sebuah matriks, kita dapat juga
menggunakan aij untuk menyatakan entri/unsur yang
terdapat di dalam baris i dan kolom j dari A sehinga
A = [aij]
• Contoh
1 1 2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
 
 
 
 
 

 
A
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m n
m m mn
a a a
a a a
a a a

 
 
 

 
 
 
A

6. Jenis-Jenis Matriks
1. Matriks Nol
2. Matriks Satu
3. Matriks Baris
4. Matriks Kolom
5. Matriks Persegi
6. Matriks Segitiga Atas
7. Matriks Segitiga Bawah
8. Matriks Diagonal
9. Matriks Identitas
10.Matriks Tranpose

7. JENIS –JENIS MATRIKS
 Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang
berukuran n x n
 Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya
adalah bilangan nol
Sifat-sifat dari matriks nol :
-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
-A*0=0, begitu juga 0*A=0.







1
3
4
1
A











0
0
0
0
0
0
2
3x
O

8. JENIS –JENIS MATRIKS
 Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen
diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan
sebagai D.
Contoh :
 Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen
pada diagonalnya sama











5
0
0
0
2
0
0
0
1
3
3x
D











5
0
0
0
5
0
0
0
5
3
3x
D

9. JENIS –JENIS MATRIKS
 Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen
pada diagonal utamanya bernilai 1.
Sifat-sifat matriks identitas :
A*I=A
I*A=A
 Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di
bawah diagonal utamanya bernilai nol
 Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen
di atas diagonal utamanya bernilai nol











1
0
0
0
1
0
0
0
1
D











6
0
0
2
1
0
5
4
2
A











1
5
2
0
4
3
0
0
1
B

10. Operasi Pada Matriks
• Penjumlahan (addition)
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang
ukurannya sama maka jumlah A + B adalah matriks
yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri
yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut
Berlaku juga untuk Operasi Pengurangan pada
Matriks
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33
; +
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
  
     
     
      
     
     
  
     
A B A B

11. Soal dan Penyelesaian
Jika
Maka:

   
 
   

   
3 2 5 4 6 7
dan
1 6 4 0 8 2
A B
7 4 12
1 2 6
A B

 
   
 
1 8 2
1 14 2
A B
 
 
   

 

12. Operasi Pada Matriks
• Perkalian Skalar Pada Matriks
Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar,
maka hasil kali cA adalah matriks yang
diperoleh dengan mengalikan masing-masing
entri dari A oleh c.
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a ca ca ca
a a a c ca ca ca
a a a ca ca ca
   
   
  
   
   
   
A A

13. • Perkalian Matriks dengan Matriks
Matriks Amxn dapat dikalikan dengan matriks Bpxq
jika dan hanya jika banyaknya kolom pada
matriks A sama dengan banyaknya baris pada
matriks B. (n = p)
AmxnBnxq = Cmxq
A=[aij] mxn dan B= [bij]nxq
maka
C = [cij]mxq dengan
1
n
ij ij ij
j
c a b

 
Operasi Pada Matriks

14. Soal dan Penyelesaian
Jika
Maka:
7 4 12
1 2 6
A

 
  
 
 
7 4 12 14 8 24
2. 2.
1 2 6 2 4 12
A
  
   
   
   
  
   

15. Soal dan Penyelesaian
Tentukan AB jika:
Jawab:
Apakah AB = BA???
2 1 4
1 3 2
 
  

 
A ,
1 2
1 3
4 1
 
 
 
 
 

 
B
1 2
2 1 4
1 3
1 3 2
4 1
2(1) 1( 1) 4(4) 2(2) 1(3) 4( 1) 17 3
1(1) 3( 1) 2(4) 1(2) 3(3) 2( 1) 4 5
 
   
 
   

   

 
     
   
 
   
       
   
AB

16. Matriks Transpose
 Jika A adalah suatu matriks m x n, maka transpose A
dinyatakan oleh Aͭ dan didefinisikan dengan matriks n x
m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A,
kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga
dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan
seterusnya.
 Contoh :
matriks A : berordo 2 x 3
transposenya : berordo 3 x 2







3
1
4
1
3
1
A











3
1
1
3
4
1
t
A

17. Matriks Transpose
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
kA
kA
A
B
AB
A
A
B
A
B
A






)
.(
4
)
.(
3
)
.(
2
)
.(
1

18. Matriks Transpose
Pembuktian aturan no1 :




























23
23
22
22
21
21
13
13
12
12
11
11
23
22
21
13
12
11
23
22
21
13
12
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
B
A







23
22
21
13
12
11
b
b
b
b
b
b
B







23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
A











23
13
22
12
21
11
b
b
b
b
b
b
BT








































23
23
13
13
22
22
12
12
21
21
11
11
23
13
22
12
21
11
23
13
22
12
21
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
B
A T
T
TERBUKTI

19. Matriks Transpose







23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
A











23
13
22
12
21
11
a
a
a
a
a
a
AT


















23
22
21
13
12
11
23
13
22
12
21
11
)
(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
T
T
T
TERBUKTI
Pembuktian aturan no 2 :
Buktikan aturan no. 3 dan no. 4 !

20. Matriks Simetri
Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A
sama dengan matriks A itu sendiri.
Contoh :
1. 2.






















0
0
2
0
0
3
2
3
1
0
0
2
0
0
3
2
3
1
T
A
A














2
1
1
2
2
1
1
2
T
B
B
A
AT


21. 1. Jika
1 2 0
3 5 1
1 2 0
A

 
 
 
 
 

 
dan
2 1 4
1 5 3
1 2 5
B

 
 
 
 
 
 
 
tentukanlah:
a. 2A + B
b. -3B + A
c. A – 2BT
Latihan Soal

22. Latihan Soal
2. Diberikan matriks :
Jika mungkin, hitunglah :
a. (AB)T c. ATBT e. (BT + A)C
b. BTAT d. BTC + A
2 1 2
3 2 5
A

 
  
 
2 1
3 4
1 2
B

 
 
  
 

 
2 1 3
1 2 4
3 1 0
C
 
 
 
 
 
 

23. Determinan Matriks
• JIka maka:
• det(A)= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a23 –
a13a22 a13 – a11 a23 a32 - a12 a21 a33
atau











33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
23
31
22
21
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A 

24. 













1
2
2
0
1
1
1
2
3
B
Tentukan determinan matriks
Jawab :
 
1
2
2
0
1
1
1
2
3
det




B
)
1
)(
1
)(
2
(
)
2
)(
0
)(
3
(
)
2
)(
1
)(
1
(
)
2
)(
1
)(
1
(
)
2
)(
0
)(
2
(
)
1
)(
1
)(
3
( 











2
0
2
2
0
3 





1

2
2
1
1
2
3


Contoh

25. Misalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j
matriks A.
Contoh :















nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
:
:
:
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11











2
1
0
1
2
1
0
1
2
A 13
1 2
maka 1
0 1
M  
Determinan Matriks dengan
Ekspansi Kofaktor

26. • Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 (2 – 0)
= – 2
 1 2
12
1 1
1
0 2
C

 
2
1
0
1
2
1
0
1
2











A

27. • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ainCin=
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang kolom ke-j
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj =
1
n
ij ij
j
a c


1
n
ij ij
i
a c


Rumus Determinan Matriks dengan
Ekspansi Kofaktor

28. Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (A)
dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris
ke-3











2
1
0
1
2
1
0
1
2
A
Contoh

29. 2 1 0
1 2 1
0 1 2
 
 
  
 
 
A
3
3 3 31 31 32 32 33 33
1
det( ) j j
j
A a c a c a c a c

   

 
3 1 4
31 31
1 0
( 1) ( 1) 1 (1)(1) (0)(2) 1 0 1
2 1
c M

        
 
3 2 5
32 32
2 0
( 1) ( 1) 1 (2)(1) (0)(1) 1(2 0) 2
1 1
c M

           
 
3 3 6
33 33
2 1
( 1) ( 1) 1 (2)(2) (1)(1) 4 1 3
1 2
c M

        
det( ) 0(1) 1( 2) 2(3) 0 2 6 4
A        

30. Invers Matriks
 Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B
yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan
satuan I
 AB = I
 Notasi matriks invers :
 Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya
akan menghasilkan matrik satuan
 Jika
Maka
1

A
I
A
A 
1







d
c
b
a
A











a
c
b
d
bc
ad
A
1
1

31. Invers Matriks
 Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M
yang berordo 3x3 adalah :
- Cari determinan dari M
- Transpose matriks M sehingga menjadi
- Cari adjoin matriks
- Gunakan rumus
T
M
))
(
(
)
det(
1
1
M
adjoin
M
M 


32. Invers Matriks
 Contoh Soal :
- Cari Determinannya :
det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1
- Transpose matriks M











0
6
5
4
1
0
3
2
1
M











0
4
3
6
1
2
5
0
1
T
M

33. Invers Matriks
- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-
minor matriksnya
- Hasilnya :
==> ==>
















1
4
5
4
15
20
5
18
24

































1
4
5
4
15
20
5
18
24

34. Invers Matriks
 Hasil Adjoinnya :
 Hasil akhir














1
4
5
4
15
20
5
18
24































1
4
5
4
15
20
5
18
24
1
4
5
4
15
20
5
18
24
1
1
1
M

35. Latihan Soal
1. Tentukan determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dan
dengan cara hitung langsung lalu bandingkan hasilnya
2 1 1
1 2 1
1 1 2
C
 
 
  
 
 
3 2 0
0 1 0
4 4 1
D

 
 
  
 

 











2
0
0
0
4
3
0
1
2
A









 

1
0
5
2
1
7
3
1
1
B
1 0 2
2 1 3
4 1 8
E
 
 
 
 
 
 
4 1 8
2 1 3
1 0 2
F
 
 
 
 
 
 
1 0 2
3 1 3
4 1 8
G
 
 
 
 
 
 
1 0 2
6 1 3
4 1 8
H
 
 
 
 
 
 

36. Latihan Soal
2. Tentukan invers matriks dari masing-masing matriks di
bawah ini
2 1 1
1 2 1
1 1 2
C
 
 
  
 
 
3 2 0
0 1 0
4 4 1
D

 
 
  
 

 











2
0
0
0
4
3
0
1
2
A









 

1
0
5
2
1
7
3
1
1
B
1 0 2
2 1 3
4 1 8
E
 
 
 
 
 
 
4 1 8
2 1 3
1 0 2
F
 
 
 
 
 
 
1 0 2
3 1 3
4 1 8
G
 
 
 
 
 
 
1 0 2
6 1 3
4 1 8
H
 
 
 
 
 
 