Modul ini membahas tentang komposisi fungsi dan fungsi invers. Pembelajaran meliputi penentuan komposisi dua fungsi, menentukan invers suatu fungsi, sifat-sifat komposisi fungsi dan hubungan antara fungsi invers dengan komposisi fungsi.
1. Dokumen menjelaskan konsep limit dan kontinuitas fungsi satu, dua, dan tiga variabel.
2. Limit fungsi mendefinisikan nilai yang didekati oleh fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu.
3. Fungsi dikatakan kontinu jika limitnya terdefinisi dan sama dengan nilai fungsi di titik tersebut.
Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang menghasilkan fungsi baru. Fungsi komposisi dapat digunakan untuk menentukan fungsi ketika fungsi komposisi dan salah satu fungsi yang digunakan dalam komposisi tersebut diketahui.
Fungsi dua variabel atau lebih merupakan pemetaan dari domain dua variabel atau lebih ke kodomain. Grafik fungsi dua variabel ditampilkan pada tiga sumbu koordinat. Level kurva merupakan proyeksi kurva pada bidang dua variabel bebas.
Materi ini membahas operasi-operasi dasar pada fungsi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pangkat, dan komposisi fungsi. Jenis-jenis fungsi polinom dan rasional juga dijelaskan.
Dokumen tersebut berisi soal-soal latihan dan pembahasan mengenai fungsi komposisi dan fungsi invers. Terdapat 36 soal latihan yang mencakup berbagai contoh perhitungan fungsi komposisi dan fungsi invers, serta penentuan domain dan codomain dari suatu fungsi.
1. Dokumen menjelaskan konsep limit dan kontinuitas fungsi satu, dua, dan tiga variabel.
2. Limit fungsi mendefinisikan nilai yang didekati oleh fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu.
3. Fungsi dikatakan kontinu jika limitnya terdefinisi dan sama dengan nilai fungsi di titik tersebut.
Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang menghasilkan fungsi baru. Fungsi komposisi dapat digunakan untuk menentukan fungsi ketika fungsi komposisi dan salah satu fungsi yang digunakan dalam komposisi tersebut diketahui.
Fungsi dua variabel atau lebih merupakan pemetaan dari domain dua variabel atau lebih ke kodomain. Grafik fungsi dua variabel ditampilkan pada tiga sumbu koordinat. Level kurva merupakan proyeksi kurva pada bidang dua variabel bebas.
Materi ini membahas operasi-operasi dasar pada fungsi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pangkat, dan komposisi fungsi. Jenis-jenis fungsi polinom dan rasional juga dijelaskan.
Dokumen tersebut berisi soal-soal latihan dan pembahasan mengenai fungsi komposisi dan fungsi invers. Terdapat 36 soal latihan yang mencakup berbagai contoh perhitungan fungsi komposisi dan fungsi invers, serta penentuan domain dan codomain dari suatu fungsi.
1. Grupoid adalah himpunan tidak kosong dengan operasi biner didalamnya.
2. Semigrup adalah grupoid yang memenuhi asosiativitas.
3. Grup adalah semigrup yang memiliki unsur identitas dan kebalikan.
This document contains exercises and solutions related to monotone sequences, convergent subsequences, and the Bolzano-Weierstrass theorem from an introduction to real analysis course. It includes 4 problems examining properties of specific sequences, showing whether they are bounded/monotone and finding their limits, as well as examples of an unbounded sequence with a convergent subsequence and sequences that diverge. The solutions provide detailed proofs of the properties of each sequence using induction and algebraic manipulations.
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai MutlakEman Mendrofa
Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak.
Baca selengkapnya:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/10/persamaan-nilai-mutlak.html
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiksaaann
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi. Secara singkat, fungsi adalah pemetaan elemen dari suatu daerah asal ke daerah hasil, komposisi fungsi adalah hasil penggabungan dua fungsi atau lebih, dan invers fungsi adalah fungsi terbalik dari suatu fungsi.
5. aplikasi fungsi komposisi dan inversWarnet Podjok
Modul ini membahas tentang aplikasi fungsi komposisi dan invers dalam memecahkan masalah-masalah matematika. Terdapat contoh-contoh soal yang menggunakan fungsi komposisi untuk menentukan hubungan antara variabel-variabel seperti gaji dan tunjangan, jumlah bakteri dan suhu, serta nilai tukar mata uang. Modul ini juga menjelaskan cara menentukan fungsi invers untuk mengetahui variabel awal berdasarkan
1. Grupoid adalah himpunan tidak kosong dengan operasi biner didalamnya.
2. Semigrup adalah grupoid yang memenuhi asosiativitas.
3. Grup adalah semigrup yang memiliki unsur identitas dan kebalikan.
This document contains exercises and solutions related to monotone sequences, convergent subsequences, and the Bolzano-Weierstrass theorem from an introduction to real analysis course. It includes 4 problems examining properties of specific sequences, showing whether they are bounded/monotone and finding their limits, as well as examples of an unbounded sequence with a convergent subsequence and sequences that diverge. The solutions provide detailed proofs of the properties of each sequence using induction and algebraic manipulations.
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai MutlakEman Mendrofa
Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak.
Baca selengkapnya:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/10/persamaan-nilai-mutlak.html
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiksaaann
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi. Secara singkat, fungsi adalah pemetaan elemen dari suatu daerah asal ke daerah hasil, komposisi fungsi adalah hasil penggabungan dua fungsi atau lebih, dan invers fungsi adalah fungsi terbalik dari suatu fungsi.
5. aplikasi fungsi komposisi dan inversWarnet Podjok
Modul ini membahas tentang aplikasi fungsi komposisi dan invers dalam memecahkan masalah-masalah matematika. Terdapat contoh-contoh soal yang menggunakan fungsi komposisi untuk menentukan hubungan antara variabel-variabel seperti gaji dan tunjangan, jumlah bakteri dan suhu, serta nilai tukar mata uang. Modul ini juga menjelaskan cara menentukan fungsi invers untuk mengetahui variabel awal berdasarkan
Modul ini membahas tentang fungsi komposisi. Fungsi komposisi adalah fungsi baru yang dibentuk dari dua fungsi atau lebih dengan menggabungkan hasil fungsi pertama sebagai masukan fungsi berikutnya. Modul ini menjelaskan konsep dan aturan fungsi komposisi, serta syarat agar dua fungsi dapat dikomposisikan. Contoh soal juga diberikan untuk memperjelas penjelasan tentang fungsi komposisi.
Bab 6 membahas komposisi dua fungsi dan fungsi invers. Komposisi fungsi adalah proses memetakan nilai output suatu fungsi sebagai input fungsi lain. Fungsi invers adalah fungsi terbalik dari suatu fungsi. Fungsi invers hanya terdefinisi jika fungsi aslinya bijektif. Rumus fungsi invers diperoleh dengan mengubah variabel input dan output pada rumus fungsi aslinya.
Dokumen ini membahas tentang komposisi fungsi dan fungsi invers. Terdapat penjelasan tentang definisi komposisi fungsi dan fungsi invers beserta contoh soal latihan dan pembahasannya. Diberikan juga contoh grafik komposisi fungsi dan fungsi invers.
Dokumen tersebut membahas tentang invers fungsi dan hubungan komposisi fungsi dengan invers fungsi. Secara ringkas, invers fungsi adalah proses membalik fungsi sehingga daerah asal menjadi daerah hasil dan sebaliknya. Komposisi fungsi dan invers fungsi memenuhi sifat tertentu seperti (f o g)-1 = g-1 o f-1.
Dalam Modul ini, kita mempelajari :
Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan
Fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
Sifat-sifat komposisi fungsi.
Komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.
Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers.
Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya
Fungsi invers dari suatu fungsi.
Sifat-sifat fungsi invers.
RPP FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS KELAS XI MIPA KURIKULUM2013randiramlan
RPP ini adalah salah satu perangkat pembelajaran pada saat saya sedang melaksanakan praktik pengalaman kependidikan di SMA Negeri 12 Bandung TA 2016-2017
Dokumen tersebut membahas tentang materi fungsi dan soal-soal latihan terkait fungsi, termasuk pengertian fungsi, notasi fungsi, menentukan nilai fungsi, menyatakan fungsi, dan menyelesaikan soal-soal latihan mengenai fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang:
1. Fungsi dan relasi matematika
2. Mendefinisikan domain, kodomain, dan range suatu fungsi
3. Menentukan nilai suatu fungsi berdasarkan rumus yang diberikan
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi matematika, meliputi definisi fungsi, notasi fungsi, domain, kodomain, dan range fungsi, jenis-jenis fungsi seperti injektif, surjektif, dan bijektif, komposisi fungsi dan invers fungsi, serta grafik beberapa jenis fungsi seperti fungsi konstan, linier, kuadrat, kubik, pecah, dan irasional.
Fungsi persamaan kuadrat memiliki beberapa karakteristik penting seperti titik potong sumbu x dan y, sumbu simetri, nilai maksimum dan minimum, serta koordinat titik puncak. Jika diketahui titik puncak dan satu titik lain yang dilalui grafik, rumus fungsi kuadrat dapat ditentukan.
Dokumen tersebut membahas tentang materi fungsi pada pelajaran matematika kelas VIII SMP. Materi tersebut mencakup pengertian fungsi, notasi fungsi, nilai fungsi, tabel fungsi, grafik fungsi, dan contoh soal-soal untuk memahami konsep fungsi.
Fungsi komposisi dan fungsi invers merupakan konsep penting dalam matematika. Fungsi komposisi terbentuk dari komposisi dua fungsi atau lebih, sedangkan fungsi invers merupakan fungsi yang memetakan domain menjadi kodomain dan sebaliknya.
This report text describes pandas. It begins by classifying pandas as tame, cute mammals that are a kind of raccoon originally from China. It then describes pandas' physical features like their black and white fur and weight of 100-150kg. Pandas eat various bamboo species as well as other plants and small animals. Despite their size and strength, pandas are generally clumsy and defensive but will fight back if threatened by lowering their heads and staring. While aloof, pandas are also described as loving and adorable due to their furry appearance and sad eyes.
The document describes the generic structure and language features of a procedure text. A procedure text uses simple present tense, adverbials of sequence, and imperative sentences to explain the steps needed to make or do something. The generic structure includes a goal, list of materials, and ordered steps. An example of a procedure text is provided for making a sandwich, following the standard structure of listing ingredients and numbered steps.
This document discusses how to form imperative sentences and their uses, including giving directions, orders, advice, warnings, requests, and invitations. Imperative sentences are commands that do not include the subject "you." They can be used with a base verb alone or with an object, and can be negative by using an auxiliary verb like "don't." Examples are provided for each use.
This document outlines steps for building vocabulary, including using context clues such as synonyms, antonyms, and examples to determine word meanings. It recommends reading widely from a variety of materials on a consistent basis, keeping a vocabulary journal, and making word study cards. Learning word parts like prefixes, suffixes, and roots can help deduce meanings. Resources for testing vocabulary include magazines and websites. The library provides materials for independent study. Regular practice using new words is important.
Rangkuman Struktur dan Fungsi Jaringan Tumbuhan Materi Biologi SMAAlya Titania Annisaa
Dokumen tersebut membahas tentang struktur dan fungsi jaringan tumbuhan. Terdapat dua jenis jaringan utama yaitu jaringan meristem yang terdiri dari sel-sel pembelahan dan jaringan dewasa yang terbentuk dari jaringan meristem. Jaringan dewasa meliputi epidermis, parenkim, jaringan penyokong, dan jaringan pengangkut seperti floem dan xilem. Dokumen juga menjelaskan organ-organ tumbuhan seperti akar, batang,
Ringkuman dokumen tersebut adalah:
1. Dokumen tersebut merangkum berbagai konsep dasar kimia seperti jenis atom, ikatan kimia, hukum-hukum kimia, dan faktor yang mempengarui laju reaksi kimia.
2. Juga merangkum konsep-konsep seperti bentuk geometri molekul, bilangan kuantum, dan cara menentukan letak elektron dalam atom.
3. Aspek penting lainnya adalah penj
Sistem peredaran darah manusia sangat rumit dan terdiri atas jantung, pembuluh darah, dan sistem limfa. Jantung berfungsi memompa darah ke seluruh tubuh melalui kontraksi otot. Gangguan pada sistem ini dapat menyebabkan berbagai penyakit seperti hipertensi, jantung koroner, dan stroke. Teknologi modern seperti ekokardiogram dan angioplasti membantu diagnosis dan pengobatan penyakit sistem peredaran darah.
Dokumen tersebut membahas tentang empat jenis resolusi pada penginderaan jauh yaitu resolusi spasial, resolusi spektral, resolusi radiometrik dan resolusi temporal. Dokumen juga menjelaskan manfaat penginderaan jauh dalam bidang oseanografi, hidrologi, geologi dan meteorologi.
This document discusses the differences between formal and informal language and letters. It notes that formal language uses complex sentences, impersonality, and avoidance of slang, while informal language uses simpler structures, personal evaluation, and colloquial vocabulary. It provides examples of contractions, pronouns, and determiners used differently in formal vs informal speech. The document also explains the purposes and formats of formal and informal letters, including addressing, salutations, endings, and other conventions that differ between the two styles.
Dokumen tersebut membahas materi-materi pelajaran matematika SMA kelas X semester 2 yang terdiri atas aljabar, trigonometri, kalkulus, statistika dan geometri. Materi-materi tersebut meliputi pangkat, akar, logaritma, persamaan kuadrat, sistem persamaan linear, limit fungsi, turunan fungsi, integral fungsi, trigonometri, geometri bidang dan ruang serta statistika dasar.
Peranan KPK dan Kehakiman Dalam Melindungi dan Menegakkan HukumAlya Titania Annisaa
Dokumen tersebut membahas peran KPK dan lembaga peradilan dalam memberantas korupsi dan menegakkan hukum. KPK bertugas melakukan koordinasi, pengawasan, penyelidikan, penyidikan, dan penuntutan kasus korupsi, serta pencegahan korupsi. Lembaga peradilan seperti pengadilan umum bertugas mengadili perkara pidana dan perdata untuk mencari keadilan bagi masyarakat. Kedua lemb
Workshop "CSR & Community Development (ISO 26000)"_di BALI, 26-28 Juni 2024Kanaidi ken
Dlm wktu dekat, Pelatihan/WORKSHOP ”CSR/TJSL & Community Development (ISO 26000)” akn diselenggarakan di Swiss-BelHotel – BALI (26-28 Juni 2024)...
Dgn materi yg mupuni & Narasumber yg kompeten...akn banyak manfaat dan keuntungan yg didpt mengikuti Pelatihan menarik ini.
Boleh jga info ini👆 utk dishare_kan lgi kpda tmn2 lain/sanak keluarga yg sekiranya membutuhkan training tsb.
Smga Bermanfaat
Thanks Ken Kanaidi
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
Teori Fungsionalisme Kulturalisasi Talcott Parsons (Dosen Pengampu : Khoirin ...nasrudienaulia
Dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Talcott Parsons, konsep struktur sosial sangat erat hubungannya dengan kulturalisasi. Struktur sosial merujuk pada pola-pola hubungan sosial yang terorganisir dalam masyarakat, termasuk hierarki, peran, dan institusi yang mengatur interaksi antara individu. Hubungan antara konsep struktur sosial dan kulturalisasi dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Pola Interaksi Sosial: Struktur sosial menentukan pola interaksi sosial antara individu dalam masyarakat. Pola-pola ini dipengaruhi oleh norma-norma budaya yang diinternalisasi oleh anggota masyarakat melalui proses sosialisasi. Dengan demikian, struktur sosial dan kulturalisasi saling memengaruhi dalam membentuk cara individu berinteraksi dan berperilaku.
2. Distribusi Kekuasaan dan Otoritas: Struktur sosial menentukan distribusi kekuasaan dan otoritas dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya yang dianut oleh masyarakat juga memengaruhi bagaimana kekuasaan dan otoritas didistribusikan dalam struktur sosial. Kulturalisasi memainkan peran dalam melegitimasi sistem kekuasaan yang ada melalui nilai-nilai yang dianut oleh masyarakat.
3. Fungsi Sosial: Struktur sosial dan kulturalisasi saling terkait dalam menjalankan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya dan norma-norma yang terinternalisasi membentuk dasar bagi pelaksanaan fungsi-fungsi sosial yang diperlukan untuk menjaga keseimbangan dan stabilitas dalam masyarakat.
Dengan demikian, konsep struktur sosial dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Parsons tidak dapat dipisahkan dari kulturalisasi karena keduanya saling berinteraksi dan saling memengaruhi dalam membentuk pola-pola hubungan sosial, distribusi kekuasaan, dan pelaksanaan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat.
Ppt landasan pendidikan Pai 9 _20240604_231000_0000.pdffadlurrahman260903
Ppt landasan pendidikan tentang pendidikan seumur hidup.
Prodi pendidikan agama Islam
Fakultas tarbiyah dan ilmu keguruan
Universitas Islam negeri syekh Ali Hasan Ahmad addary Padangsidimpuan
Pendidikan sepanjang hayat atau pendidikan seumur hidup adalah sebuah system konsepkonsep pendidikan yang menerangkan keseluruhan peristiwa-peristiwa kegiatan belajarmengajar yang berlangsung dalam keseluruhan kehidupan manusia. Pendidikan sepanjang
hayat memandang jauh ke depan, berusaha untuk menghasilkan manusia dan masyarakat yang
baru, merupakan suatu proyek masyarakat yang sangat besar. Pendidikan sepanjang hayat
merupakan asas pendidikan yang cocok bagi orang-orang yang hidup dalam dunia
transformasi dan informasi, yaitu masyarakat modern. Manusia harus lebih bisa menyesuaikan
dirinya secara terus menerus dengan situasi yang baru.
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers
1. 1
MODUL BAB 2
KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
Standar Kompetensi:
2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
Kompetensi Dasar
2.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi
2.2 Menentukan invers suatu fungsi
Indikator
Menentukan syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan
Menentukan fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi.
Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan
komponen lainnya diketahui.
Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers
Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi.
Menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi komposisi.
Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi.
Setelah mempelajari modul ini, kalian diharapakan :
1. Dapat Menentukan syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan.
2. Dapat Menentukan fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
3. Dapat Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi.
4. Dapat Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi
dan komponen lainnya diketahui.
5. Dapat Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers.
6. Dapat Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi.
7. Dapat Menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi komposisi.
8. Dapat Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi.
A. Pengertian relasi antara anggota dua himpunan
Relasi (hubungan) dapat terjadi antara anggota dari dua himpunan. Misalnya,
A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6, 7}. Antara anggota himpunan A dan B ada relasi “tiga
kurangnya dari”. Relasi tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram sbb:
Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan
berurutan sebagai berikut:
{(1,4), (2,5), (3,6), (4, 7)}
Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan menggunakan rumus.
Misalnya anggota A dinyatakan dengan x, maka pasangannya ialah y anggota B
dirumuskan:
y = x + 3
2. 2
B. Pengertian fungsi dan pemetaan
Perhatikan diagram panah berikut.
(1) (3)
(2) (4)
Pada gambar 1, 3 dan 4 setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan tepat satu
anggota himpunan B. Relasi yang memiliki ciri seperti itu disebut fungsi atau pemetaan.
Pada gambar 2 bukan fungsi karena ada anggota A yang punya pasangan lebih dari satu
anggota B.
Definisi:
Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaaan, jika dan hanya
jika setiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat dengan satu unsur dalam
himpunan B.
Latihan:
Relasi dari himpunan A = {a, b, c, d} ke himpunan B = {p, q, r, s} yang disajikan dalam
diagram panah berikut, mana yang merupakan fungsi ?
1. 5.
3. 3
2. 6.
3. 7.
4. 8.
Misalkan f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f
dilambangkan dengan:
f: A B
4. 4
Jika Ax dan By sehingga pasangan berurut ,),( fyx maka y disebut peta atau
bayangan dari x oleh fungsi f.
Peta atau bayangan ini dinayatakan dengan )(xfy seperti ditunjukkan pada gambar
berikut.
Jadi, suatu fungi f dapat disajikan dengan lambang pemetaan sebagai berikut:
)(: xfyxf
dengan )(xfy disebut rumus atau aturan fungsi, x disebut peubah (variabel) bebas
dan y disebut peubah (variabel) tak bebas.
Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan dilambangkan dengan Df.
Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan dilambangkan dengan Kf.
Himpunan dari semua peta A di B disebut daerah hasil (range) dan dilambangkan
dengan Rf.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4} dan B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}
f: A B dimana f(x) = 2x +3
Diagram panahnya sbb:
Domainnya adalah A = {1, 2, 3, 4}.
Kodomainnya adalah B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}
Rangenya adalah C = {5, 7, 9, 11}
Jadi fr KR , tetapi dapat juga ff KR
B. Fungsi Komposisi
Perhatikan contoh berikut:
Ada 3 himpunan yaitu, A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 9, 11} dan C = {27, 51, 66, 83}.
5. 5
f: A B ditentukan dengan rumus 12)( xxf dengan CBg : ditentukan oleh
rumus 2)( 2
xxg . Ditunjukkan oleh diagram panah sbb:
Jika h fungsi dari A ke C sehinnga:
peta dari 2 adalah 27
peta dari 3 adalah 51
peta dari 4 adalah 66
peta dari 5 adalah 83
dan diagaram panahnya menjadi,
fungsi dari h dari A ke C disebut fungsi komposisi dari g dan f ditulis fgh atau
).)(()( xfgxh
Secara umum:
Definisi:
Misalkan fungsi
BAf : ditentukan dengan rumus )(xfy
CBg : ditentukan dengan rumus )(xgy
6. 6
Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan autan:
))(())(()( xfgxfgxh
o dibaca komposisi atau “bundaran”
Perhatikan bahwa dalam fungsi komposisi ))(())(( xfgxfg ditentukan dengan
pengerjaan )(xf terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan pengerjaan oleh ).(xg
Perhatikan contoh berikut.
Contoh:
1. Diketahui f(x) = x2
+ 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan:
a. (f o g)(x)
b. (g o f)(x)
Jawab:
a. (f o g)(x) = f (g(x))
= f(2x – 3)
= (2x – 3)2
+ 1
= 4x2
– 12x + 9 + 1
= 4x2
– 12x + 10
b. (g o f)(x) = g (f(x))
= g(x2
+ 1)
= 2(x2
+ 1) – 3
= 2x2
- 1
Ternyata, ).)(())(( xfgxgf Jadi pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat
komutatif.
2. Diketahui RRf : dan RRg : ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan (f o g)(x)
= x2
+ 6x + 7, maka tentukan g(x) !
Jawab :
f(x) = x + 3
(f o g)(x) = x2
+ 6x + 7
f(g(x)) = x2
+ 6x + 7
g(x) + 3 = x2
+ 6x + 7
g(x) = x2
+ 6x + 4
3. Diketahui RRf : dan RRg : ditentukan oleh f(x) = 2x + 4 dan (g o f)(x)
= 4x2
+ 12x + 6, maka tentukan g(x) .
Jawab : (g o f)(x) = 4x2
+ 12x + 6
g(f(x)) = 4x2
+ 12x + 6
g(2x + 4) = 4x2
+ 12x + 6
7. 7
Misal: 2x + 4 = p, maka
2
4
p
x
g(p) =
2
4
2
4
p
+ 12
2
4p
) + 6
g(p) = p2
– 8p + 16 + 6p – 24 + 6
g(p) = p2
– 2p – 2
Maka: g (x) = x2
– 2x – 2
Cara lain:
6124)42())(())(( 2
xxxgxfgxfg
2)42(2)42( 2
xx
Jadi, 22)( 2
xxxg
C. Fungsi Invers
1. Pengertian Invers
Misalkan f fungsi dari himpunan A ke B yang dinyatakan dengan diagram panah sbb:
sehingga diperoleh himpunan pasangan berurutan:
Aabaf |),{(: dan }Bb
Kalau diadakan pengubahan domain menjadi kodomain dan kodomaian menjadi
domaian, maka diagram panahnya menjadi
dan himpunan pasangan berurutannya menjadi
Bbab |),{( dan }Aa
Relasi yang diperoleh dengan cara seperti di atas disebut invers fungsi f dan
dilambangkan dengan 1
f
8. 8
Definisi:
Jika fungsi BAf : dinyatakan dengan pasangan berurutan Aabaf |),{(: dan
}Bb maka invers fungsi f adalah ABf
:1
ditentukan oleh Bbabf |),{(
dan }Aa
Apakah invers suatu fungsi juga merupakan fungsi ? Untuk jelasnya perhatikan diagram
panah berikut.
(1) (2)
(3)
Tampak bahwa yang inversnya juga merupakan fungsi hanya pada gambar (3). Jika
invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers fungsi itu disebut fungsi invers.
2. Menentukan Rumus Fungsi Invers
Perhatikan diagram panah berikut.
9. 9
y adalah peta dari x oleh fungsi f, sehingga pemetaan oleh fungsi f dapat dinayatakan
dengan persamaan:
)(xfy
Kalau f-1
adalah invers dari fungsi f maka x adalah peta dari y oleh fungsi f-1
sehingga
diperoleh persamaan:
)(1
yfx
Selanjutnya peubah x diganti dengan y dan peubah y diganti dengan x.
Contoh:
1. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi 62)( xxf !
Jawab:
62)( xxfy
62 yx
3
2
1
yx
Dengan demikian 3
2
1
)(1
yyf atau 3
2
1
)(1
xxf
Contoh:
Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi
3
1
,
13
52
)(
x
x
x
xf
Jawab:
13
52
)(
x
x
xfy
52)13( xxy
523 xyyx
523 yxyx
5)23( yxy
23
5
y
y
x
y
y
x
32
5
y
y
yf
32
5
)(1
x
x
xf
32
5
)(1
Jadi fungsi invers dari fungsi
3
1
,
13
52
)(
x
x
x
xf adalah
x
x
xf
32
5
)(1
10. 10
3. Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi
Misalkan h(x) adalah fungsi komposisi yang dapat dibentuk dari fungsi f(x) dan fungsi
g(x). Fungsi h(x) kemungkinannya adalah ....
ii) h(x) = (fog)(x)
ii) h(x) = (gof)(x)
Diagram panahnya sbb:
i)
Jadi ))(()()( 111
xgfxfg
ii)
12. 12
))(()()( 111
xfgxgf
))(( 11
xfg
5
2
)3(
5
1
x
5
1
5
1
x
Contoh:
Fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus:
12)( xxf dan
4
53
)(
x
x
xg
Carilah )!()( 1
xfg
Jawab;
))(())(( xfgxfg
412
5)12(3
x
x
32
86
x
x
32
86
x
x
y
8632 xyyx
8362 yxyx
83)62( yxy
62
83
y
y
x
Jadi
62
83
)()( 1
x
x
xfg
13. 13
UJI KOMPETENSI
1. Diketahui 46)13( xxf , maka )(xf ....
A. 2x + 4
B. 2x – 4
C. 2x + 6
D. 2x – 6
E. 2x + 5
2. Diketahui 524)12( 2
xxxf maka )2(f ....
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
E. 3
3. Daerah hasil (range) dari fungsi RRf : dimana 82)( 2
xxxf adalah ....
A. },8|{ Ryyy
B. },8|{ Ryyy
C. },9|{ Ryyy
D. },8|{ Ryyy
E. },9|{ Ryyy
4. Jika 25)( xxf dan 12)( xxg maka )2)(( gf ....
A. -17
B. -16
C. -15
D. -14
E. -13
5. Jika
32
2
)(
x
x
xf dan 13)( xxg maka )2)(( fg ....
A. -1
B. 0
C. 1
D. 5/11
E. 9/11
6. Jika 2)( xxf dan 143)( 2
xxxg maka ))(( xfg ....
A. 21163 2
xx
B. 21163 2
xx
C. 2183 2
xx
D. 21123 2
xx
E. 21123 2
xx
14. 14
7. Jika
12
5
)(
x
x
xf maka
)3(1
f ....
A. -3/5
B. -2/5
C. 1
D. 2/5
E. 3/5
8. Jika 27)( xxf maka
)1(1
xf ....
A. x + 2
B. x -2
C. x + 3
D. 1/7 (x + 2)
E. 1/7 (x + 3)
9. Jika 32)( xxf dan 106))(( xxfg maka
)(1
xg ...
A. x + 19
B. x – 19
C. 1/3(x – 19)
D. 1/3(x + 10)
E. 1/3(x - 10)
10. Jika 3810))(( 2
xxxgf dan 42)( xxg maka
)(1
xf ....
A. x + 9
B. 2 + x
C. 3102
xx
D. 12 x
E. 72 x
15. 15
KUNCI UJI KOMPETENSI
1. Diketahui 46)13( xxf , maka )(xf ....
A. 2x + 4
B. 2x – 4
C. 2x + 6
D. 2x – 6
E. 2x + 5
2. Diketahui 524)12( 2
xxxf maka )2(f ....
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
E. 3
3. Daerah hasil (range) dari fungsi RRf : dimana 82)( 2
xxxf adalah ....
A. },8|{ Ryyy
B. },8|{ Ryyy
C. },9|{ Ryyy
D. },8|{ Ryyy
E. },9|{ Ryyy
4. Jika 25)( xxf dan 12)( xxg maka )2)(( gf ....
A. -17
B. -16
C. -15
D. -14
E. -13
5. Jika
32
2
)(
x
x
xf dan 13)( xxg maka )2)(( fg ....
A. -1
B. 0
C. 1
D. 5/11
E. 9/11
6. Jika 2)( xxf dan 143)( 2
xxxg maka ))(( xfg ....
A. 21163 2
xx
B. 21163 2
xx
C. 2183 2
xx
D. 21123 2
xx
E. 21123 2
xx
16. 16
7. Jika
12
5
)(
x
x
xf maka
)3(1
f ....
A. -3/5
B. -2/5
C. 1
D. 2/5
E. 3/5
8. Jika 27)( xxf maka
)1(1
xf ....
A. x + 2
B. x -2
C. x + 3
D. 1/7 (x + 2)
E. 1/7 (x + 3)
9. Jika 32)( xxf dan 106))(( xxfg maka
)(1
xg ...
A. x + 19
B. x – 19
C. 1/3(x – 19)
D. 1/3(x + 10)
E. 1/3(x - 10)
10. Jika 3810))(( 2
xxxgf dan 42)( xxg maka
)(1
xf ....
A. x + 9
B. 2 + x
C. 3102
xx
D. 12 x
E. 72 x