Dokumen tersebut membahas materi integral kalkulus mulai dari pengertian integral, rumus-rumus dasar integral, metode integrasi seperti substitusi dan integral parsial, serta penerapan integral untuk menghitung luas dan volume benda dua dan tiga dimensi.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penggunaannya untuk mendekati perubahan variabel tergantung (dy) dan akar-akar persamaan. Diferensial dy didefinisikan sebagai f'(x)dx dan dapat digunakan untuk mendekati Δy. Metode iterasi juga dibahas untuk memperbaiki pendekatan akar-akar persamaan.
Bab 1 membahas berbagai teknik integrasi termasuk antiderivatif, aturan-aturan integrasi, dan contoh integral tak tentu dari berbagai fungsi seperti pangkat, trigonometri, eksponensial, dan akar.
Dokumen tersebut membahas tentang integral dan aplikasinya, meliputi:
1. Definisi integral dan anti turunan
2. Metode penghitungan integral dengan substitusi, integral parsial, dan integral tertentu
3. Penerapan integral untuk menghitung luas daerah dan isi benda putar
Dokumen tersebut membahas tentang aplikasi integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Terdapat tiga metode untuk menghitung volume benda putar yaitu metoda cakram, metoda cincin, dan metoda kulit tabung.
Dokumen tersebut membahas materi integral kalkulus mulai dari pengertian integral, rumus-rumus dasar integral, metode integrasi seperti substitusi dan integral parsial, serta penerapan integral untuk menghitung luas dan volume benda dua dan tiga dimensi.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penggunaannya untuk mendekati perubahan variabel tergantung (dy) dan akar-akar persamaan. Diferensial dy didefinisikan sebagai f'(x)dx dan dapat digunakan untuk mendekati Δy. Metode iterasi juga dibahas untuk memperbaiki pendekatan akar-akar persamaan.
Bab 1 membahas berbagai teknik integrasi termasuk antiderivatif, aturan-aturan integrasi, dan contoh integral tak tentu dari berbagai fungsi seperti pangkat, trigonometri, eksponensial, dan akar.
Dokumen tersebut membahas tentang integral dan aplikasinya, meliputi:
1. Definisi integral dan anti turunan
2. Metode penghitungan integral dengan substitusi, integral parsial, dan integral tertentu
3. Penerapan integral untuk menghitung luas daerah dan isi benda putar
Dokumen tersebut membahas tentang aplikasi integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Terdapat tiga metode untuk menghitung volume benda putar yaitu metoda cakram, metoda cincin, dan metoda kulit tabung.
Modul ini membahas tentang pertidaksamaan dan fungsi komposisi. Pertidaksamaan meliputi definisi, sifat-sifat, dan jenis pertidaksamaan seperti linear, kuadrat, dan pecahan. Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi secara berurutan untuk menghasilkan fungsi baru.
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Neria Yovita
Dokumen ini membahas tentang pertemuan ke-7 mata kuliah aplikasi integral rangkap dua. Pertemuan ini bertujuan agar mahasiswa dapat mengaplikasikan integral rangkap dua untuk menghitung pusat massa lamina dan momen inersia lamina. Terdapat contoh soal dan latihan mengenai penghitungan pusat massa dan momen inersia menggunakan integral rangkap dua.
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu x, dan ordinat. Secara khusus dijelaskan tentang pengertian luas daerah, rumus integral untuk menghitung luas daerah, contoh soal, serta penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.
Pertemuan 3 teknik integrasi (substitusi, substitusi bentuk radikal ke bent...Dearest Rome
Dokumen tersebut membahas metode substitusi untuk menyelesaikan integral, yaitu substitusi trigonometri, bentuk akar, dan bentuk kuadrat. Metode substitusi digunakan untuk mengubah bentuk integral agar dapat diselesaikan. Contoh soal dan penjelasan singkat tentang cara menerapkan setiap metode substitusi diberikan.
Dokumen ini membahas tentang integral parsial dan integral fungsi pecah rasional. Integral parsial digunakan untuk menghitung integral dari hasil kali dua fungsi, dengan rumus UdV = UV - VdU bila U dan V memiliki derivatif yang kontinu. Integral fungsi pecah rasional dibedakan menjadi beberapa kasus berdasarkan akar-akar fungsi pembagi, dan metode penyelesaiannya meliputi memecah fungsi menjadi jumlahan beberapa bagian dan menghitung masing-
Teknik integral kalkulus membahas konsep integral sebagai fungsi invers dari turunan, rumus dasar integral untuk fungsi aljabar dan trigonometri, serta penerapannya untuk menentukan persamaan kurva dan gerak. Dokumen ini memberikan contoh soal dan penyelesaian integral tak tentu, serta teknik pengintegralan untuk fungsi-fungsi elementer.
Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga, termasuk cara menyelesaikannya dengan mengintegralkan terhadap variabel satu persatu dan menentukan batas integralnya. Contoh soal integral lipat tiga diberikan beserta penyelesaiannya.
Integral tak tentu dan integral tertentu merupakan konsep integral yang mendasar. Integral tak tentu adalah antiturunan dari suatu fungsi, sedangkan integral tertentu melibatkan batas atas dan bawah dalam menghitung luas bawah kurva. Dokumen ini menjelaskan berbagai teorema dan metode penyelesaian integral, seperti substitusi, integral parsial, dan integral fungsi rasional dan trigonometri.
Integral dapat digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu koordinat. Luas dihitung dengan membagi interval menjadi bagian-bagian kecil dan menjumlahkan luasnya. Secara matematis, luas didefinisikan sebagai batas dari jumlah luas partisi ketika jumlah partisi mendekati tak hingga.
1. Tugas kalkulus 2 membahas konsep-konsep dasar kalkulus seperti turunan, integral, nilai ekstrem, dan aplikasi turunan.
2. Dibahas pula sifat-sifat turunan, turunan fungsi trigonometri, persamaan garis singgung, jenis-jenis nilai stasioner, kecekungan fungsi, dan cara menggambar grafik fungsi.
3. Bagian akhir membahas aplikasi turunan seperti laju perubahan
Modul ini membahas tentang pertidaksamaan dan fungsi komposisi. Pertidaksamaan meliputi definisi, sifat-sifat, dan jenis pertidaksamaan seperti linear, kuadrat, dan pecahan. Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi secara berurutan untuk menghasilkan fungsi baru.
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Neria Yovita
Dokumen ini membahas tentang pertemuan ke-7 mata kuliah aplikasi integral rangkap dua. Pertemuan ini bertujuan agar mahasiswa dapat mengaplikasikan integral rangkap dua untuk menghitung pusat massa lamina dan momen inersia lamina. Terdapat contoh soal dan latihan mengenai penghitungan pusat massa dan momen inersia menggunakan integral rangkap dua.
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu x, dan ordinat. Secara khusus dijelaskan tentang pengertian luas daerah, rumus integral untuk menghitung luas daerah, contoh soal, serta penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.
Pertemuan 3 teknik integrasi (substitusi, substitusi bentuk radikal ke bent...Dearest Rome
Dokumen tersebut membahas metode substitusi untuk menyelesaikan integral, yaitu substitusi trigonometri, bentuk akar, dan bentuk kuadrat. Metode substitusi digunakan untuk mengubah bentuk integral agar dapat diselesaikan. Contoh soal dan penjelasan singkat tentang cara menerapkan setiap metode substitusi diberikan.
Dokumen ini membahas tentang integral parsial dan integral fungsi pecah rasional. Integral parsial digunakan untuk menghitung integral dari hasil kali dua fungsi, dengan rumus UdV = UV - VdU bila U dan V memiliki derivatif yang kontinu. Integral fungsi pecah rasional dibedakan menjadi beberapa kasus berdasarkan akar-akar fungsi pembagi, dan metode penyelesaiannya meliputi memecah fungsi menjadi jumlahan beberapa bagian dan menghitung masing-
Teknik integral kalkulus membahas konsep integral sebagai fungsi invers dari turunan, rumus dasar integral untuk fungsi aljabar dan trigonometri, serta penerapannya untuk menentukan persamaan kurva dan gerak. Dokumen ini memberikan contoh soal dan penyelesaian integral tak tentu, serta teknik pengintegralan untuk fungsi-fungsi elementer.
Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga, termasuk cara menyelesaikannya dengan mengintegralkan terhadap variabel satu persatu dan menentukan batas integralnya. Contoh soal integral lipat tiga diberikan beserta penyelesaiannya.
Integral tak tentu dan integral tertentu merupakan konsep integral yang mendasar. Integral tak tentu adalah antiturunan dari suatu fungsi, sedangkan integral tertentu melibatkan batas atas dan bawah dalam menghitung luas bawah kurva. Dokumen ini menjelaskan berbagai teorema dan metode penyelesaian integral, seperti substitusi, integral parsial, dan integral fungsi rasional dan trigonometri.
Integral dapat digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu koordinat. Luas dihitung dengan membagi interval menjadi bagian-bagian kecil dan menjumlahkan luasnya. Secara matematis, luas didefinisikan sebagai batas dari jumlah luas partisi ketika jumlah partisi mendekati tak hingga.
1. Tugas kalkulus 2 membahas konsep-konsep dasar kalkulus seperti turunan, integral, nilai ekstrem, dan aplikasi turunan.
2. Dibahas pula sifat-sifat turunan, turunan fungsi trigonometri, persamaan garis singgung, jenis-jenis nilai stasioner, kecekungan fungsi, dan cara menggambar grafik fungsi.
3. Bagian akhir membahas aplikasi turunan seperti laju perubahan
1. Dokumen tersebut membahas penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.
2. Integral dapat digunakan untuk mengapproksimasi luas daerah dengan membaginya menjadi bagian-bagian kecil dan menjumlahkannya.
3. Luas daerah dapat didefinisikan sebagai batas dari jumlah luas bagian-bagian tersebut ketika jumlah bagian mendekati tak hingga.
Dokumen tersebut membahas tentang integral sebagai konsep yang berkaitan dengan turunan (diferensial). Integral merupakan operasi invers dari diferensial dan digunakan untuk menemukan fungsi asli dari turunannya. Dibahas pula beberapa metode pengintegralan seperti integral tak tentu, substitusi, parsial, dan trigonometri serta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang perhitungan luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi, garis, dan sumbu koordinat dengan menggunakan integral. Metode perhitungan luas daerah dijelaskan untuk berbagai kondisi seperti daerah dibatasi satu atau dua grafik fungsi, daerah positif atau negatif, serta contoh soal latihan perhitungan luas daerah.
1. Teknik-teknik pengintegralan meliputi subtitusi, pengintegralan bentuk-bentuk trigonometri, subtitusi yang merasionalkan, pengintegralan parsial, dan pengintegralan fungsi rasional.
2. Subtitusi digunakan untuk mengintegralkan fungsi-fungsi yang tidak dapat dihitung secara langsung dengan mengganti variabel asli dengan variabel baru.
3. Pengintegralan bentuk-bentuk trigonometri memanfaatkan rum
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu dan integral tertentu. Integral tak tentu adalah operasi antiturunan dari suatu fungsi, sedangkan integral tertentu mengintegralkan suatu fungsi pada batas tertentu. Dokumen ini juga menjelaskan berbagai teorema dan metode penyelesaian masalah integral seperti substitusi, integral parsial, dan integral fungsi rasional.
Teks tersebut memberikan penjelasan tentang fungsi kuadrat dan grafiknya. Secara singkat, teks tersebut menjelaskan bahwa:
1. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y=ax^2+bx+c dan grafiknya berbentuk parabola.
2. Parabola dapat menghadap ke atas atau ke bawah tergantung nilai a yang positif atau negatif.
3. Titik balik parabola ditentukan oleh rumus x=-b/
Name : Azhar Ridwan
Class : First E-B
Major : Electronical Engineering
Dear Sir,
Thank you for Mr. Parulian Silalahi, M.Pd as our Lecture who has given us much of science and knowledge of math. I am sorry if I sending this e-mail as my task lately. and this is a result of our teamwork'.
Thank you,
AzharRidwan
Integral tak tentu dan integral tertentu merupakan konsep integral yang mendasar. Integral tak tentu adalah antiturunan dari suatu fungsi, sedangkan integral tertentu melibatkan batas atas dan bawah dalam menghitung luas bawah kurva. Dokumen ini menjelaskan berbagai teorema dan metode penyelesaian integral, seperti substitusi, integral parsial, dan integral fungsi rasional dan trigonometri.
Bab ini membahas aplikasi integral tertentu untuk menentukan luas luasan, volume benda putar, luas permukaan, dan panjang busur. Metode yang digunakan adalah integral tertentu untuk menghitung luas luasan yang dibatasi oleh satu atau dua kurva, serta metode cakram dan kulit tabung untuk menghitung volume benda putar yang dihasilkan dari pemutaran suatu daerah.
1. Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar vektor dan operator-operator vektor yang digunakan dalam medan dan gelombang elektromagnetik, seperti gradien, divergensi, dan curl.
2. Dibahas pula sistem koordinat kartesian, silindris, dan bola yang digunakan untuk merepresentasikan vektor dalam ruang tiga dimensi.
3. Operator-operator vektor digunakan untuk menghitung laju perubahan medan skalar dan vektor.
Dokumen tersebut memberikan resep dan cara membuat beberapa masakan Indonesia seperti cap cay goreng, tumis kangkung, sayur asem, perkedel kentang, ikan asam manis pedas, dan pepes ikan. Dokumen tersebut menjelaskan bahan-bahan dan langkah-langkah pembuatan masing-masing masakan secara rinci dan sistematis.
Dokumen tersebut memberikan resep dan cara membuat beberapa masakan Indonesia, yaitu:
1. Cap cay goreng yang terdiri dari daging ayam, sayuran, dan saus kental berbumbu
2. Tumis kangkung dengan bumbu cabai, bawang, dan saus tiram
3. Sayur asem Jawa Timur dengan campuran sayuran dan kuah asam manis
2. Satuan Acara Perkuliahan
Mata Kuliah Kalkulus 2
Integrasi (Pengertian Integral, rumus – rumus dasar integral, integral tak
tentu, integral tertentu)
Metode Integrasi (Integral dengan substitusi, Integral Parsial, Integral
fungsi trigonometri, integral fungsi rasional, substitusi khusus, rumus –
rumus reduksi)
Fungsi Transenden (Logaritma dan Eksponen, Invers fungsi
trigonometri)
Luas dan integral tertentu (luas, integral tertentu, sifat – sifat integral
tertentu)
Volume benda putar
Luas permukaan benda putar
Integral tak wajar dan integral lipat dua
Differensial parsial orde tinggi
Kalkulus dan geometri
Untuk sumber
materi silakan
gunakan buku2
kalkulus yang
mendukung/ dari
internet
4. Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:
Rumus – rumus dasar integrasi
( ) ( )f x dx F x C= +∫
1
, 1
1
n
n ax
ax dx C n
n
+
= + ≠ −
+∫
5. Nah…. ini contoh2 nya bu…. pa…..
1.
2.
3.
4.
5.
1 1 2
26 6
6 3
1 1 2
x x
xdx x
+
= = =
+∫
3 1 4
3 412 12
12 3
3 1 4
x x
x dx x
+
= = =
+∫
1 3
11 32 2
2 2
6 6
6 6 4
1 3
1
2 2
x x
xdx x dx x
+
= = = =
+
∫ ∫
1 1 0 1
22 3
(2 3) 3
1 1 0 1
x x
x dx x x
+ +
+ = + = +
+ +∫
1 5 1
7 1
2 2 12 2 2 2 2
2 2
( ) ( 2 ) 2 4
7
x x dx x x x dx x x dx x x
x
−
−
− = − = − = −∫ ∫ ∫
6. Silakan dicoba Tugas 1 nya,,,
saya yakin ibu-ibu dan bapa-bapa pasti bisa…..
Tentukanlah nilai integral
dari:
1. dx
2. dx
3.
4.
5.
2
9x∫
2
(3 4 )x x+∫
1 1
2 2
(3 2 )x x dx
−
−∫
1
22
( 3)x x dx
−
+∫
2
( 3)x
dx
x
+
∫
6.
7.
2
(1 2 )x
dx
x
−
∫
21
( 1)x dx
x
−∫
Dikumpulkan hari Selasa
tanggal 12 Mei 2009 ya……… ^^
7. Integral Tertentu
Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas
daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x, dengan
batas tertentu
Sifat – sifat integral tertentu
1.
2.
[ ]( ) ( )
b b
a
a
f x dx Fb FaF x= = −∫
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=∫ ∫
[ ]( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
8. Sifat – sifat integral tertentu (Lanjutan…)
3.
4.
5.
6.
( ) ( ) ( ) ,
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx a b c+ = < <∫ ∫ ∫
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫
( ) 0
a
a
f x dx =∫
( ) ( )
b b
a a
f x dx f t dt=∫ ∫
Kira – kira
perlu
contoh2nya
ga????
9. Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan
sumbu x
Dengan batas x1=a dan x2=b
( )
b
a
L f x dx= ∫
( )
b
a
L f x dx= −∫
10. Luas Daerah Antara Dua Kurva
Untuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x), maka:
[ ]( ) ( )
b
a
L f x g x dx= −∫
11. Metode Integrasi
Integral dengan Substitusi
contoh:
Diusahakan menjadi bentuk
Substitusi u=2x-3
Cari turunan dari u =
Cari nilai dx:
2 3 ?x dx− =∫ n
u du∫
2
du
dx
=
2
du
dx =
12. Maka:
Hasil akhir, dikembalikan ke nilai awal u = 2x-3, yaitu:
1
2 3 .
2
x dx u du− =∫ ∫
31
2 2
1 1 2
.
2 2 3
u du u C= = +∫
3
2
1
2 3 (2 3)
3
x dx x C− = − +∫
3
2
1
3
u C= +
13. Integral Parsial
Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak
dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara
penyelesaiannya dengan metode integral parsial.
Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Metode integral
parsial memiliki bentuk:
udv uv vdu= −∫ ∫
Keterangan:
u = f(x) - du = turunan dari u
v = g(x) - dv = turunan v
14. Contoh:
Jawab:
Jadikan bentuk
Pemisalan:
u = dv =
Cari du dan v
du = 2x dx v =
v =
Masukan ke bentuk
2
3x x dx−∫
udv∫
2
x 3x dx−
3x dx−∫
31
2 2
2
( 3) ( 3)
3
x x− = −∫
udv uv vdu= −∫ ∫
15. 3 3
2 2 2 2
2 2
3 . ( 3) ( 3) .2
3 3
x x dx x x x xdx− = − − −∫ ∫
udv uv vdu= −∫ ∫
3 3
2 2 2
2 4
( 3) ( 3)
3 3
x x x x dx= − − −∫
Integral Parsial Tahap
2:
3
2
( 3)x x −∫
16. VOLUME BENDA PUTAR
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah
tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas
lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar
secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan
tinggi.
Bila luas alas kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda
putar adalah panjang selang [ a,b ], maka volume benda
putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai
berikut :
17. Lanjutan……
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena
suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan
menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan
kulit tabung.
Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b
diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda
pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang
bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak
berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang
[a,b].
18. Lanjutan………
Misal pusat cakram dan jari-jari r = f(xo). Maka
luas cakram dinyatakan :
Oleh karena itu, volume benda putar :
Dapat juga ditulis
f(x) = y
2
b
a
V y dxπ= ∫
19. Lanjutan……..
Sedangkan bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y),
x=0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maka
volume benda putar :
Dapat juga ditulis:
w(y) = x
2
d
c
V x dyπ= ∫
20. VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA
KURVA
Jika suatu daerah dibatasi oleh kurva y=f(x), y = g(x),
x=a dan x=b diputar sekeliling sumbu X sejauh 360
derajat, maka isi benda putar yang terjadi adalah:
2 2
[( ( )) ( ( )) ]
b
a
V f x g x dxπ= −∫
Dimana f(x)> g(x)
21. Contoh Soal:
1. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika suatu daerah
tersebut dibatasi oleh kurva , sumbu y,
y=0 dan y=2!
2. Daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x, diputar
sekeliling sumbu x sejauh 360 derajat. Tentukan isi benda
putar yang terjadi!
3. Daerah yang dibatasi oleh kurva y=x+3, y=3 dan y=7
diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 derajat.
Tentukan isi benda putar yang terjadi!
4. Buktikan bahwa isi kerucut:
5. Buktikan bahwa isi bola:
2
1y x= −
2
2y x x= −
21
3
V r tπ=
34
3
V rπ=
22. INTEGRAL TAK WAJAR
Bentuk integral disebut Integral Tak Wajar ,
jika:
a. Paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga, atau
b. Integran f(x) mempunyai titik tak kontinu pada [ a , b ]
• Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga
( )
b
a
f x dx∫
23. Bila limit pada ruas kanan ada dan bernilai hingga, maka
integralnya disebut Konvergen ke nilai limit tersebut.
Sedang bila limit tidak ada atau nilainya menuju tak hingga
maka disebut Divergen