SlideShare a Scribd company logo
1 of 33
Bab 6 
Fungsi Komposisi dan 
Fungsi Invers 
November 26, 2014
Operasi 
Fungsi 
Komposisi Fungsi Invers Fungsi 
Penjumlahan 
Pengurangan 
Perkalian 
Pembagian 
Sifat-Sifat 
Fungsi 
Komposisi 
Sifat-Sifat 
Invers Fungsi 
Komposisi 
Fungsi Invers 
Fungsi Komposisi dan 
Fungsi Invers 
mempelajari 
membahas membahas membahas 
November 26, 2014
1. Apa yang dimaksud dengan fungsi? Berikan contohnya. 
2. Apa yang dimaksud dengan domain, kodomain, dan range? 
3. Misalkan diberikan fungsi f(x) = 2 + 3x. Tentukan 
a. domain dan range fungsi itu; 
b. f(0), f(–3), f(t), dan f(1 – t2). 
November 26, 2014
1. Pengertian Fungsi 
Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan 
B dalam hal ini setiap x Î A dipasangkan dengan tepat satu y Î B. 
Misalkan diketahui himpunan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}, dan f 
menyatakan fungsi dari A ke B, dengan aturan seperti diagram berikut. 
November 26, 2014 
Daerah asal (domain) dari f adalah A = {a, b, c, d}. 
Daerah kawan (kodomain) dari f adalah B = {1, 2, 3, 4}. 
Daerah hasil (range) dari f adalah {2, 3}.
2. Sifat-Sifat Fungsi 
a. Fungsi Surjektif 
Fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif jika dan hanya 
jika Rf = B. 
Gambar di bawah ini merupakan fungsi surjektif karena 
setiap kodomain mempunyai pasangan atau Rf = B. 
November 26, 2014
b. Fungsi Injektif 
Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif jika a1, a2 Î A dan 
a1 ≠ a2 maka berlaku f(a1) ≠ f(a2). 
Gambar di bawah ini menunjukkan fungsi injektif karena 
setiap anggota domain fungsi berbeda mempunyai peta 
yang berbeda pula. 
November 26, 2014
c. Fungsi Bijektif 
Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika 
fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan injektif. 
Gambar di atas merupakan fungsi surjektif karena range 
fungsi f sama dengan kodomain fungsi f atau Rf = B. 
November 26, 2014
Contoh: 
Tentukan jenis fungsi f : R → R (R adalah himpunan 
bilangan real) yang didefinisikandengan f(x) = 2x. 
Jawab: 
 Untuk setiap bilangan real a, maka pasti akan mendapat 
satu pasangan bilangan real, yaitu 2a. 
 Demikian pula untuk setiap anggota kodomain 
mendapat pasangan bilangan real dari domain. 
 Artinya, setiap bilangan real 2a, pasti akan ditemukan 
bilangan real a (dalam domain). 
 Jadi, fungsi tersebut bersifat injektif dan surjektif (atau 
bijektif). 
November 26, 2014
Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) dan g(x). 
Jika Df domain fungsi f dan Dg domain fungsi g, Df ∩ Dg ≠ f 
maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi 
tersebut sebagai berikut. 
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) 
2. (f – g)(x) = f(x) – g(x) 
3. (f × g)(x) = f(x) × g(x) 
4. 
( ) ( ) 
æ ö 
x f x 
g x 
( ) ( ) 0 , ¹ = ÷ ÷ø 
ç çè 
g x 
f 
g 
November 26, 2014
Contoh: 
Diketahui f(x) = x2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. 
Tentukan g(x). 
Jawab: 
(f + g)(x) = f(x) + g(x) 
Û x2 + 5 = (x2 + 3x – 1) + g(x) 
Û g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1) 
Û g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1 
Û g(x) = –3x + 6 
November 26, 2014
1. Pengertian Fungsi Komposisi 
Misalkan diberikan fungsi f: R → R dan g: R → R. 
Fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x + 1 dan g 
dirumuskan dengan g(x) = x2. 
Untuk x = 1 → f(1) = 1 + 1 
x = 2 → f(2) = 2 + 1 
x = t → f(t) = t + 1 
Jika x diganti g(x), diperoleh f(g(x)) = g(x) + 1 = x2 + 1. 
November 26, 2014
Fungsi f(g(x)) di tulis (f o g)(x). Fungsi f o g dibaca 
“f bundaran g”. 
Misalkan fungsi f : A → B, dengan f(a) = b dan 
fungsi g : B → C dengan g(b) = c. 
Komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca: g 
bundaran f) adalah suatu fungsi yang ditentukan 
dengan aturan berikut. 
November 26, 2014 
(g o f)(a) = g(f(a))
Contoh: 
Diketahui f = {(6, –2), (8, –1), (10, 0), (12, 1)}; 
g = {(–2, 8), (–1, 10), (0, 12), (1, 6)}. 
Tunjukkan hubungan f o g dan g o f dalam diagram. Tentukan 
f o g dan nilai (g o f )(10). 
Jawab: 
f o g = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, –2)} 
Dengan memperhatikan diagram, diperoleh (g o f)(10) = 12. 
November 26, 2014
2. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan 
Misalkan diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan 
pasangan berurutan berikut. 
f = {(0, p), (1, q), (2, 5), (3, 5)} 
g = {(p, 1), (s, 2), (t, 7), (u, 0)} 
Mari kita selidiki komposisi fungsi f o g dan g o f. 
(a) (b) 
November 26, 2014
· Komposisi fungsi f o g berarti pemetaan pertama fungsi g 
dilanjutkan pemetaan kedua fungsi f. 
Berdasarkan diagram (a) di atas, dapat kita peroleh 
pasangan berurutan (f o g ) = {(p, q), (s, r), (u, p)}. 
· Komposisi fungsi (g o f) berarti pemetaan pertama fungsi 
f dilanjutkan pemetaan kedua fungsi g. 
Berdasarkan diagram (b) di atas, dapat kita peroleh 
pasangan berurutan g o f = {(0, 1), (3, 2)}. 
· Syarat agar fungsi f dan g dapat dikomposisikan menjadi 
komposisi fungsi (f o g) adalah apabila range fungsi g 
merupakan himpunan dari domain f atau RÍ D. 
g f 
November 26, 2014
3. Sifat-Sifat Fungsi Komposisi 
Misalkan diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut. 
f(x) = 5x – 4 
g(x) = 2x + 8 
h(x) = x2 
Fungsi komposisi f o g dan g o f adalah sebagai berikut. 
a. (f o g)(x) = f(g(x)) 
= f(2x + 8) 
= 5(2x + 8) – 4 
= 10x + 36 
b. (g o f)(x) = g(f(x)) 
= g(5x – 4) 
= 2(5x – 4) + 8 
= 10x November 26, 2014
 Dari hasil di atas tampak bahwa f o g ≠ g o f sehingga 
fungsi komposisi tidak bersifat komutatif, tetapi fungsi 
komposisi berlaku sifat asosiatif. 
 Misalkan f dan I adalah fungsi pada himpunan bilangan 
real dengan f(x) = 2x2 + 1 dan I(x) = x. 
Perhatikan: 
(f o I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x2 + 1; 
(I o f)(x) = I(f(x)) = I(2x2 + 1) = 2x2 + 1 = f(x). 
 Terlihat bahwa (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x). 
Jadi, I(x) = x merupakan fungsi identitas dalam fungsi 
komposisi. 
November 26, 2014
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi: 
a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu 
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x). 
b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu 
((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x). 
c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga 
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x). 
November 26, 2014
4. Menentukan Fungsi yang Diketahui Fungsi 
Komposisinya 
Contoh: 
Diketahui fungsi (f o g)(x) = –15x + 5 dan fungsi f(x) = 3x + 2. 
Tentukan fungsi g. 
Jawab: 
Karena (f o g)(x) = f(g(x)), berarti f(g(x)) = –15x + 5 
3(g(x)) + 2 = –15x + 5 
g(x) = 
-15x + 5 
g(x) = –5x + 1 
Jadi, g(x) = –5x + 1. 
3 
November 26, 2014
1. Pengertian Invers Suatu Fungsi 
Definisi untuk invers suatu fungsi f adalah sebagai berikut. 
Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan 
f = {(x, y) | x Є A, y Є B} 
maka invers dari fungsi f adalah f-1 : B → A, dengan 
f-1 = {(y, x) | y Є B, x Є A} 
Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f-1 : B → A 
jika dan hanya jika f bijektif atau A dan B korespondensi 
satu-satu. 
November 26, 2014
Contoh: 
Diketahui fungsi f : A → B dengan A = {1, 3, 5}, dan B = 
{2, 4, 6, 8}, dan f dinyatakan dengan pasangan berurutan 
f = {(1, 2), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan 
selidikilah apakah invers fungsi f merupakan sebuah 
fungsi. 
Jawab: 
f-1 : B → A , yaitu f-1 = {(2, 1), (6, 3), (8, 5)}. 
Invers fungsi f adalah relasi biasa (bukan fungsi) karena 
ada sebuah anggota B yang tidak dipetakan ke A, yaitu 4. 
November 26, 2014
2. Menentukan Invers Suatu Fungsi 
Misal f-1 adalah invers f maka x = f-1(y). 
Rumus x = f-1(y) dapat diperoleh dengan langkah berikut. 
a. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi x = g(y). 
Karena x = f-1(y) maka diperoleh bentuk 
f-1(y) = g(y). 
b. Setelah memperoleh bentuk f-1(y) = g(y), gantilah variabel y 
dengan variabel x sehingga akan diperoleh f-1(x) yang 
sudah dalam variabel x. 
November 26, 2014
Contoh: 
Tentukan rumus invers fungsi dari fungsi f(x) = 5x + 2. 
Jawab: 
y = f(x) 
y = 5x + 2 
5x = y – 2 
x 
= y - 2 
f -1(y) 
5 
= y - 2 
5 
November 26, 2014
3. Komposisi Suatu Fungsi dengan Inversnya 
Untuk mengetahui tentang hubungan invers dengan 
komposisi fungsi perhatikan uraian berikut. 
Misal f(x) = x + 5. 
Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu 
y = f(x) Û y = x + 5 
Û x = y – 5 
Û f-1(y) = y – 5 
Jadi, f-1(x) = x – 5. 
November 26, 2014
Sekarang perhatikan komposisi fungsi f dan f-1 berikut. 
1) (f o f-1)(x) = f(f-1(x)) = f(x – 5) = (x – 5) + 5 = x 
2) (f-1 o f)(x) = f-1(f(x)) = f(x + 5) = (x + 5) – 5 = x 
Dengan demikian, diperoleh (f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x. 
Dari uraian di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi 
dengan inversnya (atau sebaliknya) akan menghasilkan 
fungsi identitas sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. 
(f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x = I(x) 
November 26, 2014
Contoh: 
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6. 
a. Carilah f-1(x). 
b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) 
mempunyai fungsi invers. 
Jawab: 
a. f(x) = 2x + 6 
Misalkan y = f(x). Dengan demikian, 
y = 2x + 6 
2x = y – 6 
x = y −3 
f -1(y) = y − 3 
2 1 
2 
1 
November 26, 2014
b. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau 
ditulis Df = {x | x Î R}. 
Domain dari f-1(x) merupakan kodomain fungsi f maka 
kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah semua 
bilangan anggota himpunan bilangan real. 
Jika digambarkan dalam bidang Cartesius, tampak seperti 
gambar berikut. 
November 26, 2014
Grafik f-1(x) diperoleh dari hasil 
pencerminan grafik f(x) 
terhadap sumbu y = x. 
November 26, 2014
Invers dari fungsi komposisi f o g adalah 
(f o g) -1(x) = (g -1 o f -1)(x) 
Demikian sebaliknya, invers fungsi komposisi g o f adalah 
(g o f )-1 (x) = (f -1 o g-1)(x) 
November 26, 2014
Contoh:
Bab 6
Bab 6
Bab 6

More Related Content

What's hot

Komposisi dua-fungsi
Komposisi dua-fungsiKomposisi dua-fungsi
Komposisi dua-fungsiGanes Candra
 
Sifat sifat operasi fungsi dan komposisi fungsi
Sifat sifat operasi fungsi dan komposisi fungsiSifat sifat operasi fungsi dan komposisi fungsi
Sifat sifat operasi fungsi dan komposisi fungsiOSIS
 
Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers
Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers
Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers Joey Leomanz B
 
Fungsi Invers
Fungsi Invers Fungsi Invers
Fungsi Invers ayunsr3
 
Homomorfisma grup
Homomorfisma grupHomomorfisma grup
Homomorfisma grupYadi Pura
 
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiFungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiksaaann
 
Operasi aljabar pada fungsi
Operasi aljabar pada fungsiOperasi aljabar pada fungsi
Operasi aljabar pada fungsiWiNa ELshirazy
 
Operasi Aljabar Pada Fungsi (Math Class)
Operasi Aljabar Pada Fungsi (Math Class)Operasi Aljabar Pada Fungsi (Math Class)
Operasi Aljabar Pada Fungsi (Math Class)HIA Class.
 
Fungsi komposisi dan fungsi invers
Fungsi komposisi dan fungsi inversFungsi komposisi dan fungsi invers
Fungsi komposisi dan fungsi inversnoussevarenna
 

What's hot (16)

Komposisi dua-fungsi
Komposisi dua-fungsiKomposisi dua-fungsi
Komposisi dua-fungsi
 
Sifat sifat operasi fungsi dan komposisi fungsi
Sifat sifat operasi fungsi dan komposisi fungsiSifat sifat operasi fungsi dan komposisi fungsi
Sifat sifat operasi fungsi dan komposisi fungsi
 
Fungsi
FungsiFungsi
Fungsi
 
operasi pada fungsi
operasi pada fungsioperasi pada fungsi
operasi pada fungsi
 
Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers
Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers
Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers
 
Kalkulus modul iv fungsi dan grafiknya
Kalkulus modul iv fungsi dan grafiknyaKalkulus modul iv fungsi dan grafiknya
Kalkulus modul iv fungsi dan grafiknya
 
Fungsi Komposisi
Fungsi KomposisiFungsi Komposisi
Fungsi Komposisi
 
Fungsi Invers
Fungsi Invers Fungsi Invers
Fungsi Invers
 
Fungsi komposisi
Fungsi komposisiFungsi komposisi
Fungsi komposisi
 
Homomorfisma grup
Homomorfisma grupHomomorfisma grup
Homomorfisma grup
 
Fungsi dan grafik
Fungsi dan grafikFungsi dan grafik
Fungsi dan grafik
 
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiFungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
 
Operasi aljabar pada fungsi
Operasi aljabar pada fungsiOperasi aljabar pada fungsi
Operasi aljabar pada fungsi
 
Operasi Aljabar Pada Fungsi (Math Class)
Operasi Aljabar Pada Fungsi (Math Class)Operasi Aljabar Pada Fungsi (Math Class)
Operasi Aljabar Pada Fungsi (Math Class)
 
Fungsi komposisi
Fungsi komposisiFungsi komposisi
Fungsi komposisi
 
Fungsi komposisi dan fungsi invers
Fungsi komposisi dan fungsi inversFungsi komposisi dan fungsi invers
Fungsi komposisi dan fungsi invers
 

Viewers also liked

Gempa Bumi Sumatera Barat September 2009
Gempa Bumi Sumatera Barat September 2009Gempa Bumi Sumatera Barat September 2009
Gempa Bumi Sumatera Barat September 2009guest054a982
 
Kelas10 mtk hendi
Kelas10 mtk hendiKelas10 mtk hendi
Kelas10 mtk hendifitriana416
 
Kelas xi sma ipa matematika_wahyudin djumanta
Kelas xi sma ipa matematika_wahyudin djumantaKelas xi sma ipa matematika_wahyudin djumanta
Kelas xi sma ipa matematika_wahyudin djumantafitriana416
 
Bentuk pangkat, akar, dan logaritma(pertemuan pertama)
Bentuk pangkat, akar, dan logaritma(pertemuan pertama)Bentuk pangkat, akar, dan logaritma(pertemuan pertama)
Bentuk pangkat, akar, dan logaritma(pertemuan pertama)Aedietya Yusuf K
 
Kelas xii sma matematika_geri ahmadi
Kelas xii sma matematika_geri ahmadiKelas xii sma matematika_geri ahmadi
Kelas xii sma matematika_geri ahmadifitriana416
 
Kelas xii sma ipa matematika_pesta es
Kelas xii sma ipa matematika_pesta esKelas xii sma ipa matematika_pesta es
Kelas xii sma ipa matematika_pesta esfitriana416
 
Pembahasan un matematika sma 2011 paket 12 plus trik superkilat dan logika pr...
Pembahasan un matematika sma 2011 paket 12 plus trik superkilat dan logika pr...Pembahasan un matematika sma 2011 paket 12 plus trik superkilat dan logika pr...
Pembahasan un matematika sma 2011 paket 12 plus trik superkilat dan logika pr...Adriana Dwi Ismita
 
Pembahasan Soal UN 2012 Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Pembahasan Soal UN 2012   Bentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaPembahasan Soal UN 2012   Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Pembahasan Soal UN 2012 Bentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaDarminto WS
 
UN MATEMATIKA SMP 2015
UN   MATEMATIKA SMP  2015UN   MATEMATIKA SMP  2015
UN MATEMATIKA SMP 2015Budhi Emha
 
Soal dan pembahasan un matematika sma ips 2012-2013
Soal dan pembahasan un matematika sma ips 2012-2013Soal dan pembahasan un matematika sma ips 2012-2013
Soal dan pembahasan un matematika sma ips 2012-2013Sang Pembelajar
 
Matematika untuk sma dan ma kelas xi program ipa
Matematika untuk sma dan ma kelas xi program ipaMatematika untuk sma dan ma kelas xi program ipa
Matematika untuk sma dan ma kelas xi program ipaagusloveridha
 
Soal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan Pembahasannya
Soal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan PembahasannyaSoal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan Pembahasannya
Soal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan PembahasannyaHyronimus Lado
 
Soal dan pembahasan un matematika smp 2014 paket 1
Soal dan pembahasan un matematika smp 2014 paket 1Soal dan pembahasan un matematika smp 2014 paket 1
Soal dan pembahasan un matematika smp 2014 paket 1Sosuke Aizen
 
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]Randy Ikas
 

Viewers also liked (20)

Bab 5
Bab 5Bab 5
Bab 5
 
Bab 1
Bab 1Bab 1
Bab 1
 
Bab 3
Bab 3Bab 3
Bab 3
 
Gempa Bumi Sumatera Barat September 2009
Gempa Bumi Sumatera Barat September 2009Gempa Bumi Sumatera Barat September 2009
Gempa Bumi Sumatera Barat September 2009
 
Bab 7
Bab 7Bab 7
Bab 7
 
Kelas10 mtk hendi
Kelas10 mtk hendiKelas10 mtk hendi
Kelas10 mtk hendi
 
Kelas xi sma ipa matematika_wahyudin djumanta
Kelas xi sma ipa matematika_wahyudin djumantaKelas xi sma ipa matematika_wahyudin djumanta
Kelas xi sma ipa matematika_wahyudin djumanta
 
Bab 8
Bab 8Bab 8
Bab 8
 
Bentuk pangkat, akar, dan logaritma(pertemuan pertama)
Bentuk pangkat, akar, dan logaritma(pertemuan pertama)Bentuk pangkat, akar, dan logaritma(pertemuan pertama)
Bentuk pangkat, akar, dan logaritma(pertemuan pertama)
 
Kelas xii sma matematika_geri ahmadi
Kelas xii sma matematika_geri ahmadiKelas xii sma matematika_geri ahmadi
Kelas xii sma matematika_geri ahmadi
 
Kelas xii sma ipa matematika_pesta es
Kelas xii sma ipa matematika_pesta esKelas xii sma ipa matematika_pesta es
Kelas xii sma ipa matematika_pesta es
 
Pembahasan un matematika sma 2011 paket 12 plus trik superkilat dan logika pr...
Pembahasan un matematika sma 2011 paket 12 plus trik superkilat dan logika pr...Pembahasan un matematika sma 2011 paket 12 plus trik superkilat dan logika pr...
Pembahasan un matematika sma 2011 paket 12 plus trik superkilat dan logika pr...
 
Pembahasan Soal UN 2012 Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Pembahasan Soal UN 2012   Bentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaPembahasan Soal UN 2012   Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Pembahasan Soal UN 2012 Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
 
UN MATEMATIKA SMP 2015
UN   MATEMATIKA SMP  2015UN   MATEMATIKA SMP  2015
UN MATEMATIKA SMP 2015
 
Soal dan pembahasan un matematika sma ips 2012-2013
Soal dan pembahasan un matematika sma ips 2012-2013Soal dan pembahasan un matematika sma ips 2012-2013
Soal dan pembahasan un matematika sma ips 2012-2013
 
Matematika untuk sma dan ma kelas xi program ipa
Matematika untuk sma dan ma kelas xi program ipaMatematika untuk sma dan ma kelas xi program ipa
Matematika untuk sma dan ma kelas xi program ipa
 
Soal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan Pembahasannya
Soal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan PembahasannyaSoal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan Pembahasannya
Soal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan Pembahasannya
 
Soal dan pembahasan un matematika smp 2014 paket 1
Soal dan pembahasan un matematika smp 2014 paket 1Soal dan pembahasan un matematika smp 2014 paket 1
Soal dan pembahasan un matematika smp 2014 paket 1
 
Trigonometri - KELAS X
Trigonometri - KELAS XTrigonometri - KELAS X
Trigonometri - KELAS X
 
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]
 

Similar to Bab 6

Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)Dinna
 
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptxlog&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptxNovrii1
 
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptx
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptxkomposisi fungsi dan fungsi invers.pptx
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptxTutikRahayu16
 
Meri arianti (17118002)
Meri arianti (17118002)Meri arianti (17118002)
Meri arianti (17118002)MeriArianti
 
Fungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsiFungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsiumar fauzi
 
Fungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsiFungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsiSENO WWARDOYO
 
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integralKeterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integralKurcaci Kecil
 
BAB 1 FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI.pptx
BAB 1 FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI.pptxBAB 1 FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI.pptx
BAB 1 FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI.pptxUmiLestari24
 
Fungsikomposisidanfungsiinvers
FungsikomposisidanfungsiinversFungsikomposisidanfungsiinvers
FungsikomposisidanfungsiinversBudi Raharjo
 
Pert 4-fungsi-operasi-dan-sifat (1)
Pert 4-fungsi-operasi-dan-sifat (1)Pert 4-fungsi-operasi-dan-sifat (1)
Pert 4-fungsi-operasi-dan-sifat (1)Wahyu Miratni
 
Fungsi aljabar pada matematika
Fungsi aljabar pada matematikaFungsi aljabar pada matematika
Fungsi aljabar pada matematikaDinda Candra
 
15. fungsi-komposisi.ppt materi komposisi fungsi, contoh soal, latihan soal d...
15. fungsi-komposisi.ppt materi komposisi fungsi, contoh soal, latihan soal d...15. fungsi-komposisi.ppt materi komposisi fungsi, contoh soal, latihan soal d...
15. fungsi-komposisi.ppt materi komposisi fungsi, contoh soal, latihan soal d...SulisSetiyowati2
 
Fungsi komposisi
Fungsi komposisiFungsi komposisi
Fungsi komposisiMalkisManto
 

Similar to Bab 6 (20)

Bab 6
Bab 6Bab 6
Bab 6
 
Bab 6
Bab 6Bab 6
Bab 6
 
Bab 6
Bab 6Bab 6
Bab 6
 
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
 
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptxlog&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
 
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptx
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptxkomposisi fungsi dan fungsi invers.pptx
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptx
 
Meri arianti (17118002)
Meri arianti (17118002)Meri arianti (17118002)
Meri arianti (17118002)
 
Fungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsiFungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsi
 
Fungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsiFungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsi
 
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integralKeterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
 
fungsi .pptx
fungsi .pptxfungsi .pptx
fungsi .pptx
 
BAB 1 FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI.pptx
BAB 1 FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI.pptxBAB 1 FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI.pptx
BAB 1 FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI.pptx
 
Fungsikomposisidanfungsiinvers
FungsikomposisidanfungsiinversFungsikomposisidanfungsiinvers
Fungsikomposisidanfungsiinvers
 
Fungsikomposisidanfungsiinvers
FungsikomposisidanfungsiinversFungsikomposisidanfungsiinvers
Fungsikomposisidanfungsiinvers
 
Pert 4-fungsi-operasi-dan-sifat (1)
Pert 4-fungsi-operasi-dan-sifat (1)Pert 4-fungsi-operasi-dan-sifat (1)
Pert 4-fungsi-operasi-dan-sifat (1)
 
Lks invers fungsi
Lks invers fungsiLks invers fungsi
Lks invers fungsi
 
Fungsi aljabar pada matematika
Fungsi aljabar pada matematikaFungsi aljabar pada matematika
Fungsi aljabar pada matematika
 
Fungsi komposisi
Fungsi komposisiFungsi komposisi
Fungsi komposisi
 
15. fungsi-komposisi.ppt materi komposisi fungsi, contoh soal, latihan soal d...
15. fungsi-komposisi.ppt materi komposisi fungsi, contoh soal, latihan soal d...15. fungsi-komposisi.ppt materi komposisi fungsi, contoh soal, latihan soal d...
15. fungsi-komposisi.ppt materi komposisi fungsi, contoh soal, latihan soal d...
 
Fungsi komposisi
Fungsi komposisiFungsi komposisi
Fungsi komposisi
 

More from fitriana416

More from fitriana416 (20)

Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3Kelas xii bab 3
Kelas xii bab 3
 
Bab 4
Bab 4Bab 4
Bab 4
 
Bab 2
Bab 2Bab 2
Bab 2
 
Kelas xi sma bahasa matematika_pangarso yuliatmoko
Kelas xi sma bahasa matematika_pangarso yuliatmokoKelas xi sma bahasa matematika_pangarso yuliatmoko
Kelas xi sma bahasa matematika_pangarso yuliatmoko
 
Kelas x bab 9
Kelas x bab 9Kelas x bab 9
Kelas x bab 9
 
Kelas x bab 8
Kelas x bab 8Kelas x bab 8
Kelas x bab 8
 
Kelas x bab 7
Kelas x bab 7Kelas x bab 7
Kelas x bab 7
 
Kelas x bab 6
Kelas x bab 6Kelas x bab 6
Kelas x bab 6
 
Kelas x bab 5
Kelas x bab 5Kelas x bab 5
Kelas x bab 5
 
Kelas x bab 4
Kelas x bab 4Kelas x bab 4
Kelas x bab 4
 
Kelas x bab 3
Kelas x bab 3Kelas x bab 3
Kelas x bab 3
 
Kelas x bab 2
Kelas x bab 2Kelas x bab 2
Kelas x bab 2
 
Kelas x bab 1
Kelas x bab 1Kelas x bab 1
Kelas x bab 1
 
08 bab 7
08 bab 708 bab 7
08 bab 7
 
07 bab 6
07 bab 607 bab 6
07 bab 6
 
06 bab 5
06 bab 506 bab 5
06 bab 5
 
05 bab 4
05 bab 405 bab 4
05 bab 4
 
03 bab 2
03 bab 203 bab 2
03 bab 2
 
02 bab 1
02 bab 102 bab 1
02 bab 1
 
Kelas xi sma ipa matematika_nugroho soedyarto
Kelas xi sma ipa matematika_nugroho soedyartoKelas xi sma ipa matematika_nugroho soedyarto
Kelas xi sma ipa matematika_nugroho soedyarto
 

Recently uploaded

MODUL AJAR SENI TARI KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI TARI KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR SENI TARI KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI TARI KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfAndiCoc
 
PPt-Juknis-PPDB-2024 (TerbarU) kabupaten GIanyar.pptx
PPt-Juknis-PPDB-2024 (TerbarU) kabupaten GIanyar.pptxPPt-Juknis-PPDB-2024 (TerbarU) kabupaten GIanyar.pptx
PPt-Juknis-PPDB-2024 (TerbarU) kabupaten GIanyar.pptxiwidyastama85
 
Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]
Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]
Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]Fathan Emran
 
MATERI Projek Kreatif Kewirausahaan kelas XI SMK.pptx
MATERI Projek Kreatif Kewirausahaan kelas XI SMK.pptxMATERI Projek Kreatif Kewirausahaan kelas XI SMK.pptx
MATERI Projek Kreatif Kewirausahaan kelas XI SMK.pptxrandikaakbar11
 
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfAndiCoc
 
Variasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar Mengajar
Variasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar MengajarVariasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar Mengajar
Variasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar MengajarAureliaAflahAzZahra
 
Analisis Regresi Analisis Regresi dan Korelasi.ppt
Analisis Regresi Analisis Regresi dan Korelasi.pptAnalisis Regresi Analisis Regresi dan Korelasi.ppt
Analisis Regresi Analisis Regresi dan Korelasi.pptRahmaniaPamungkas2
 
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdfAndiCoc
 
Materi Penggolongan Obat Undang-Undang Kesehatan
Materi Penggolongan Obat Undang-Undang KesehatanMateri Penggolongan Obat Undang-Undang Kesehatan
Materi Penggolongan Obat Undang-Undang KesehatanTitaniaUtami
 
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdfAndiCoc
 
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfAndiCoc
 
SK PANITIA PELAKSANA IHT SMPN 2 KEMPAS KECAMATAN KEMPAS
SK PANITIA PELAKSANA IHT SMPN 2 KEMPAS KECAMATAN KEMPASSK PANITIA PELAKSANA IHT SMPN 2 KEMPAS KECAMATAN KEMPAS
SK PANITIA PELAKSANA IHT SMPN 2 KEMPAS KECAMATAN KEMPASsusilowati82
 
UAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdf
UAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdfUAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdf
UAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdfssuser29a952
 
Materi: Mengapa tidak memanfaatkan Media ?
Materi: Mengapa tidak memanfaatkan Media ?Materi: Mengapa tidak memanfaatkan Media ?
Materi: Mengapa tidak memanfaatkan Media ?AdePutraTunggali
 
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 5.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 5.pdfMODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 5.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 5.pdfAndiCoc
 
PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025
PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025
PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025Fikriawan Hasli
 
Aksi Nyata Modul 1.3 Visi Guru penggerak
Aksi Nyata Modul 1.3 Visi Guru penggerakAksi Nyata Modul 1.3 Visi Guru penggerak
Aksi Nyata Modul 1.3 Visi Guru penggerakDianPermana63
 
Aksi Nyata Cegah Perundungan Mulai dari Kelas [Guru].pptx
Aksi Nyata Cegah Perundungan Mulai dari Kelas [Guru].pptxAksi Nyata Cegah Perundungan Mulai dari Kelas [Guru].pptx
Aksi Nyata Cegah Perundungan Mulai dari Kelas [Guru].pptxAgusSuarno2
 
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdfAndiCoc
 
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdfMODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdfAndiCoc
 

Recently uploaded (20)

MODUL AJAR SENI TARI KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI TARI KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR SENI TARI KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI TARI KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
PPt-Juknis-PPDB-2024 (TerbarU) kabupaten GIanyar.pptx
PPt-Juknis-PPDB-2024 (TerbarU) kabupaten GIanyar.pptxPPt-Juknis-PPDB-2024 (TerbarU) kabupaten GIanyar.pptx
PPt-Juknis-PPDB-2024 (TerbarU) kabupaten GIanyar.pptx
 
Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]
Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]
Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]
 
MATERI Projek Kreatif Kewirausahaan kelas XI SMK.pptx
MATERI Projek Kreatif Kewirausahaan kelas XI SMK.pptxMATERI Projek Kreatif Kewirausahaan kelas XI SMK.pptx
MATERI Projek Kreatif Kewirausahaan kelas XI SMK.pptx
 
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
Variasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar Mengajar
Variasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar MengajarVariasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar Mengajar
Variasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar Mengajar
 
Analisis Regresi Analisis Regresi dan Korelasi.ppt
Analisis Regresi Analisis Regresi dan Korelasi.pptAnalisis Regresi Analisis Regresi dan Korelasi.ppt
Analisis Regresi Analisis Regresi dan Korelasi.ppt
 
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
Materi Penggolongan Obat Undang-Undang Kesehatan
Materi Penggolongan Obat Undang-Undang KesehatanMateri Penggolongan Obat Undang-Undang Kesehatan
Materi Penggolongan Obat Undang-Undang Kesehatan
 
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
SK PANITIA PELAKSANA IHT SMPN 2 KEMPAS KECAMATAN KEMPAS
SK PANITIA PELAKSANA IHT SMPN 2 KEMPAS KECAMATAN KEMPASSK PANITIA PELAKSANA IHT SMPN 2 KEMPAS KECAMATAN KEMPAS
SK PANITIA PELAKSANA IHT SMPN 2 KEMPAS KECAMATAN KEMPAS
 
UAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdf
UAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdfUAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdf
UAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdf
 
Materi: Mengapa tidak memanfaatkan Media ?
Materi: Mengapa tidak memanfaatkan Media ?Materi: Mengapa tidak memanfaatkan Media ?
Materi: Mengapa tidak memanfaatkan Media ?
 
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 5.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 5.pdfMODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 5.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 5.pdf
 
PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025
PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025
PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025
 
Aksi Nyata Modul 1.3 Visi Guru penggerak
Aksi Nyata Modul 1.3 Visi Guru penggerakAksi Nyata Modul 1.3 Visi Guru penggerak
Aksi Nyata Modul 1.3 Visi Guru penggerak
 
Aksi Nyata Cegah Perundungan Mulai dari Kelas [Guru].pptx
Aksi Nyata Cegah Perundungan Mulai dari Kelas [Guru].pptxAksi Nyata Cegah Perundungan Mulai dari Kelas [Guru].pptx
Aksi Nyata Cegah Perundungan Mulai dari Kelas [Guru].pptx
 
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdfMODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdf
 

Bab 6

  • 1. Bab 6 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers November 26, 2014
  • 2. Operasi Fungsi Komposisi Fungsi Invers Fungsi Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian Sifat-Sifat Fungsi Komposisi Sifat-Sifat Invers Fungsi Komposisi Fungsi Invers Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers mempelajari membahas membahas membahas November 26, 2014
  • 3. 1. Apa yang dimaksud dengan fungsi? Berikan contohnya. 2. Apa yang dimaksud dengan domain, kodomain, dan range? 3. Misalkan diberikan fungsi f(x) = 2 + 3x. Tentukan a. domain dan range fungsi itu; b. f(0), f(–3), f(t), dan f(1 – t2). November 26, 2014
  • 4. 1. Pengertian Fungsi Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dalam hal ini setiap x Î A dipasangkan dengan tepat satu y Î B. Misalkan diketahui himpunan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}, dan f menyatakan fungsi dari A ke B, dengan aturan seperti diagram berikut. November 26, 2014 Daerah asal (domain) dari f adalah A = {a, b, c, d}. Daerah kawan (kodomain) dari f adalah B = {1, 2, 3, 4}. Daerah hasil (range) dari f adalah {2, 3}.
  • 5. 2. Sifat-Sifat Fungsi a. Fungsi Surjektif Fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika Rf = B. Gambar di bawah ini merupakan fungsi surjektif karena setiap kodomain mempunyai pasangan atau Rf = B. November 26, 2014
  • 6. b. Fungsi Injektif Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif jika a1, a2 Î A dan a1 ≠ a2 maka berlaku f(a1) ≠ f(a2). Gambar di bawah ini menunjukkan fungsi injektif karena setiap anggota domain fungsi berbeda mempunyai peta yang berbeda pula. November 26, 2014
  • 7. c. Fungsi Bijektif Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan injektif. Gambar di atas merupakan fungsi surjektif karena range fungsi f sama dengan kodomain fungsi f atau Rf = B. November 26, 2014
  • 8. Contoh: Tentukan jenis fungsi f : R → R (R adalah himpunan bilangan real) yang didefinisikandengan f(x) = 2x. Jawab:  Untuk setiap bilangan real a, maka pasti akan mendapat satu pasangan bilangan real, yaitu 2a.  Demikian pula untuk setiap anggota kodomain mendapat pasangan bilangan real dari domain.  Artinya, setiap bilangan real 2a, pasti akan ditemukan bilangan real a (dalam domain).  Jadi, fungsi tersebut bersifat injektif dan surjektif (atau bijektif). November 26, 2014
  • 9. Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) dan g(x). Jika Df domain fungsi f dan Dg domain fungsi g, Df ∩ Dg ≠ f maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut. 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2. (f – g)(x) = f(x) – g(x) 3. (f × g)(x) = f(x) × g(x) 4. ( ) ( ) æ ö x f x g x ( ) ( ) 0 , ¹ = ÷ ÷ø ç çè g x f g November 26, 2014
  • 10. Contoh: Diketahui f(x) = x2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. Tentukan g(x). Jawab: (f + g)(x) = f(x) + g(x) Û x2 + 5 = (x2 + 3x – 1) + g(x) Û g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1) Û g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1 Û g(x) = –3x + 6 November 26, 2014
  • 11. 1. Pengertian Fungsi Komposisi Misalkan diberikan fungsi f: R → R dan g: R → R. Fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x + 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x2. Untuk x = 1 → f(1) = 1 + 1 x = 2 → f(2) = 2 + 1 x = t → f(t) = t + 1 Jika x diganti g(x), diperoleh f(g(x)) = g(x) + 1 = x2 + 1. November 26, 2014
  • 12. Fungsi f(g(x)) di tulis (f o g)(x). Fungsi f o g dibaca “f bundaran g”. Misalkan fungsi f : A → B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B → C dengan g(b) = c. Komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca: g bundaran f) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturan berikut. November 26, 2014 (g o f)(a) = g(f(a))
  • 13. Contoh: Diketahui f = {(6, –2), (8, –1), (10, 0), (12, 1)}; g = {(–2, 8), (–1, 10), (0, 12), (1, 6)}. Tunjukkan hubungan f o g dan g o f dalam diagram. Tentukan f o g dan nilai (g o f )(10). Jawab: f o g = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, –2)} Dengan memperhatikan diagram, diperoleh (g o f)(10) = 12. November 26, 2014
  • 14. 2. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan Misalkan diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan pasangan berurutan berikut. f = {(0, p), (1, q), (2, 5), (3, 5)} g = {(p, 1), (s, 2), (t, 7), (u, 0)} Mari kita selidiki komposisi fungsi f o g dan g o f. (a) (b) November 26, 2014
  • 15. · Komposisi fungsi f o g berarti pemetaan pertama fungsi g dilanjutkan pemetaan kedua fungsi f. Berdasarkan diagram (a) di atas, dapat kita peroleh pasangan berurutan (f o g ) = {(p, q), (s, r), (u, p)}. · Komposisi fungsi (g o f) berarti pemetaan pertama fungsi f dilanjutkan pemetaan kedua fungsi g. Berdasarkan diagram (b) di atas, dapat kita peroleh pasangan berurutan g o f = {(0, 1), (3, 2)}. · Syarat agar fungsi f dan g dapat dikomposisikan menjadi komposisi fungsi (f o g) adalah apabila range fungsi g merupakan himpunan dari domain f atau RÍ D. g f November 26, 2014
  • 16. 3. Sifat-Sifat Fungsi Komposisi Misalkan diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut. f(x) = 5x – 4 g(x) = 2x + 8 h(x) = x2 Fungsi komposisi f o g dan g o f adalah sebagai berikut. a. (f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 8) = 5(2x + 8) – 4 = 10x + 36 b. (g o f)(x) = g(f(x)) = g(5x – 4) = 2(5x – 4) + 8 = 10x November 26, 2014
  • 17.  Dari hasil di atas tampak bahwa f o g ≠ g o f sehingga fungsi komposisi tidak bersifat komutatif, tetapi fungsi komposisi berlaku sifat asosiatif.  Misalkan f dan I adalah fungsi pada himpunan bilangan real dengan f(x) = 2x2 + 1 dan I(x) = x. Perhatikan: (f o I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x2 + 1; (I o f)(x) = I(f(x)) = I(2x2 + 1) = 2x2 + 1 = f(x).  Terlihat bahwa (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x). Jadi, I(x) = x merupakan fungsi identitas dalam fungsi komposisi. November 26, 2014
  • 18. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi: a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu (f o g)(x) ≠ (g o f)(x). b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu ((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x). c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x). November 26, 2014
  • 19. 4. Menentukan Fungsi yang Diketahui Fungsi Komposisinya Contoh: Diketahui fungsi (f o g)(x) = –15x + 5 dan fungsi f(x) = 3x + 2. Tentukan fungsi g. Jawab: Karena (f o g)(x) = f(g(x)), berarti f(g(x)) = –15x + 5 3(g(x)) + 2 = –15x + 5 g(x) = -15x + 5 g(x) = –5x + 1 Jadi, g(x) = –5x + 1. 3 November 26, 2014
  • 20. 1. Pengertian Invers Suatu Fungsi Definisi untuk invers suatu fungsi f adalah sebagai berikut. Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan f = {(x, y) | x Є A, y Є B} maka invers dari fungsi f adalah f-1 : B → A, dengan f-1 = {(y, x) | y Є B, x Є A} Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f-1 : B → A jika dan hanya jika f bijektif atau A dan B korespondensi satu-satu. November 26, 2014
  • 21. Contoh: Diketahui fungsi f : A → B dengan A = {1, 3, 5}, dan B = {2, 4, 6, 8}, dan f dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(1, 2), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan selidikilah apakah invers fungsi f merupakan sebuah fungsi. Jawab: f-1 : B → A , yaitu f-1 = {(2, 1), (6, 3), (8, 5)}. Invers fungsi f adalah relasi biasa (bukan fungsi) karena ada sebuah anggota B yang tidak dipetakan ke A, yaitu 4. November 26, 2014
  • 22. 2. Menentukan Invers Suatu Fungsi Misal f-1 adalah invers f maka x = f-1(y). Rumus x = f-1(y) dapat diperoleh dengan langkah berikut. a. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi x = g(y). Karena x = f-1(y) maka diperoleh bentuk f-1(y) = g(y). b. Setelah memperoleh bentuk f-1(y) = g(y), gantilah variabel y dengan variabel x sehingga akan diperoleh f-1(x) yang sudah dalam variabel x. November 26, 2014
  • 23. Contoh: Tentukan rumus invers fungsi dari fungsi f(x) = 5x + 2. Jawab: y = f(x) y = 5x + 2 5x = y – 2 x = y - 2 f -1(y) 5 = y - 2 5 November 26, 2014
  • 24. 3. Komposisi Suatu Fungsi dengan Inversnya Untuk mengetahui tentang hubungan invers dengan komposisi fungsi perhatikan uraian berikut. Misal f(x) = x + 5. Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu y = f(x) Û y = x + 5 Û x = y – 5 Û f-1(y) = y – 5 Jadi, f-1(x) = x – 5. November 26, 2014
  • 25. Sekarang perhatikan komposisi fungsi f dan f-1 berikut. 1) (f o f-1)(x) = f(f-1(x)) = f(x – 5) = (x – 5) + 5 = x 2) (f-1 o f)(x) = f-1(f(x)) = f(x + 5) = (x + 5) – 5 = x Dengan demikian, diperoleh (f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x. Dari uraian di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi dengan inversnya (atau sebaliknya) akan menghasilkan fungsi identitas sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. (f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x = I(x) November 26, 2014
  • 26. Contoh: Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6. a. Carilah f-1(x). b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi invers. Jawab: a. f(x) = 2x + 6 Misalkan y = f(x). Dengan demikian, y = 2x + 6 2x = y – 6 x = y −3 f -1(y) = y − 3 2 1 2 1 November 26, 2014
  • 27. b. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau ditulis Df = {x | x Î R}. Domain dari f-1(x) merupakan kodomain fungsi f maka kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah semua bilangan anggota himpunan bilangan real. Jika digambarkan dalam bidang Cartesius, tampak seperti gambar berikut. November 26, 2014
  • 28. Grafik f-1(x) diperoleh dari hasil pencerminan grafik f(x) terhadap sumbu y = x. November 26, 2014
  • 29. Invers dari fungsi komposisi f o g adalah (f o g) -1(x) = (g -1 o f -1)(x) Demikian sebaliknya, invers fungsi komposisi g o f adalah (g o f )-1 (x) = (f -1 o g-1)(x) November 26, 2014