Integral tak tentu dan integral tertentu merupakan konsep integral yang mendasar. Integral tak tentu adalah antiturunan dari suatu fungsi, sedangkan integral tertentu melibatkan batas atas dan bawah dalam menghitung luas bawah kurva. Dokumen ini menjelaskan berbagai teorema dan metode penyelesaian integral, seperti substitusi, integral parsial, dan integral fungsi rasional dan trigonometri.

1. Integral Tak Tentu
dan
Integral Tertentu

2. Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yang
bersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atau
integral dari f(x).

3. Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x
dinotasikan sebagai berikut :
• notasi integral (yang diperkenalkan oleh
Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
• f(x) fungsi integran
• F(x) fungsi integral umum yang bersifat
F’(x) f(x)
• c konstanta pengintegralan
( ) ( ) cxFdxxf +=∫
∫

4. • Jika f ‘(x) = xn
, maka , n
≠ -1, dengan c sebagai konstanta
( ) cx
n
xf n
+
+
= +1
1
1

5. Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
didiferensialkan pada interval sedemikian
hingga maka antiturunan dari f(x) adalah
F(x) + c
• Secara matematis, ditulis
( ) ( ) cxFdxxf +=∫

6. • di mana
• Lambang integral yang
menyatakan operasi antiturunan
• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang
dicari antiturunannya
• c Konstanta
∫dx

7. Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
, c adalah konstanta.cx
n
dxx nn
+
+
= +
∫
1
1
1

8. Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka
( ) ( )∫ ∫= dxxfkdxxkf

9. Teorema 3
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf

10. Teorema 4
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫−=− dxxgdxxfdxxgxf

11. Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan
rasional tak nol maka
, dimana c adalah konstanta dan r
≠ -1.
( )( ) ( ) ( )( )∫ +
+
=
+
cxu
r
dxxuxu
tr 1
1
1
'

12. Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan, maka
∫∫ −= vduuvudv

13. Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
• dimana c adalah konstanta.
cx
x
cxxdx
cxxdx
+=
+−=
+=
∫
∫
∫
tan
cos
1
cossin
sincos
2

14. ∫ =+ ...)4(2.1 52
dxxx
→ ⇒
x
du
dx
2
=
∫∫ ++=+== cxcuduu 62655
)4(
6
1
6
1
2x
du
2xu
)...(
1
2
.2
3
2
latihanbuat
x
dxx
∫ =
+
METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita
mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar
dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )
Contoh :
Jawab :
u = x2
+ 4 du = 2x dx

15. ∫∫ ∫ −= duvvuddvu .).(.
∫∫ −= duvvudvu ...
∫ duv ∫ dvu.
INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
harus lebih mudah dari
yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :
(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
(2).

16. ∫ dxxln ∫ dvu.
ln x=u dxdu
x
1
=
∫ dxxln ∫dx
Contoh :
=
Jawab :
dv = dx v = x
Jadi :
= xln x -
= x ln x – x + c

17. nn
nnn
axaxaxaxa +++++ −
−−
1
2
2
1
10 ......
)(
)(
)(
xQ
xP
xH =
22
22
)( 23
2
+−+
++
=
xxx
xx
xH
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom
Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x)
disebut “Rasional Sejati”
Contoh :

18. Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
4
233
6
4
1310
)( 2
2
2
24
−
−
+−=
−
++−
=
x
x
x
x
xxx
xH
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
)(
)(
xQ
xP
: ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :

19. )).....()(()( 21 naxaxaxxQ +++=
)(
.....
)()()(
)(
2
2
1
1
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
+
++
+
+
+
=
n
axxQ )()( +=
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
)(
.....
)()()(
)(
2
21
+
++
+
+
+
=
))(()( 22
fexdxcbxaxxQ ++++=
)()()(
)(
22
fexdx
DCx
cbxax
BAx
xQ
xP
++
+
+
++
+
=
1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
, maka :
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
, maka :
3. Q(x) adalah kuadratis,
, maka :

20. ∫ =
+−
−
....
2
)1(
.1 2
dx
xx
x
)1)(2(
)2()1(
12)1)(2(
1
+−
−++
=
+
+
−
=
+−
−
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
∫ =
+−
−
dx
xx
x
2
)1(
2 ∫ − 23
1
x
dx
∫ +13
2
x
dx
cxx +++−= |1|ln
3
2
|2|ln
3
1
contoh :
jawab :
x = 2 → 2 – 1 = A(2+1)
1 = 3A → A = 1/3
x = -1 → -1 – 1 = B(-1-2)
-2= -3B → B = 2/3
Jadi,
+
=

21. ∫ =
+−
+
....
12
)1(
.2 2
dx
xx
x
222
)1(
)1(
)1(1)1(
1
−
+−
=
−
+
−
=
−
+
x
BxA
x
B
x
A
x
x
∫ =
+−
+
dx
xx
x
12
)1(
2 ∫ −1x
dx
∫ − 2
)1(
2
x
dx
c
x
x +
−
−−=
)1(
2
|1|ln
x = 1 → 1 + 1 = B → B = 2
mis, x = 0 → 0 +1 = A(0 – 1) + B
1 = - A + 2 → A = 1
Jadi,
+

22. ,222
xba − atauxba ,222
+
222
axb −
222
xba − z
b
a
x sin= zaxba cos222
=−
222
xba +
ztg
b
a
x = zaxba sec222
=+
222
axb − z
b
a
x sec= ztgaaxb 222
=−
SUBTITUSI TRIGONOMETRI
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk :
,
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat
ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan
menggunakan variabel baru :
Bentuk Subtitusi Memperoleh

23. ∫ =
−
....
49
.1
2
dx
x
x
zx sin
2
3
= zdzdx cos
2
3
= cos349 2
zx =−
∫∫ ∫ ==
−
dz
z
z
dzz
z
z
dx
x
x
sin
cos
3)cos
2
3
(
sin
2
3
cos349 22
∫ ∫− dzzdzzec sin3cos3
cx
x
x
+−+
−−
= 2
2
49|
2
493
|ln3
contoh :
jawab :
→
,
Jadi,
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
=
−
∫ dz
z
z
sin
sin1
3
2

24. ∫ =
+
....
4
.2
22
xx
dx
ztgx 2= zdzdx 2
sec2= sec24 2
zx =+
∫ =
+ 22
4 xx
dx
∫ =dz
zztg
z
)sec2)(4(
sec2
2
2
∫ dz
z
z
2
sin4
cos
=∫ z
zd
2
sin
)(sin
4
1
c
z
+−
sin4
1
c
x
x
+
+
−=
4
4 2
jawab :
→
,
Jadi,

25. • Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :
• Dimana :
• f(x) : integran
a : batas bawah
b : batas atas
Integral TerTentu
∫
b
a
dxxf )(

26. KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
[ ] )()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==∫ [ ] ( )
( ) 6,618323125
5
1
25
5
1
5
1
5
555
2
5
5
2
5
2
5
4
=−=
−==





=∫ x
x
dxx
∫ =
a
a
dxxf 0)( [ ] ( )
( ) 03232
5
1
22
5
1
5
1
5
552
2
5
2
2
2
2
5
4
=−=
−==





=∫ x
x
dxx
∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()( [ ] ( )
( ) 6,618312532
5
1
52
5
1
5
1
5
552
5
5
2
5
2
5
5
4
=−−=
−−=−=





−=− ∫ x
x
dxx

27. KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTUKAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
∫ ∫=
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( [ ]
3093323125
5
1
.5
5
55
5
2
5
5
2
5
2
5
4
=−=
=





=∫ x
x
dxx
{ }∫ ∫ ∫+=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( ( )
6,7111.330936,618
55
5
2
5
2
5
2
4444
=+=
+=+∫ ∫ ∫ dxxdxxdxxx
∫ ∫ ∫=+
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( 6,618
3
2
5
3
5
2
444
==+∫ ∫ ∫ dxxdxxdxx