1. VOLUM BENDA PEJAL DALAM
KOORDINAT TABUNG
Good Afternoon
OLEH:
1.DANANG W.P
2.SOFA.R
3.HANIK.S
4.AMRLULLAH
5.ITA.S

2. 1. Koordinat Kartesius
z
P (x, y, z)
x y
y
x

3. 2. Koordinat Tabung
Yang perlu diingat dalam
z koordinat tabung :
x = r cos θ
P ( r ,θ , z ) y = r sin θ
2
x2 + y = r 2
y
tan θ =
x
y
θ
r r≥0
0 ≤ θ ≤ 2π
x

4. Contoh Soal
1. Jika diketahui sebuah titik dalam koordinat kartesius
adalah P (6, 6, 8). Ubahlah titik tersebut dalam koordinat
tabung!
Selesaian : z
y 8
P (6,6,8)
x = 6, y = 6, z = 8 tan θ =
x π
P ' (6 2 , ,8)
r = x2 + y2 6
tan θ = = 1
4
6
r = 62 + 6 2 π 6
⇔θ = 6 2
r = 72 4 6 π y
r =6 2 4
x

5. 2. Ubahlah suatu titik dalam koordinat tabung
menjadi koordinat cartesius. Jika
2π
diketahui suatu titik dalam koordinat P (8, ,−3)
3
tabung adalah
Selesaian :
-4
2π
r = 8,θ = ,z = −3 x
3 2π
y = r sin θ 8
x = r cosθ 4 3 3
2π 2π -3
x = 8 cos y = 8 sin
3 3
y 2π
x = −4 y=4 3 z
P (8, ,−3)
3
P' (− 4,4 3,− 3)

6. z
( rk ,θ , z k )
k
∆k
z
y
∆θk
∆k
r
( rk ,θk )
x

7. z
z = g 2 (r ,θ )
z = g1 ( r , θ )
θ1
y
θ 2 s xy
r = r2 (θ )
r = r1 (θ )
x

8. ∑∑∑ f (r θ
i j k
i, j, z k ) ∆Vijk = ∑∑∑ f (ri ,θ j , z k )ri ∆ri ∆θ j ∆z k
i j k
∫ ∫ ∫ f (r ,θ , z )dV = lim
s  p → 0
∑ ∑ ∑ f (r θ
i j k
z )r∆ ri ∆ θ j ∆ zk
i, j, k

9. ∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫∫∫ f (r cosθ , r sin θ , z )dV = ∫∫∫ f (r ,θ , z )dV = 1
s s s
∫ ∫ ∫ f ( r , θ, z ) dV = ∫
θ r g 2 ( r ,θ )
θ ∫r ∫g1( r ,θ) f (r cos θ, r sin θ, z )rdzdrdθ
2 2
s 1 1
Catatan:
dzdydx dalam koordinat cartesius berubah
menjadi rdzdydx dalam koordinat silinder

10. • Hitung isi benda pejal S yang dibatasi oleh bidang z = 0
silinder x2 + y2 = 9 dan bidang z = y + 3
2. Evaluated
Where W is the cylendrical region determined by
and !
3. Hitung volum benda yang dibatasi oleh paraboloida
dan bidang !

12. 1. Hitung isi benda pejal S yang dibatasi oleh bidang
z=0 silinder x2+y2=9 dan bidang z=y+3
z
6 z=y+3
3
y
-3 3
3 x2+y2=9
Selesaian: x
Dari gambar diatas dapat ditemukan daerah
integrasinya yaitu:
s = { ( x, y, z ) 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 3,0 ≤ z ≤ r sin θ + 3}

13. 2π 3 r sin θ + 3
⇔ ∫ ∫ ∫ r dzdrdθ
0 0 0
2π 3
⇔ ∫∫
0 0
r 2 sin θ + 3rdrdθ
2π
1 3 3 23
⇔ ∫ r sin θ + r dθ
0
3 2 0
2π
27
⇔ ∫ 9 sin θ + dθ
0
3
27 2π
⇔ −9 cos θ + θ
3 0
24
⇔ −9 + 2π + 9 − 0
2
⇔ 27πsatuanvolum

14. 3. Hitung volum benda yang dibatasi oleh
paraboloida dan bidang !
Selesaian
Z
4
y
2
2
x

15. Batas integrasi
Maka Volumnya :

16. 2. Evaluated ∫∫∫ ( z x 2 + z 2 y 2 )dxdyz
2
Where W is the cylendrical region determined by
and !
The region W is discrebod in cylendrical coordinat
z
1
y
1
1
x

17. = ∫∫∫ ( z 2 x 2 + z 2 y 2 )dxdyz
1 2π 1
= ∫ ∫∫ ( z 2 r 2 )rdrdθdz
− 0 0
1
1 2π
r4 1
= ∫ ∫z dθdz
2
− 0
1
4 0
z 2 2π
1
=∫ θ dz
−1
4 0
2π 2
1
z
=∫ dz
−1
4
2 1
= πz 2
12 −1
1 1
= π+ π
6 6
1
= π
3

18. Tugas awal

19. 2π 1 a 2 −r 2
1.Hitung integral berikut ∫∫ ∫ z dzdrdθ 2
0 0 − a 2 −r 2
2.a.Ubahlah dari koordinat cartesius
menjadi koordinat tabung bila
diketahui (2,1,-2).
b.ubahlah dari koordinat tabung
menjadi kordinat kartesius bila
diketahui  π 
1, ,0 
 2 
3.Tentukan volume daerah pejal s yang
dibatasi oleh paraboloida dan
oleh z=0 y=0 dan tabung z = 4 − x − y
2 2
x 2 + y 2 = 2x

20. 1.Hitung integral berikut:
2π 1 a 2 −r 2
⇔ ∫∫ ∫ z dzdrdθ
2
0 0 − a 2 −r 2
2π 1
1 3 a2 − r 2
⇔ ∫∫ z rdrdθ
0 0
3 − a2 − r 2
2π 1
( )
3
2
⇔ ∫∫ a 2 − r 2 2 rdrdθ
0 0
3
2π 1
( ) d (a )
3
2
⇔ ∫∫ a 2 − r 2 2 2
− r 2 dθ
3 0
3
2π 1
( ) d (a )
3
1
⇔ ∫∫ − a 2 − r 2 2 2
− r 2 dθ
0 0
3
2π
1
( )
5
12 2
⇔ ∫− a −r2 2 dθ
0
35 0
2π
( ) ( )
5
2 2 2 5
⇔ ∫− a −r2 2 + a dθ
0
15 15
2π
( )
5
2 2
⇔ − θ a −1 2 + θa 5
2
15 15 0
4π 2 4π 5
( )
5
⇔− a −1 2 + a
15 15
4  5 
( )
5
⇔ π  a − a −1 2 
2
15  

21. 2.a.Ubahlah dari koordinat cartesius mid koordinat bila diketahui
(2,1,-2)
Selesaian:
r = x 2 + y 2 = 22 + 12
= 15
y
tan θ =
x
1
=
2
θ = tan −1
Jadi koordinat tabungnya adalah
 −1  1  
 5, tan   ,− 2 
 
  2 

22. b. Ubahlah dari koordinat tabung menjadi koordinat cartesius bila
 π 
1, ,0 
 2 
selesaian:
x = r cos θ
π
= 1cos
2
=0
y = r sin θ
π
= 1sin
2
=1
jadi koordinat kartesiusnya adalah (0,1,0)

23. 3.Batas volume daerah pejal s yang dibatasi diatas oleh
paraboloid z = 4 − x 2 − y 2 dibawah oleh z=0 dan secara
menyamping oleh y=0 dan tabung x 2 + y 2 = 2 x
selesaian:
Z
4
z = 4 − x2 − y 2
2 Y
2
X x 2 + y 2 = 2x
Jadi daerah integrasinya adalah
 π 2
s = ( x, y, z ) o ≤ θ ≤ ,0 ≤ r ≤ 2 cos θdan0 ≤ z ≤ 4 − r 
 2 

24. Jadi volumenya adalah:
π
2
2 2 cosθ 4− r
∫ ∫ ∫ dv = ∫ ∫ ∫ rdzdrdθ
0 0 0
π
2 2 cosθ
=∫ ∫ ( 4 − r )rdrdθ
2
0 0
π
2
1 4 2 cos θ
= ∫ 2r − r 2
dθ
0
4 0
π
= ∫ (8 cos 2 θ − 4 cos 4 θ )dθ
2
0
1 π 3 π
= 8. . − 4. .
2 2 8 2
5
= πsat.volum
4

25. Tugas Akhir
Carilah volum bola yang berjari-jari a dengan
menggunakan integral lipat tiga dalam
koordinat tabung (beserta gambar)!
Carilah volum benda yang di batasi oleh
paraboloida , tabung
dan bidang
Hitunglah volum daerah yang dibatasi oleh
paraboloida dan
dengan pusat

26. Jawaban tugas akhir
1.Letak pusat bola S pada daerah asal O (0,0,0)
bola S dinyatakan dalam koordinat tabung.
Karena tabung mempunyai persamaan
Dimana
Kemudian bola mempunyai persamaan
dimana

27. Maka dapat kita temukan daerah integrasinya
z
a
y
a
a
x

29. satuan volum
z
16
π 8 y
1
= ∫ 8 4 sin 4 θdθ 8
0
16
π
= 256 ∫ sin 4 θdθ
0
π 2
1 
= 256 ∫  (1 − cos 2θ )  dθ
0
2  x

30. π

1
= 256 ∫ 1 − 2 cos 2θ + cos 2 2θdθ
40
π
1 1
= 64 ∫ 1 − 2 cos 2θ + + cos 4θdθ
0
2 2
 θ 1 π
= 64  −sin 2θ + + sin 4θ
θ
 2 8 0
 3π 
= 64 
 2 
= 96π satuan volum


31. 3.Daerah integrasinya adalah :
Jadi volumnya adalah :
{
= θ , r , z 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 3,0 ≤ z ≤ 9 − r 2 } z
2
2π 3 9 − r
= ∫ ∫ ∫ rdzdrdθ
0 0 0 9
2π 3
9 − r2
= ∫ ∫ rz
0 0 0
drdθ
2π 3
= ∫ ∫ 9r − r drdθ
3
0 0
2π
9 2 1 43
= ∫0 2 r − 4 r 0 dθ y
-3 3
2π
81 81 3
= ∫0 2 − 4 dθ
81 2π
= θ
4 0 x
81
= 2π
4
81
= πsat.volum
2

32. The and
Presented by:

33. DAFTAR PENILAIAN HASIL PRESENTASI
KELOMPOK DELAPAN
N KRITERIA KEL. KEL. KEL.
O PENILAIAN 1 2 3
1 PERSIAPAN 90 75 75
2 PENYAMPAIA 95 85 78
N MATERI
3 TAMPILAN 98 80 85
SLIDE
4 PENGUASAAN 92 78 80
MATERI
5 TEAM-WORK 91 80 80
JUMLAH 466 398 398

34. DAFTAR PENILAIAN HASIL PRESENTASI
KELOMPOK DELAPAN
NO KRITERIA KEL.4 KEL.5 KEL.6
PENILAIAN
1 PERSIAPAN 75 75 75
2 PENYAMPAIAN 80 80 80
MATERI
3 TAMPILAN 77 80 78
SLIDE
4 PENGUASAAN 79 80 80
MATERI
5 TEAM-WORK 83 80 75
JUMLAH 394 395 388

35. DAFTAR PENILAIAN HASIL PRESENTASI
KELOMPOK DELAPAN
NO KRITERIA KEL.7 KEL. KEL.1
PENILAIAN 9 0
1 PERSIAPAN 75 70 80
2 PENYAMPAIAN 80 75 80
MATERI
3 TAMPILAN 75 70 85
SLIDE
4 PENGUASAAN 80 75 80
MATERI
5 TEAM-WORK 75 80 80
JUMLAH 385 370 405

36. DAFTAR NILAI
Kelompok Nama Tugas awal Tugas akir
1 Risa 90 100
kusumawardani
Hendra S 90 100
Novika Andini 90 100
Niken kumalasari 90 100

37. DAFTAR NILAI
Kelompok Nama Tugas awal Tugas akir
2 Yuli murtiningsih 100 100
Ali imron 100 97
Rinawati 100 100
Andi maulana 100 97

38. DAFTAR NILAI
Kelompok Nama Tugas awal Tugas akir
3 Santika Lya D.P 90 100
Siti anis S. 90 97
Fajar Arif A. 90 100
Sholihin 90 100
Munib 90 0

39. DAFTAR NILAI
Kelompok Nama Tugas awal Tugas akir
4 Siti Lisakdiah 100 80
Noor Qomarudin 100 100
Arif Budi 100 97
Budi Mulyono 100 97
Syukron R. 100 100

40. DAFTAR NILAI
Kelompok Nama Tugas awal Tugas akir
5 Muhamad Akhid 100 0
Evriana P.S 100 100
Wegig S. 100 100
Ana wahyuni 100 100
Aris Munandar 100 100

41. DAFTAR NILAI
Kelompok Nama Tugas awal Tugas akir
6 Rif’atun nikmah 95 100
Fitria Khoirunisa 95 100
Khoiri Anwar 95 100
Sri Hesti 95 0

42. DAFTAR NILAI
Kelompok Nama Tugas awal Tugas akir
7 Rahman Setyawan 100 100
Deni A .I 100 100
Ita Ayu Y. 100 100
Sugeng 100 0
Rahmawan
Asih 100 100

43. DAFTAR NILAI
Kelompok Nama Tugas awal Tugas akir
9 Feri 95 100
Masdah 95 100
Esti surya 95 100
Nur fadlah 95 100
Dwi Cahyani 95 100

44. DAFTAR NILAI
Kelompok Nama Tugas awal Tugas akir
10 Novrica cindy M. 100 100
Dwi Maya 100 100
Oktarina M. 100 100
Janatun 100 100
Imam 100 100