integral lipat 3

1. 1
Kuliah Ke-13
16.7 Integral Lipat Tiga
16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat Bola
Tujuan Instruksional :
Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa akan
dapat menentukan integral lipat tiga, baik dalam
koordinat siku-siku, dalam koordinat silinder dan
dalam koordinat bola.
Prasyarat: Prasyarat yang diperlukan adalah
pengetahuan tentang integral lipat dua pada
daerah umum dan pada koordinat polar.

2. 2
Integral Lipat Tiga
9 Untuk fungsi tiga variabel.
9 Analog dengan integral lipat dua, integral lipat tiga pada
daerah
9 Jika fungsi f kontinu pada daerah B, maka
9 Teorema Fubini juga berlaku.
{ }
s
z
r
d
y
c
b
x
a
z
y
x
B ≤
≤
≤
≤
≤
≤
= ,
,
|
)
,
,
(
∫∫∫ ∫∫∫
=
B
b
a
d
c
s
r
dzdydx
z
y
x
f
dv
z
y
x
f )
,
,
(
)
,
,
(

3. 3
Hitung:
Jawab:

4. 4
9 Seperti halnya integral lipat dua, integral lipat tiga dapat juga
berlaku pada daerah umum E.
1. Jenis I { }
.
)
,
,
(
)
,
,
(
Jadi
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
|
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
∫∫ ∫
∫∫∫ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
≤
≤
∈
=
D
y
x
u
y
x
u
E
dA
dz
z
y
x
f
dV
z
y
x
f
y
x
u
z
y
x
u
D
y
x
z
y
x
E
Daerah D dapat berupa (Ingat integral lipat dua):
1). Segiempat, D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.
2). Daerah jenis I, D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}.
3). Daerah jenis II, D = {(x,y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}.

5. 5
{ }
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
|
)
,
,
( 2
1 y
x
u
z
y
x
u
D
y
x
z
y
x
E ≤
≤
∈
=

6. 6
Contoh:
Hitung
dimana E adalah daerah di bawah
bidang pada
kuadran pertama

7. 7

8. 8

9. 9
2. Jenis II
{ }
I.
jenis
di
seperti
(3)
dan
(2)
(1),
berupa
dapat
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
|
)
,
,
( 2
1
D
z
x
u
y
z
x
u
D
z
x
z
y
x
E ≤
≤
∈
=

10. 10
Contoh: Hitung
dimana E adalah benda pejal yang dibatasi oleh
dan bidang y = 8

11. 11

12. 12

13. 13
{ }
I.
Jenis
di
seperti
(3)
dan
(2)
(1),
berupa
dapat
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
|
)
,
,
(
III
Jenis
3.
2
1
D
z
y
u
x
z
y
u
D
z
y
z
y
x
E ≤
≤
∈
=

14. 14
Contoh: Hitung volume daerah yang terletak di belakang
bidang dan di depan bidang yz yang
dibatasi oleh dan

15. 15

16. 16
16.8 Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder dan
Koordinat Bola.
Koordinat Silinder
Dalam koordinat silinder, titik P(x,y,z) dikonversi ke titik P(r,θ,z).
P(r, θ, z)
θ
z
r z
y
x

17. 17
{ }
{ }
∫ ∫ ∫
∫∫∫
∫∫ ∫
∫∫∫
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
≤
≤
≤
≤
=
≤
≤
∈
=
β
α
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
β
θ
α
θ
)
(
)
(
)
sin
,
cos
(
)
sin
,
cos
(
(
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)
,
sin
,
cos
(
V
)
(
:
berikut
sebagai
silinder
koordinat
ke
siku
-
siku
koordinat
dari
dikonversi
)
,
,
(
V
)
,
,
(
)
(
)
(
,
|
)
,
(
oleh
polar
koordinat
dalam
diberikan
dengan
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
|
)
,
,
(
dan
pada
kontinu
Misal
h
h
r
r
u
r
r
u
E
D
h
h
E
rdzdrd
z
r
r
f
d
x,y,z
f
dA
dz
z
y
x
f
d
z
y
x
f
h
r
h
r
D
D
y
x
u
z
y
x
u
D
y
x
z
y
x
E
E
f

18. 18
Contoh: Hitung dimana E adalah daerah di
bawah bidang dan di atas bidang xy
serta di antara silinder dan
Jawab:

19. 19

20. 20
Contoh: Konversi integral berikut ke koordinat silindris
Jawab:

21. 21
Koordinat Bola
Perhatikan ∆ OPP’ :
z = ρ cos φ
r = ρ sin φ
P’’
O
z
φ
ρ
x
P(x, y, z) = P(ρ , θ, φ)
θ
z
r
z
y
x y P’(x, y, 0)

22. 22
{ }
γ
ϕ
δ
β
θ
α
ρ
ϕ
θ
ρ
π
ϕ
ρ
ϕ
θ
ρ
ρ
θ
ϕ
ϕ
ρ
θ
θ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
θ
ρ
≤
≤
≤
≤
≤
≤
=
≤
≤
≥
∆
+
=
+
+
=
∆
+
=
=
=
=
=
=
=
∆
,
,
|
)
,
,
(
.
0
,
0
OP.
dengan
positif
-
sumbu
antara
sudut
:
OP'.
dengan
-
sumbu
antara
sudut
:
P.
ke
asal
k
jarak titi
:
)
'
P'
OP'
(
;
OPP'
;
cos
sin
maka
,
sin
karena
;
sin
cos
sin
maka
,
sin
karena
;
cos
:
'
P'
OP'
Perhatikan
2
2
2
bola
jari
-
jari
dengan
Bola
Persamaan
2
2
2
2
2
2
b
a
E
z
x
y
x
r
z
y
x
z
r
r
r
r
y
r
r
x
4
4 3
4
4 2
1
φ

23. 23
Dalam Koordinat Polar :
Dalam Koordinat Bola (Keterangan pada halaman 489)
Jadi, konversi dari koordinat siku-siku ke koordinat bola
dr
d
r
dA θ
=
{
ϕ
θ
ρ
ϕ
ρ
θ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ρ
d
d
d
d
s
k
i
i
ijk
sin
V
)
sin
)(
(
V
2
Ala
Luas
tinggi
=
∆
∆
∆
=
∆
4
4
4 3
4
4
4 2
1
∫∫∫ ∫∫∫
=
E
b
a
d
d
d
f
d
z
y
x
f
γ
δ
β
α
ϕ
θ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
θ
ϕ
ρ
θ
ϕ
ρ sin
)
cos
,
sin
sin
,
cos
sin
(
V
)
,
,
( 2

24. 24
Contoh: Hitung
dimana E adalah setengah bola
bagian atas
Jawab:

25. 25

26. 26
Contoh: konversi integral berikut ke koordinat bola
Jawab:

27. 27

28. 28

29. 29
Tugas 1.
{ }
.
V
Hitunglah
0.
dan
,
1
dibatasi
yang
pertama
oktan
pada
daerah
adalah
Misalkan
2
0
,
3
0
,
2
1
|
)
,
,
(
dengan
V
12
Hitung
E
2
2
3
2
∫∫∫
∫∫∫
=
=
=
+
≤
≤
≤
≤
≤
≤
−
=
zd
x
x
y
z
y
E
z
y
x
z
y
x
E
d
z
xy
E
Tugas 2.
Tugas 3. Gunakan integral lipat tiga untuk mencari volume
benda pejal yang dibatasi silinder x2 + y2 = 9 dan
bidang z = 1 dan x + z = 5.

30. 30
.
2
bidang
bawah
di
dan
-
bidang
atas
di
,
4
dan
1
silinder
-
silinder
diantara
terletak
yang
pejal
benda
adalah
dengan
,
V
Hitung
.
1
paraboloid
bawah
di
terletak
yang
pertama
oktan
di
pejal
benda
adalah
dengan
,
V
)
(
Hitung
.
V
Hitung
4.
dan
-5
bidang
bidang
antara
di
dan
16
silinder
dalam
terletak
Misalkan
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
+
=
=
+
=
+
−
−
=
+
+
=
=
−
=
+
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
x
z
xy
y
x
y
x
E
yd
y
x
z
E
d
xy
x
d
y
x
z
z
y
x
E
E
E
E
Tugas 4.
Tugas 5.
Tugas 6.

31. 31
Tugas 7.
Gunakan koordinat bola untuk menghitung
E terletak di antara bola-bola x2 + y2 + z2 = 1 dan x2 + y2 + z2 = 4
di oktan pertama.
∫∫∫
E
V
zd
²²²²²² sekian ²²²²²²
Materi pertemuan 14 : 16.9 Penggantian Variabel