INTEGRAL LIPAT DUA DAERAH SEBRANG DAN INTEGRAL LIPAT

1. INTEGRAL LIPAT DUA DAERAH SEBERANG DAN
INTEGRAL LIPAT DUA DALAM KOORDINAT KUTUB
AMDUL ARIYANTO : 221055201034
DELTA ALVERO VANA : 221055201047
MOHD.FATUR WARIS ENGGATAMA : 221055201068
MUHAMMAD ABDILLAH ZIKRI : 221055201062
UPAR GULTOM : 221055201095

2. PENGERTIAN INTEGRAL LIPAT
Integral berulang (kadang juga dikenal sebagai integral
ganda atau integral lipat) adalah materi kalkulus lanjut
yang dipelajari secara mendalam untuk menganalisis
masalah luas dan volume baik pada bidang dua dimensi
maupun tiga dimensi. Untuk memberikan pemahaman
kepada pembaca tentang materi tersebut, berikut disajikan
beberapa soal terkait terkhusus untuk integral lipat dua,
yaitu integral dengan dua simbol sekaligus.

3. INTEGRAL LIPAT DUA
Definisi integral lipat dua :
Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi
pada suatu persegi panjang tertutup R.
Jika ada, kita katakan f dapat
diintegralkan pada R. Lebih lanjut
yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh :
Atau

4. MENGHITUNG INTEGRAL LIPAT
DUA
Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan
metode irisan sejajar, yaitu:
(i) Sejajar bidang XOZ

5. MENGHITUNG INTEGRAL LIPAT
DUA (LANJUTAN)
Maka

6. MENGHITUNG INTEGRAL LIPAT
DUA (LANJUTAN)
(ii) Sejajar bidang YOZ

7. MENGHITUNG INTEGRAL LIPAT
DUA (LANJUTAN)
Maka

8. Contoh Soal
Hitung integral lipat dua berikut ini :
dimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y 4}
Jawab:

9. Contoh Soal
Atau,

10. ATURAN INTEGRASI
• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari
bentuk D (daerah integrasi).
• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan
pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan
pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan
daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi
dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

11. Sistem Koordinat Polar
Sistem koordinat polar terdiri dari sumbu polar (berupa setengah garis,
yang berimpit dengan sumbu-x positif pada bidang R 2 ) dan titik asal
O. Setiap titik P pada bidang kemudian dinyatakan dengan jaraknya
dari O, sebutlah r, dan besar sudut θ yang dibentuk oleh ruas garis OP
dan sumbu polar (dihitung berlawanan arah dengan arah jarum jam).

12. Hubungan Koordinat Polar dan
Koordinat Cartesius
Jika P = P(r,θ), maka P dapat dinyatakan dalam
koordinat Cartesius sebagai P = P(x,y) dengan
x = r cos θ dan y = r sin θ.
Sebaliknya, jika P = P(x,y), maka P dapat dinyata-
kan dalam koordinat polar P = P(r,θ) dengan
r2 = x2 + y2 dan tan θ = y/x,
dengan penafsiran nilai θ yg tepat untuk x = 0.

13. Persamaan Kurva dalam Koordinat
Polar
Persamaan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari R dapat
dinyatakan secara sederhana dalam koordinat polar sebagai
r = R, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Persamaan setengah garis y = x,dengan x > 0, dapat dinyatakan
dalam koordinat polar sebagai
θ = π/4, r > 0.

14. Menghitung integral lipat dua dalam
koordinat polar
Integral Lipat Dua
dalam Koordinat Polar Dengan substitusi x = r cos θ dan y = r sin θ,
integral lipat dua yang semula dinyatakan dalam koordinat Cartesius
sekarang dinyatakan dalam koordinat polar sebagai:
Catatan: Dalam koordinat polar, daerah seperti setengah lingkaran atau
cincin setara dengan “persegi panjang”.

15. Daerah dalam Koordinat Polar
Daerah cakram lingkaran S = {(x,y) | x2 + y2 ≤ R2} dapat dinyatakan
sebagai S = {(r,θ)|0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Daerah segitiga yang dibatasi oleh sumbu-x, garis y = x, dan garis x =
1, merupakan daerah r-sederhana, dengan 0 ≤ r ≤ sec θ, 0 ≤ θ ≤ π/4.

16. Contoh Soal
Hitung I = apabila S adalah daerah cincin yg
dibatasi oleh lingkaran x2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.
Jawab: / =