Documentul abordează conceptele de integrale nedefinite și definite, prezentând definiții, teoreme și proprietăți esențiale de calcul. Sunt descrise metodele de integrare, inclusiv integrarea prin părți și substituția, incluzând exemple aplicate. De asemenea, se discută despre aria sub graficul unei funcții și exemple specifice de calcul al integralei.

1. Integrale nedefiniteIntegrale nedefinite
şi definiteşi definite
*Proprietăţi
*Metode de calcul
∫
b
a
dxxf )(

2. PrimitivaPrimitiva
Definiţie:
Ex.
2
( ) 3 2F x x= +
( ) 6f x x=
( ) ( ).F x f x′ =

5. Formula Leibniz-Newton (1675). Fie f : [a,b] R
o funcţie continuă, iar F : [a,b] R o primitivă a lui
f pe [a,b]. Atunci:
→
→
∫ −=
b
a
aFbFdxxf )()()(
Teoremă. Fie f,g : [a,b] R, f continuă pe [a,b] şi f(x)=g(x),
x Є [a,b] – A, unde A ⊂ [a,b] este o mulţime finită. Atunci:
→
∫ ∫=
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(

6. Proprietăţile integralei definite
P1. Proprietatea de liniaritate
Dacă f,g : [a,b] R sunt două funcţii continue pe
[a,b] şi λ є R, atunci
→
∫ ∫ ∫+=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([)1
∫ ∫=
b
a
b
a
dxxfdxxf )()()2 λλ
∫ ∫ ∫+=
b
a
c
a
c
b
dxxfdxxfdxxf )()()(
P2. Proprietatea de aditivitate la interval
Fie f : [a,b] R şi c є [a,b], atunci→

7. P3. Fie f : [a,b] R continuă şi f(x)≥0, x є [a,b].
Atunci:
P5. Dacă f: [a,b] R este
continuă, atunci |f| este continuă
→
∫ ≥
b
a
dxxf 0)(
∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
∫ −≤≤−
b
a
abMdxxfabm )()()(
→
P4. Dacă f: [a,b] R este continuă şi dacă m ≤ f(x) ≤ M,
x є [a,b], atunci
→
∀
P6. Dacă f: [a,b] R este o funcţie continuă atunci prin
definiţie:
∫ =
a
a
dxxf 0)( ∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(

9. →Metode de calcul ale integralei definite
Dacă f,g: [a,b] R sunt două funcţii derivabile, cu
derivate continue, atunci→
∫ ∫−=
b
a
b
a
dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(
Teoremă. Fie [a,b] J R (J interval din R) două funcţii cu
proprietăţile: 1) f este continuă pe J
2) φ este derivabilă, cu derivata continuă pe [a,b]
Atunci: ∫ ∫=
b
a
b
a
dxxfdtttf
)(
)(
)()('))((
ϕ
ϕ
ϕϕ
→
ϕ
→
f
Metoda de integrare prin parti
Metoda substituţiei

10. ∫ ∫
−





=
a
a
a
dxxf
dxxf
0
)(2
)(
0
, dacă f este funcţie pară
, dacă f este impară
Teorema de medie. Dacă f: [a,b] R este o
funcţie continuă, atunci există ξ є [a,b] astfel încât
∫ −=
b
a
fabdxxf )()()( ξ

11. AriaAria subgraficuluisubgraficului unei functiiunei functii
∫=Γ
b
a
f f(x))(Aria dxxdxf
xfybxaRyx
b
a
f
ff
∫=Γ
Γ≤≤≤≤∈=Γ
∈≥→
)()(
:ariaaremultimeaAtunci)}.(0,|),{(
iarb],[a,x0,f(x)şicontinuăR,b][a,:fFie
∫=Γ
b
a
gf, f(x)]dx-[g(x))(Aria

12. Exemplu nr. 1

13. 5
1
1
2 1x dx
x
 
− + ÷
 
∫
(
55
2
1 1
1
2 1 lnx dx x x x
x
 
− + = − + ÷
 
∫
( ) ( )2 2
5 ln5 5 1 ln1 1= − + − − +
28 ln5 26.39056= − ≈
Exemplu nr. 2Exemplu nr. 2

14. ( )
1 1/2
2
0
2 3x x dx+∫
2
let 3u x x= +
then
2
du
dx
x
=
( )
1 41/2
2 1/ 2
0 0
2 3x x x dx u du+ =∫ ∫
4
3/ 2
0
2
3
u=
16
3
=
Exemplu nr. 3Exemplu nr. 3
fie
atunci

15. Ex. Find the area enclosed by the x-axis, the vertical
lines x = 0, x = 2 and the graph of
2
3
0
2x dx∫
2x3
[0, 2].
2
2
3 4
0
0
1
2
2
x dx x=∫ ( ) ( )4 41 1
2 0
2 2
= − 8=
2
2 .y x=