Integrale definite

1. Integrale nedefiniteIntegrale nedefinite
şi definiteşi definite
*Proprietăţi
*Metode de calcul
∫
b
a
dxxf )(

2. PrimitivaPrimitiva
Definiţie:
Ex.
2
( ) 3 2F x x= +
( ) 6f x x=
( ) ( ).F x f x′ =

5. Formula Leibniz-Newton (1675). Fie f : [a,b] R
o funcţie continuă, iar F : [a,b] R o primitivă a lui
f pe [a,b]. Atunci:
→
→
∫ −=
b
a
aFbFdxxf )()()(
Teoremă. Fie f,g : [a,b] R, f continuă pe [a,b] şi f(x)=g(x),
x Є [a,b] – A, unde A ⊂ [a,b] este o mulţime finită. Atunci:
→
∫ ∫=
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(

6. Proprietăţile integralei definite
P1. Proprietatea de liniaritate
Dacă f,g : [a,b] R sunt două funcţii continue pe
[a,b] şi λ є R, atunci
→
∫ ∫ ∫+=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([)1
∫ ∫=
b
a
b
a
dxxfdxxf )()()2 λλ
∫ ∫ ∫+=
b
a
c
a
c
b
dxxfdxxfdxxf )()()(
P2. Proprietatea de aditivitate la interval
Fie f : [a,b] R şi c є [a,b], atunci→

7. P3. Fie f : [a,b] R continuă şi f(x)≥0, x є [a,b].
Atunci:
P5. Dacă f: [a,b] R este
continuă, atunci |f| este continuă
→
∫ ≥
b
a
dxxf 0)(
∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
∫ −≤≤−
b
a
abMdxxfabm )()()(
→
P4. Dacă f: [a,b] R este continuă şi dacă m ≤ f(x) ≤ M,
x є [a,b], atunci
→
∀
P6. Dacă f: [a,b] R este o funcţie continuă atunci prin
definiţie:
∫ =
a
a
dxxf 0)( ∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(

9. →Metode de calcul ale integralei definite
Dacă f,g: [a,b] R sunt două funcţii derivabile, cu
derivate continue, atunci→
∫ ∫−=
b
a
b
a
dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(
Teoremă. Fie [a,b] J R (J interval din R) două funcţii cu
proprietăţile: 1) f este continuă pe J
2) φ este derivabilă, cu derivata continuă pe [a,b]
Atunci: ∫ ∫=
b
a
b
a
dxxfdtttf
)(
)(
)()('))((
ϕ
ϕ
ϕϕ
→
ϕ
→
f
Metoda de integrare prin parti
Metoda substituţiei

10. ∫ ∫
−





=
a
a
a
dxxf
dxxf
0
)(2
)(
0
, dacă f este funcţie pară
, dacă f este impară
Teorema de medie. Dacă f: [a,b] R este o
funcţie continuă, atunci există ξ є [a,b] astfel încât
∫ −=
b
a
fabdxxf )()()( ξ

11. AriaAria subgraficuluisubgraficului unei functiiunei functii
∫=Γ
b
a
f f(x))(Aria dxxdxf
xfybxaRyx
b
a
f
ff
∫=Γ
Γ≤≤≤≤∈=Γ
∈≥→
)()(
:ariaaremultimeaAtunci)}.(0,|),{(
iarb],[a,x0,f(x)şicontinuăR,b][a,:fFie
∫=Γ
b
a
gf, f(x)]dx-[g(x))(Aria

12. Exemplu nr. 1

13. 5
1
1
2 1x dx
x
 
− + ÷
 
∫
(
55
2
1 1
1
2 1 lnx dx x x x
x
 
− + = − + ÷
 
∫
( ) ( )2 2
5 ln5 5 1 ln1 1= − + − − +
28 ln5 26.39056= − ≈
Exemplu nr. 2Exemplu nr. 2

14. ( )
1 1/2
2
0
2 3x x dx+∫
2
let 3u x x= +
then
2
du
dx
x
=
( )
1 41/2
2 1/ 2
0 0
2 3x x x dx u du+ =∫ ∫
4
3/ 2
0
2
3
u=
16
3
=
Exemplu nr. 3Exemplu nr. 3
fie
atunci

15. Ex. Find the area enclosed by the x-axis, the vertical
lines x = 0, x = 2 and the graph of
2
3
0
2x dx∫
2x3
[0, 2].
2
2
3 4
0
0
1
2
2
x dx x=∫ ( ) ( )4 41 1
2 0
2 2
= − 8=
2
2 .y x=