Sunt mii de ani de când pe pământul însorit al Eladei, nu departe de oraşul Metros, exista prin graţia zeiţei matematicii, o colonie, pe numele ei Poligonia. Şi era alcătuită această comunitate din triunghiuri, patrulatere şi tot felul de poligoane care trăiau în bună înţelegere, pace şi armonie reciprocă.

1. PATRULATERE

2. Basm matematic
Sunt mii de ani de când pe pământul
însorit al Eladei, nu departe de oraşul
Metros, exista prin graţia zeiţei
matematicii, o colonie, pe numele ei
Poligonia.
Şi era alcătuită această comunitate din
triunghiuri, patrulatere şi tot felul de
poligoane care trăiau în bună înţelegere,
pace şi armonie reciprocă.

3. Cel mai numeros era aici neamul Trigon,
alcătuit numai din figuri geometrice cu 3
laturi şi 3 unghiuri: triunghiurile.
Deşi păreau cele mai modeste, dacă reuşeai
să te împrieteneşti cu ele –si nu era greu–
aflai că pe lângă cele 3 laturi şi 3 unghiuri,
fiecare triunghi avea mai multe segmente şi
unghiuri care le dădea armonie, distincţie şi
mister. 3 mediane, 3 bisectoare, 3 înălţimi, un
centru de greutate, un perimetru, o arie, erau
nelipsite fiecărui triunghi.
Mai aveau triunghiurile şi alte proprietăţi
ascunse, pe care le dezvăluiau numai
prietenilor apropiaţi, care şi-au petrecut o
buna parte din viata printre ele.

4. Patrulaterele, cu 4 vârfuri şi 4 laturi, păreau mai
complicate şi aveau un aer mai sofisticat.Mândria
fiecărui patrulater erau în primul rând cele 2
segmente pe care triunghiurile nu le puteau
avea: diagonalele.
Se spune că în Poligonia existau unele legi foarte
stricte, dar drepte: “Suma unghiurilor unui
triunghi este exact 180 grade“ sau “Suma
unghiurilor oricărui patrulater este de 360
grade“.De respectarea acestor legi se preocupa
un înţelept, pe numele sau Geo, căruia îi spuneau
Geo din Metros sau mai simplu Geometros .

5. Geometros
Era un mare prieten al Triunghiurilor şi
patrulaterelor şi se întreţinea cu ele ore în şir,
cunoscându-le toate calităţile şi toate
defectele. La el veneau toate figurile
geometrice ori de câte ori aveau un necaz.
Si , în înţelepciunea lui Geometros avea cate un
răspuns pentru fiecare problemă de-a lor.
De la Geometros am primit şi noi însărcinare să
studiem îndeaproape “neamul“ Patrulaterelor.
Sfatul sau a fost să realizam câteva însemnări
ale descoperirilor noastre, pe care să le
împărtăşim şi colegilor noştri când ne vom fi
sfârşit călătoria .

6. Jurnal de călătorie …
Xxxx zile înainte de Marele Examen
….Studiu făcut asupra patrulaterelor, din
colonia Poligonia, oraşul Metros.
Ziua I : Privite de la distanta …

7. Patrulaterul
• Este poligonul cu patru laturi
• Un patrulater poate fi convex sau
neconvex (concav )
• Un patrulater este convex dacă oricare
ar fi o latură a sa, celelalte două vârfuri
nesituate pe acea latură se află de
aceeaşi parte a dreptei ce conţine latura
respectivă.

8. PATRULATERUL CONVEX

9. Segmentul care uneşte două puncte
interioare ale unui patrulater convex
nu intersectează laturile
patrulaterului (este situat în
întregime în interiorul patrulaterului
convex).

10. PATRULATER CONCAV

11. Segmentul care uneşte două puncte
interioare ale patrulaterului neconvex
intersectează laturile acestuia.

12. Ziua a II a :
Interviu cu membrii unor prestigioase
familii:
paralelogramele,
dreptunghiurile,
pătratele,
romburile,
trapezele.

13. PARALELOGRAMUL
Este patrulaterul convex cu laturile opuse
paralele : AB || CD, BC || AD

14. Proprietăţile paralelogramului
• Laturile opuse într-un paralelogram sunt
congruente;
• Unghiurile opuse într-un paralelogram
sunt congruente;
• Unghiurile alăturate oricărei laturi într-
un paralelogram sunt suplementare;
• Diagonalele paralelogramului au acelaşi
mijloc (punctul lor de intersecţie).

15. Un patrulater convex este paralelogram, dacă este
îndeplinită una din condiţiile:
• Are laturile opuse paralele două câte două;
• Are laturile opuse congruente două câte
două;
• Are două laturi opuse paralele şi
congruente;
• Are unghiurile opuse congruente două câte
două;
• Unghiurile alăturate oricărei laturi sunt
suplementare;
• Diagonalele au acelaşi mijloc (se
înjumătăţesc).

16. Aria paralelogramului
• A=AB·DD’
• A=AB·AD·sin DAB
A B
D’
C
D

17. Paralelograme particulare
• Dreptunghiul - este paralelogramul care
are un unghi drept.
• Rombul - este paralelogramul cu două
laturi consecutive congruente.
• Pătratul - este rombul cu un unghi
drept/ este dreptunghiul cu două laturi
consecutive congruente

18. DREPTUNGHIUL
• Diagonalele
dreptunghiului
sunt
congruente
• A=AB·BC
• A = L · l
• L - lungimea
• l - lăţimea
D
A B
C
O
L
l

19. ROMBUL
• Diagonalele
rombului sunt
perpendiculare
• Diagonalele
rombului sunt şi
bisectoarele
unghiurilor
rombului
• A =AC · BD ·½
• A = AB · DD’
A
B
C
D
O
D’

20. PĂTRATUL
• Pătratul are
toate
proprietăţile
rombului şi
dreptunghiului
• A = AB²
• A = l²
• l - latura
pătratului
D
A B
C
O
l

21. TRAPEZUL
• Trapezul este patrulaterul convex cu două
laturi paralele şi două laturi neparalele.
• Trapezul cu laturile neparalele
congruente se numeşte trapez isoscel şi
are diagonalele congruente.
• Trapezul cu un unghi drept se numeşte
trapez dreptunghic.
• Trapezul cu diagonalele perpendiculare se
numeşte trapez ortodiagonal.

22. TRAPEZUL
A B
C
D
M N
D’
AB- baza mare
DC- baza mică
MN- linie mijlocie
DD’- înălţime
O
P Q
MN = ½ ( AB + DC )
PQ = ½ ( AB - DC )
A = ½ ( AB + DC ) · DD’

23. TRAPEZUL ISOSCEL
A B
C
D
O

24. TRAPEZUL DREPTUNGHIC
A B
C
D
O

25. ZIUA A TREIA ….
Cele mai de seama reprezentante din
neamul poligoanelor sunt denumite:
“Poligoanele regulate”-cele cunoscute
pentru deosebita frumuseţe şi distincţie
de a avea toate laturile şi toate
unghiurile congruente. Nu am putut
vorbi cu ele mai în detaliu, dar am
reuşit să realizam o poză de grup.

26. Poligoane regulate

27. Am invatat si sa demonstram…
Intre descoperirile uimitoare facute in colonia Poligonia,
orasul Metros, au fost si cateva papirusuri vechi din
care cu greu am reusit sa descifram cateva
demonstratii….
Redecoperiti textul lipsa
Pe un papirus vechi am gasit demonstratia
urmatoare despre care Geometros ne-a
asigurat ca este corecta impreuna cu figura
la care se refera.Ar fi un mare ajutor pentru noi daca ati reusi sa
descoperiti si sa redactati cerinta acestei mici probleme.

28. ED
EC
BE
AE

CE
DE
BE
AE

S
R T
U
I
“U este simetricul lui S in raport
cu I, deci I este mijlocul lui
[SU];
Pe de alta parte, I este mijlocul
lui [RT].Deci [SU] si [RT] se
injumatatesc.
Ori, un patrulater in care
diagonalele se taie in parti
con-
gruente este un
paralelogram.
Deci RSTU este un
paralelogram”
Deci, , care este enuntul? Care este ipoteza?care este
concluzia?

29. O noua provocare
Demonstratie
puzzle
Fie ABC un triunghi oarecare.Inaltimea coborata din
A taie pe [BC] in H.Notam cu E simetricul lui H in raport
cu mijlocul I al lui [AC].Aratati ca AHCE este un dreptunghi.

30. Figura …
A
B
H C
E
I

31. Mai jos sunt date 10 fraze:
1. Deci AHCE este un dreptunghi.
2. Pe de alta parte I este mijlocul lui [AC].
3. Deci unghiul AHC este drept.
4. Pe de alta parte E este simetricul lui H in raport cu I
5. Ori un paralelogram cu un unghi drept este dreptunghi.
6. Deci [HE] si [AC] au acelasi mijloc.
7. Ori un patrulater ale carui diagonale se injumatatesc
este paralelogram.
8. Deci I este mijlocul lui [HE].
9. In plus se stie ca [AH] este inaltimea triunghiului ABC
10. Deci AHCE este un paralelogram

32. Ordonati cele 10 fraze pentru a
obtine implicatiile logice ale unei
demonstratii corecte.