Ecuații de gradul Ii

1. ECUAŢIA DE GRADULECUAŢIA DE GRADUL
DOIDOI
2
0, , , ; 0ax bx c a b c R a+ + = ∈ ≠

2. Forma generalForma generalăă
2
0, , , ; 0ax bx c a b c R a+ + = ∈ ≠
2
0 0, , ; 0b ax c a c R a= ⇒ + = ∈ ≠
2
0 0, , ; 0c ax bx a b R a= ⇒ + = ∈ ≠
2
0 0, ; 0b c ax a R a= = ⇒ = ∈ ≠
Forme particulareForme particulare

3. Natura soluţiilor ecuaţiei de gradulNatura soluţiilor ecuaţiei de gradul doidoi
depinde de semnul numaruluidepinde de semnul numarului ΔΔ
Natura soluţiilor ecuaţiei de gradulNatura soluţiilor ecuaţiei de gradul doidoi
depinde de semnul numaruluidepinde de semnul numarului ΔΔ

4. Relaţiile lui VièteRelaţiile lui Viète
2
0, , , ; 0ax bx c a b c R a+ + = ∈ ≠
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a
−
+ =

 =

b
S
a
c
P
a
−
=

 =


5. ( )
( ) ( )
( )
22 2
1 2 1 2 1 2
23 3
1 2 1 2 1 2 1 2
2
4 4 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2
3
2
( ) ( ) 4
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
+ = + −
+ = + − +
+ = + −
− = + −
FORMULE UTILE !FORMULE UTILE !
2 2 2
1 2
3 3 3
1 2
4 4 2 2 2
1 2
2
1 2
2
1 2
2
3
( 2 ) 2
4
4
x x S P
x x S PS
x x S P P
x x S P
x x S P
+ = −
+ = −
+ = − −
− = −
− = ± −

6. François VièteFrançois Viète (1540 – 1608)(1540 – 1608)François VièteFrançois Viète (1540 – 1608)(1540 – 1608)
François VièteFrançois Viète diplomat şi
matematician francez, a fost
unul dintre creatorii algebrei
mederne.
François VièteFrançois Viète diplomat şi
matematician francez, a fost
unul dintre creatorii algebrei
mederne.

7. Date numerele reale x1 şi x2 calculăm
este ecuaţia care are ca soluţii numerele date.
1 2 1 2,S x x P x x= + =
02
=+− PSxx
Formarea ecuaţiei de gradul doiFormarea ecuaţiei de gradul doi
când se cunosc soluţiilecând se cunosc soluţiile
Formarea ecuaţiei de gradul doiFormarea ecuaţiei de gradul doi
când se cunosc soluţiilecând se cunosc soluţiile

8. unde x1 si x2 sunt soluţiile ecuaţiei
Descompunerea trinomului în
factori liniari
Descompunerea trinomului în
factori liniari
( )( )21
2
xxxxacbxax −−=++
02
=++ cbxax

9. Semnul soluţiilor ecuaţiei deSemnul soluţiilor ecuaţiei de
gradul doigradul doi
Semnul soluţiilor ecuaţiei deSemnul soluţiilor ecuaţiei de
gradul doigradul doi
0
0
α
β
>
>
0
0
α β
α β
+ >

× >
0
0
α
β
<
<
0
0
α β
α β
+ <

× >
Dacă:
0
0
α
β
<
>
0α β× <

10. Dată ecuaţia
Având în vedere proprietăţile amintite, cu ajtorulAvând în vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul
cui putem stabili fară a rezolva ecuaţia dacă soluţiilecui putem stabili fară a rezolva ecuaţia dacă soluţiile
xx11 şi xşi x22 au acelaşi semn sau semne contrare ?au acelaşi semn sau semne contrare ?
ÎNTREBARE ?ÎNTREBARE ?
2
0, , , ; 0ax bx c a b c R a+ + = ∈ ≠

11. Semnul numSemnul număărulruluuii
Semnul numSemnul număărulruluuii
RĂSPUNS CORECT !RĂSPUNS CORECT !
PP
SS

12. Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doiSemnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi
depind de semnul numarelor P şidepind de semnul numarelor P şi SS
Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doiSemnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi
depind de semnul numarelor P şidepind de semnul numarelor P şi SS

13. !!!!!! NATURA ŞI SEMNUL soluţiilorNATURA ŞI SEMNUL soluţiilor
ecuaţiei de gradul doi depind deecuaţiei de gradul doi depind de
semnele numerelorsemnele numerelor Δ, P, SΔ, P, S
!!!!!! NATURA ŞI SEMNUL soluţiilorNATURA ŞI SEMNUL soluţiilor
ecuaţiei de gradul doi depind deecuaţiei de gradul doi depind de
semnele numerelorsemnele numerelor Δ, P, SΔ, P, S

14. ΔΔ > 0> 0
(( ++ ))
P < 0P < 0
(( –– ))
S > 0S > 0 ++
S = 0S = 0 00
S < 0S < 0 ––
P = 0P = 0
S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 ––
P > 0P > 0
(( ++ ))
S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 ––
ΔΔ = 0= 0
P > 0P > 0
(( ++ ))
S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 ––
1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x∈ ≠ < > =−
1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x∈ ≠ < > <
1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x∈ ≠ < > >
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ ≠ = >
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ ≠ = <
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ ≠ > >
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ ≠ < >
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ = > >
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ = < <
1 2 1 2, , 0x x R x x∈ = =
1 2,x x R∉
Natura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doi

15. EXERCITIIEXERCITII
 1.1. Stabiliţi semnul soluţiilor fară a rezolva ecuaţiile:
2
5 0x x− − =
2
7 3 0x x+ + =
2
3 7 2 0x x− − + =
2
3 5 2 0x x− + =

16. ecuaţia are soluţii de semne opuse
ecuaţia are soluţii de acelaşi semn
ecuaţia are soluţii de semne opuse
ecuaţia are soluţii de acelaşi semn
1 1 20 ,x x x> >
1 20 , 0x x< <
1 1 20 ,x x x> >
1 20 , 0x x> >
SOLUŢIE CORECTĂ ?!SOLUŢIE CORECTĂ ?!
2 0
5 0
0
P
x x
S
<
− − = ⇒ 
>
2 0
7 3 0
0
P
x x
S
>
+ + = ⇒ 
<
2 0
3 7 2 0
0
P
x x
S
<
− − + = ⇒ 
<
2 0
3 5 2 0
0
P
x x
S
>
− + = ⇒ 
>

17.  22.. Să se determine parametrul m pentru care soluţiile
ecuaţiei sunt:
 ambele pozitive
 de semne opuse
 ambele negative
 egale
EXERCIŢIIEXERCIŢII
2
2 3 0,x x m m R+ × + − = ∈

18. m - ∞ 3 4 + ∞
ΔΔ + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - -
PP - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + +
SS - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
SOLUŢIESOLUŢIE
ambele pozitive ΔΔ > 0 , P > 0 , S > 0> 0 , P > 0 , S > 0 m ∈ ∅
de semne opuse ΔΔ > 0 , P < 0> 0 , P < 0 m ∈ ( - ∞. 3)
ambele negative ΔΔ > 0 , P < 0 , S < 0> 0 , P < 0 , S < 0 m ∈ ( 3, 4)
egale negative ΔΔ = 0 , P > 0 , S < 0= 0 , P > 0 , S < 0 m = 4

19.  3.3. Să discute natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei
după valorile parametrul real m.
 Algoritm de lucru:Algoritm de lucru:
calculăm ΔΔ, SS şi PP
stabilim semnele acestor numere într-un tablou comun
analizând semnele pe intrevalele rezultate din tabloul de
semn stabilim natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei
EXERCITIIEXERCITII
2
3 2 1 0,x x m m R− × + − = ∈

20. Fie ecuaţia
determinaţi parametrul m aşa încât ecuaţia să aibă:
 soluţii reale pozitive
soluţii reale de semne opuse
Test de autoevaluareTest de autoevaluare
2
2 0,x x m m R− − + = ∈