Transformasi Laplace adalah transformasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan transformasi laplace terbukti cukup ampuh digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai awal.
Peran Sains dan Teknologi dalam Merealisasikan Perintah Agama dalam Kehidupa...Sparisoma Viridi
Kunjungan Pondok Modern Tazakka, Batang, Jawa Tengah ke Masjid Salman ITB dalam rangka program pembelajaran luar kelas untuk siswa kelas IV dan III intensif KMI (setara dengan kelas X SMA) dalam tahun ajaran 2017-2018.
Transformasi Laplace adalah transformasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan transformasi laplace terbukti cukup ampuh digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai awal.
Peran Sains dan Teknologi dalam Merealisasikan Perintah Agama dalam Kehidupa...Sparisoma Viridi
Kunjungan Pondok Modern Tazakka, Batang, Jawa Tengah ke Masjid Salman ITB dalam rangka program pembelajaran luar kelas untuk siswa kelas IV dan III intensif KMI (setara dengan kelas X SMA) dalam tahun ajaran 2017-2018.
Presentatie van Eduard Beck tijdens het eerste B1 event. Dit evenement werd op 21 September 2011 voor het eerst georganiseerd door B1 Detachering (als onderdeel van Tekst2000) in samenwerking met Microsoft. Het onderwerp van de dag was 21th Century Skills
Simulation of cell budding & binary fission:A preliminary study using molecu...Sparisoma Viridi
International Conference and School on Physics in Medicine and Biosystems, to be held virtual on Zoom from 6 to 8 November 2020, IPB University, Bogor, Indonesia, url https://www.icspmb.org/
In-House Training Online Penyusunan Jurnal Sains, SEAMEO QITEP in Science (SEAQIS), Bandung, Indonesia, 14-16 April 2020, url https://doi.org/10.5281/zenodo.3751238
Resume beberapa hal yang dapat menyebabkan perubahan fasa pada gelombang sebagai persiapan untuk fenomena gelombang stastioner, interferensi dua sumber, interferensi lapisan tipis, pelayangan, dan lainnya
ppt profesionalisasi pendidikan Pai 9.pdfNur afiyah
Pembelajaran landasan pendidikan yang membahas tentang profesionalisasi pendidikan. Semoga dengan adanya materi ini dapat memudahkan kita untuk memahami dengan baik serta menambah pengetahuan kita tentang profesionalisasi pendidikan.
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenAdrianAgoes9
sosialisasi untuk dosen dalam mengisi dan memadankan sister akunnya, sehingga bisa memutakhirkan data di dalam sister tersebut. ini adalah untuk kepentingan jabatan akademik dan jabatan fungsional dosen. penting untuk karir dan jabatan dosen juga untuk kepentingan akademik perguruan tinggi terkait.
1. Pengenalan Metode Elemen Hingga
(Finite Element Method)
Sparisoma Viridi* dan Suprijadi
Physics Department,
Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha 10, Bandung 40132, Indonesia
*dudung@gmail.com
FI4148
22 Oktober 2013
1
3. Finite Element Method
• FEM adalah suatu metode numerik untuk
menyelesaikan sebuah persamaan diferensial
atau integral (Dixit, ?).
• FEM didasari pada ide dalam membangun
obyek kompleks atas satuan sederhana atau
membagi obyek kompleks atas satuan-satuan
kecil yang mudah ditangani (Liu, 2003).
URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148
22 Oktober 2013
3
4. Finite Element Method (cont.)
• Analisis FE pada suatu permasalahan bersifat
sangat skematis sehingga dapat dibagi-bagi
menjadi kumpulan langkah logis yang dapat
diimplementasikan pada suatu komputer
digital dan dapat digunakan pada berbagai
permasalahan hanya dengan mengganti data
masukannya untuk program komputer
(Reddy, 1988).
URI http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lim/albores_b_mi/capitulo7.pdf [20131018.1356].
FI4148
22 Oktober 2013
4
5. Finite Element Method (cont.)
• FEM dapat diterapkan pada permasalahanpermasalahan, seperti struktur, transfer
panas, dan aliran fluida (?, ?).
URI http://homepages.cae.wisc.edu/~me232/lecture_notes/fea.pdf [20131018.1358].
FI4148
22 Oktober 2013
5
6. Syarat batas
• Terdapat dua jenis syarat batas: syarat batas
esensial (SBE) dan syarat batas natural (SBN).
• SBE adalah mencukupi untuk menyelesaikan
persamaan diferensial secara lengkap.
• SBN berupa turunan waktu lebih tinggi sukusuku dan tidak mencukupi untuk menyelesaikan persamaan diferensial, masih membutuhkan setidaknya satu SBE.
URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].
FI4148
22 Oktober 2013
6
7. Syarat batas (cont.)
• Bila terdapat persamaan diferensial 0 < x < L
d du
A + B = 0
dx dx
yang dapat dipecahkan secara lengkap bila
– u(0) dan u(L) diketahui atau
– u(0) dan du/dx |x = L diketahui
URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].
FI4148
22 Oktober 2013
7
8. Syarat batas (cont.)
• Manakah yang merupakan syarat batas
esensial?
• Manapula yang merupakan syarat batas
natural?
FI4148
22 Oktober 2013
8
9. Formulasi untuk LDE
• Linear differential equation (LDE) dapat
memiliki bentuk
Lu + q = 0
di mana u adalah vektor variabel utama permasalahan (fungsi koordinat) yang didekati
dengan fungsi aproksimasi, L operator diferensial, dan q vektor fungsi yang diketahui.
FI4148
22 Oktober 2013
9
10. Formulasi untuk LDE (cont.)
• Terdapat dua formulasi populer FEM, yaitu
Galerkin dan Ritz.
• Dalam formulasi Galerkin, variabel utama
diaproksimasi dengan suatu fungsi kontinu
dalam elemen yang ditinjau.
• Saat ue atau nilai hasil fungsi aproksimasi disubstitusikan, akan diperoleh residu R
Lu + q = R
e
FI4148
22 Oktober 2013
10
11. Formulasi untuk LDE (cont.)
• Idealnya R = 0 di manapun, yang berarti nilai
hasil aproksimasi menjadi nilai sebenarnya.
• Dikarenakan sulit untuk memperoleh residu
sama dengan nol pada semua titik, maka yang
dibuat nol adalah residual yang diberi bobot
∫ wRdA = 0
D
dengan w adalah fungsi bobot.
FI4148
22 Oktober 2013
11
12. Formulasi untuk LDE (cont.)
• Untuk mengurangi kebutuhan pada diferensiabilitas fungsi aproksimasi, persamaan sebelumnya dintegralkan per bagian untuk mendistribusikan kembali order turunan dalam w
dan R.
• Dalam formulasi Galerkin, fungsi bobot dipilih
memiliki bentuk yang sama dengan fungsi
aproksimasi untuk ue.
FI4148
22 Oktober 2013
12
13. Formulasi untuk LDE (cont.)
• Fungsi aproksimasi ada suatu fungsi aljabar.
• Dengan demikian, biasanya
{ }
u = [N] u
e
ne
dengan [N] adalah matriks fungsi bentuk
(shape functions) dan {une} adalah derajat
kebebasan dari nodal.
FI4148
22 Oktober 2013
13
14. Jenis FEM
• Elemen (garis) 1-d
• Kasus: pegas, batang, pipa,
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148
22 Oktober 2013
14
15. Jenis FEM (cont.)
• Elemen (bidang) 2-d
• Kasus: membran, pelat, kulit, ..
FI4148
22 Oktober 2013
15
16. Jenis FEM (cont.)
• Elemen (ruang) 3-d
• Kasus: medan 3d, seperti temperatur,
perpindahan, tegangan, aliran, kecepatan
aliran, ..
FI4148
22 Oktober 2013
16
17. Kasus 1-d pegas
“Everything important is simple”
• Satu elemen pegas:
– Dua noda
– Dua nodal perpindahan
– Dua noal gaya
– Satu konstanta pegas (stiffness)
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148
22 Oktober 2013
17
18. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Hukum Hooke
Fij = −k ( xi − x j ) + sign ( xi − x j ) klij
dengan lij adalah panjang normal pegas.
FI4148
22 Oktober 2013
18
19. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Kasus pada i dengan pegas teregang
Fij = −k ( xi − x j ) − klij > 0
• Kasus pada i dengan pegas tertekan
Fij = −k ( xi − x j ) − klij < 0
FI4148
22 Oktober 2013
19
20. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Kasus pada j dengan pegas teregang
F ji = −k ( x j − xi ) + kl ji < 0
• Kasus pada j dengan pegas tertekan
F ji = −k ( x j − xi ) + kl ji > 0
FI4148
22 Oktober 2013
20
21. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Umumnya suku sign(xi – xj) k lij menjadi ‘hilang’ dalam penyusunan persamaan diferensial karena hanya merupakan konstanta.
• Transformasi koordinat, misalnya pada
Fij = −k ( xi − x j ) − klij
⇒ Fij = −k ( xi + lij ) + kx j
⇒ Fij = −kui + ku j
FI4148
22 Oktober 2013
21
22. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Atau dapat pula ui dan uj dihitung relatif dari
posisinya kesetimbangannya, yaitu xi0 dan xj0.
• Arti dari ui dan uj terhadap posisi kesetimbangan ini lebih sering digunakan.
• Hubungannya adalah
ui(t) = xi(t) – xi0
uj(t) = xj(t) – xj0
FI4148
22 Oktober 2013
22
23. Kasus 1-d pegas (cont.)
f i = − k ( ui − u j )
f j = − k ( u j − ui )
FI4148
22 Oktober 2013
23
24. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Kedua persamaan sebelumnya menjadi
− k
k
k ui f i
u = f
− k j j
k
− k
− k ui f i
u + f = 0
k j j
Ku + f = 0
FI4148
22 Oktober 2013
24
25. Kasus 1-d pegas (cont.)
f1 = −k ( u1 − u2 )
f 2 = −k ( u2 − u1 ) − k ( u2 − u3 )
f 3 = − k ( u3 − u 2 )
FI4148
22 Oktober 2013
25
26. Kasus 1-d pegas (cont.)
− k1
k
1
0
k1
− k1 − k 2
k2
Ku + f = 0
FI4148
0 u1 f1
u = f
k2 2 2
u3 f 3
− k2
k1
− k
K = 1
0
22 Oktober 2013
− k1
k1 + k 2
− k2
26
0
− k2
k2
27. Kasus 1-d pegas (cont.)
k1
− k
1
K=
− k1
k1 + k 2
− k2
− k2
k 2 + k3
− k3
− k3
k3
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148
22 Oktober 2013
27
29. Kasus 1-d pegas (cont.)
f 4 = −k1 ( u4 − u2 )
f 2 = − k1 ( u 2 − u 4 ) − k 4 ( u 2 − u1 ) − k 2 ( u2 − u3 )
f1 = − k 4 ( u1 − u2 )
f 3 = − k 2 ( u3 − u 2 ) − k 3 ( u3 − u5 )
f 5 = − k 3 ( u5 − u3 )
FI4148
22 Oktober 2013
29
31. Kasus 1-d batang
• Perpindahan u(x)
• Regangan ε(x)
• Tegangan σ(x)
FI4148
22 Oktober 2013
31
32. Kasus 1-d batang (cont.)
• Hubungan regangan-perpindahan
du
ε=
dx
• Hubungan tegangan-regangan
σ = Eε
FI4148
22 Oktober 2013
32
33. Kasus 1-d batang (cont.)
• Fungsi bentuk linier (linear shape functions)
x
ξ=
L
0 ≤ ξ ≤1
Ni (ξ ) = 1 − ξ
N j (ξ ) = ξ
• Dengan demikian
u ( x ) = u ( ξ ) = N i ( ξ ) ui + N j ( ξ ) u j
FI4148
22 Oktober 2013
33
34. Kasus 1-d batang (cont.)
ui
• Atau u = N i N j = Nu
u j
[
]
• Hubungan sebelumnya akan memberikan
du d
ε=
= N u = Bu
dx dx
di mana B adalah elemen matriks reganganperpindahan.
FI4148
22 Oktober 2013
34
35. Kasus 1-d batang (cont.)
dN d
dξ d
B=
=
Ni N j =
Ni N j
dx dx
dx dξ
1
= [ − 1 1] = [ − 1 / L 1 / L ]
L
[
]
[
• Selanjutnya
σ = Eε = EBu
FI4148
22 Oktober 2013
35
]
36. Kasus 1-d batang (cont.)
1
1
2
U = Vσε = VEε
2
2
• Energi strain
• Energi yang tersimpan dalam batang
(
)
1
1
T
T T
U = ∫ σ εdV = ∫ u B εBu dV
2V
2V
1 T
T
= u ∫ B εB dV u
2 V
(
FI4148
)
22 Oktober 2013
36
37. Kasus 1-d batang (cont.)
• Kerja oleh dua gaya nodal adalah
1
1
1 T
W = f i ui + f j u j = u f
2
2
2
• Sistem konservatif
U =W
FI4148
22 Oktober 2013
37
38. Kasus 1-d batang (cont.)
T
f = ∫ B εB dV u
V
(
)
• Kembali ke Ku + f = 0, dapat diperoleh
(
)
K = ∫ B εB dV
T
V
yang merupakan matriks kekakuan.
FI4148
22 Oktober 2013
38
39. Kasus 1-d batang (cont.)
• Untuk kasus ini
(
)
K = ∫ B εB dV
T
V
− 1 / L
= ∫
E{ − 1 / L 1 / L} Adx
1/ L
0
EA 1 − 1
=
− 1 1
L
L
FI4148
22 Oktober 2013
39
40. Kasus 1-d batang (cont.)
2 −2 0
EA
K=
− 2 3 − 1
L
0 −1 1
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148
22 Oktober 2013
40
41. Kasus lain: 2-d dan 3-d
• Lebih kompleks untuk dibahas dalam satu kali
perkuliahan.
• Dapat dipelajari dengan menggunakan
sumber-sumber yang ada di internet.
• Untuk kasus 1-d pun terdapat permasalahan
lain yang dapat dibahas.
FI4148
22 Oktober 2013
41