Dokumen tersebut membahas pengenalan metode elemen hingga (FEM) untuk memodelkan perambatan panas, mulai dari persamaan dasar transfer panas, diskritisasi domain menjadi elemen-elemen, perumusan persamaan FEM, hingga contoh penerapan FEM untuk elemen segitiga dua dimensi."

1. Pengenalan FEM:
Perambatan Panas
Sparisoma Viridi*, Novitrian, dan Suprijadi
Physics Department,
Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha 10, Bandung 40132, Indonesia
*dudung@gmail.com
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
1

2. Outline
•
•
•
•
•
•
•
•
Teorema divergensi
Metoda Galerkin
Perambatan panas
Diskritisasi elemen hingga
Perumusan
Hubungan q dan T
Persamaan FE
Elemen segitiga
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
2

3. Teorema divergensi
• Integral volume V dan permukaan tertutup S
(
∫
V
)
r r
r r
∇ ⋅ F dV = ∫ F ⋅ dS
(1)
S
r
r
• Bila F = gH maka
[(
∫
V
) (
)]
r r
r r
r r
H ⋅ ∇g + g ∇ ⋅ H dV = ∫ gH ⋅ dS (2)
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
S
29 Oktober 2013
3

4. Metoda Galerkin
• Bila suatu fungsi f(x) sulit dibuat nol maka
dapat dibuat pembobotan sehingga
integralnya menjadi nol
∫
f ( x ) w( x ) dx = 0
(3)
yang tidak lain adalah metoda variasi
parameter
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
4

5. Perambatan panas
• Persamaan tranfer panas
r r
∂T
− ∇ ⋅ q + Q = ρc
∂t
(4)
q (W·m–2); Q (W·m–3); ρ (kg·m–3); c (J·kg–1·K–1);
T (K); t (s); x, y, z (m)
• Teringat persamaan Gauss dan divergensi?
URI http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9781848829718-c1.pdf
[20131028.1640]
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
5

6. Perambatan panas (cont.)
• Hukum Fourier
r
r
q = −k∇T
(5)
q (W·m–2); k (W·m–1·K); T (K); x, y, z (m)
• Masih ingat hubungan energi potensial dan
gaya konservatif?
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
6

7. Perambatan panas (cont.)
• (5)
(4)
(
)
r r
∂T
∇ ⋅ k∇T + Q = ρc
∂t
(6)
merupakan persamaan dasar transfer panas
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
7

8. Perambatan panas (cont.)
• Syarat batas: nilai temperatur ditentukan
Ts = T1 (x, y, z , t )
(7)
pada S1
Ts temperatur pada suatu permukaan
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
8

9. Perambatan panas (cont.)
• Syarat batas: aliran panas ditentukan
r r
q ⋅ n = − qs
(8)
pada S2
qs aliran panas pada suatu permukaan
n konstanta tak berdimensi
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
9

10. Perambatan panas (cont.)
• Syarat batas: konveksi
r r
q ⋅ n = h(Ts − Te )
(9)
pada S3
h koefisien konveksi
Te temperatur pertukaran konveksi
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
10

11. Perambatan panas (cont.)
• Syarat batas: radiasi
r r
4
q ⋅ n = σεTs − αqr
(10)
pada S4
σ konstanta Stefan Boltzmann
ε koefisien emisivitas permukaan
α koefisien absorbsi permukaan
qr aliran panas radiasi datang per satuan luas
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
11

12. Perambatan panas (cont.)
• Untuk permasalahan transien
T ( x, y, z , 0 ) = T0 ( x, y, z )
(11)
medan temperatur inisial sistem pada t = 0
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
12

13. Diskritisasi elemen hingga
• Domain volume V dibagi dalam elemen-elemen hingga yang terkoneksi pada noda-noda
• Fungsi bentuk (shape function ) Ni digunakan
untuk interpolasi variabel yang dicari (temperatur T dalam kasus ini) dalam suatu elemen
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
13

14. Diskritisasi elemen hingga (cont.)
T = [N ]{T }
(12)
[N ] = [N1
(13)
N 2 ..]
{T } = {T1 T2 ..}
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
(14)
29 Oktober 2013
14

15. Diskritisasi elemen hingga (cont.)
• Apa kira-kira arti dari jenis kurung yang
digunakan?
• { .. } untuk apa?
• [ .. ] untuk apa?
• Lebih jelas bila diketahui bahwa { .. }T = [ .. ]?
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
15

16. Diskritisasi elemen hingga (cont.)
• Operator diferensial: gradien
gunakan (12) – (14)
 ∂T   ∂N 1
 ∂x   ∂x
 ∂T   ∂N
   1
 =
 ∂y   ∂y
∂T   ∂N 1

 ∂z   ∂z
  
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
∂N 2
∂x
∂N 2
∂y
∂N 2
∂x

..

..{T } = [B ]{T }
(15)


..

29 Oktober 2013
16

17. Diskritisasi elemen hingga (cont.)
• {T} vektor temperatur pada noda-noda
• [N] matriks fungsi bentuk
• [B] matriks interpolasi gradien temperatur
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
17

18. Perumusan
• Ingin diperoleh (4) = 0
• Terapkan metoda Galerkin (3)
• Gunakan fungsi bentuk (13)
∂T 
r r
∫  ∇ ⋅ q − Q + ρc ∂t  N i dV

V
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
(16)
18

19. Perumusan (cont.)
• Bahas suku pertama dengan teorema
divergensi
(
∫
)
r r
∇ ⋅ q N i dV
V
(
)
r
r
r
r
= ∫ ∇ ⋅ (N i q ) dV − ∫ ∇N i ⋅ q dV
V
(
V
)
r
r r
r
= ∫ N i q ⋅ dS − ∫ ∇N i ⋅ q dV
S
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
V
29 Oktober 2013
(17)
19

20. Perumusan (cont.)
• (17)
(16)
(
)
r
r
∂T
ρc
N i dV − ∫ ∇N i ⋅ q dV
∫ ∂t
V
V
r r
= ∫ QN i dV − ∫ N i q ⋅ dS
V
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
(18)
S
29 Oktober 2013
20

21. Perumusan (cont.)
• Elemen luas permukaan dan vektor normalnya
r
ˆ
dS = ndS
ˆ
ˆ
ˆ
= (n x e x + n z e y + n z e z ) dS
(19)
= {n}dS
{n}
T
[
= nx n y nz
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
]
29 Oktober 2013
(20)
21

22. Perumusan (cont.)
• Vektor aliran panas
{q}
T
[
= qx q y qz
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
]
29 Oktober 2013
(21)
22

23. Perumusan (cont.)
• [(19), (20), (21)]
(18)
 ∂N i ∂N i ∂N i 
∂T
∫ ρc ∂t N i dV − V  ∂x ∂y ∂y {q}dV
∫

V
= ∫ QN i dV − ∫ {q} {n}N i dS
T
V
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
(22)
S
29 Oktober 2013
23

24. Penerapan syarat batas
r r
r r
(22): q ⋅ n → q ⋅ n + SB
• [(7), (8), (9), (10)]
 ∂N i ∂N i ∂N i 
∂T
∫ ρc ∂t N i dV − V  ∂x ∂y ∂y {q}dV
∫

V
= ∫ QN i dV − ∫ {q} {n}N i dS + ∫ q s N i dS
T
V
S1
− ∫ h(T − Te )N i dS −
S3
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
(σεT
∫
S4
29 Oktober 2013
S2
4
)
− αq r N i dS
(23)
24

25. Hubungan q dan T
• Hukum Fourier (5) dan menggunakan (15)
{q} = −k [B ]{Τ}
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
(24)
29 Oktober 2013
25

26. Persamaan FE
• Definsikan suku-suku konstanta
{Rr } = ∫ αq r [N ]
T
{R } = ∫ Q[N ] dV
{R } = ∫ q [N ] dS
T
dS
Q
S4
V
{Rh } = ∫ hTe [N ]
T
T
dS
q
S3
S2
{RT } = − ∫ {q} {n}[N ]
T
s
T
dS
S1
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
26

27. Persamaan FE (cont.)
dan suku-suku bergantung posisi dan waktu
[K r ]{T } = − ∫ σεT [N ]
4
T
dS
S4
[K c ] = ∫ k [B ] [B ]dV
T
V
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
27

28. Persamaan FE (cont.)
[C ] = ∫ ρc[N ] [N ]dV
T
V
[K h ] = ∫ h[N ] [N ]dS
T
S3
dengan menggunakan (12) – (14)
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
28

29. Persamaan FE (cont.)
• (23) dan (24) akan menjadi
&
[C ]{T }+ ([K c ] + [K h ] + [K r ]){T }
= {RT } + {RQ }+ {Rq }+ {Rh } + {Rr }
(25)
yang merupakan persamaan yang dapat
dipecahkan secara numerik
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
29

30. Elemen segitiga: kasus 2-d
• Distribusi temperatur dalam elemen
T ( x, y ) = N1 (x, y )T1
+ N 2 ( x, y )T2 + N 3 ( x, y )T3
(26)
dengan fungsi bentuk (interpolasi) linier
N i ( x, y ) = α i + β i x + γ i y
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
(27)
30

31. Elemen segitiga: kasus 2-d (cont.)
• Harus terpenuhi syarat
T ( xi , yi ) = Ti , i = 1, 2, 3
(28)
URI http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9781848829718-c1.pdf
[20131028.1640]
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
31

32. Elemen segitiga: kasus 2-d (cont.)
1
(ai + bi x + ci y )
Ni =
2∆
ai = xi +1 yi + 2 − xi + 2 yi +1
bi = yi +1 − yi + 2
ci = xi + 2 − xi +1
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
(29)
(30)
(31)
(32)
32

33. Elemen segitiga: kasus 2-d (cont.)
• di mana ∆ adalah luas elemen
1
∆ = (x2 y3 + x3 y1 + x1 y2 − x2 y1 − x3 y2 − x1 y3 )
2
(33)
• Matriks konduktivitas
[K c ] = ∫ k [B] [B]dxdy
T
(34)
A
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
33

34. Elemen segitiga: kasus 2-d (cont.)
• Matriks diferensiasi temperatur
 ∂N1
 ∂x
[B] =  ∂N
 1
 ∂y

FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
∂N 2
∂y
∂N 2
∂y
∂N 3 
∂z  1 b1 b2
=
∂N 3  2∆ c1 c2

∂z 

29 Oktober 2013
b3 

c3 
34

35. Elemen segitiga: kasus 2-d (cont.)
• Kebetulan untuk kasus ini [B] tidak bergantung posisi (x dan y) sehingga mudah dihitung
 b1 + c1

[K c ] = b1b2 + c1c2
b b + c c
 1 3 1 3
2
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
2
b1b2 + c1c2
2
b2 + c2
2
b2b3 + c2 c3
29 Oktober 2013
b1b3 + c1c3 

b2b3 + c2 c3 
2
2 
b3 + c3 
35

36. Elemen segitiga: kasus 2-d (cont.)
• Vektor aliran panas
1
{R } = ∫ q [N ] dL = ∫ q [N
T
q
s
L
s
1
N 2 ]Ldt + .. + ..
0
dengan fungsi bentuk N1 = 1 − t , N 2 = t
sehingga diperoleh
L 1
[R ] = q
q
s
1 + .. + ..
2
URI http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9781848829718-c1.pdf
[20131028.1640]
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
36

37. Elemen segitiga: kasus 2-d (cont.)
• Matriks-matriks elemen dan vektor-vektor
dihitung untuk semua elemen dalam suatu
mesh dan disusun membentuk sistem
persamaan global
• Setelah itu penggabungan hasil-hasil
perhitungan ini sistem persamaan global akan
menghasilkan temperatur-termperatur pada
noda-noda
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
37

38. Terima kasih
FI4148 Komputasi Sistem Fisiks
29 Oktober 2013
38