Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. 280 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
• Η στροφορμή h, ως προς ένα σημείο Ο, ενός σωματίου μάζαςm κα� ταχύτητας υ εί-
ναι
ι�:1111• ! 1Ι•,,·•ι"
L = r χ p = r χ mv, m (10-26)
όπου r είναι η διανυσματική θέση του σωματίου ως προς το σημείο Ο. (Οταν·ένα στε­
ρεό σώμα ροπής αδρανείας /, ως προς ακίνητο άξονα, περιστρέφεταu γύρω από τον ά­
ξονα αυτόν με γωνιακή ταχύτητα J, η συνιστώσα της στροφορμής του κατά μήκος του
άξ1να περιστροφής είναι
1 ,
ΙΙΙΙJΙΙΙΙ''' L = /ω. ΙΙ�ιι:.:�'" ι ' I. (10-30)
Η βασική δυναμική σχέση της στροφικής κίνησης μπορεC να διατυπωθεG συναρτήσει­
της διανυσματικής ροπής τ και της στροφορμήςL ως εξής
dL
Στ =
dt
. ιt ll1ι1Ιt•ι
' "
,Ι '"
(10-: 1)
• Αν ένα σύστημα αποτελείται από σώματα που αλληλεπιδρούν μόνο μεταξύ τους και
μs τίποτε άλλο, ή αν η ολική ροπήτων εξωτερικώνδυνάμεων είναι μηδέν, τότε η ολική
στροφορμή του συστήματος είναι σταθερή (διατηρείται).
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ________________________
Εδάφιο 10-1
Ροπή
10-1 Υπολογίστε τη ροπή (μέτρο και κατεύθυνση) ως προς το
σημείο Ο που οφείλεται στη δύναμη F σε κάθε μια από τις κατα­
στάσεις που απεικονίζονται στο Σχ. 10-28. Σε κάθε περίπτωση το
αντικείμενο στο οποίο εφαρμόζεται η δύναμη έχει μήκος 4,00 m,
καιF = 20,0 Ν.
ο•---,
90�F
(a)
ο•
(c)
(e)
ΣΧΗΜΑ 10-28
ο•
120�
(b)
60° �
ο•
1(---71
2,00 m
(d)
ο•�---..ι�
(f)
10-2 Υπολογίστε τη συνισταμένη ροπή ως προς το σημείο Ο
για τις δύο δυνάμεις που ενεργούν όπως δείχνει το Σχ. 10-29.
10-3 Μια τετράγωνη μεταλλική πλάκα πλευράς 0,180 m περι­
στρέφεται γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο της
F2 = 12,0 Ν
--�---
F
-
,_Τ"Ν
Ο •
f.E----2,00 m �3,00 m-----?>!
ΣΧΗΜΑ lΟ-29
F2l
Ε
ο
�
ο
ΣΧΗΜΑ lΟ-30
t,r--__o,;.;,';;,;180 m
•
ο
Ο και είναι κάθετος στην πλάκα (Σχ. 10-30). Υπολογίστε τη συνο­
λική ροπή ως προς αυτόν τον άξονα η οποία οφείλεται στις τρεις
δυνάμεις που φαίνονται στο σχήμα, αν τα μέτρα των δυνάμεων εί­
ναι F1 = 24,0 Ν, F2 = 16,0 Ν και F3 = 18,0 Ν.
1 0-4 Δύο δυνάμεις F1 = 8,60 Ν και F2 = 3,80 Ν ασκούνται ε­
φαπτομενικά σε ένα τροχό ακτίνας 0,330 m, όπως φαίνεται στο
Σχ. 10-31. Ποια είναι η συνολική ροπή στον τροχό, πού οφείλεται
σε αυτές τις δύο δυνάμεις, ως προς έναν άξονα κάθετο στον τροχό
και διερχόμενο από το κέντρο του;
10-5 Δύναμη F δίνεται από: F = (4,00 N)i - (5,00 N)j, και το
διάνυσμα r από τον άξονα μέχρι το σημείο εφαρμογής της δύνα­
μης είναι r = (-0,300 m)i + (0,500 m)j. Υπολογίστε το διάνυσμα
της ροπής της δύναμης αυτής.

2. ΣΧΗΜΑ 10-31
Εδάφιο 10-2
Ροπή και γωνιακή επιτάχυνση
10-6 Ο σφόνδυλος μιας μηχανής έχει ροπή αδρανείας 3,50 kg ·
m'. a) Πόση σταθερή ροπή απαιτείται για να αποκτήσει ο σφόνδυ­
λος γωνιακή ταχύτητα 900 reν/min σε 10,0 s, αν ήταν αρχικά ακί­
νητος; b) Ποια θα είναι η τελική κινητική του ενέργεια;
10-7 Ένα στερεό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο μάζας 5,00 kg
ηρεμεί πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή (άτριβη).
Ένα σχοινί δεμένο στο σώμα αυτό περνάει από μιατροχαλία δια­
μέτρου 0,120 m και καταλήγει σε ένα άλλο σώμα ίσης μάζας που
κρέμεται κατακόρυφα. Το σύστημα αφήνεται να κινηθεί ελεύθε­
ρα, και παρατηρούμε ότι σε 2,00 s τα σώματα κινούνται κατά 3,00
m. a) Πόση είναι η τάση σε κάθε τμήμα του σχοινιού; b) Πόση εί­
ναι η ροπή αδρανείας της τροχαλίας;
10-8 Ένα σχοινί είναι τυλιγμένο γύρω από την παράπλευρη ε­
πιφάνεια ενός τροχού ακτίνας 0,400 m, το οποίο και τραβάμε με
σταθερή δύναμη 50,0 Ν. Ο άξονας του τροχού στηρίζεται οριζό­
ντια σε ακίνητα άτριβα ρουλεμάν. Η ροπή αδρανείας του τροχού
είναι 4,00 kg · m
2
Υπολογίστε τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού.
10-9 Ένας τροχός ακονίσματος διαμέτρου 0,600 m και μάζας
50,0 kg περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 900 reν/min. Πιέζετε
κάθετα προς την παράπλευρη επιφάνεια του τροχού ένα τσεκούρι
με δύναμη 160 Ν, όπως δείχνει το Σχ. 10--32, οπότε ο τροχός στα­
ματά σε 10,0 s. Να βρείτε τον συντελεστή τριβής μεταξύ του τσε­
κουριού και του τροχού. Να αμελήσετε την τριβ1j στα σημεία στή­
ριξηςτου άξονα του τροχού.
10-10 Μια λεπτή ράβδος μήκους l και μάζαςΜ περιστρέφεται
γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τη μία της
ΣΧΗΜΑ 10-32
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 281
άκρη. Μια δύναμη σταθερού μέτρου F εφαρμόζεται στην άλλη ά­
κρη, προκαλώντας την περιστροφή της ράβδου. Η δύναμη διατη­
ρείται κάθετη στη ράβδο και στον άξονα περιστροφής. Υπολογί­
στε τη γωνιακή επιτάχυνση α της ράβδου.
10-11 Ελεύθερη πτώση κάδου Ένας κάδος με νερό μά­
ζας 20,0 kg κρέμεται από ένα σχοινί τυλιγμένο γύρω από ένα βα­
ρούλκο που έχει σχήμα στερεού συμπαγούς κυλίνδρου διαμέτρου
0,300 m, και μάζας 20,0 kg. Ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από
τον άξονα συμμετρίας του, χωρίς τριβ1j στα σημεία στήριξης. Ο
κάδος αφήνεται ελεύθερος, ενώ ηρεμεί αρχικά στην κορυφή ενός
πηγαδιού, και πέφτει 12,0 m μέχρις ότου συναντήσει το νερό. Το
βάρος του σχοινιού να θεωρηθεί αμελητέο. a) Ποια είναι η τάση
του σχοινιού κατά τη διάρκεια της πτώσης του κάδου; b) Με ποια
ταχύτητα φτάνει ο κάδος στο νερό; c) Πόσο διαρκεί η πτώση; d)
Κατά τη διάρκεια της πτώσης, ποια δύναμη δέχεται ο άξονας του
κυλίνδρου από τα στηρίγματά του;
Εδάφιο 10-3
Περιστροφή γύρω από κινούμενο άξονα
10-12 Ένας στερεός κύλινδρος μάζας 4,00 kg κυλά, χωρίς ολί­
σθηση, σε ένα κεκλιμένο επίπεδο κλίσης 34,0' . Να βρείτε την επι­
τάχυνση, τη δύναμη της τριβής, και τον ελάχιστο συντελεστή τρι­
βής που χρειάζεται για να παρεμποδιστεί η ολίσθηση.
10-13 Έναςσπάγγος είναι τυλιγμένος αρκετές φορές γύρω α­
πο την περιφέρεια ενός μικρού κρίκου ακτίνας 0,080 m και μάζας
0,140 kg. Αν η ελεύθερη άκρη του σπάγγου κρατιέται σε σταθερό
ύψος και ο κρίκος αφήνεται από την κατάσταση ηρεμίας (Σχ.
10--33), υπολογίστε a) τηντάση του σπάγγου καθώς ο κρίκος κατε­
βαίνει και ο σπάγγος ξετυλίγεται· b) το χρόνο που χρειάζεται ο
κρίκος για να κατεβεί 0,600 m· c) τη γωνιακή ταχύτητα του περι­
στρεφόμενου κρίκου όταν θα έχει κατεβεί 0,600 m.
m
ΣΧΗΜΑ 10-33
10-14 Επαναλάβετε το c) της Άσκ. 10-13, χρησιμοποιώντας
αυτή τη φορά ενεργειακά επιχειρήματα.
Εδάφιο 10-4
Έργο και ισχύς στη στροφική κίνηση
10-15 Ένας τροχός ακονίσματος σε σχ1jμα στερεού συμπα­
γούς κυλίνδρου έχει ακτίνα 0,200 m και μάζα 30,0 kg. a) Ποια στα­
θερή ροπή χρειάζεται να ενεργήσει στον τροχό για να φτάσει μια
γωνιακή ταχύτητα 300 reν/min σε 1 0,0 s, αν βρισκόταν αρχικά σε
ηρεμία; b) Κατά πόση γωνία έχει στραφεί στη διάρκεια αυτού του
χρόνου; c) Χρησιμοποιήστε την Εξ. (10--23) για να υπολογίσετε το
έργο που έχει παράγει η ροΠή. d) Ποια είναι η κινητική ενέργεια
του τροχού όταν περιστρέφεται με 300 reν/min; Συγκρίνετε την α­
πάντησή σας με το αποτέλεσμα στο c).

3. 282 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΔΥΝΑΜΙΚΉ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
10-16 Πόση είναι η εξερχόμενη ισχύς σε ίππους ενός ηλεκτρι­
κού κινητήρα που στρέφεται με 3600 reν/min και αναπτύσσει ροπή
3,25 Ν · m;
10-17 Μια κυκλική πίστα σε παιδική χαρά που έχει ακτίνα
4,40 m και ροπή αδρανείας 160 kg · m2, περιστρέφεται με αμελη­
τέα τριβή γύρω από ένα κατακόρυφο άξονα διερχόμενο από το
κέντρο της. a) Ένα παιδί ασκεί για 20,0 s μια οριζόντια δύναμη
25,0 Ν εφαπτομενικά προς την περιφέρεια της πίστας. Αν η πίστα
ήταν αρχικά σε ηρεμία, τι γωνιακή ταχύτητα θα αποκτήσει στο τέ­
λος του διαστήματος των 20,0 s; b) Πόσο έργο δαπάνησε το παιδί
σε αυτό το χρονικό διάστημα; c) Ποια είναι η μέση ισχύς που πα­
ρήγαγε το παιδί περιστρέφοντας την πίστα;
10-18 Ο σφόνδυλος ενός κινητήρα έχει μάζα 30,0 kg και ροπή
αδρανείας 67,5 kgm2• Ο κινητήρας αναπτύσσει μια σταθερή ροπή
150 Ν · m, και ο σφόνδυλος ξεκινάει από την ηρεμία. a) Πόση εί­
ναι η γωνιακή επιτάχυνση του σφονδύλου; b) Πόση είναι η γωνια­
κή του ταχύτητα μετά από 4,00 περιστροφές; c) Πόσο έργο παρά­
γεται από τον κινητήρα κατά τη διάρκεια των 4,00 πρώτων περι­
στροφών;
10-19 a) Υπολογίστε τη ροπή που αναπτύσσεται από μια μη­
χανή αεροπλάνου που αποδίδει ισχύ 1,80 χ 106 W με γωνιακή τα­
χύτητα 2400 reν/min. b) Αν ένα τύμπανο αμελητέας μάζας και δια­
μέτρου 0,500 m στερεωθεί ομοαξονικά στον άξονα αυτού του κι­
νητήρα, και η ισχύς που παράγει ο κινητήρας χρησιμοποιηθεί για
να ανυψωθεί ένα βάρος που κρέμεται από ένα σχοινί τυλιγμένο
γύρω από το τύμπανο, πόσο είναι το μέγιστο βάρος που μπορεί να
ανυψωθεί; (Θεωρήστε ότι το βάρος ανυψώνεται με σταθερή ταχύ­
τητα). c) Με πόση ταχύτητα θα υψωθεί;
Εδάφιο 10-5
Στροφορμή
10-20 Υπολογίστε τη στροφορμή μιας ομοιόμορφης (ομογε­
νούς) σφαίρας ακτίνας 0,160 m και μάζας 4,00 kg αν περιστρέφε­
ται γύρω από έναν άξονα κατά μήκος μιας διαμέτρου με γωνιακή
ταχύτητα 600rad/s.
10-21 Πόση είναι η στροφορμή του λεπτοδείκτη ενός ρολογι­
ού ως προς έναν άξονα που διέρχεται κάθετα από το κέντρο της
πρόσοψης του ρολογιού, αν ο δείκτης έχει μήκος 25,0 cm και μάζα
20,0 g; Θεωρήστε τον λεπτοδείκτη σαν μια λεπτή ράβδο περιστρε­
φόμενη με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από το ένα άκρο της.
10-22 Μια γυναίκα μάζας 70,0 kg στέκεται στην περιφέρεια
ενός μεγάλου ομογενούς δίσκου που περιστρέφεται με σταθερή
γωνιακή ταχύτητα 0,600 reν/s γύρω από έναν άξονα διερχόμενο
κάθετα από το κέντρο του. Ο δίσκος έχει μάζα 120 kg και ακτίνα
4,00 m. Υπολογίστε τη συνολική στροφορμή του συστήματος γυ­
ναίκα συν δίσκος. (Υποθέστε ότι η γυναίκα μπορεί να θεωρηθεί
ως σημείο).
10-23 Μια πέτρα μάζας 0,600 kg ρίχνεται με ταχύτητα υ =
12,0 m/s. Όταν βρίσκεται στο σημείο Ρτου Σχ. 10-34, πόση είναι η
υ = 12,0m/s
�8,00�
ο
ΣΧΗΜΑ lΟ-34
στροφορμή της ως προς το σημείο Ο; Θεωρήστε ότι η πέτρα κινεί­
ται σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα.
10-24 Μια πίστα παιδικής χαράς αρχίζει να περιστρέφεται ε­
νώ βρισκόταν σε ηρεμία. Η πίστα έχει σχήμα δίσκου ακτίνας 3,00
m και η ροπή αδρανείας της γύρω από τον άξονα περιστροφής εί­
ναι 600 kg · m2• a) Ποια είναι η ολική ροπή που θα πρέπει να α­
σκηθεί για να αυξηθεί η γωνιακή της ταχύτητα με σταθερό ρυθμό
dω/dt = 0,300 rad/s2; b) Αν αμεληθεί η τριβή στον άξονα περιστρο­
φής, ποια δύναμη πρέπει να δράσει εφαπτομενικά στον δίσκο της
πίστας για να προκύψει αυτή η ροπή;
Εδάφιο 10-6
Διατήρηση της στροφορμής
10-25 Ένα μικρό στερεό συμπαγές παραλληλεπίπεδο, κινού­
μενο χωρίς τριβή πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο, έχει μάζα 0,0500
kg και έχει προσδεθεί σε ένα σπάγγο που διέρχεται από μια οπή
του επιπέδου, όπως στο Σχ. 10-35. Το σώμα αυτό αρχικά περι­
στρέφεται σε μιαν απόσταση 0,200 m από την οπή με γωνιακή τα­
χύτητα 1,50 rad/s. Τραβάμε κατόπιν τον σπάγγο προς τα κάτω, μι­
κραίνοντας την ακτίνα του κύκλου της περιστροφής του σώματος
στα 0,100 m. Θεωρήστε το σώμα ως υλικό σημείο. a) Ποια είναι η
νέα γωνιακή ταχύτητα; b) Να βρείτε τη μεταβολή της κινητικής ε­
νέργειας του σώματος. c) Πόσο έργο παρήχθη κατά το τράβηγμα
του σπάγγου;
ΣΧΗΜΑ lΟ-35
10-26 Η στροβιλιζόμενη παγοδρόμος Οι τεντωμένοι
βραχίονες μιας παγοδρόμου που ετοιμάζεται να εκτελέσει μια φι­
γούρα στροβιλισμού μπορούν να θεωρηθούν σαν μία λεπτή οριζό­
ντια ράβδος που περιστρέφεται γύρω από έναν κατακόρυφο άξο­
να διερχόμενο από το κέντρο της (Σχ. 10-36). Τα χέρια της, όταν
ΣΧΗΜΑ lΟ-36

4. μαζεύονται και τυλίγονται γύρω από το σώμα της για να στροβι­
λιστεί, μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελούν ένα λεπτότοιχο κυ­
λινδρικό κέλυφος. Οι βραχίσνές της έχουν συνολική μάζα 8,00 kg,
και συνολικό μήκος 1,80 m όταν είναι τεντωμένοι, ενώ όταν τυ­
λίγονται σχηματίζουν έναν κύλινδρο ακτίνας 25,0 cm. Η ροπή α­
δρανείας του υπόλοιπου σώματός της είναι σταθερή και ίση με
3,00 kg · m'. Αν η αρχική γωνιακή της ταχύτητα είναι 0,600 reν/s,
ποια είναι η τελική γωνιακή της ταχύτητα;
10-27 Μια στερεή συμπαγής ξύλινη πόρτα πλάτους 1,00 m και
ύψους 2,00 m αναρτάται κατά μήκος της μιας πλευράς της και έχει
συνολική μάζα50,0 kg. Αρχικά ανοιχτή και σε ηρεμία, η πόρτα χτυ­
πιέται στο κέντρο της από μια χούφτα κολλώδη λάσπη μάζας 0,500
kg, που κινείται λίγο πριν την πρόσκρουση με ταχύτητα 8,00 m/s
κάθετα προς την πόρτα. Να βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα
τηςπόρτας. Παίζει σημαντικό ρόλο η ροπή αδρανείας της λάσπης;
10-28 Μια μεγάλη κυκλική πίστα περιστρέφεται γύρω από έ­
ναν σταθερό κατακόρυφο άξονα, που εκτελεί μια περιστροφή κά­
θε 8,00 s. Η ροπή αδρανείας της πίστας γύρω από αυτό τον άξονα
είναι 1200 kg · m'. Ένας άνθρωπος μάζας 80,0 kg, ο οποίος στέκε­
ται αρχικά στο κέντρο της πίστας, τρέχει κατά μήκος μιας ακτίνας.
Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της περιστρεφόμενης πίστας, όταν
ο άνθρωπος βρίσκεται 2,00 m από το κέντρο; (Υποθέστε ότι ο άν­
θρωπος μπορεί να θεωρηθεί ως σημείο).
10-29 Μια μεγάλη ξύλινη πίστα, σχήματος επιπέδου δίσκου,
έχει ακτίνα 2,00 m και συνολική μάζα 120 kg. Η πίστα αρχικά πε­
ριστρέφεται γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα διερχόμενο από
το κέντρο της, με γωνιακή ταχύτητα 1,50 rad/s. Ξαφνικά, πέφτει
κατακόρυφα πάνω στην πίστα, και σε σημείο κοντά στην περιφέ­
ρεια, ένας σάκος με άμμο μάζας 100 kg που έχει γλιστρίσει από
πολύ μικρόύψος πάνωαπότην πίστα. a) Να βρείτε τη γωνιακή τα­
χύτητα της πίστας μετά από την πτώση του σάκου. (Υποθέστε ότι ο
σάκος με την άμμο μπορεί να θεωρηθεί ως σημείο.) b) Υπολογίστε
την κινητική ενέργεια του συστήματος πριν και μετά από την πτώ­
ση του σάκου. Γιατί δεν είναι ίσες αυτές οι κινητικές ενέργειες;
Εδάφιο 10-7
Γυροσκόπια
10-30 Ο ρότορας ενός παιγνιδιού γυροσκοπίου έχει μάζα
0,150 kg, και η ροπή αδρανείας γύρω από τον άξονάτου είναι 1,50
Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
10-32 Ένας τροχός ακονίσματος μάζας 60,0 kg έχει διάμετρο
0,600 m και ροπή αδρανείας 4,50 kg · m'. Πιέζετε ένα μαχαίρι πά­
νω στην περιφέρεια του τροχού με κάθετη δύναμη 50,0 Ν. Ο συντε­
λεστής της κινητικής τριβής μεταξύ της λεπίδας και της πέτρας του
τροχού είναι 0,60 , και υπάρχει μια σταθερή ροπή τριβής 5,00 Ν · m
μεταξύ του άξονα του τροχού και των στηριγμάτων του. a) Πόση
δύναμη πρέπει να ασκηθεί εφαπτομενικά στη λαβή μιας μανιβέλας
με μοχλοβραχίονα μήκους 0,500 m για να αποκτήσει η πέτρα 1 20
reν/s σε 9,0 s, ξεκινώντας από την ηρεμία; b) Αφού φτάσει ο τροχός
τη γωνιακή ταχύτητατων 120 reν/min, πόση εφαπτομενική δύναμη
χρειάζεται να δρα στη λαβή της μανιβέλας για να διατηρείται στα­
θερή η γωνιακή ταχύτητα στην τιμή των 120 reν/min; c) Αν παύσει
να ενεργεί η δύναμη στη λαβή τη στιγμή που η γωνιακήταχύτητα εί­
ναι 120 reν/min, σε πόσοχρόνο θα σταματήσει ο τροχός;
10-33 Μια σταθερή ροπή ίση με 20,0 Ν · m ασκείται σε έναν
περιστρεφόμενο τροχό επί 8,00 s, και κατά τη διάρκεια αυτού του
χρονικού διαστήματος η γωνιακή ταχύτητα του τροχού αυξάνει α­
πό μηδέν σε 100 reν/min. Η εξωτερική ροπή κατόπιν απομακρύνε­
ται, και ο τροχός σταματά σε 100 s λόγω της τριβής στα στηρίγμα-
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 283
χ 10-4 kg · m2• Η μάζα του μεταλλικού πλαισίου είναι 0,0300 kg.
Το γυροσκόπιο στηρίζεται πάνω σε έναν άξονα (Σχ. 10-37) που
βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση 4,00 cm από το κέντρο μάζας
του γυροσκοπίου. Το γυροσκόπιο εκτελεί μετάπτωση σε ένα ορι­
ζόντιο επίπεδο με ρυθμό μιας περιστροφής κάθε 4,00 s. a) Να
βρείτε την κατακόρυφη δύναμη που ασκείται από τον άξονα. b)
Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του ρότορα γύ­
ρω από τον άξονά του, σε μονάδες reν/min. c) Αντιγράψτε το διά­
γραμμα του Σχ. 10--37 και δείξτε με διανύσματα τη στροφορμή του
ρότορα και τη ροπή που ασκείται επ' αυτού.
Ρότορας
.....-/
/
'
..... __
/�,OOcm�-
ΣΧΗΜΑ ΙΟ-37
10-31 Ένας γυροσκοπικός σταθεροποιητής Το στα­
θεροποιητικό γυροσκόπιο ενός πλοίου έχει ένα στερεό, συμπαγή
δίσκο μάζας 50 000 kg. Η ακτίνατου είναι 2,00 m και περιστρέφε­
ται γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα με γωνιακή ταχύτητα 800
reν/min. a) Πόσος χρόνος χρειάζεται για να αποκτήσει αυτή τη
γωνιακή ταχύτητα, ξεκινώντας από την ηρεμία, όταν χρησιμοποι­
είται για τον σκοπό αυτό ένας κινητήρας που τροφοδοτεί τον δί­
σκο με σταθερή ισχύ 7,46 χ 104 W; b) Να βρείτε τη ροπή που χρει­
άζεται για να προκαλέσει μετάπτωση του άξονα σε ένα κατακόρυ­
φο επίπεδο κατά μήκος του πλοίου με ρυθμό 1,οο•/s.
τά του. Υπολογίστε a) τη ροπή αδρανείας του τροχού· b) τη ρο­
πή της τριβής c) τον συνολικό αριθμό των περιστροφών που θα ε­
κτελέσει ο τροχός στο διάστηματων 108 s.
10-34 Ο σφόνδυλος μιας μηχανής έχει διάμετρο 1,00 m και
περιστρέφεται γύρω από έναν οριζόντιο άξονα. Ένα σχοινί, που
είναι περιτυλιγμένο γύρω από την περιφέρεια του σφονδύλου,
τραβιέται με σταθερή δύναμη 60,0 Ν. Ο σφόνδυλος αρχίζει από
την ηρεμία, και σε 4,00 s ξετυλίγονται 8,00 m σχοινιού. a) Πόση
είναι η γωνιακή επιτάχυνση του σφονδύλου; b) Πόση είναι η τελι­
κή γωνιακή του ταχύτητα; c) Πόση είναι η τελική κινητική του ε­
νέργεια; d) Πόση είναι η ροπή αδρανείας του;
1 0-35 Ο Ριχάρδος ο Δρακοκτόνος εξερευνά ένα κάστρο.
Ξαφνικά τονπαίρνει είδηση ένας δράκος και τον κυνηγάει σε ένα
διάδρομο. Ο Ριχάρδος μπαίνει ορμητικά σε ένα δωμάτιο και προ­
σπαθεί να κλείσει τη βαριά του πόρταπροτού να μπει μέσα ο δρά­
κος. Η πόρτα είναι αρχικά ακίνητη και κάθετη στον τοίχο, οπότε
πρέπει να στραφεί κατά 90• για να κλείσει. Η πόρτα έχει ύψος
3,00 m, πλάτος 1,00 m, και ζυγίζει 700 Ν. Η τριβή στα στηρίγματα
του άξονα μπορεί να αμεληθεί. Αν ο Ριχάρδος ασκήσει μια δύνα-

5. 284 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
ΣΧΗΜΑ 10-38
4Ο.ΟΝι
μη 180 Ν στο ελεύθερο άκρο της πόρτας και κάθετα προς αυτήν,
σε πόσο χρόνο θα κλείσει η πόρτα;
10-36 Ένα μεγάλο ρολό από χαρτί περιτυλίγματος μάζας 15,0
kg και ακτίνας R = 12,0 cm ακουμπά σεένα κατακόρυφο τοίχο και
συγκρατείται από ένα πλαίσιο, το οριζόντιο τμήμα του οποίου εί­
ναι μια κυλινδρική ράβδος που διέρχεται από το κέντρο του ρολού
(Σχ. 10-38). Η ράβδος περιστρέφεται χωρίς τριβή μέσα στο πλαί­
σιο και η ροπή αδρανείας του χαρτιού και της ράβδου γύρω από
τον άξονα είναι 0,120 kg · m2• Ο συντελεστής της κινητικής τριβ1Ίς
μεταξύ του χαρτιού και του τοίχου είναι μk = 0,20. Μία σταθερή
κατακόρυφη δύναμη F = 40 Ν ασκείται στην άκρη του χαρτιού,
και το χαρτί ξετυλίγεται. a) Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που
ασΚεί η ράβδος στο χαρτί καθώς ξετυλίγεται; b) Πόση είναι η γω­
νιακή επιτάχυνση του ρολού;
10-37 Ο μηχανισμός που φαίνεται στο Σχ. 10-39 χρησιμοποιεί­
ται για να ανυψώσει ένα κιβώτιο με προμήθειες από το αμπάρι ενός
πλοίου. Το κιβώτιο έχει συνολική μάζα 50,0 kg. Ένα σχοινί είναιτυ­
λιγμένο γύρω από ένα ξύλινο κύλινδρο με μεταλλικό άξονα ο οποί­
ος στηρίζεται σε άτριβα ρουλεμάν. Ο κύλινδρος έχειακτίνα0,250 m
και ροπή αδρανείας I = 0,920 kg · m2 γύρω από-τον άξονα περι­
στροφής. Το κιβώτιο κρέμεται από το ελεύθερο άκρο του σχοινιού.
Η μια άκρη του άξονα σχηματίζει μανιβέλα με χειρολαβή. Ότανγυ­
ρίζει η μανιβέλα, το άκρο της χειρολαβής διαγράφει έναν κατακό­
ρυφο κύκλο ακτίνας0,12 m, ο κύλινδρος γυρίζει, καιτο κιβώτιο ανυ­
ψώνεται. Ποιο μέτρο πρέπει να έχει μια δύναμη F ασκούμενη εφα­
πτομενικά στην περιστρεφόμενη χειρολαβή για να ανυψώσει το κι­
βώτιο με επιτάχυνση 1,20 m/s2; (Η ροπή αδρανείας του μεταλλικού
άξονα και της μανιβέλας καθώς και η μάζατου σχοινιού μπορούν να
θεωρηθούν αμελητέα).
10-38 Δύο μεταλλικοί δίσκοι, ο ένας ακτίνας R1 = 4,00 cm και
μάζας Μ1 = 0,80 kg και ο άλλος ακτίνας R2 = 8,00 cm και μάζας Μ2
�12m
ΣΧΗΜΑ 10-39
= 1,60 kg, συγκολλούνται μαζί και στερεώνονται σε άτριβο άξονα
διερχόμενο δια του κοινού τους κέντρου. Το σύστημα των δύο δί­
σκων μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, όπως στο Σχ. 9-29. a)
Ένας ελαφρός σπάγγος τυλίγεται γύρω από την περιφέρεια του μι­
κρότερου δίσκου, και από το ελεύθερο άκρο του σπάγγου αναρτά­
ται ένα σώμα βάρους 1,50 kg. Με πόση επιτάχυνση θα πέσει το βά­
ρος μόλις αφεθεί ελεύθερο; b) Επαναλάβετε τον υπολογισμό του
(a), με τον σπάγγο τυλιγμένο αυτή τη φορά γύρω από την περιφέ­
ρειατου μεγαλύτερου δίσκου. Σε ποια περίπτωση είναι μεγαλύτερη
η επιτάχυνση του σώματος; Έχει φυσικό νόημα η απάντησή σας;
10-39 Ένα στερεό παραλληλεπίπεδο μάζας m = 5,00 kg γλι­
στράει σε ένα κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει γωνία 37,0° με
το οριζόντιο επίπεδο (Σχ. 10-40). Ο συντελεστής της κινητικής τρι­
βής είναι 0,20. Ένας σπάγγος, προσδεμένος στο σώμα, τυλίγεται
γύρω από την περιφέρεια ενός τροχού που έχει σταθερό άξονα
στο σημείο Ο. Ο τροχός έχει μάζα Μ = 20,0 kg, εξωτερική ακτίνα
R = 0,200 m, και ροπή αδρανείας ως προς τον άξονά του 300 kg ·
m2• a) Με πόση επιτάχυνση γλιστράει το σώμα αυτό πάνω στο κε­
κλιμένο επίπεδο; b) Πόση είναι η τάση του σπάγγου;
ΣΧΗΜΑ 10-40
10-40 Η μηχανή του Atwood Το Σχ. 10-41 παριστάνει μια
μηχανή του Atwood. Να βρείτε τις γραμμικές επιταχύνσεις των
σωμάτων Α και Β, τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού C, και την
τάση στην κάθε πλευρά του σπάγγου αν δεν υπάρχει ολίσθηση με­
ταξύ του σπάγγου και της επιφάνειας του τροχού. Υποθέστε ότι οι
μάζες των σωμάτων Α και Β είναι 5,00 kg και 2,00 kg, αντίστοιχα,
ότι η ροπή αδρανείας του τροχού γύρω από τον άξονά του είναι
0,200 kg · m2, και ότι η ακτίνα του τροχού είναο 0,100 m.
c
Α
ΣΧΗΜΑ 10-41 Β
10-41 Ένας χαρτοκόπτης που μοιάζει με έναν λεπτότοιχο κού­
φιο κύλινδρο μάζαςΜ σύρεται οριζόντια με μια σταθερή δύναμη F
που ασκείται από μια χειρολαβή στερεωμένη στον άξονα του τρο­
χού. Αν ο χαρτοκόπτης κυλίεται χωρίς ολίσθηση, να βρείτε την επι­
τάχυνση και τη δύναμη της τριβής.

6. 10-42 Το γιο-γιο Ένα γιο-γιο αποτελείται από δύο ομοιό­
μορφους δίσκους, που ο καθένας έχει μάζα m και ακτίνα R, συν­
δεμένους με ένα λεπτό κυλινδρικό άξονα ακτίνας b. Το ένα άκρο
ενός σπάγγου είναι τυλιγμένο αρκετές φορές από τον άξονα και
το άλλο άκρο συγκρατείται σε ένα σταθερό ύψος, οπότε το
γιο-γιο αφήνεται ελεύθερο να πέσει, ενώ ο σπάγγος ξετυλίγεται.
Να βρείτε την επιτάχυνση τουγιο-γιο και την τάση του σπάγγου.
10-43 Ένας στερεός δίσκος κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω σε
μια επίπεδη επιφάνεια με σταθερή ταχύτητα 4,00 m/s. Αν ο δίσκος
συναντήσει στο δρόμο του ένα κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει
με τον ορίζοντα γωνία 30,0ο, σε πόση απόσταση θa κυλίσει χωρίς
ολίσθηση κατά μήκος του κεκλιμένου αυτού επιπέδου μέχρι να μη­
δενιστεί η γωνιακή του ταχύτητα;
10-44 Μια συμπαγής ξύλινη πόρτα πλάτους 1,00 m και ύψους
2,00m αναρτάται κατακόρυφα κατά μήκοςτης μιας πλευράςτης και
έχει συνολική μάζα40,0 kg. Αρχικάη πόρτα είναι ανοιχτή και ακίνη­
τη, και χτυπιέται με ένα σφυρί στοκέντρο της. Κατά τη διάρκεια του
χτυπήματος ασκείται στην πόρτα μια ολική δύναμη 2000 Ν επί 1,00
χ 10-2s. Να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα της πόρτας μετάτο χτύπημα.
(Υπόδειξη: Από την Εξ. (10-31) προκύπτει με ολοκλήρωση ΔL =
J,�'(Σ τ)dt = (Στ)aν Δt. Η ποσότητα fι�'(Στ) dt ονομάζεται γωνια­
κή ώθηση.]
10-45 Ένας ομοιόμορφος συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ και
ακτίνας 2R ηρεμεί πάνω στην οριζόντια επιφάνεια ενός τραπεζι­
ού. Ένας σπάγγος είναι συνδεμένος μέσω ενός ζυγού με έναν ά­
ξονα που διέρχεται από το κέντρο του κυλίνδρου, ως προς τον ο­
ποίο ο κύλινδρος μπορεί να περιστραφεί χωρίς τριβές. Ο σπάγγος
περνάει από μια τροχαλία σε σχήμα δίσκου μάζας Μ και ακτίνας
R, ο οποίος περιστρέφεται χωρίς τριβή γύρω από έναν άξονα που
διέρχεται από το κέντρο του. Ένα σώμα μάζας Μ κρέμεται από το
ελεύθερο άκρο του σπάγγου (Σχ. 10-42). Ο σπάγγος δεν ολισθαί­
νει πάνω στην επιφάνεια της τροχαλίας, και ο κύλινδρος κυλά χω­
ρίς ολίσθηση πάνω στην επιφάνεια του τραπεζιού. Με πόση επιτά­
χυνση θα πέσει το σώμα, μόλις αφεθεί το σύστημα να κινηθεί ε­
λεύθερα από την ηρεμία;
Μ
2RI
_)_t --ζ < ,-_<
Μ
ΣΧΗΜΑ lΟ-42
10-46 Μια ομοιόμορφη ράβδος μάζας 0,0300 kg και μήκους
0,400 m περιστρέφεται πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο γύρω από
έναν σταθερό άξονα που διέρχεται κατακόρυφα από το κέντρο
της. Η ράβδος διαπερνά δύο μικρούς δακτυλίους, μάζας 0,0200 kg
ο καθένας, οι οποίοι μπορούννα ολισθήσουν χωρίς τριβή κατά μή­
κος της ράβδου. Οι δακτύλιοι συγκρατούνται αρχικά ακίνητοι με
κατάλληλες μικρές σφήνες σε θέσεις 0,0500 m δεξιά και αριστερά
απότο κέντρο της ράβδου, ενώ το σύστημα περιστρέφεται με 30,0
περιστροφές το λεπτό. Χωρίς να αλλάζει κατάάλλον τρόπο το σύ­
στημα, οι σφήνες αποσύρονται, οπότε οι δακτύλιοι ολισθαίνουν
προς τα έξω κατά μήκος της ράβδου καιτην εγκαταλείπουν ταυτό­
χρονα από τα αντίστοιχα άκρα της. a) Τι γωνιακή ταχύτητα έχει το
σύστημα τη στιγμή που οι δακτύλιοι φτάνουν στα άκρα της ρά-
s
ΣΧΗΜΑ lΟ-43
ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 285
s
βδου; b) Με πόση γωνιακή ταχύτητα θα περιστρέφεται η ράβδος
μετά την απομάκρυνση των δακτυλίων από τα άκρα της;
10-47 Δύο δίσκοιΑ και Β στερεώνονται σε έναν άξονα SS και
μπορούν να συνδεθούν ή να αποσυνδεθούν μεταξύ τους μέσω ε­
νός συμπλέκτη C (Σχ. 10-43). Η ροπή αδρανείας του δίσκου Α εί­
ναι η μισή από αυτή του δίσκου Β. Αρχικά ο δίσκοςΑ περιστρέφε­
ται με γωνιακή ταχύτητα ω0, ενώ ο συμπλέκτης είναι αποσυνδεμέ­
νος. Συνδέουμε στη συνέχεια, μέσω του συμπλέκτη, τον περιστρε­
φόμενο δίσκο Α με τον ακίνητο Β. (Η τριβή στα άκρα S,S μπορεί
να αμεληθεί). Αποτέλεσμα της σύνδεσης αυτής είναι να αναπτυ­
χθεί στον συμπλέκτη θερμότητα 4000 J. Πόση ήταν η αρχική κινη­
τική ενέργειατου δίσκουΑ;
10-48 Ένα μικρό στερεό παραλληλεπίπεδο μάζας 0,400 kg
προσδένεται σε έναν σπάγγο που περνάει μέσα από μια οπή σε
μια οριζόντια άτριβη επιφάνεια. (Βλ. Σχ. 10-35). Το σώμα αρχικά
περιστρέφεται διαγράφοντας κύκλο ακτίνας 0,50 m γύρω από την
οπή με εφαπτομενική ταχύτητα 4,00 m/s. Ο σπάγγος κατόπιν έλκε­
ται αργά προς τα κάτω, οπότε μικραίνει η ακτίνα του κύκλου που
διαγράφει το περιστρεφόμενο σώμα. Το όριο αντοχής του σπάγ­
γου είναι 60,0 Ν. Πόση είναι η ακτίνα περιστροφής όταν θα σπά­
σει ο σπάγγος;
10-49 Χτυπώντας διάνα Ο στόχος σε μια αίθουσα σκοπο­
βολής είναι μια ακίνητη κατακόρυφη τετράγωνη ξύλινη πινακίδα,
πλευράς 0,200 m και μάζας 2,20 kg, η οποία μπορεί να περιστρα­
φεί χωρίς τριβή ως προς έναν οριζόντιο άξονα κατά μήκος της υ­
ψηλότερης πλευράς της. Μια σφαίρα μάζας 5,00 g χτυπάει τον
στόχο ακριβώς στο κέντρο, κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα 300
m/s τη στιγμή της πρόσκρουσης. a) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα
της πινακίδας αμέσως μετά την πρόσκρουση της σφαίρας; b) Μέ­
χρι ποιο ύψος, πάνω από τη θέση της ισορροπίας του, θα φτάσει
το κέντρο της πινακίδας πριν αρχίσει η ανάστροφη αιώρησή του
προς τα κάτω; c) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας που
πρέπει να έχει η σφαίρα για να εκτελέσει η πινακίδα μια πλήρη
περιστροφή γύρω από τον άξονά της αμέσως μετά την πρόσκρου­
ση της σφαίρας;
10-50 Ένας δρομέας 60 κιλών τρέχει στην περιφέρεια μιας ο­
ριζόντιας κυκλικής πίστας στερεωμένης πάνω σε ένα κατακόρυφο
άτριβο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Η ταχύτητα του
δρομέα ως προς το έδαφος έχει μέτρο 4,00 m/s. Η πίστα περιστρέ­
φεται προς την αντίθετη κατεύθυνση με γωνιακή ταχύτητα μέτρου
0,200 rad/s ως προς το έδαφος. Η ακτίνα της πίστας είναι 2,00 m,
και η ροπή αδρανείας της γύρω από τον άξονα της περιστροφής
είναι 400 kg · m2• Να βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα του συ­
στήματος αν ο δρομέας (θεωρούμενος σαν σωμάτιο) ακινητοποιη­
θεί ως προς την πίστα σε κάποιο σημείο της περιφέρειάς της.
10-51 Ανατροπή ποδηλάτου Η ροπή αδρανείας του
μπροστινού τροχού ενός ποδηλάτου γύρω από τον άξονά του είναι
0,340 kg · m', η ακτίνα του τροχού είναι 0,360 m, και η γραμμική
ταχύτητα προς τα εμπρός του ποδηλάτου είναι 5,00 m/s. Με ποια
γωνιακή ταχύτητα πρέπει να περιστραφεί οτροχός γύρω από έναν
κατακόρυφο άξονα για να αντισταθμίσει τη ροπή ανατροπής που
οφείλεται σε μάζα (ποδηλάτη) 60,0 kg τοποθετημένη 0,040 m ορι­
ζοντίως προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά της γραμμής επαφής

7. 286 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΣτpΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
των τροχών με το έδαφος; (Οι αναγνώστες ποδηλατιστές ας επι­
στρατεύσουν τη δική τους εμπειρία για να κρίνουν πόσο ρεαλιστι­
κή είναι η απάντησή τους.)
1 0-52 Κέντρο κρούσης Ένα ρόπαλο του μπέιζμπολ ηρε­
μεί πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίςτριβή. Το ρόπαλο έχει
μήκος 0,900 m και μάζα 0,900 kg και το κέντρο μάζας του απέχει
0,600 m από την άκρη της χειρολαβής του (Σχ. 1�4). Η ροπή α­
δρανείας του ροπάλου γύρω από το κέντρο μάζας του είναι 6,00
χ ιο-2 kg · m2• Το ρόπαλο συγκρούεται με ένα μπαλάκι που κινεί­
ται κάθετα προς το ρόπαλο. Η σύγκρουση ασκεί μια ώθηση J =
fι�'F dt σε ένα σημείο που βρίσκεται σε απόσταση χ από την άκρη
της χειρολαβής του ροπάλου. Πόσο πρέπει να είναι το χ ώστε το
άκρο της χειρολαβής του ροπάλου να παραμείνει ακίνητο καθώς
το ρόπαλο αρχίζει να κινείται; [Υπόδειξη: Θεωρήστε την κίνηση
του κέντρου μάζας και την περιστροφή γύρω από το κέντρο μά­
ζας. Να βρείτε εκείνο το χ για το οποίο η σύνθεση των δύο κινή­
σεων δίνει υ = Ογια το άκρο του ροπάλου αμέσως μετά τη σύ­
γκρουση. Σημειώστε επίσης ότι το ολοκλήρωμα της Εξ. (10-31)
δίνει ΔL = fι�' (Σ τ) dt (Πρόβλ. 10-44). Το σημείο του ροπάλου
i<C-------x ------�
i<C------- 0,900 m------�
ΣΧΗΜΑ 10--44
που προσδιορίζεται από αυτό το χ ονομάζεται κέντρο κρούσης.
Το χτύπημα της μπάλας στο κέντρο κρούσης του ροπάλου ελαχι­
στοποιεί το «τίναγμα>> στα χέρια ενός παίκτη του μπέιζμπολ].
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α ______________
1 0-53 Ένα στερεό παραλληλεπίπεδο μάζας m περιστρέφε­
ται με γραμμική ταχύτητα υι σε κύκλο ακτίνας rι πάνω σε μια ορι­
ζόντια άτριβη επιφάνεια. (Σχ. 10-35). Ο σπάγγος σύρεται αργά
προς τα κάτω μέχρις ότου η ακτίνα του κύκλου τον οποίο διαγρά­
φει το σώμα μειωθεί σε r2. a) Υπολογίστε την τάση Ττου σπάγ­
γου συναρτήσει του r, που είναι η απόσταση του σώματος από την
οπή. Η απάντησή σας θα περιέχει την αρχική ταχύτητα υι και την
αρχική ακτίνα 'ι·
b) Χρησιμοποιήστε το ολοκλήρωμα W =
f�' T(r) · dr για να υπολογίσετε το έργο που παράγει η δύναμη Τ,
όταν το r μεταβάλλεται από rι ώς r2• c) Συγκρίνετε το προηγού­
μενο αποτέλεσμα στο (b) με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας
του σώματος.
1 0-54 Ο τροχός ποδηλάτου σαν γυροσκόπιο Ένας
γυροσκοπικός τροχός για πειράματα επίδειξης κατασκευάζεται α­
ντικαθιστώντας το λάστιχο ενός τροχού ποδηλάτου, που έχει διά­
μετρο 0,700 m, με μολύβδινο σύρμα περιτυλιγμένο πολλές φορές
μέσα στο αυλάκι της περιφέρειας του τροχού. Ο άξονας εξέχει
0,200 m σε κάθε πλευρά του τροχού, και ένας άνθρωπος κρατάει
τα άκρα του άξονα με τα χέρια του. Η μάζα του συστήματος είναι
6,00 kg, και μπορούμε να υποθέσουμε ότι κατανέμεται εξ ολοκλή­
ρου στην περιφέρεια ομοιόμορφα. Ο άξονας είναι οριζόντιος, και
ο τροχός περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του με γωνιακή τα­
χύτητα 5,00 reν/min. Να βρείτε το μέτρο και τη φορά της δύναμης
που εξασκεί κάθε χέρι στον άξονα, a) όταν ο άξονας ηρεμεί· b)
όταν ο άξονας περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από το
κέντρο του με γωνιακή ταχύτητα 0,040 reν/s· c) όταν ο άξονας πε­
ριστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από το κέντρο του με
0,200 reν/s. d) Με πόση γωνιακή ταχύτητα θα πρέπει να περι­
στρέφεται οριζόντια ο άξονας αν θέλουμε να στηρίζεται μόνο στο
ένα άκρο του;
1 0-55 Όταν ένα αντικείμενο κυλά χωρίς ολίσθηση, η δύναμη
της τριβής κύλισης είναι πολύ μικρότερη από τη δύναμη της τριβής
που αναπτύσσεται όταν το αντικείμενο ολισθαίνει· ένα νόμισμα,
λόγου χάρη, θα κυλήσει πολύ μακρύτερα όρθιο από ότι θα ολισθή­
σει πλαγιαστό. (Βλ. Εδ. 5-3). Όταν ένα αντικείμενο κυλά χωρίς ο­
λίσθηση πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια, μπορούμε να υπο­
θέσουμε ότι η δύναμη της τριβής είναι μηδενική, επομένως τα α
και α είναι περίπου μηδέν, και τα υ και ω είναι σχεδόν σταθερά.
Κύλιση χωρίς ολίσθηση σημαίνει: υ = rω και α = rα. Αν ένα α­
ντικείμενο τεθεί σε κίνηση πάνω σε μια επιφάνεια χωρίς να ισχύ­
ουν αρχικά αmές οι εξισώσεις, το αντικείμενο θα αρχίσει να γλυ­
στράει και θα ενεργεί πάνω του η (κινητική) τριβή ολίσθησης μέ­
χρις ότου επικρατήσει τελικά μια κατάσταση κύλισης χωρίς ολί­
σθηση. Ένας στερεός κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R, περι­
στρεφόμενος με γωνιακή ταχύτητα ω0 γύρω από τον άξονα συμμε­
τρίαςτου, τοποθετείται πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια με τον ά­
ξονά του παράλληλο προς αmήν. Ο συντελεστής της κινητικής τρι­
βής μεταξύ του κυλίνδρου και της επιφάνειας είναιμk. a) Σχεδιά­
στε ένα διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τον κύλινδρο πάνω
στην επιφάνεια. Σκεφθείτε προσεκτικά τη φορά που θα έχει η δύ­
ναμη της κινητικής τριβής όσο δρα στον κύλινδρο. Υπολογίστε τις
επιταχύνσεις α του κέντρου μάζας, και α της περιστροφής γύρω α­
πό το κέντρο μάζας. b) Ο κύλινδρος αρχικά μόνο ολισθαίνει, για­
τί τη στιγμή της τοποθέτησής του στο επίπεδο ισχύει ω = ω0 αλλά
υ = Ο.Μετά από ένα διάστημα όμως ο κύλινδρος θα κυλά χωρίς ο­
λίσθηση, οπότε θα ισχύει υ = Rω. Υπολογίστε την απόσταση που
θα διανύσει ο κύλινδρος πριν σταματήσει η ολίσθησή του. c) Υπο­
λογίστε το έργο που παράγει η δύναμη της τριβής επί του κυλίν­
δρου, καθώς αυτός κινείται από το αρχικό σημείο της τοποθέτη­
σής του μέχρι το σημείο που αρχίζει να κυλά χωρίς ολίσθηση.