Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. 406 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
όπου L είναι το μήκος του σωλήνα, p1 καιp2 η πίεση στα δύο άκρα 1 και 2 αντίστοιχα
και ηο συντελεστής ιξώδους. Ηολική παροχή όγκου δίνεται από τη σχέση,
dV = !!_(R4)(Pι-Pz)dt g η L . (14-29)
Μια σφαίρα ακτίνας r που κινείται με ταχύτητα υ σε ένα ρευστό με συντελεστή ιξώ­
δους η υφίσταται, λόγω του ιξώδους, μια αντίδραση Fκαι δίνεται από το νόμο του
Stokes:
F = 6πηrυ. (14-30)
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ______ _ __ __ _ _ ___ _ _ _ _ __ __
Εδάφιο 14- 1
Πυκνότητα
14-1 Ένα κομμάτι άγνωστου υλικού σε ορθογώνιο σχήμα έχει
διαστάσεις 5,0 χ 15,0 χ 30,0 cm και μάζα 1,80 kg. Πόση είναι η
πυκνότητάτου;
14-2 Ένας κύβος από μόλυβδο έχει μάζα 30,0 kg. Πόσο είναι
το μήκοςτης ακμής του;
14-3 Μια κυλινδρική ράβδος από αλουμίνιο έχει μήκος 62,0 cm
και διάμετρο 0,60 cm. Πόση είναι η μάζα της;
14-4 Μια στερεά ομοιόμορφη μεταλλική σφαίρα έχει ακτίνα
4,50 cm και μάζα 1,60 kg. Πόση είναι η πυκνότητάτης;
Εδάφιο 14-2
Πίεση σε ένα ρευστό
14-5 Σχεδιάζετε ένα κώδωνα κατάδυσης ικανό να αντέξει την
πίεση της θάλασσας σε βάθος 800 m. a) Πόση είναιη διαφορική
πίεση σε αυτό το βάθος; (Αγνοήστε τη μεταβολή της πυκνότητας
του νερού με το βάθος). b) Σε αυτό το βάθος, πόση είναι η δύνα­
μη πάνω σε ένα κυκλικό γυάλινο παράθυρο με διάμετρο 15,0 cm,
αν η πίεση μέσα στον κώδωνα ισούται με την πίεση στην επιφά­
νεια της θάλασσας; (Αγνοήστε τη μικρή αλλαγή της πίεσης πάνω
στην επιφάνεια του παράθυρου).
14-6 Πόση διαφορική πίεση πρέπει να παράγει μια αντλία ώ­
στε να αντλήσει νερό από το χαμηλότερο σημείο του Graπd Ca­
πyoπ (υψόμετρο 730 m) στους Iπdiaπ Gardeπs (1370 m); Εκφρά­
στε το αποτέλεσμά σας σε pascal και σε aτμόσφαιρες.
14-7 Ένα βαρέλι περιέχει στρώμα λαδιού πάχους 0,180 m το ο­
ποίο επιπλέει σε νερό που έχει βάθος 0,300 m. Η πυκνότητα του
λαδιού είναι 600 kg/m'. a) Πόση είναι η διαφορική πίεση στην
διεπιφάνεια λαδιού-νερού; b) Πόση είναι η διαφορική πίεση
στον πυθμένα του βαρελιού;
14-8 Υδραυλικός ανυψωτήρας Το έμβολο ενός υδραυλι-
14-10 Μέγιστο βάθος κατάδυσης με αναπνευστικό
σωλήνα Υπάρχει ένα όριο στο βάθος μέχρι το οποίο ένας δύτης
μπορεί να ανα.;τνεύσει με ένα αναπνευστικό σωλήνα (Σχ. 14-35),
επειδή με την αύξηση του βάθους αυξάνεται και η διαφορά πίε­
σης, τείνοντας να συνθλίψει τουςπνεύμονεςτου δύτη. Αφού ο σω­
λήνας συνδέει τον αέρα στους πνεύμονες με την ατμόσφαιρα στην
επιφάνεια, η πίεση μέσα στους πνεύμονες είναι ίση με την ατμο­
σφαιρική. Πόση είναι η διαφορά εξωτερικής και εσωτερικής πίε­
σης, όταν οι πνεύμονεςτου δύτη βρίσκονται σε βάθος 6,1 m; Υπο­
θέστε ότι ο δύτης βρίσκεται στη θάλασσα. (Ένας δύτης με φιάλη
οξυγόνου, αναπνέοντας από τον συμπιεσμένο αέρα της φιάλης,
μπορείνα καταδυθεί σε μεγαλύτερο βάθος,διότι η πίεση του αέρα
στους πνεύμονέςτου αυξάνει για να προσαρμοστεί στην εξωτερι­
κή πίεση του νερού).
6,1 m
κού ανυψωτήρα αυτοκινήτων έχει διάμετρο 0,30 m. Πόση διαφορι- ΣΧΗΜΑ 14-35
κή πίεση σε pascal χρειάζεται για να ανυψώσει ένα αυτοκίνητο
μάζας 900 kg; Εκφράστεαυτήντην πίεση και σε aτμόσφαιρες.
14-9 Το υγρό στο μανόμετρο ανοιχτού σωλήνατου Σχ. 14-15a
είναι υδράργυρος μεy1 = 3,00 cm καιy2 = 7,00 cm. Η ατμοσφαιρι­
κή πίεση είναι 970 mbar. a) Πόση είναι η απόλυτη πίεση στον
πυθμένα του υοειδούς σωλήνα; b) Πόση είναι η απόλυτη πίεση
στον ανοικτό σωλήνα σε βάθος 4,00 cm από την ελεύθερη επιφά­
νεια; c) Πόση είναι η απόλυτη πίεση του αερίου στο δοχείο; d)
Πόση είναι η διαφορική πίεσητου αερίου σε pascal;
Εδάφιο 1 4-3
Άνωση
14-11 Η κορυφή του παγόβουνου Όταν ένα παγόβου­
νο επιπλέει στη θάλασσα, τι κλάσμα του όγκου του είναι βυθισμέ­
νο; (Ο πάγος προέρχεται από παγετώνα, δηλαδή είναι παγωμένο
γλυκό νερό).

2. 14-12 Ένα συμπαγές ορειχάλκινο άγαλμα ζυγίζει 145 Ν
στον αέρα. a) Πόσος είναι ο όγκος του; b) Το άγαλμα αναρτά­
ται από ένα σχοινί και βυθίζεται ολόκληρο στο νερό. Πόση είναι
η τάση του σχοινιού (το φαινόμενο βάρος του αγάλματος στο νε­
ρό);
14-13 Μια πλάκα πάγου επιπλέει σε μια λίμνη γλυκού νερού.
Πόσος είναι ο ελάχιστος όγκος που πρέπει να έχει η πλάκα, ώστε
μια γυναίκα 48,0 kg να μπορεί να σταθεί όρθια πάνω της χωρίς να
βρέξει τα πόδια της;
14-14 Ένα δείγμα μεταλλεύματος ζυγίζει 15,00 Ν στον αέρα.
Όταν το δείγμα κρέμεται από ένα ελαφρό σχοινί και είναι εντε­
λώς βυθισμένο στο νερό, η τάση του νήματος είναι 9,00 Ν. Βρείτε
τον ολικό όγκοκαι την πυκνότητατου δείγματος.
14-15 Ένα κυβικό κομμάτι ξύλου με ακμή 10,0 cm επιπλέει
στη διεπιφάνεια μεταξύ λαδιού και νερού με την κάτω επιφάνειά
του 2,00 cm κάτω από τη διεπιφάνεια (Σχ. 14-36). Η πυκνότητα
του λαδιού είναι 650 kg/m3. a) Πόση είναι η διαφορική πίεση
στην πάνω επιφάνειατου κομματιού; b) Πόση είναι η διαφορική
πίεση στην κάτω επιφάνεια; c) Πόση είναι η μάζα του ξύλου;
Λάδι
Ξύλο
----τ-
10,0
cm
-t-10,0
ΣΧΗΜΑ 14-36 Νερό cm
�-=====:=) ____±.___
14-16 Μια μεγάλη κοίλη πλαστικ1j σφαίρα συγκρατείται κάτω
από την επιφάνεια μιας λίμνης γλυκού νερού με τη β01jθεια ενός
καλωδίου προσδεδεμένου στον πυθμένα της λίμνης. Η σφαίρα έ­
χει όγκο 0,300 m3 και η τάση του καλωδίου είναι 700 Ν. a) Υπο­
λογίστε την άνωση της σφαίρας. b) Πόση είναι η μάζα της σφαί­
ρας; c) Το καλώδιο θραύεται και η σφαίρα ανεβαίνει στην επι­
φάνεια της λίμνης. Όταν η σφαίρα ηρεμήσει, τι κλάσματου όγκου
της θα είναι βυθισμένο;
Εδάφιο 14-4
Επιφανειακή τάση
14-17 Βρείτε τη διαφορική πίεση σε pascal σε μια σαπουνό­
φουσκα με διάμετρο 3,00 cm. Ο συντελεστής επιφανειακής τάσης
είναι 25,0 χ 10-3 N/m.
14-18 Υποθέστε ότι Τ = 20 °C. Βρείτε την υπερπίεση a) μέ­
σασε μια σταγόνα νερού με ακτίνα 1,00 mm· b) μέσα σε μια στα­
γόνα με ακτίνα 0,0100 mm (τυπική ακτίνα σταγονιδίων της ομί­
χλης).
Εδάφιο 14-5
Ροή ρευστών
14-19 Σε ένα κυκλικόσωλήνα με μεταβλητό εμβαδόν διατομής
ρέει νερό που τον γεμίζει εντελώς παντού. a) Σε κάποια θέση η
ακτίνα της διατομής του σωλήνα είναι 0,200 m. Πόσο είναι το μέ­
τρο της ταχύτητας σε αυτό το σημείο, αν η παροχή όγκου στο σω­
λήνα είναι 0,600 m3/s; b) Σε κάποιο άλλο σημείο του σωλήνα, η
ταχύτητα του νερού έχει μέτρο 3,80 m/s. Πόση είναι η ακτίνα της
διατομής σε αυτό το σημείο;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 407
14-20 Σε ένα σωλήνα με μεταβλητό εμβαδόν διατομής ρέει νε­
ρό πουτον γεμίζει εντελώς παντού. Στο σημείο 1, το εμβαδόν της
διατομής του σωλήνα είναι 0,080 m2 και το μέτρο της ταχύτητας
του ρευστού είναι 2,50 m/s. a) Πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητας
στα σημεία όπου το εμβαδόν της διατομής είναι ί) 0,060 m2 · ίί)
0,1 12 m2 ; b) Υπολογίστε τον όγκο του νερού που εκρέει από το
ανοιχτό άκρο του σωλήνα σε 1,00 s.
Εδάφιο 14-6
Εξίσωση του Bernoulli
14-21 Μια κλειστή δεξαμενή περιέχει θαλάσσιο νερό μέχρι το
ύψος των 12,0 m και αέρα πάνω από το νερό με διαφορική πίεση
4,00 atm. Το νερό εκρέει από μια οπή στον πυθμένα που έχει εμ­
βαδόν 10,0 cm2• Υπολογίστε την ταχύτητα εκροής του νερού.
14-22 Στην πλευρική επιφάνεια μιας μεγάλης δεξαμενής νε­
ρούυπάρχει κυκλικήτρύπα με διάμετρο 2,00 cm, 16,0 m κάτω από
την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στη δεξαμενή. Η οροφή της δε­
ξαμενής είναι ανοιχτή στον αέρα. Βρείτε a) τηνταχύτητα εκροής
b) τονόγκοπου εκρέει ανά μονάδα χρόνου.
14-23 Από ένα σωλήνα εκρέει νερό με ρυθμό 4,00 χ 10-3 m3/s.
Σε κάποιο σημείο του σωλήναόπου το εμβαδόν της διατομής είναι
1,00 χ 10-3 m2, η απόλυτη πίεση είναι 1,60 χ 105 Pa. Πόσο είναι το
εμβαδόν της διατομής μιας στένωσης του σωλήνα, όπου η πίεση εί­
ναι ελαττωμένη στην τιμή 1,20 χ 105 Pa;
14-24 Σε κάποιο σημείο ενός οριζόντιου σωλήνα νερού η τα­
χύτητατουνερού είναι 2,00 m/s και η διαφορική πίεm1 2,00 χ 104
Pa. Βρείτε τη διαφορική πίεση σε ένα δεύτερο σημείοτουσωλήνα,
όπου το εμβαδόν της διατομής είναι το μισό του εμβαδού στο πρώ­
το σημείο.
14-25 Πίεση σε πυροσβεστικό σωλήνα Πόση διαφορι­
κή πίεση είναι αναγκαίαστοδίκτυο ύδρευσης της πόλης, ώστε ο
πίδακας νερού από ένα πυροσβεστικό σωλήνα συνδεδεμένο με το
δίκτυο να φθάσει το κατακόρυφο ύψος των 25,0 m; (Υποθέστε ότι
το δίκτυο έχει πολύ μεγαλύτερη διάμετρο από τη διάμετρο του πυ­
ροσβεστικού σωλήνα).
14-26 Σε κάποιο σημείο ενός σωλήνα ύδρευσης, η ταχύτητα του
νερού είναι 4,00 m/s και η διαφορική πίεση 5,00 χ 104 Pa. Βρείτε
τη διαφορική πίεση σε ένα άλλο σημείο του σωλήνα, που είναι
12,0 m χαμηλότερα από το πρώτο και όπου η διατομή έχει εμβα­
δόν διπλάσιο από αυτό στο ψηλότερο σημείο.
14-27 Δυναμική άνωση σε αεροπλάνο Ο αέρας πνέει
οριζόντια και με κατεύθυνση αντίθετη προς την κίνηση ενός μι­
κρού αεροπλάνου· η ταχύτητα του ανέμου είναι 50,0 m/sπάνω α­
πό τις πτέρυγες και 30,0m/sκάτω από αυτές. Αν η μάζα του αερο­
πλάνου είναι 700 kg και το συνολικό εμβαδόν-των πτερύγων του
9,00 m2, πόση είναι η συνισταμένη δύναμη (συμπεριλαμβάνοντας
και την επίδραση της βαρύτητας) στο αεροπλάνο; Η πυκότητα του
αέρα είναι 1,20 kg/m3.
14-28 Ένα αεροπλάνο με μάζα 6000 kg έχει συνολικό εμβα­
δόν πτερύγων 30,0 m2. Αν η πίεση στην κάτω επιφάνεια των πτε­
ρύγων του γίνει 6,00 χ 104 Pa όταν κινείται οριζόντια σε ύψος
4000 m, πόση είναι η πίεm1 στην πάνω επιφάνεια των πτερύγων;
Εδάφιο 14-7
Πραγματικά ρευστά
14-29 Νερό θερμοκρασίας 20 oCρέει σε σωλήνα με ακτίνα δια­
τομΊjς 20,0 cm. Ο συντελεστής ιξώδους του νερού στους 20 οC είναι
1,005 centipoise. Αν η ταχύτητα του νερού στο κέντροτου σωλήνα
είναι 2,60 m/s, πόση είναι η ταχύτητα του νερού a) σε απόσταση
10,0 cm από τον άξονατου σωλήνα (στο μέσο της απόστασης μετα­
ξύ του άξονα και τωντοιχωμάτων); b) Στατοιχώματατου σωλήνα;

3. 408 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
14-30 Νερό 20 oC ρέει σε σωλήνα με ακτίνα διατομής 1,00 cm.
Ο συντελεστής ιξώδους του νερού είναι 1,005 cantipoise. Αν η τα­
χύτητα ροής στον άξονα είναι 0,200 m/s και η ροή είναι στρωτή,
βρείτε την πτώση πίεσης λόγω του ιξώδους στα άκρα ενός τμήμα­
τοςτου σωλήνα μήκους 2,00 m.
14-31 Νερό 20 ·c ρέει σε οριζόντιο σωλήνα μήκους 15 m. Η
ροή είναι στρωτή και το νερό γεμίζει το σωλήνα εντελώς. Μια α­
ντλία διατηρεί διαφορική πίεση 1400 Pa σε μια μεγάλη δεξαμενή
στο έναάκροτου σωλήνα. Το άλλο άκροτου σωλήνα είναι ανοιχτό
στον αέρα. Ο συντελεστής ιξώδους του νερού στους 20 οC είναι
1,005 centipoise. a) Αν ο σωλήνας έχει διάμετρο διατομής 8,00 cm,
πόση είναι η παροχή όγκου του; b) Πόση διαφορική πίεση πρέπει
να προκαλέσει η αντλία για να επιτύχουμε την ίδια παροχή με σω­
λήνα διαμέτρου 4,00 cm; c) Για το σωλήνα στο ερώτημα (a) και με
την ίδια διαφορική πίεση, πόση γίνεται η παροχή όγκου, αν η θερ­
μοκρασία του νερού είναι 60 ·c; (Ο συντελεστής ιξώδους του νε­
ρού στους 60 oC είναι 0,469 contipoise).
Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α
14-35 Πίεση στον πυθμένα ωκεανού Το βαθύτερο γνω­
στό σημείο όλων των ωκεανών βρίσκεται στο Ρήγμα των Μαρια­
νών, σε βάθος 10,92 km. a) Υποθέτοντας ότι το νερό είναι aσυ­
μπίεστο, πόση είναι η πίεση σε αυτότο βάθος; Χρησιμοποιήστε την
πυκνότητα του θαλασσινού νερού. b) Η πραγματική πίεση είναι
1,16 χ 108 Pa. Η πίεση που υπολογίσατε θα είναι μικρότερη της
πραγματικής, αφού στην πραγματικότητα η πυκνότητα αυξάνει με
το βάθος. Χρησιμοποιώντας την τιμή της πίεσης που βρήκατε πα­
ραπάνω και τον συντελεστή συμπιεστότητας του νερού, βρείτε την
πυκνότητα του νερού στον πυθμένα του Ρήγματος των Μαριανών.
Πόση είναι η ποσοστιαία μεταβολήτης πυκνότηταςτου νερού;
14-36 Μια πισίνα κολύμβησης έχει διαστάσεις 25,0 m μήκος,
8,0 m πλάτος, και 4,0 m βάθος. Υπολογίστε τη δύναμη που ασκεί­
ται από το νερό a) στον πυθμένα· b) σε κάθε πλευρική επιφά­
νεια. (Υπόδειξη: Υπολογίστε τη δύναμη που ασκείται πάνω σε μια
λεπτή οριζόντια λωρίδα σε βάθοςh και ολοκληρώστε πάνω σε όλη
την πλευρά. Μη συμπεριλάβετε τη δύναμη που οφείλεται στην α­
τμοσφαιρική πίεση).
14-37 Το πάνω χείλος του υδροφράκτη ενός φράγματος βρί­
σκεται στο ύψος της επιφάνειας του νερού. Ο υδροφράκτης έχει
2,00 m ύψος και 4,00 m πλάτος και μπορεί να περιστραφεί περί ο­
ριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντροτου (Σχ. 14-37). Υπο­
λογίστε τη ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής, που οφείλεται
στην υδροστατική πίεση του νερού. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε
διαδικασία παρόμοια με αυτή του Προβλ. 14-36· υπολογίστε τη ρο­
πή της δύναμης πάνω σε μια λεπτή οριζόντια λωρίδα σε βάθος h
και ολοκληρώστε την πάνω σε όλη την επιφάνειατου υδροφράκτη).
ΣΧΗΜΑ 14-37
14-32 Ένα ιξώδες ρευστό ρέει με στρωτή ροή σε σωλήνα, ό­
πως στο Σχ. 14-30. Δείξτε ότι η παροχή είναι ίδια με αυτή που θα
είχαμε αν η ταχύτητα ήταν σταθερή σε όλα τα σημεία μιας διατο­
μής και ίση προς τη μισή πραγματική ταχύτητα ροής κατά μήκος
του άξονα.
14-33 Πόση ταχύτητα πρέπει να έχει μια χρυσή σφαίρα ακτί­
νας 6,00 mm μέσα σε καστορέλαιο (ρετσινόλαδο) στους 20 οC, ώ­
στε η αντίσταση που υφίσταται να ισούται με το 1/4του βάρους της
σφαίρας; (Ο συντελεστής ιξώδους του ρετσινόλαδου είναι 9,86
poise στη θερμοκρασία αυτή).
14-34 Μέτρηση του ιξώδους. Μια χάλκινη σφαίρα με μάζα
0,20 g πέφτει με ορική ταχύτητα 5,0 cm/s μέσα σε άγνωστο ρευστό.
Αν η πυκνότητα του χαλκού είναι 8900 g/m3 και του ρευστού 2800
kg/m3, πόσος είναι ο συντελεστής ιξώδουςτου ρευστού;
ΣΧΗΜΑ 14-38
14-38 Η μεγάλη πλημμύρα μελάσσας Το απόγευματης
15ης Ιανουαρίου 1919, που ήταν ασυνήθιστα ζεστό στη Βοστώνη,
διερράγη μια κυλινδρική μεταλλική δεξαμενή ύψους 27,4 m και
διαμέτρου 27,4 m, που χρησιμοποιείτο γιατην αποθήκευση μελάσ­
σας. Ένας χείμαρρος μελάσσας ύψους 9 m κατέκλυσε τους δρό­
μους, σκοτώνοντας πεζούς και άλογα και γκρεμίζοντας κτίρια. Η
μελάσα είχε πυκνότητα 1600 kg/mΌ Αν η δεξαμενή ήταν πλήρης
πριν το ατύχημα, πόση ήταν η συνολική προς τα έξω δύναμη που α­
σκούσε η μελάσα στην κυλινδρική επιφάνεια; [Υπόδειξη: θεωρήστε
τη δύναμη που ασκείται προς τα έξω σε ένα κυκλικό δακτύλιο πλά­
τους dy σε βάθοςy κάτω από την επιφάνεια της μελάσσας (Σχ.
14-38). Ολοκληρώστε γιανα βρείτε την ολική προςτα έξω δύναμη].
14-39 Υοειδής σωλήνας, ανοιχτός και στα δύο του άκρα, πε­
ριέχει μια ποσότητα υδραργύρου. Χύνουμε με προσοχή μια ποσό­
τητα νερού στο αριστερό σκέλος, μέχρις ότου το ύψος της στήλης
του νερού γίνει 15,0 cm (Σχ. 14-39). a) Πόση είναι η διαφορική
πίεση στη διεπιφάνεια νερού-υδραργύρου; b)Υπολογίστε την κα­
τακόρυφη διαφορά ύψους h μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας του
υδραργύρου στο δεξιό σκέλος του σωλήνα και της ελεύθερης επι­
φάνειαςτουνερού στο αριστερότου σκέλος.

4. τ
Νερό 15,0 cm
1
ΣΧΗΜΑ 14-39
14-40 Σύμφωνα με ένα παλαιότερο διαφημιστικό ισχυρισμό, έ­
να συγκεκριμένο μοντέλο μικρού αυτοκινήτου μπορούσε να επι­
πλέει στο νερό. a) Αν το αυτοκίνητο έχει μάζα 800 kg και ο εσω­
τερικός του όγκος είναι 4,0 m3, τι κλάσμα του αυτοκινήτου είναι
βυθισμένο ενώ επιπλέει; Ο όγκοςτων μεταλλικών και άλλων με­
ρών μπορεί να παραλειφθεί. b) Καθώς τονερό διεισδύει βαθμι­
αίακαιεκτοπίζειτον αέρα μέσααπό το αυτοκίνητο, τι κλάσμα του
εσωτερικού του όγκου έχει γεμίσει με νερό, τη στιγμή που το αυ­
τοκίνητο βυθίζεται εντελώς στο νερό;
14-41 Θυμηθείτε το Hindenburg Οι πυκνότητες του αέ­
ρα, του ηλίου και του υδρογόνου (σε p = 1,0 atm και Τ = 20 ο C)
είναι 1,20 kg/m3, 0,166 kg/m3 και 0,0899 kg/m3, αντίστοιχα. a) Πό­
σος είναι ο όγκος σε κυβικά μέτρα ο οποίος εκτοπίζεται από ένα
αερόπλοιο που είναι γεμάτο υδρογόνο και έχει συνολικά <<φορ­
τίο» 12 000 kg; (το <<φορτίο» είναι η ολική μάζα του αερόπλοιου,
που μπορεί να συγκρατηθεί από την άνωση, συντη μάζα του αερί­
ου με τηνοποία είναι γεμάτο. b) Πόσο θα ήταν το <<φορτίΟ>>, αν
χρησιμοποιείτο ήλιο αντίυδρογόνου; Γιατίλοιπόν χρησιμοποιεί­
ται ήλιο στην πράξη;
14-42 Ένα πυκνόμετρο Ένα πυκνόμετρο αποτελείται α­
πό μια σφαιρική κοιλότητα και ένα κυλινδρικόστέλεχος με εμβα­
δόν εγκάρσιας διατομής 0,400 cm3 (Σχ. 14-9a). Ο ολικός όγκος
της σφαίρας καιτου στελέχους είναι 13,2 cm3• Όταν βυθίζεται στο
νερό, το υγρόμετρο επιπλέει, έχοντας 8,00 cm του στελέχους πάνω
απότην επιφάνεια του νερού. Μέσα σε οινόπνευμα, πάνω από την
επιφάνεια βρίσκονται τα 1,20 cm του στελέχους. Βρείτε την πυ­
κνότητατου οινοπνεύματος. (Σημείωση: Το παράδειγμααυτόανα­
δεικνύειτο βαθμό ακριβείας των μετρήσεων με πυκνόμετρο. Σχε­
τικά μικρές διαφορές πυκνότητας οδηγούν σε σχετικά μεγάλες
διαφορές ένδειξης του πυκνόμετρου).
14-43 Μια ανοιχτή μαούνα έχει μ1jκος 40 m, πλάτος 22 m και
βάθος 12 m (Σχ. 14-40). Αν οι τέσσερις πλευρές και ο πυθμένας
της μαούνας είναι κατασκευασμένα από aτσάλινες πλάκες πάχους
7,5 cm, τί ποσότητα κάρβουνου μπορεί να μεταφέρει η μαούνα
χωρίς να βυθιστεί; Υπάρχει αρκετός χώρος μέσα στη μαούνα για
να χωρέσει αυτήν την ποσότητα; (Η πυκνότητα του κάρβουνου εί­
ναι περίπου 1500 kg!m3).
14-44 ΑΑΤ με αντικείμενο που επιπλέει Θεωρήστε έ­
να αντικείμενο που επιπλέει όρθιο σε υγρό πυκνότητας p και έχει
ύψος h, μάζα Μ και σταθερή εγκάρσιαδιατομήΑ. a) Υπολογίστε
τηνκατακόρυφη απόσταση της επιφάνειας του υγρού από τη βάση
ΣΧΗΜΑ 14-40
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 409
του επιπλέοντας σε ισορροπία αντικειμένου. b) Στην πάνω βάση
του αντικειμένου εφαρμόζεται μια δύναμη F προς τα κάτω. Στη
νέα θέση ισορροπίας, πόσο βαθύτερα από την επιφάνεια του υ­
γρού βρίσκεται η κάτω βάση του αντικειμένου σε σχέση με το ε­
ρώτημα (a); (Υποθέστε ότι η F είναι αρκετά μικρή ώστε ένα τμή­
μα του αντικειμένου να παραμένει πάνω.από την επιφάνεια του υ­
γρού). c) Το αποτέλεσμα της ερώτησης (b) δείχνει ότι, αν η δύνα­
μη απομακρυνθεί ξαφνικά, το αντικείμενο θα ταλαντωθεί
πάνω-κάτω με απλή αρμονική κίνηση. Υπολογίστε την περίοδο
αυτής της κίνησης συναρτήσει της πυκνότητας ρ τουυγρού καιτης
μάζας Μκαιτης διατομήςΑτου αντικειμένου.
14-45 Μια κυλινδρική σημαδούρα μάζας 1500 kg επιπλέει κα­
τακόρυφα στη θάλασσα. Η διάμετρος της σημαδούρας είναι 0,900
m. a) Υπολογίστε το πρόσθετο ύψος κατάτο οποίο θα βυθιστεί η
σημαδούρα όταν σταθεί όρθιος πάνω της ένας άνδρας μάζας 100
kg. [Χρησιμοποιήστε την έκφραση που βρήκατε στο ερώτημα (b)
του Προβλ. 14-44]. b) Υπολογίστε τηνπερίοδο της αρμονικής κί­
νησης που προκύπτει όταν ο άνθρωπος κάνει βουτιά. [Χρησιμο­
ποιήστε την έκφραση που βρήκατε στο ερώτημα (c) του Προβλ.
14-44].
14-46 Υπολογίστε την περίοδο ταλάντωσης ενός κύβου πάγου
ακμής 3,50 cm, που επιπλέει στο νερό, αν τον πιέσετε προς τα κά­
τω και στη συνέχεια τον αφήσετε. (Χρησιμοποιήστε την έκφραση
που βρήκατε στο ερώτημα (c) του Προβλ. 14-44].
14-47 Ένα κομμάτι ξύλου μήκους 0,500 m, πλάτους 0,200 m
και πάχους 0,030 m έχει πυκνότητα 600 kg/m3• Τι όγκος μολύβδου
πρέπει να προσαρτηθεί κάτω από το ξύλο, ώστε αυτό να βυθιστεί
και η πάνω του επιφάνεια να συμπέσει με την επιφάνεια του νε­
ρού; Πόση είναι η μάζα αυτού του όγκου μολύβδου;
14-48 Ένα συμπαγές σωσίβιο όγκου 0,040 m3 στηρίζει έναν
άνθρωπο 80,0 kg (μέση πυκνότητα 920 kg/m3) αφήνοντας το 20%
του όγκου του ανθρώπου πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας,
όταν το σωσίβιο είναι πλήρως βυθισμένο. Πόση είναι η πυκνότητα
του υλικού κατασκευής του σωσιβίου;
14-49 Ένα κομμάτι φελλώδους ξύλου τοποθετείται στον ένα
δίσκο ενός ζυγού με ίσους βραχίονες και βρίσκεται ότι ισορροπεί­
ται ακριβώς από μια ορειχάλκινη μάζα 0,0750 kg στονάλλο δίσκο.
Βρείτε την πραγματική μάζα του ξύλου, αν η πυκνότητά του είναι
150 kg/m3• Αγνοήστε τη δύναμη της άνωσης του αέρα πάνω στην
ορειχάλκινη μάζα.
"'" D
ΣΧΗΜΑ 14-41
14-50 Το σώμα Α στο Σχ. 14-41 αναρτάται με ένα σπάγγο από
τον ζυγό ελατηρίου D και είναι βυθισμένο σε ένα υγρό C που πε­
ριέχεται στο δοχείοΒ. Η μάζα του δοχείου είναι 1,00 kg· η μάζα
του υγρού είναι 1,50 kg. Ο ζυγός D δείχνει 2,50 kg, ενώ ο ζυγός Ε
δείχνει 7,50 kg. Ο όγκος του σώματος Αείναι 3,80 χ 10-3 m3. a)
Πόση είναιη πυκνότητατου υγρού; b) Τι θα δείξει κάθε ζυγόςαν
βγάλουμε το σώμαΑαπό το υγρό;

5. 410 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
14-51 Ένα κομμάτι κράματος χρυσού - αλουμινίου ζυγίζει
45,0 Ν. Όταν το κομμάτι αναρτάται σε ένα ζυγό ελατηρίου και βυ­
θίζεται στο νερό, ο ζυγός δείχνει 32,0 Ν. Πόσο είναι το βάρος του
χρυσού στο κράμα;
14-52 Ένακυβικό κομμάτι ξύλου ακμής 0,100 m και πυκνότητας
500 kg/m2 επιπλέει σε ένα δοχείο με νερό. Στο δοχείο χύνεται λάδι
πυκνότητας 700 kg/m3 μέχριςότουη ελεύθερη επιφάνειατου λαδιού
ανέβει ώς το ύψος των 0,040 m χαμηλότερα από την πάνω επιφά­
νειατου κύβου. a) Πόσο είναιτο πάχοςτου στρώματος λαδιού; b)
Πόση είναι η διαφορική πίεση στην κάτω επιφάνειατου κύβου;
14-53 Ρίχνοντας την άγκυρα Μια σιδερένια άγκυρα με
μάζα 25,0 kg και πυκνότητα 786 kg/m3 κείται στο κατάστρωμα μιας
μικρής μαούνας με κατακόρυφες πλευρές η οποία επιπλέει σε ένα
ποτάμι. Το εμβαδόν του πυθμένα της μαούνας είναι 6,00 m2• Η ά­
γκυρα ρίχνεταιστη θάλασσα και κρέμεται πάνω από τον πυθμένα
του ποταμού με ένα σχοινί αμελητέας μάζας και όγκου. Με τη ρί­
ψη της άγκυρας, η μαούνα σηκώνεται ή βυθίζεται περισσότερο στο
νερό και κατά πόση κατακόρυφη απόσταση;
14-54 Υποθέστε ότι το αργό πετρέλαιο του δεξαμενόπλοιου
Εχχοιι Valdez έχει πυκνότητα 730 kg/m3.τo δεξαμενόπλοιο εξώκει­
λε σε ένανύφαλο· για να επιπλεύσει πάλι, το φορτίο του αδειάζε­
ται με αντλία σε aτσάλινα βαρέλια, που το καθένα έχει μάζα 20,0
kg όταν είναι άδειο και χωρητικότητα 0,120 m3. Αγνοήστε τον ό­
γκο του ατσαλιού από το οποίο είναι κατασκευασμένα τα βαρέλια.
a) Αν ένας εργάτης διάσωσης ρίξει κατά λάθος στη θάλασσα ένα
γεμάτο και σφραγισμένο βαρέλι, θα επιπλεύσει ή θα βυθιστεί στη
θάλασσα; b) Αν το βαρέλι επιπλεύσει, τι κλάσμα του όγκου του
θα βρίσκεται πάνω από την επιφάνεια; Αν βυθιστεί, πόση είναι η
ελάχιστη τάση που πρέπει να ασκηθεί με ένα σχοινί για να ανα­
συρθείτο βαρέλι απότον πυθμένατου ωκεανού;
14-55 Επαναλάβετε το πρόβλημα 14-54, υποθέτοντας ότι η πυ­
κνότητα του αργού πετρελαίου είναι 890 kg/m3 και η μάζα ενόψει
άδειου βαρελιού είναι 35,0 kg.
14-56 Μια φορτηγίδα βρίσκεται μέσα σε μία ορθογώνια δεξα­
μενή με υδροφράκτες σε ένα ποτάμι. Η δεξαμενή έχει μήκος 50,0
m και πλάτος 20,0 m και τα ανοίγματα με aτσάλινους υδροφρά­
κτες που βρίσκονται στα δύο άκρα της είναι κλειστά. Καθώς η
φορτηγίδα επιπλέει μέσα στη δεξαμενή, φορτώνεται πάνω της
φορτίο 2,00 χ 106 Ν από παλιοσίδερα, με μέση πυκνότητα 9000
kg/m3. a) Όταν το φορτίο αυτό, που βρίσκεται αρχικά στην ξηρά,
φορτωθεί στη φορτηγίδα, κατά πόσο θα ανυψωθεί η στάθμη του
νερού στη δεξαμενή; b) Στη συνέχεια τα παληοσίδερα ρίχνονται
στο νερό. Η στάθμη του νερού στον υδροφράκτη παραμένει η ίδια;
Αν όχι, ανεβαίνει ή κατεβαίνει καικατάπόσο;
14-57 Ένα κομμάτι ορείχαλκου με σχήμα κύβου ακμής μήκους
L επιπλέει σε υδράργυρο. a) Τι κλάσμα του κύβου βρίσκεται πάνω
από την επιφάνεια του υδραργύρου; b) Αν χυθεί νερό πάνω στον
υδράργυρο, τι πάχος πρέπει να έχειτο στρώμα του νερού, ώστε η ε­
λεύθερη επιφάνειάτου να συμπίπτει με την πάνω έδρα του ορει­
χάλκινου κύβου; (Εκφράστε την απάντησή σαςσυναρτήσειτου L).
14-58 Πόση πρέπει να είναι η ακτίνα μιας σταγόνας, ώστε η
διαφορά μεταξύ της εσωτερικής και της εξωτερικής της πίεσης να
είναι 0,0200 atm; Υποθέστε ότι Τ = 20 ο C.
14-59 Σε ένα κυβικό κομμάτι ξύλου με ακμή 0,30 m προστίθε­
νται βάρη έτσι ώστε το κέντρο βάρους του να βρίσκεται στο ση­
μείο που δείχνει το Σχ. 14-42a και να επιπλέει στο νερό έχοντας
το μισό όγκο βυθισμένο. Αν ο κύβος γείρει κατά 45•, όπως στο Σχ.
14-42b, υπολογίστε τη ροπή επαναφοράς (τη συνισταμένη ροπή ως
προς τον οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στην εμπρόσθια έδρα
τουκύβου και διέρχεται από το γεωμετρικό του κέντρο).
0,15 m
�
.
±_ _ _
0,075m
t
(a) (b)
ΣΧΗΜΑ 14-42
14-60 Μια μεγάλη ανοικτή δεξαμενή με κατακόρυφα τοιχώμα­
τα περιέχει νερό ώς το ύψος Η (Σχ. 14-43). Σε ένα από τα τοιχώ­
ματα ανοίγεται τρύπα σε βάθος h κάτω από την επιφάνεια του νε­
ρού. a) Σε πόση απόσταση R από τη βάση του τοιχώματος ο πίδα­
κας νερού που ξεπηδά θα χτυπήσει το έδαφος; b)Έστω ότι Η =
14,0 m και h = 3,0 m. Σε πόσο ύψος κάτω από την επιφάνεια του
νερού πρέπει να ανοιχτεί μια δεύτερη τρύπα, ώστε ο νέος πίδακας
νερού να έχει το ίδιο βεληνεκές, με αυτόν από την πρώτη τρύπα;
τΗ
ΣΧΗΜΑ 14-43
14-61 Ένας ανοιχτός κυλινδρικός κάδος, έχει ύψος 0,200 m
και διάμετρο 0,100 m. Στο κέντρο του πυθμένα του υπάρχει κυκλι­
κή τρύπα εμβαδού 1,00 cm2. Ένας σωλήνας νερού που βρίσκεται
πάνω από τον κάδο έχειπαροχή 1,50 χ 10-4 m3/s. Σε τι ύψος θα α­
νέβει η στάθμη του νερού μέσα στον κάδο;
14-62 Από μια ανοιχτή δεξαμενή όπωςστοΣχ. 14-44, τρέχει νε­
ρό με σταθερό ρυθμό. Το ύψος του σημείου 1 είναι 10,0 m και των
σημείων 2 και 3 είναι 2,00 m. Η εγκάρσια διατομή στο σημείο 2 έ­
χει εμβαδόν 0,0400 m2 και στο σημείο 3 έχει εμβαδόν 0,0200 m2.
Το εμβαδόν τηςδιατομής της δεξαμενής είναι πολύ μεγάλο σε σύ­
γκριση με αυτό της διατομής του σωλήνα. Υποθέστε ότι ισχύει η ε­
ξίσωση του Bemoulli και υπολογίστε a) την παροχή σε κυβικά μέ­
τρα ανά δευτερόλεπτο και b) τη διαφορική πίεση στο σημείο 2.
14-63 Η σύγχρονη αεροναυπηγική απαιτεί δυναμικές aνώσεις,
που οφείλονταιστη συνισταμένη δύναμη του κινουμένου αέρα πά­
νω στις πτέρυγες, περί τα 1000 Ν ανά τετραγωνικό μέτρο επιφά-
ΣΧΗΜΑ 14-44

6. 40,0 cm2
ΣΧΗΜΑ 14-45
νειας της πτέρυγας. Υποθέστε ότι η ροή του αέρα ως προςτις πτέ­
ρυγες είναι στρωτή. Αν η ταχύτητα ροής του αέρα στην κάτω επι­
φάνεια των πτερύγων είναι 140 m/s, ποση πρέπει να είναι η ταχύ­
τητα στην πάνω επιφάνεια για να προκληθεί δυναμική άνωση
1000 N/m2; Η πυκνότητατου αέρα είναι 1,20 kg!m3.
14-64 Ο οριζόντιος σωλήνας του Σχ. 14-45 έχει εμβαδόν δια­
τομής 40,0 cm2 στα πλατιά τμήματα και 10,0 cm2 στη στένωση. Η
παροχή νερού του σωλήνα είναι 4,00 χ ιο-3 m3/s. Βρείτε a) την
ταχύτητα ροής στα πλατιά και στο στενό τμήμα· b) Τη διαφορά
πίεσης μεταξύ αυτών των τμημάτων· c) Τη διαφορά ύψους μετα­
ξύτων στηλών υδραργύρουτου υοειδούς σωλήνα.
14-65 Δύο πολύ μεγάλες ανοιχτές δεξαμενέςΑ και F (Σχ.
14-46) περιέχουντο ίδιο υγρό. Ο οριζόντιος σωλήναςBCDπου έ­
χει μια στένωση στο C, βρίσκεται στη βάση της δεξαμενήςΑ, ενώ
ο κατακόρυφος σωλήναςΕ συγκοινωνεί με τη στένωση C και είναι
βυθισμένος στο υγρό της δεξαμενής F. Υποθέστε ότι η ροή είναι
στρωτή και ότι το ρευστό δεν έχει ιξώδες. Αν το εμβαδόν της δια­
τομής στο C είναι το μισό αυτού στονσωλήναD και ο D έχει δια­
φοράύψουςh1 από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού στη δεξα­
μενήΑ, πόσο είναι το ύψος h2της στήληςτουυγρούστοσωλήναΕ;
Εκφράστετην απάντησή σας συναρτήσειτουh1•
Α
ΣΧΗΜΑ 14-46 F
- - - - - - - - - 1- -
14-66 Πόση ταχύτητα έχει μια aτσάλινη σφαίρα ακτίνας 2,00
mmπου βυθίζεται σε μια δεξαμενή γλυκερίνης, τη στιγμή που η ε­
πιτάχυνσή της ισούται με το μισό της επιτάχυνσης ενός σώματος
σε ελεύθερη πτώση; Ο συντελεστής ιξώδους είναι 8,30 poise. b)
Πόση είναι η ορική ταχύτητατης σφαίρας;
14-67 Το Σχ. 14-32a δείχνει ένα υγρό που εκρέει από ένα κα­
τακόρυφο σωλήνα. Παρατηρήστε ότι η κατακόρυφη φλέβα του υ­
γρού έχει ένα πολύ καθορισμένο σχήμα καθώς ρέει από το σωλή­
να. a) Για να βρείτε την εξίσωση που περιγράφει το σχήμα της
φλέβας, δεχθείτε ότι το υγρό κάνει ελεύθερη πτώση μόλις αφήσει
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
14-71 Υποθέστε ότι ένα κομμάτι διογκωμένου πολυστυρολίου
(φελιζόλ) με ρ = 150 kg/m3, συγκρατείται εντελώς βυθισμένο στο
νερό ( Σχ. 14-48). a) Πόση είναι η τάση του νήματος πρόσδεσής
του στον πυθμένα; Βρείτε τη με τη βοήθεια της αρχής του Αρχιμή-
ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 411
το σωλήνα και βρείτε την εξίσωση για την ταχύτητα του υγρού, ως
συνάρτηση της απόστασης κατά την οποία έχει πέσει. Συνδυάζο­
ντας την εξίσωση αυτή με την εξίσωση συνεχείας, βρείτε μια έκ­
φραση για την ακτίνατης φλέβας του υγρού. b) Αν από τον κατα­
κόρυφο σωλήνα εκρέει νερό με ταχύτητα 1,60 m/s, σε πόση από­
σταση κάτωαπό τη βρύση η ακτίνα είναι η μισή από αυτή που έχει
η φλέβα αρχικά;
14-68 Από μια μεγάλη ανοιχτή δεξαμενή θέλουμε να αντλή­
σουμε πετρέλαιο με συντελεστή ιξώδους 3,00 poise και πυκνότητα
860 km/m3 σε μια άλλη, μέσω ενός λείου aτσάλινου σωλήνα μή­
κους 1,00 km και διαμέτρου 0,150 m. Το πετρέλαιο εκρέει απότο
σωλήνα στον αέρα 30,0 m πάνω απότη στάθμη που έχει στη δεξα­
μενή τροφοδοσίας. a) Τι υπερπίεση σε pascal και σε aτμόσφαιρες
πρέπει ναασκήσειη αντλία για να διατηρήσειπαροχή 0,0600 m3/s;
b) Πόση είναι η ισχύς που θα καταναλώνεται από την αντλία;
14-69 Ταχύτητα μιας φυσαλίδας σε υγρό a) Με πόση
ορική ταχύτητα ανεβαίνει μια φυσαλίδα διαμέτρου 2,00 mm μέσα
σε ένα υγρό με συντελεστή ιξώδους 1,50 poise και πυκνότητα 800
kg/m3; (Δεχθείτε ότι η πυκνότητατου αέρα είναι 1,20 kg!m3). b)
Πόση είναι η ορική ταχύτητα της ίδιας φυσαλίδας σε νερό 20 οC,
που έχει συντελεστή ιξώδους 1,005 centipoise;
14-70 Η δεξαμενή στα αριστεράτου Σχ. 14-47a έχει πολύ μεγά­
λο εμβαδόν διατομήςκαι είναι ανοιχτή στην ατμόσφαιρα. Το βάθος
του υγρού είναιy = 0,500 m. Το εμβαδόν τηςδιατομής των οριζό­
ντιωνσωλήνων στη βάση της δεξαμενής είναι 1,00 cm2, 0,50 cm2 και
0,20 cm2, αντίστοιχα. Το υγρό είναι ιδανικό και έχει μηδενικό ιξώ­
δες. a) Πόση είναι η παροχή όγκου από τη δεξαμενή; b) Πόση εί­
ναι η ταχύτητα σε κάθε τμήματου οριζόντιου σωλήνα; c) Πόσο εί­
ναι το ύψος του υγρού σε καθένα από τους πέντε κατακόρυφους
σωλήνες; d)Υποθέστε ότι το υγρό του Σχ. 14-47b έχει συντελεστή
ιξώδους 0,500 poiseκαι πυκνότητα 800 kg/m3 και ότι το ύψος του υ­
γρού στη μεγάλη δεξαμενή είναι τέτοιο ώστε η παροχή όγκου της
ροής να διατηρείται η ίδια, όπως και στο ερώτημα (a). Η απόσταση
μεταξύ των πλευρικών σωλήνων στα σημεία c καιd, καθώς και αυτή
μεταξύ των e καιfείναι 0,200 m. Η διατομή των αντίστοιχων σωλή­
νων στα δύο διαγράμματα είναι ίδια. Πόση είναι η διαφορά στάθ­
μης τουυγρούστους κατακόρυφους σωλήνες c καιd, e) Ίδιο ερώ­
τημα για τους κατακόρυφους σωλήνες e καιf. t) Πόση είναι η τα­
χύτητα ροής στονάξονατου κάθε τμήματοςτου οριζόντιου σωλήνα;
c
h
ΣΧΗΜΑ 14-47
δη. b) Χρησιμοποιήστε τη σχέση p =p0 + pgh γιανα υπολογίσε­
τε απευθείας τη δύναμη πάνω στις δύο κεκλιj.ιένες πλευρές καθώς
και πάνω στη βάσητου κομματιού· δείξτε στη συνέχεια, ότι το δια­
νυσματικό άθροισμα των δυνάμεων αυτών ισούται με την άνωση.

7. 412 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΜΗΧΑΝΙΚΉ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΣΧΗΜΑ 1μt8
14-72 Μια κοτρώνα μάζας m = 5,00 kg είναι κρεμασμένη με
ένα ελαφρό σχοινί από την οροφή ενός ανελκυστήρα. Η κοτρώνα
είναι εντελώς βυθισμένη σε ένα κάδο με νερό, που βρίσκεται στη
βάση του ανελκυσηjρα, χωρίς να ακουμπά στον πυθμένα ή στην
παράπλευρη επιφάνεια. a) Όταν ο ανελκυστήρας ηρεμεί, η τάση
του σχοινιού είναι 38,0 Ν. Υπολογίστε τον όγκο της κοτρώνας. b)
Βρείτε μια έκφραση για την τάση του σχοινιού όταν ο ανελκυστή­
ρας επιταχύνεται προς τα πάνω με επιτάχυνση α. Υπολογίστε την
τάση όταν α = 2,50 m/s2 προς τα πάνω. c) Βρείτε μια έκφραση για
την τάση του σχοινιού όταν ο ανελκυστήρας έχει επιτάχυνση α
προς τα κάτω. Υπολογίστε την τάση όταν α = 2,50 m/s2 προς τα
κάτω. d) Πόση είναι η τάση όταν ο ανελκυστήρας υφίσταται ελεύ­
θερη πτώση με επιτάχυνση g;
14-73 Ένας υοειδής σωλήνας περιέχει υγρό ενώ το μήκος του
οριζόντιου τμήματός του είναι l. Πόση είναι η διαφορά ύψους των
υγρών στηλών στους κατακόρυφους βραχίονες, a) αν ο σωλήνας
έχει επιτάχυνση α προς τα δεξιά; b) Αν ο σωλήνας είναι εγκατε­
στημένος κατακόρυφα σε μια οριζόντιατράπεζα, που περιστρέφε­
ται με γωνιακή ταχύτητα ω περί άξονα ο οποίος συμπίπτει με τον
άξονα ενός από τους κατακόρυφους βραχίονες; c) Εξηγήστε για­
τί η διαφορά ύψους δεν εξαρτάται από την πυκνότητατου ρευστού
ή το εμβαδόν της διατομής του σωλήνα. Θα προέκυπταν τα ίδια α­
ποτελέσματα, αν οι κατακόρυφοι σωλήνες δεν είχαν την ίδια δια­
τομή ή αν ο οριζόντιος σωλήνας είχε μειούμενο εμβαδόν διατομής
από το ένα άκρο στο άλλο;
ΣΧΗΜΑ 1μt9
14-74 Μια μεγάλη ανοιχηj δεξαμενή διαμέτρου D περιέχει νε­
ρό ώς το ύψοςΗ. Στον πυθμένα της δεξαμενήςυπάρχει μια μικρή
οπή διαμέτρου d ( d << D). Αγνοώντας την επίδραση του ιξώδους,
υπολογίστε το χρόνο που χρειάζεται για να αδειάσει εντελώς η δε­
ξαμενή.
14-75 Ο σίφωνας (σιφώνι) που φαίνεται στο Σχ. 14-50, είναι έ­
να βολικό όργανο για να μεταγγίσουμε ένα υγρό από το δοχείο
του. Για να επιτευχθείη ροή, ο σωλήνας πρέπει αρχικάνα είναι γε­
μάτος με υγρό. Έστω ότι η πυκνότητα του υγρού είναι ρ και η α­
τμοσφαιρική πίεση είναιPa· Υποθέστε ότι ο σωλήνας έχει σταθερή
διατομή. a) Αν το χαμηλότερο άκρο του σιφωνιού βρίσκεται σε α­
πόσταση h πιο κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού στο
δοχείο, πόση είναι η ταχύτητα του υγρού καθώς εκρέει από αυτότο
άκρο; (Υποθέστε ότι το δοχείο έχει πολύ μεγάλη διάμετρο και α­
γνοήστε την επίδραση του ιξώδους). b) Ένα παράξενο χαρακτη­
ριστικό του σιφωνιού είναι ότι, στην αρχή της διαδρομής του, το υ-
- - - τΗ
th
1
ΣΧΗΜΑ 14-50
γρό ρέει προς τα πάνω. Πόσο είναιτο μέγιστο ύψος Η που μπορεί
να έχειτοψηλότερο σημείοτου σωλήνα χωρίς να διακοπείη ροή;
14-76 Για ένα σώμα που υφίσταται πτώση στον αέρα, ο νόμος
του Stokes επαληθεύεται μόνο για μικρές ταχύτητες. Η αντίσταση
του αέρα σε ένα σώμα που πέφτει στην ατμόσφαιρα περιγράφεται
ακριβέστερα από το � CΑρυ2, όπου Α είναι το εμβαδόν της μέγι­
στης διατομής του σώματος κάθετης στη διεύθυνση κίνησης, ρ εί­
ναι η πυκνότητα του αέρα και C ο συντελεστής τριβής που προσ­
διορίζεται πειραματικά (δείτε το Εδ. 6-6)· για ένα σφαιρικό σώ­
μα, που έχει τις ταχύτητες του προβλήματος, ο C είναι 0,50 περί­
που. [Σημείωση: Μια γραφική παράσταση τωντιμώντου C για μια
ευρεία περιοχή τιμών ταχύτητας υπάρχει στην Introduction to
Fluid Mechanics, των J.E.A. John και W. Haberman (Englewood
Cliffs, N.J.: Prentice-Hall), σ. 198]. Μια μπίλια ρουλεμάν ακτίνας
0,500 cm και μάζας 4,00 g αφήνεται να πέσει από την κορυφή του
κτιρίου Sears Tower στο Σικάγο που έχει ύψος 443 m. a) Υπολο­
γίστε την ταχύτητα που θα είχε η μπίλια στο έδαφος, αν η αντίστα­
ση του αέρα ήταν αμελητέα. b) Λαμβάνοντας υπόψη την αντίστα­
ση του αέρα, πόση θα είναι η ορική ταχύτητα της μπίλιας; c) Πό­
ση θα είναι η ταχύτητα με την οποία προσκρούει στο έδαφος; (Ση­
μείωση: Δείτε το Πρόβλημα 5-86).
14-77 Το παρακάτω κείμενο είναι απόσπασμα μιας επιστολής.
Τι θα απαντούσατε;
Η πρακτική των ντόπιωνμαστόρων, όταν ρίχνουν θεμέλια κτιρίων
σχετικά μεγάλουμήκους και τα αλφαδιάζουν, είναι να χρησιμοποι­
ούνένα σωλήνα ποτίσματος (σαν αλφαδολάστιχο) και να συνδέουν
στα άκρα του δύο γυάλινους σωλήνεςμήκους 25 ως 30 cm.
Η εξήγηση που δίνουν είναι ότι το νερό, αναζητώντας κοινή
στάθμη, θα ανέβει στο ίδιο ύψοςκαι στους δύο σωλήνες και έτσι θα
πετύχουν αλφάδιασμα. Η ερώτηση τώρα είναι, τι θα συμβεί, αν μέ­
σα στο σωλήνα έχει απομείνει μια φυσαλίδα αέρα. Οι έμπειροι τε­
χνίτες ισχυρι"ςονται ότι ο αέρας δεν θα επηρεάσει την ένδειξη στα
δύο άκρα. Άλλοι λένε ότι θα προκαλέσει σημαντικές αποκλίσεις.
Μπορείτε να δώσετε μια σχετικά απλή απάντηση σε αυτότο ερώ­
τημα, μαζί με μια εξήγηση; Το Σχ. 14-51 δίνει μια χονδρική περι­
γραφή της κατάστασης που προκάλεσε τη διαφωνία.
ΣΧΗΜΑ 14-51
Φυσαλίδα αέρα παγιδευμένη μέσα στον
Εμπόδιο όχι ψηλότερα
από τη στάθμη του νερού
στουςγυάλινους σωλήνες
ελαστικό
σωλήνα