Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 25
• Το διανυσματικό γινόμενο C = Α χ Β δύο διανυσμάτων είναι ένα άλλο διάνυσμα C με
μέτρο
συνισταμένη
συνιστώσα
C = ΑΒ sin φ. (1-25)
Η κατεύθυνσή του είναι κάθετη στο επίπεδοτωνδύο διανυσμάτων και ορίζεται με τον κα­
νόνα του δεξιού χεριού. Οι συντεταγμένες του διανυσματικού γινομένου μπορούν να εκ­
φραστούν με τη βοήθειατων συντεταγμένωντων δύο διανυσμάτων που πολλαπλασιάζονται:
μοναδιαίο διάνυσμα
βαθμωτό γιν<)μενο
διανυσματικό γινόμενο
κανόνας δεξιού χεριού
δεξιόστροφο σύστημα
συντεταγμένων
(1-30)
Το διανυσματικό γινόμενο δεν είναι μεταθετικό· δεν πρέπει να αλλάζουμε τη σειρά των
παραγόντων. Για δύο οποιαδήποτε διανύσματα Α και Β έχουμε Α χ Β = -Β χΑ. Το δια­
νυσματικό γινόμενο δύο παράλληλων ή αντιπαράλληλων διανυσμάτων μηδενίζεται.
Α ΣΚ Ή ΣΕ Ι Σ _______________________
Εδάφιο 1-3
Πρότυπα και μονάδες
Εδάφιο 1-4
Συμφωνία μονάδων και μετατροπές
1-1 Ξεκινώντας απότον ορισμό 1,00 in. = 2,54 cm υπολογίστε
με πόσα μίλια ισοδυναμεί ένα χιλιόμετρο.
1-2 Η πυκνότητα του νερού είναι 1,00 g!cm3• Πόση είναι η τιμή
της σε χιλιόγραμμα ανά κυβικό μέτρο;
1-3 Το Concorde είναι το πιο γρήγορο αεροπλάνο που χρησι­
μοποιείται για εμπορικούς σκοπούς και μπορεί να ταξιδέψει με
1 450 mi/h (που είναι περίπου διπλάσια ταχύτητα από εκείνη του
ήχου, ή μ' άλλα λόγια, 2 Mach). Πόση είναι η ταχύτητα του
Concorde (a) σε mi/s; (b) σε rn/s;
1-4 Το πιστόνι της μηχανής ενός αυτοκινήτου μετατοπίζεται
κατά 1,80 L (1 L = 1 λίτρο). Χρησιμοποιώντας μόνο τις σχέσεις
1,00 L = 1 000 cm3 και 1,00 in. = 2,54 cm εκφράστε αυτότον όγκο
σε κυβικές ίντσες.
1-5 Η κατανάλωση βενζίνης ενός μικρού αυτοΚινήτου είναι
19,0 km/L (1 L = 1 λίτρο). Με πόσα μίλια ανάγαλόνι ισοδυναμεί
αυτή; Χρησιμοποιήστε τους παράγοντες μετατροπής που δίνονται
στο Παράρτημα Ε.
1-6 Το όριο ταχύτητας σ' έναν αυτοκινητόδρομο της Πέρα
Σλομποβίας είναι 135 000 furlongs το δεκαπενθήμερο. Με πόσα
μίλια την ώρα ισοδυναμεί αυτό το όριο; (το furlong είναι παλιά
αγγλοσαξωνική μονάδα μήκους, ίση με το � του μιλίου· αρχικά
σήμαινε το τυπικό μήκος της aυλακιάς του aρότρου {= furrow +
long}).
Εδάφιο 1-5
Ακρίβεια και σημαντικά ψηφία
1-7 Στο Σχ. 1-5 βλέπουμε το αποτέλεσμα ανεπίτρεπτου λάθους
στη θέση όπου σταμάτησε ένα τρένο. Αν το τρένο διάνυσε 270 km
από τις Βρυξέλες ώς το Παρίσι και ξεπέρασε το τέλος των σιδη­
ροδρομικών γραμμών κατά 15 m, πόσο είναι το επί τοις εκατό
σφάλμα στη συνολική απόσταση που διανύθηκε;
1-8 Πόσο είναι το επί τοις εκατό σφάλμα κα"θεμιάς από τις ε­
πόμενες προσεγγίσεις του π; (a) � (b) 355
7 113
1-9 Εκτιμήστε το επίτοις εκατό σφάλμα στη μέτρηση (a) μιας
απόστασης περίπου 40 cm με χάρακα· (b) μιας μάζας περίπου 8 g
με χημικό ζυγό· (c) ενός χρονικού διαστήματος περίπου 5 min με
χρονόμετρο.
1-10 Μια γωνία δίνεται, με ένα σημαντικό ψηφίο, να είναι 7°,
που σημαίνει πως η τιμή της βρίσκεται μεταξύ 6,5ο και 7,5ο. Βρεί­
τε την αντίστοιχη περιοχή πιθανών τιμώντου συνημιτόνου της γω­
νίας. Είναι αυτή μια περίπτωση όπου υπάρχουν περισσότερα ση­
μαντικάψηφία στο αποτέλεσμα απ' όσα στα δεδομένα;
1-11 Η μάζα της Γης είναι 5,98 χ 1024 kg και η ακτίνα της
6,38 χ 106 m. Υπολογίστετην πυκνότητατης Γης χρησιμοποιώντας
συμβολισμό δυνάμεων του 10 και τον σωστό αριθμό σημαντικών
ψηφίων. (Ηπυκνότητα ενός αντικειμένου ορίζεται να είναι ο λό­
γος της μάζας διά του όγκου του. Ο τύπος για τον όγκο της σφαί­
ρας δίνεται στο Παράρτημα Β.)
Εδάφιο 1-6
Εκτιμήσεις και τάξη μεγέθους
1-12 Πόσα σπυριά καλαμπόκιχωράνε σ' ένα μπουκάλι αναψυ-
κτικού του ενός λίτρου;
-
1-13 Ένα κουτί χαρτί γραφομηχανής έχει διαστάσεις
11" χ 17" χ 9"· στη συσκευασία του σημειώνεται ''10 Μ". Τι ση­
μαίνει αυτό; Ότι περιέχει δέκαχιλιάδες φύλλα, ή δέκα εκατομμύ­
ρια;
1-14 Πόσος είναι ο συνολικός όγκος αέρα που αναπνέει ένας
άνθρωπος κατά τη διάρκεια της ζωής του; Να τον συγκρίνετε με
τον όγκο του Ολυμπιακού Σταδίου. (Εκτιμήστε πως ο άνθρωπος
παίρνει περίπου 500 cm3 αέρα σε κάθε αναπνοή του.)
1-15 Πόσεςτρίχες έχετε στο κεφάλι σας;
1-16 Πόσες φορές χτυπάει η ανθρώπινη καρδιά κατάτη διάρ­
κεια της ζωής; Πόσα γαλόνια αίματος αντλεί; (Εκτιμήστε πως η
καρδιά αντλεί 50 cm3 αίματος με κάθε χτύπο.)
1-17 Τα λύτρα για τη θεά Freia (Φράια) στην όπερα του
Wagner (Βάγκνερ) Το Δαχτυλίδι των Νιμπελούγκεν είναι ένας
σωρός χρυσού τόσο μεγάλος ώστε να την κρύβει τελείως. Εκτιμή­
στε την αξία αυτού του χρυσού. (Αναφερθείτε στο παράδειγμα
1-4 για να πληροφορηθείτε την τιμή της ουγγιάς του χρυσού και
την πυκνότητά του.)
1-18 Πόσες σταγόνες νερού υπάρχουν συνολικά σ' όλους τους
ωκεανούς;
1-19 Αν γεμίσετε το δωμάτιό σας με πέτρες, πόσο θα ζυγίζουν;
Ενώ αν το γεμίσετε με τσαλακωμένες εφημερίδες;

2. 26
1-20 Πόσα χιλιάρικα (σε χαρτονομίσματα) πρέπει να βάλουμε
το ένα πάνω στο άλλο, ώστε να φτάσουμε στο φεγγάρι; Θα μας
κόστιζε φτηνότερα από το να κατασκευάσουμε και να εκτοξεύ­
σουμε ένα διαστημόπλοιο;
Εδάφιο 1-7
Διανύσματα και πρόσθεση διανυσμάτων
1-21 Ένας ταχυδρομικός διανομέας κάνει με το φορτηγό του
τη διαδρομή που φαίνεται στο Σχ. 1-23. Βρείτε το μέτρο και τη δι­
εύθυνση της συνισταμένης μετατόπισής του, σχεδιάζοντας διά­
γραμμακαι κλίμακα.
ΑΡΧΗ 11 ΣΧΗΜΑ l-23
1-22 Κάνετε ένα σχέδιο υπό κλίμακα για να βρείτε το μέτρο
και την κατεύθυνση (a) του διανυσματικού αθροίσματος Α + Β
και (b) της διανυσματικής διαφοράςΑ - Β των διανυσμάτωνΑ και
Β που φαίνονται στο Σχ. 1-24.
1-23 Ένας σπηλαιολόγος εξερευνά ένα σπήλαιο. Ακολουθεί
στοά μήκους 180 μέτρων προς τ' ανατολικά, μετά διανύει 80 m σε
διεύθυνση 60ο δυτικά του βορρά και μετά 150 m σε 45 ο δυτικά
του νότου. Μετά από μια τέταρτη μετατόπιση, που δεν τη μέτρησε,
βρέθηκε πίσω στο σημείο απ' όπου ξεκίνησε. Κάνετε ένα διά­
γραμμα υπό κλίμακα και προσδιορίστε την τέταρτη μετατόπιση
(κατά μέτρο και κατεύθυνση).
Υ
Β (18,0 m)
ΣΧΗΜΑ l-24
Εδάφιο 1-8
Συνιστώσες διανυσμάτων
1-24 Χρησιμοποιήστε διάγραμμα υπό κλίμακα για να βρείτε
τις συνιστώσεςχ καιyτων παρακάτω διανυσμάτων. Σε κάθε περί­
πτωση δίνεταιτο μήκοςτου διανύσματος και η γωνίαπου σχημα­
τίζει με τον άξονα +χ, μετρημένη με φορά αντίθετη εκείνης των
δεικτών του ρολογιού. a) μήκος 8,90 m, γωνία 60,0ο; b) μήκος
12 km, γωνία 315°; c) μήκος 5,20 cm, γωνία 143'.
1-25 Υπολογίστε τις συνιστώσεςχ καιy καθενός από τα διανύ­
σματαΑ, Β και C στο Σχ. 1-25.
. 1-26 Βρείτε το μέτρο καιτην κατεύθυνση του διανύσματος που
έχει τα παρακάτω ζεύγη συνιστωσών: a) Αχ = 2,80 cm, Ay =
Υ
ΣΧΗΜΑ l-25
- 4,10 cm· b)Ax = - 5,40 m, Ay = - 9,45 m· c)Ax = - 2,25 km,
Ay = 3,60 km.
1-27 Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των συνιστωσών για να βρεί­
τε το μέτρο καιτην κατεύθυνση (a) του διανυσματικού αθροίσμα­
τος Α + Β και (b) της διανυσματικής διαφοράς Α - Β των δια­
νυσμάτωνΑ καιΒ που φαίνονται στο Σχ. 1-24.
1-28 Το διάνυσμαΑ έχει συνιστώσεςΑχ = 2,90 cm, Ay = 3,45
cm· το διάνυσμα Β έχει συνιστώσες Βχ = 4,10 cm, By = - 2,25 cm.
Βρείτε a) τις συνιστώσες του διανυσματικού αθροίσματοςΑ + Β·
b) το μέτρο και την κατεύθυνση τουΑ + Β· c) τις συνιστώσες της
διανυσματικής διαφοράςΑ - Β· d) το μέτρο και την κατεύθυνση
Α - Β.
1-29 Κάποιος καθηγητής φυσικής, που έχασε τον δρόμο του,
οδηγεί 4,92 km ανατολικά, μετά 3,95 km νότια και τέλος 1,80 km
δυτικά. Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση της συνισταμένης του
μετατόπισης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συνιστωσών.
1-30 Μια ταχυδρομική διανομέας ακολουθεί με το φορτηγάκι
της τη διαδρομή που φαίνεται στο Σχ. 1-23. Χρησιμοποιήστε τη μέ­
θοδο συνιστωσών για να προσδιορίσετε το μέτρο και την κατεύ­
θυνση της συνισταμένης της μετατόπισης.
1-31 Το διάνυσμαΑ έχει μήκος 2,80 cm και βρίσκεται 60,0° πά­
νω απότον άξοναχ στο πρώτο τεταρτημόριο. Το Β έχει μήκος 1,90
cm και βρίσκεται 60,0° κάτω απότον άξοναχ στο τέταρτο τεταρτη­
μόριο (Σχ. 1-26). Βρείτε το μέτροκαιτηνκατεύθυνσητων διανυσμά­
των a)A + B· b)A -B· c) B-A.
Υ
ΣΧΗΜΑ 1-26
Εδάφιο 1-9
Μοναδιαία διανύσματα
1-32 Γράψτε καθένα από τα διανύσματα του Σχ. 1-24 με τη
βοήθειατων μοναδιαίων διανυσμάτων ί καιj.
1-33 Δίνονται δύο διανύσματα Α = 4ί + 3j και Β =
ί -5j. (a) Βρείτε τα μέτρα τους (b) Γράψτε μια έκφραση γιατη

3. Υ
Β (2,40 m) ΣΧΗΜΑ l-27
διανυσματική διαφοράΑ - Β, χρησιμοποιώντας μοναδιαία διανύ­
σματα· (c) Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση της διαφοράς
Α - Β.
1-34 a) Γράψτε καθένα διάνυσμα του Σχ. 1-27 με τη βοήθεια
των μοναδιαίων διανυσμάτων ί και Ι b) Χρησιμοποιήστε μονα­
διαία διανύσματα για να εκφράσετε το διάνυσμα C, όπου C =
3Α - 2Β· c) Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση του C.
Εδάφιο 1-10
Γινόμενα διανυσμάτων
1-35 Να καταστρώσετε πίνακαπολλαπλασιασμού των βαθμω-
ΠΡΟΒΛ Ή Μ Α Τ Α
1-43 Το maser υδρογόνου. Το maser υδρογόνου εκπέ­
μπει ραδιοκύματα, που έχουν μία από τις πρότυπες συχνότητες.
Αυτά τα κύματα έχουν συχνότητα 1 420 405 751,786 Hz (το Hertz
είναι η μονάδα των κύκλων ανά δευτερόλεπτο). Ένα ρολόι, που ε­
λέγχεται από maser υδρογόνου, μπορείνα πάει λάθος μόνο 1 s στα
100 000 χρόνια. Απαντήστε στις επόμενες ερωτήσεις με τρία σημα­
ντικά ψηφία μόνο (ο μεγάλος αριθμός σημαντικών ψηφίων στη συ­
χνότητα δείχνει το μέγεθος της ακρίβειας με την οποία μετρήθηκε
αυτή η συχνότητα). a) Πόση είναι η περίοδος του ραδιοκύματος;
b) Πόσες περίοδοι περιέχονται σε μία ώρα; c) Πόσες περίοδοι πε­
ριέχονται στην ηλικίατης Γης, που εκτιμάταινα είναι 4600 εκατομ­
μύρια χρόνια; d) Πόσα δευτερόλεπτα θα μπορούσε να πάει λάθος
έναρολόι με maserυδρογόνου κατάτο χρόνο ζωήςτης Γης;
1-44 Σε άρθρο τελευταίου τεύχους ενός περιοδικού διαβάζου­
με: <<Η ακριβότερη γη στην Ιαπωνία την 1η Ιανουαρίου 1990 βρί­
σκεται στις περιοχές Ginza και Marunouchi, στο κέντροτου Τό­
κυο, και κοστίζει 37,7 εκατομμύρια γιεν το τετραγωνικό μέτρο>>.
Στη συνέχεια, το άρθρο ανέφερε την τιμή που θα είχε, σε δολάρια
ΗΠΑ, ένα κομματάκι αυτών των περιοχών μικρό σαν γραμματό­
σημο. Υποθέτοντας πως ένα γραμματόσημο έχει διαστάσεις
2 χ 2,5 cm, πόση ήταν η τιμή που ανέφερε το άρθρο; Την εποχή ε­
κείνητο δολάριο ισοδυναμούσε με 136γιεν.
1-45 Το διάνυσμαΜ, με μέτρο5,20 cm, σχηματίζειγωνία49,0°
με τον άξονα +χ, μετρημένη σε φορά αντίθετη εκείνης των δει­
κτών του ρολογιού. Αυτό προστίθεται στο διάνυσμα Νκαι η συνι­
σταμένη είναι διάνυσμα με μέτρο5,20 cm σε γωνία 32ο μετρημένη
με τον ίδιο τρόπο. Βρείτε a) τις συνιστώσες του Ν b) το μέτρο
καιτην κατεύθυνση τουΝ.
1-46 Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση του διανύσματοςR,
που είναι το άθροισμα των τριών διανυσμάτωνΑ, Β και C στο Σχ.
1-25.
27
τών γινομένων όλων των δυνατών ζευγών μοναδιαίων διανυσμά­
των, όπως ί · ί = ; , ί ·j = ; κ.τ.λ.
1-36 Βρείτε το βαθμωτό γινόμενοΑ · Β των δύο διανυσμάτων
του Σχ. 1-24.
1-37 Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των δύο διανυσμάτων που
δίνονται στην Άσκηση 1-33.
1-38 Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτωνΑ = -2ί + 7j
και Β = 3ί -j.
1-39 Να καταστρώσετε πίνακα πολλαπλασιασμού των διανυ­
σματικών γινομένων όλωντων δυνατών ζευγών μοναδιαίων δια­
νυσμάτων, όπως ί χ ί = ; , ί xj = ; κ.τ.λ., σε δεξιόστροφο σύστη­
μα συντεταγμένων.
1-40 Βρείτε το μέτρο και τη διεύθυνση του διανυσματικού γι­
νομένου a) Α χ Β και b) Β χΑ των δύο διανυσμάτων του Σχ.
1-24.
1-41 Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο (εκφρασμένο με μονα­
διαία διανύσματα) των δύο διανυσμάτων που δίνονται στην Άσκη­
ση 1-33. Πόσο είναι το μέτρο του;
1-42 Ποιες από τις παρακάτω είναι σωστές μαθηματικές εκ­
φράσεις; a) A · (B - C) b) (A - B) x C c) A · (B x C)
d)Α χ (Β χ C) e) Α χ (Β · C).
1-47 Ένας σπηλαιολόγος εξερευνά σπήλαιο. Ακολουθεί στοά
μήκους 180 μέτρων προς τα ανατολικά, μετά διανύει 80 m σε διεύ­
θυνση 30ο δυτικάτου βορρά και μετά 150 m σε 45ο δυτικά του νό­
του. Μετά από μιατέταρτη μετατόπιση, που δεν τη μέτρησε, βρέ­
θηκε πίσω στο σημείο απ' όπου ξεκίνησε. Προσδιορίστε την τέ­
ταρτη μετατόπιση (κατά μέτρο και κατεύθυνση) με τη μέθοδο των
συνιστωσών.
1-48 Ο κυβερνήτης μικρού ιστιοπλο.ίκού συναντάει μεταβλη­
τούς ανέμους. Ταξιδεύει 2,00 km ανατολικά, μετά 3,50 km νοτιοα­
νατολικά, και τέλος έχει μια πρόσθετη μετατόπιση προς άγνωστη
κατεύθυνση. Η τελική του θέση βρίσκεται 5,80 km, ακριβώς δυτι­
κά του σημείου απ' όπου ξεκίνησε (Σχ. 1-28). Βρείτε το μέτρο και
την κατεύθυνση τουτρίτου μέρους του ταξιδιού.
1-49 Μια σκιέρ διανύει 7,40 km σε κατεύθυνση 30,0° δυτικά
του νότου, μετά 2,80 km σε 45,0° βόρεια της δύσης και τελικά 5,20
km σε κατεύθυνση 22,0° ανατολικάτου βορρά. a) Δείξτε αυτές
"ΓΕΛΟΣ
""ι(----- 5,80 km -----::>1)1
2,00 km
ΣΧΗΜΑ l-28

4. 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΟΝΤΕΛΑ, ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
τις μετατοπίσεις σε διάγραμμα b) Πόσο μακριά βρέθηκε από το
σημείο που ξεκίνησε;
1-50 Βρείτε: a) το βαθμωτό γινόμενοΑ · Β και b) το μέτρο
και την κατεύθυνση του διανυσματικού γινομένου Α χ Β των δύο
διανυσμάτωνΑ και Β του σχήματος 1-27.
1-51 Δίνονται δύο διανύσματαΑ = -ί + 2j - Sk και Β = 3ί +
2j - 2k. a) Βρείτε τα μέτρα τους b) Γράψτε μια έκφραση για τη
διqνυσματική διαφοράΑ - Β, χρησιμοποιώντας μοναδιαία διανύ­
σμάτα· c) Βρείτε το μέτρο της διανυσματικής διαφοράςΑ -Β. Εί­
ναι ίσο με το μέτρο της διαφοράς Β -Α; Εξηγήστε γιατί.
1-52 Γωνία χημικών δεσμών στο μεθάνιο. Στο μεθά­
νιο, CH4, τα άτομα υδρογόνου βρίσκονται στις γωνίες κανονικού
τετραέδρου, στο κέντρο του οποίου βρίσκεται το άτομο του άνθρα­
κα. Σε σύστημα συντεταγμένων, όπου ένας από -.;ους δεσμούς
C - Η βρίσκεται στην κατεύθυνση ί + j+k, ο διπλανός δεσμός
C - Η βρίσκεταιστην κατεύθυνση ί -j - k. Υπολογίστε τη γωνία
μεταξύ αmών των δύο δεσμών.
1-53 Ένας κύβος έχει τοποθετηθεί έτσι, ώστε η μια γωνία του
να βρίσκεται στην αρχή και οι τρεις ακμές του κατά μήκος των α­
ξόνωνχ, y και z ενός συστήματος συντεταγμένων (Σχ. 1-29). Υπο­
λογίστε a) Τη γωνία μεταξύ της ακμής, που βρίσκεται στον άξο­
ναz (γραμμή ab) και της διαγωνίου, που σύρεται από την αρχή ώς
την απέναντι γωνία (γραμμή ad)· b) τη γωνία μεταξύ της γραμ­
μής ad και της ac (δηλ. της διαγωνίου έδρας).
1-54 Η γωνία που σχηματίζουν δύο διανύσματαΑ και Β με
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
1-55 Η ποδοσφαιρική ομάδα του Πανεπιστημίου της Μαθημα­
τικίας καταγράφει τις πάσες των παικτών χρησιμοποιώντας δια­
νυσματικές μετατοπίσεις της μπάλας. Η αρχή του συστήματος συ­
ντεταγμένων βρίσκεται στο κέντρο του γηπέδου, σε απόσταση 50
μέτρων από τα δύο τέρματα. Σε κάποια φάση του παιχνιδιού, έ­
νας κυνηγός της ομάδας Α ξεκινάει από τη θέση +i - Sj, όπου οι
μονάδες είναι μέτρα, το μοναδιαίο διάνυσμαj κατευθύνεται από
το τέρμα της ομάδας Α προς το τέρμα της Β και το ί κατευθύνεται
προς τα δεξιά τουj. Οι διαδοχικές μετατοπίσεις του κυνηγού εί­
ναι Si, 8j (πλησιάζειπροςτοτέρματης Β) - 3ί + 2j (λοξά προς τα
αριστερά) και 6ί + 10j (λοξά προς τα δεξιά). Πόσο μακριά και
προς ποια κατεύθυνση πρέπει να σουτάρει, ώστε να πετύχει τέρ­
μα; (Πριν αρχίσετε την αριθμητική λύση, σας συμβουλεύουμε να
κάνετε ένα διάγραμμα, όπως στις ασκήσεις 1-21 και 1-30.)
1-56 Οι φυσικοί, οι μαθηματικοί και άλλοι επιστήμονες συχνά
χειρίζονται πολύ μεγάλους αριθμούς. Οι μαθηματικοί έδωσαν
στον αριθμό 10
100 το σκαμπρόζικο όνομα googol (γκούγκολ). Ας
συγκρίνουμε μερικούς μεγάλους αριθμούς που συναντάμε στη
φυσική με το googol. (Σημείωση: το πρόβλημα απαιτεί αριθμητι­
κές τιμές που δίνονται στα συμπληρώματα του βιβλίου, με τα ο­
ποία πρέπει να εξοικειωθείτε.) a) Από πόσα άτομα αποτελείται
η Γη; Για απλότητα, πάρτε ένα μέσο ατομικό βάρος των ατόμων,
14 g/mol. Ο αριθμός του Avogadro δίνει τον αριθμό ατόμων σ' ένα
γραμμομόριο· b) Πόσα περίπου νετρόνια αποτελούν έναν αστέ­
ρα νετρονίων; Οι aστέρες νετρονίων αποτελούνται μόνο από νε­
τρόνια και έχουν μάζα περίπου διπλάσια από τη μάζα του ηλίου.
c) Σύμφωνα με μια θεωρία για την προέλευση του σύμπαντος, σε
κάποιο πολύ αρχικό στάδιο το σύμπαν είχε πυκνότητα (μάζα διαι­
ρεμένη με όγκο) 1015 g!cm3 και ακτίνα περίπου ίση με τη σημερινή
z
--- y
χ
ΣΧΗΜΑ Ι-29
κοινή αρχή είναι θ. a) Δείξτε ότι το μέτρο του διανυσματικού
τους αθροίσματος είναι
b) Αν ταΑ καιΒ έχουντο ίδιο μέτρο, κάτω από ποιες συνθήκες το
διανυσματικό τους άθροισμα θα έχει το ίδιο μέτρο με ταΑ και Β;
c) Βρείτε μια έκφραση, ανάλογη με εκείνη του (a) μέρους του
προβλήματος, για το μέτρο της διανυσματικής διαφοράςΑ - Β·
d) Αν ταΑ καιΒ έχουν το ίδιο μέτρο, κάτω από ποιες συνθήκες η
διαφοράΑ -Β θα έχει αυτότο ίδιο μέτρο;
απόσταση της Γης από τον Ήλιο. Αν υποθέσουμε πως το +
των σωματιδίων ήταν πρωτόνια, το + νετρόνια και το υπόλοιπο +
ηλεκτρόνια, πόσα σωματίδια αποτελούσαν τότε το σύμπαν;
1-57 Το βαθμωτό και το διανυσματικό γινόμενο θα εμφανι­
στούν αργότερα σε πολλές φυσικές εφαρμογές προςτο παρόν θε­
ωρήστετις παρακάτω εφαρμογές: a) Ας είναιΑ και Β δύο διανύ­
σματα πάνω στις πλευρές παραλληλογράμμου, του οποίου οι
πλευρές έχουν μήκηΑ και Β (Σχ. 1-30a). Δείξτε ότι C είναι η επι­
φάνεια του παραλληλόγραμμου, όπου C = Α χ Β· b) Ο όγκος πα­
ραλληλεπιπέδου με ακμές, που έχουν μήκηΑ, Β και C, μπορεί να
εκφραστεί κομψά σαν γινόμενο τριών διανυσμάτωνΑ, Β και C, ό­
που τοΑ βρίσκεταιπάνω στην ακμή με μήκοςΑ κ.τ.λ. (Σχ. 1-30b).
Εκφράστε τον όγκοτου παραλληλεπιπέδου σαν μέτρο κατάλλη­
λου γινομένου των διανυσμάτωνΑ, Β και C.
Β
Α
(a)
ΣΧΗΜΑ Ι-30
(b)
1-58 Κατασκευάστε μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στα δύο δια­
νύσματα που δίνονται στο πρόβλημα 1-51.