Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 707
τό ονομάζεται διηλεκτρική κατάρρευση. Το μέγιστο πεδίο υπό το οποίο ένα υλικό
μπορείνα ανθέξειχωρίςναυποστείκατάρρευση ονομάζεται διηλεκτρική αντοχή.
• Η πυκνότητα ενέργειας u ενός εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου μέσα σε διηλε­
κτρικό είναι
(25-19)
• Ο νόμοςτου Gauss μπορείνα αναδιατυπωθεί για διηλεκτρικά ως εξής:
fκE·dA=Q�,ι· (25-22)
όπου το Ωencι περιλαμβάνει μόνο το ελεύθερο φορτίο (όχι το δέσμιο φορτίο ή φορτίο
πολώσεως) που περικλείεται από την επιφάνεια Gauss.
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ________________________
Εδάφιο 25-2
Υπολογισμοί χωρητικότητας
25-1 Επίπεδος πυκνωτής αέρος έχει χωρητικότητα 500 pF και
φορτίο μέτρου 0,200 μC στονκάθε οπλισμό του. Οιοπλισμοί(πλά­
κες) βρίσκονται σε απόσταση 0,400 mm μεταξύ τους. a) Πόση εί­
ναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών; b) Πόση είναι η
επιφάνεια του καθενός οπλισμού; c) Πόσο είναι το μέτρο του η­
λεκτρικού πεδίου μεταξύ των πλακών; d) Πόση είναι η επιφανει­
ακή πυκνότητα φορτίου στον κάθε οπλισμό;
25-2 Οι οπλισμοί ενός επίπεδου πυκνωτή βρίσκονται σε από­
σταση 4,00 mm μεταξύ τους, και ο καθένας φέρει φορτίο μέτρου
5,00 χ ιο-s C. Οι οπλισμοί βρίσκονταιστο κενό. Το ηλεκτρικό πε­
δίο μεταξύ των οπλισμών έχει μέτρο 4,00 χ 106 V/m. a) Πόση εί­
ναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών; b) Πόση είναι η
επιφάνεια του καθενός οπλισμού; c) Πόση είναι η χωρητικότητα
του πυκνωτή;
25-3 Πυκνωτής έχει χωρητικότητα 6,40 μF. Πόσο φορτίο πρέ­
πει να αφαιρεθεί για να ελαττωθεί η διαφορά δυναμικού μεταξύ
των πλακώντου κατά 50,0 Υ;
Εδάφιο 25-3
Πυκνωτές σε σειρά
και σε παράλληλη σύνδεση
25-4 Στο Σχ. 25-5a, έστω Cι = 4,00 μF, C2 = 6,00 μF, και Vab =
+54,0 Υ. Υπολογίστε a) το φορτίο του κάθε πυκνωτή· b) τη δια­
φορά δυναμικού μεταξύ των πλακών κάθε πυκνωτή.
25-5 Στο Σχ. 25-6a, Cι = 4,00 μF, C2 = 6,00 μF, και Vab =
+48,0 Υ. Υπολογίστε a) το φορτίο του καθενός πυκνωτή· b) τη
διαφορά δυναμικού μεταξύ των πλακών ενός εκάστου πυκνωτή.
25-6 Στο κύκλωμα του Σχ. 25-21, Cι = 2,00 μF, C2 = 4,00 μF,
και C3 = 9,00 μF. Η εφαρμοζόμενη διαφορά δυναμικού Vab =
+48,0 Υ. Υπολογίστε a) το φορτίο του καθενός πυκνωτή· b) τη
διαφορά δυναμικού μεταξύ των πλακών κάθε πυκνωτή· c) τη δια­
φορά δυναμικού μεταξύ των σημείων α και d.
25-7 Στο Σχ. 25-22, ο καθένας πυκνωτής έχει C = 2,00 μF και
το Vab = +36,0 Υ. Υπολογίστε a) το φορτίοτου καθενός πυκνω­
τή· b) τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των πλακών ενός εκάστου
πυκνωτή· c) τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των α και d.
25-8 Δύο επίπεδοι πυκνωτές έχουν αποστάσεις μεταξύ των
πλακώντους dι και d2 και ίσα εμβαδά οπλισμούΑ. Δείξτε ότι αν οι
πυκνωτές συνδεθούν σε σειρά, η ισοδύναμη χωρητικότητα είναι ί-
b
•
ΣΧΗΜΑ 25-21
b
•
ΣΧΗΜΑ 25-22
d
d
ση με τη χωρητικότητα ενός πυκνωτή με εμβαδόν της καθεμιάς
πλάκαςΑ και απόσταση πλακών dι + d2•
25-9 Δύο επίπεδοι πυκνωτές έχουν επιφάνειεςΑι καιΑ2 και ί­
σες αποστάσεις μεταξύ των πλακών τους d. Δείξτε ότι αν οι πυ­
κνωτές συνδεθούν παράλληλα, η ισοδύναμη χωρητικότητα είναι ί­
ση με τη χωρητικότητα ενός πυκνωτή με επιφάνεια πλάκαςΑι +
Α2 και απόσταση μεταξύ των πλακών του d.
Εδάφιο 25-4
Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου
25-10 Ένας πυκνωτής αέρα αποτελείται από δύο επίπεδες πq­
ράλληλες πλάκες σε απόσταση 1,20 mm μεταξύ τους. Το μέτροτου
φορτίου στην καθεμιά πλάκα είναι 0,0150 μC όταν η διαφορά δυ­
ναμικού είναι 200 Υ. a) Πόση είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή;
b) Πόση είναι η επιφάνεια της κάθε πλάκας; c)Πόση είναι η μέ­
γιστη διαφορά δυναμικού που μπορεί να εφαρμοστεί στα άκρα
του πυκνωτή χωρίς να επέλθει κατάρρευση του διηλεκτρικού;

2. 708 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25 ΧΩΡΗτΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ
(Διηλεκτρική κατάρρευση στον αέρα επέρχεται για ένταση ηλε­
κτρικού πεδίου 3,00 χ 106 Y/m.) d) Όταντο φορτίο είναι 0,0150
μC, πόση είναι η αποθηκευμένη ολική ενέργεια;
25-1 1 Πυκνωτής χωρητικότητας 300 μF φορτίζεται στα 240 Υ.
Στη συνέχεια οι πλάκες του συνδέονται με αγώγιμο σύρμα. Πόσα
joule θερμοδυναμικής (εσωτερικής) ενέργειας παράγονται καθώς
εκφορτίζεται ο πυκνωτής, αν όλη η ενέργεια που ήταν αποθηκευ­
μένη χρησιμοποιείται για την θέρμανση του σύρματος;
25-12 Πυκνωτής αέρα που αποτελείται από δύο παράλληλες
πλάκες σε μικρή απόσταση μεταξύ τους έχει χωρητικότητα 1000
pF. Το φορτίο της κάθε πλάκας είναι 5,00 μC. a) Πόση είναι η
διαφορά δυναμικού μεταξύ των πλακών; b) Αν το φορτίο διατη­
ρείται σταθερό και διπλασιαστεί η απόσταση των οπλισμών, πόση
θα γίνει η διαφορά δυναμικού μεταξύ των πλακών; c) Πόσο μη­
χανικό έργο απαιτείται για να επέλθει ο διπλασιασμός αυτός της
απόστασης;
25-13 Επίπεδος πυκνωτής χωρητικότητας 8,00 μF έχει απόστα­
ση πλακών 4,00 mm και είναι φορτισμένος με διαφορά δυναμικού
400 Υ. Υπολογίστε την πυκνότητα ενέργειας στο χώρο μεταξύ των
πλακών, σε μονάδες J/m3•
25-14 Πυκνωτής χωρητικότητας 20,0 μF είναι φορτισμένος υπό
διαφοράδυναμικού 600 Υ. Στη συνέχεια οι ακροδέκτεςτου φορτι­
σμένου πυκνωτή συνδέονται τους ακροδέκτες ενός aφόρτιστου
πυκνωτή χωρητικότητας 10,0 μF. Υπολογίστε a) το αρχικό φορτίο
του συστήματος b) την τελική διαφορά δυναμικού του καθενός
πυκνωτή στον αέρα· c) την τελική ενέργεια του συστήματος d)
τη μείωση της ενέργειας μετά τη σύνδεση των πυκνωτών.
25-15 Δύναμη επί οπλισμού πυκνωτή Επίπεδος πυ­
κνωτής με εμβαδά οπλισμού Α και απόσταση μεταξύ των οπλι­
σμώνχ είναι φορτισμένος, με φορτίο μέτρου q σε καθέναν οπλι­
σμό. a) Πόση είναι η ολική αποθηκευμένη ενέργεια; b) Οι οπλι­
σμοί απομακρύνονται ο ένας του άλλου κατά επιπλέον απόσταση
dx. Πόση είναι τώρα η ολική αποθηκευμένη ενέργεια; c) Αν F εί­
ναι η δύναμη με την οποία οι οπλισμοί έλκουν ο ένας τον άλλο, τό­
τε η διαφορά των δύο παραπάνω ενεργειών πρέπει να ισούται με
το έργο dW = F dx που παράγεται όταν απομακρύνονται οι οπλι­
σμοί. Δείξτε ότι F = q2/(2 ε0Α). d) Εξηγήστε γιατί η F δεν ισού­
ται με qE, όταν Ε είναι το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των οπλισμών.
Εδάφιο 25-5
Διηλεκτρικά
25-16 Δείξτε ότι η Εξ. (25-19) ισχύει για επίπεδο πυκνωτή αν
υπάρχει διηλεκτρικό στον χώρο μεταξύ των πλακών του. Αποδείξ-
Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
25-22 Ένα πληκτρολόγιο υπολογιστή Σε έναν τύπο
πληκτρολογίου υπολογιστή, το κάθε πλήκτρο συνδέεται με ένα μι­
κρό μεταλλικό πλακίδιο που παίζει τον ρόλοτου ενός οπλισμού ε­
πίπεδου πυκνωτή αέρος (Σχ. 25-23). Αν πιεστεί το πλήκτρο, η α­
πόσταση των οπλισμών μειώνεται και η χωρητικότητα αυξάνεται.
Κατάλληλο ηλεκτρικό κύκλωμα ανιχνεύει τη μεταβολή της χωρητι­
κότητας και έτσι γίνεται αντιληπτό ότι το πλήκτρο πατήθηκε.
Έστω ότι η επιφάνεια του κάθε μεταλλικού πλακιδίου είναι 50,0
mm2 και η απόσταση μεταξύ των πλακιδίων είναι 0,600 mm πριν
πατηθεί το πλήκτρο. Αν το κύκλωμα μπορεί να ανιχνεύσει ελάχι­
στη μεταβολή χωρητικότητας 0,250 pF, πόσο πρέπει να μετακινη­
θεί το πλακίδιο ώστε το κύκλωμα να μπορέσει να ανιχνεύσει τη
μετακίνησή του;
ΣΧΗΜΑ 25-23
τε το ακολουθώντας πορεία ανάλογη αυτής που ακολουθήθηκε
κατάτην απόδειξη της Εξ. (25-11).
25-17 Για την κατασκευή ενός επίπεδου πυκνωτή θα χρησιμο­
ποιηθεί ως διηλεκτρικό ελαστικό κόμμι που έχει διηλεκτρική στα­
θερά 3,40 και διηλεκτρική αντοχή 2,00 χ 107 Y/m. Ο πυκνωτής
πρέπει να έχει χωρητικότητα 1,50 nF και αντέχει σε μέγιστη δια­
φορά δυναμικού 6000 Υ. Πόση είναι η ελάχιστη επιφάνεια που
πρέπει να έχει ο κάθε οπλισμός;
25-18 Δύο αγώγιμες πλάκες είναι φορτισμένες με αντίθετα
φορτία, με ίσομέτρο φορτίου ανάμονάδα επιφάνειας. Διαχωρίζο­
νται με διηλεκτρικό πάχους 3,00 mm, σχετικής επιτρεπτότητας
(διηλεκτρικής σταθεράς) 4,50. Το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο διη­
λεκτρικό είναι 1,60 χ 106 Y/m. Υπολογίστε a) το φορτίο ανά μο­
νάδα επιφάνειαςστηνκάθε αγώγιμηπλάκα· b) το φορτίο ανά μο­
νάδα επιφάνειας στις επιφάνειεςτου διηλεκτρικού.
25-19 Δύο παράλληλες πλάκες φέρουν ίσα και αντίθετα φορ­
τία. Αν ο χώρος μεταξύ των πλακών είναι κενός, το ηλεκτρικό πε­
δίο είναι 3,60 χ 105 Y/m. Αν ο χώρος καλυφθεί πλήρως με διηλε­
κτρικό, το ηλεκτρικό πεδίο είναι 1,20 χ 105 Y/m. a) Πόση είναι η
επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στην επιφάνεια του διηλεκτρι­
κόυ; b) Πόση είναι η διηλεκτρική σταθερά;
25-20 Δύο παράλληλες πλάκες, η καθεμιά εμβαδού 40,0 cm2,
φέρουν ίσα και αντίθεταφορτία μέτρου 1,80 χ 10-7 C. Ο μεταξύ
τους χώρος είναι γεμάτος με διηλεκτρικό υλικό, και το ηλεκτρικό
πεδίο μέσα στο διηλεκτρικό είναι 3,30 χ 105 Y/m. a) Πόση είναι
η διηλεκτρική σταθερά του διηλεκτρικού; b) Πόσο είναι το ολικό
επαγόμενο φορτίοστην καθεμιά επιφάνεια του διηλεκτρικού;
Εδάφιο 25-7
Νόμος του Gauss σε διηλεκτρικά
* 25-21 Ο χώρος μεταξύ των πλακών ενός επίπεδου πυκνωτή εί­
ναι πλήρης με πλαστικό διηλεκτρικής σταθεράς Κ. Το μέτρο του
φορτίου καθεμιάς πλάκας είναι Q. Η κάθε πλάκα έχει επιφάνεια
Α, και η απόσταση μεταξύ των πλακών είναι d. a) Χρησιμοποιή­
στε τον νόμο του Gauss όπως εκφράζεται στην Εξ. (25-22) για να
υπολογίσετε το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου μέσα στο διηλεκτρι­
κό. b) Χρησιμοποιήστε το ηλεκτρικό πεδίο που βρήκατε στο ερ.
(a) για να υπολογίσετε την διαφορά δυναμικού μεταξύ των πλα­
κών. c) Χρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα του ερ. (b) για να προσ­
διορίσετε τη χωρητικότητα του πυκνωτή. Συγκρίνετε το αποτέλε­
σμά σας με την Εξ. (25-12).

3. 25-23 Ένα ηλεκτρονικό φλας (λυχνία έκλαμψης)
Τα φωτογραφικά ηλεκτρονικάφλαςπεριέχουν ένανπυκνωτή στον
οποίο αποθηκεύεται η ενέργεια που χρησιμοποιείται για να δημι­
ουργήσει τη φωτειν1j αναλαμπή. Υποθέστε ότι η αναλαμπή (έ­
κλαμψη) διαρκεί ,� s με μέση φωτεινή ισχύ περίπου 600 W. a)
Αν ο συντελεστής απόδοσης κατά τη μετατροπή ηλεκτρικής ενέρ­
γειας σε φως είναι 95% (η υπόλοιπη ενέργεια μετατρέπεται σε ε­
σωτερική (θερμοδυναμική) ενέργεια και τελικώς θερμότητα), πό­
ση ενέργεια πρέπει να αποθηκευτεί στον πυκνωτή για μια μόνο α­
ναλαμπή της συσκευής; b) Αν η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι
0,800 mF, πόση πρέπει να είναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ των
οπλισμών του ώστε ο πυκνωτής να έχει αποθηκευμένη την ενέρ­
γειαπου υπολογίστηκε στο (a);
25-24 Επίπεδος πυκνωτής αέρα αποτελείταιαπόδύοτετραγω­
νικές πλάκες εμβαδού 0,200 mZ, σε απόσταση 0,600 cm μεταξύ
τους. Οι οπλισμοί του συνδέονται με μπαταρία 50,0 Υ. a) Πόση
είναι η χωρητικότητα; b) Πόσο είναι το φορτίο της κάθε πλάκας;
c) Πόσο είναι το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των οπλισμών; d) Πόση
η αποθηκευμένη ενέργεια στον πυκνωτή; e) Αν αποσυνδεθεί η
μπαταρία και οι οπλισμοί απομακρυνθούν ώστε η μεταξύ τους α­
πόσταση να γίνει 1,20 cm, ποιες είναι τότε οι απαντήσεις στα ερω­
τήματα (a), (b), (c) και (d);
25-25 Υποθέστε ότι η μπαταρία του Προβλ. 25-24 παραμένει
συνδεδεμένη ενώ οι πλάκες απομακρύνονται η μία από την άλλη.
Ποιες είναι οι απαντήσεις στα ερωτήματα (a), (b), (c) και (d) όταν
οι πλάκες βρεθούν στην τελική τους θέση;
25-26 Σας είναι διαθέσιμοι πολλοί πυκνωτές των 0,500 μF. Η
τάση στους οπλισμούς κάθε πυκνωτή δεν πρέπει να υπερβαίνει τα
350 Υ. Πρέπει να κατασκευάσετε σύστημα χωρητικότητας 0,500
μF για να συνδεθεί στα άκρα μιας διαφοράς δυναμικού 600 Υ. a)
Δείξτε σε διάγραμμα πώς �ιπορεί να κατασκευαστεί ένας συνδυα­
σμός των διατιθέμενων πυκνωτών, κατάλληλα συνδεδεμένων ώστε
να έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες. b) Στην πράξη δεν υπάρχει
διηλεκτρικό που να είναι ιδανικός μονωτής, με άπειρη αντίσταση.
Υποθέστε ότι το διηλεκτρικό ενός μόνο από τους πυκνωτές στο
κύκλωμά σας έχει εκφυλιστεί σε μέτρια αγώγιμο υλικό. Τι θα συμ­
βεί σ' αυτή την περίπτωση;
25-27 Στο Σχ. 25-24, C1 = C5
= 3,00 μF και C2 = C3 = C
4
=
2,00 μF. Η εφαρμοζόμενη διαφορά δυναμικού είναι V.b = 600 Υ.
a) Πόση είναι η ισοδύναμη χωρητικότητα του κυκλώματος μεταξύ
των σημείων α και b; b) Υπολογίστε το φορτίο του κάθε πυκνωτή
και την διαφορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών του για καθέναν
από τους πυκνωτές του διαγράμματος.
ΣΧΗΜΑ 25-24
25-28 Πυκνωτές χωρητικότητας 2,00 μF και 3,00 μF συνδέο­
νται σε σειρά και τα άκρα του συστήματοςτροφοδοτούνται από
γραμμή 800 Υ. a) Βρείτε τοφορτίοκαιτηντάση μεταξύτων οπλι­
σμών του καθενός πυκνωτή. b) Το σύστημα των φορτισμένων πυ­
κνωτών αποσυνδέεται από τη γραμμή τροφοδοσίας και μεταξύ
τους και κατόπιν επανασυνδέονται, με τους ακροδέκτες που έχουν
φορτίο ίδιου προσήμου σε επαφή. Βρείτε το τελικό φορτίο και την
τελική τάση του καθενός πυκνωτή.
ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 709
ΣΧΗΜΑ 25-25
25-29 Στο Σχ. 25-25, η κάθε μια χωρητικότητα C1 είναι 9,00
μF, και η κάθε μιά χωρητικότητα C2 είναι 6,00 μF. a) Υπολογίστε
την ισοδύναμη χωρητικότητα του δικτυώματος μεταξύ των σημεί­
ων α και b. b) Υπολογίστε το φορτίοτου καθενός από τους τρεις
πλησιέστερους σταα και b πυκνωτές όταν v.b = 900 Υ. c) Αν ε­
φαρμόζεται τάση 200 Υ στα άκραα και b, υπολογίστε το Vcd·
25-30 Στο Σχ. 25-6a, έστω C1 = 6,00 μF, C2 = 3,00 μF, και V.b
= 36,0 Υ. Υποθέστε ότι οι φορτισμένοι πυκνωτές αποσυνδέονται
από την πηγή και μεταξύ τους και επανασυνδέονται με αγώγιμη
σύνδεση των οπλισμών που φέρουν αντίθετα φορτία. Κατά πόσο
ελαττώνεται η ενέργειατου συστήματος;
25-31 Τρεις πυκνωτές με χωρητικότητες 8,00, 8,00 και 4,00 μF
συνδέονται σε σειρά στα άκρα γραμμής τροφοδοσίας 36,0 Υ. a)
Πόσο είναι το φορτίο στον πυκνωτή των 4,00 μF; b) Πόση είναι η
ολική ενέργεια και των τριών πυκνωτών μαζί; c) Οι πυκνωτές α­
ποσυνδέονται από τη γραμμή τροφοδοσίας και μεταξύ τους και ε­
πανασυνδέονται παράλληλα μεταξύ τους, με αγώγιμη σύνδεση
των θετικών τους οπλισμών. Πόση είναι η τάση στα άκρα του πα­
ράλληλου συνδυασμού των πυκνωτών; d) Πόση είναι τώρα η ολι­
κή αποθηκευμένη ενέργεια στοσύστημα;
25-32 Οι πυκνωτές στο Σχ. 25-26 είναι αρχικώς aφόρτιστοι
και συνδέονται όπως στο διάγραμμα με το διακόπτη S ανοικτό. Η
εφαρμοζόμενη διαφορά δυναμικού είναι Vab = +400 Υ. a) Πόση
είναι η διαφορά δυναμικού Vcd; b) Πόση είναι η διαφορά δυναμι­
κού στα άκρα του καθενός πυκνωτή αφού κλείσει ο διακόπτης S;
c) Όταν έκλεισε ο διακόπτης, πόσο φορτίο έρρευσε διαμέσου του
διακόπτη;
3,00 μF 6,00 μF
α
τ
�
b
6,00 μF 3,00 μF
ΣΧΗΜΑ 25-26
25-33 Διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο επιφα­
νειών ενός κυτταρικού τοιχώματος Μερικά κυτταρικά
τοιχώματα στο ανθρώπινο σώμα έχουν διπλό στρώμα επιφανεια­
κού φορτίου, με στρώση αρνητικού φορτίου στην εσωτερική επι­
φάνεια και στρώση θετικού φορτίου ίσου μέτρου στην εξωτερική
επιφάνεια του τοιχώματος. Θεωρήστε ένα μοντέλο του κυττάρου
αυτού στο οποίο οι επιφανειακές πυκνότητες φορτίου είναι ±0,50
χ ιο-3 C/m2 καιτοτοίχωμα του κυττάρου έχει πάχος 5,0 χ ιο-9 m.
Υποθέστε ότι το υλικό του κυτταρικού τοιχώματος έχει διηλεκτρι­
κή σταθερά Κ = 6,00. a) Βρείτε το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου
μέσα στο τοίχωμα μεταξύ των δύο στρώσεων του φορτίου. b)
Βρείτε τη διαφορά δυναμικού μεταξύ της εσωτερικής καιτης εξω-

4. 710 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25 ΧΩΡΗτΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ
τερικής επιφάνειας του τοιχώματοςτου κυττάρου. Ποια επιφάνεια
έχει μεγαλύτερο δυναμικό;
25-34 Πυκνωτής αέρα αποτελείται από δύο επίπεδες πλάκες, η
καθεμιά επιφάνειαςΑ, με απόσταση μεταξύ τους d. Μεταλλική
πλάκα πάχουςα (μικρότερου του d) ίδιου σχήματος και μεγέθους
με τις πλάκες εισάγεται μεταξύ τους, παράλληλα προς τις πλάκες
(οπλισμούς) και χωρίς να έρχεται σε επαφή με αυτές (Σχ. 25-27).
a) Πόση είναι η χωρητικότητα αυτήςτης διάταξης; b) Εκφράσετε
τη χωρητικότητα ως πολλαπλάσιο της χωρητικότητας C0 του πυ­
κνωτή όταν δεν υπάρχει στον χώρο μεταξύ των πλακών του η με­
ταλλική πλάκα.
25-35 Ο χώρος μεταξύ των οπλισμών επίπεδου πυκνωτή είναι
πλήρης με δύο πλάκες διηλεκτρικού, μια με διηλεκτρική σταθερά
Κι και μια με διηλεκτρική σταθερά Κ2 (Σχ. 25-28). Η κάθε πλάκα
έχει πάχος d/2, όπου d είναι η απόσταση μεταξύ των πλακών.
Δείξτε ότιη χωρητικότητα είναι
C =
2ε0Α ( Κι Kz )d Κι + Kz ·
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α
25-36 Μέτρηση στάθμης καυσίμου σε δεξαμενή
Μετρητής στάθμης καυσίμου χρησιμοποιεί την ενεργό χωρητικό­
τητα του σχηματιζόμενου πυκνωτή για προσδιορισμό του ύψους
του καυσίμου της δεξαμενής. Η ενεργός διηλεκτρική σταθερά Keιr
μεταβάλλεται από την τιμή 1 όταν η δεξαμενή είναι κενή ως την τι­
μή Κ, τη διηλεκτρική σταθερά του καυσίμου, όταν η δεξαμενή εί­
ναι πλήρης. Ένα κατάλληλα σχεδιασμένο ηλεκτρονικό κύκλωμα
μπορεί να προσδιορίσει την ενεργό διηλεκτρική σταθερά του συν­
δυασμού αέρα και καυσίμου μεταξύ των πλακών του πυκνωτή. Η
καθεμιά από τις δύο ορθογώνιες πλάκες έχει πλάτος w και μήκος
L (Σχ. 25-29). Το ύψος του καυσίμου μεταξύ των πλακών είναι h.
Αγνοήστε φαινόμενα κροσσωτών πεδίων. a) Βρείτε μιαν έκφρα­
ση γιατοKerrως συνάρτηση του h. b) Πόση είναι η ενεργός διηλε­
κτρική σταθερά για δεξαμενή πλήρη κατάτο ένα τέταρτο, πλήρη
κατά το ήμισυ, και πλήρη κατά τα τρίατέταρτα, αν το καύσιμο εί­
ναι βενζίνη (Κ = 1,95); c) Επαναλάβετε το (b) θεωρώντας ως
καύσιμοτη μεθανόλη (Κ = 33,0). d) Για ποιο απότα δύο καύσιμα
λειτουργεί πιο αποτελεσματικά ο μετρητής αmός;
ίf
h Καύσιμο
i
ΣΧΗΜΑ 25-29
v
25-37 Τρεις τετραγωνικές μεταλλικές πλάκεςΑ, Β, και C, η
καθεμιά πλευράς 8,00 cm και πάχους 3,00 mm, είναι διευθετημέ­
νες όπως στο Σχ. 25-30. Οι πλάκες διαχωρίζονται από φύλλα χαρ­
τιού πάχους 0,500 mm διηλεκτρικής σταθεράς 4,00. Οι έξω πλάκες
συνδέονται μεταξύ τους και με κοινή αγώγιμη σύνδεση συνδέο-
ΣΧΗΜΑ 25-27
ΣΧΗΜΑ 25-28
τι==========:J
d
..:t.ι=====;;:====:J
Χαρτί
Μέταλλο
Α
α
Β
c
ΣΧΗΜΑ 25-30
νται με το σημείο b. Η εσωτερική πλάκα συνδέεται με το σημείο α.
a) Αντιγράψτε το διάγραμμα και δείξτε με συν (+) και μείον (-)
την κατανομή φορτίου στις πλάκες όταν το α διατηρείται σε θετικό
δυναμικό σε σχέση με το b. b) Πόση είναι η χωρητικότητα μεταξύ
των σημείων α και b;
25-38 Πυκνωτής επί ελατηρίων Επίπεδος πυκνωτής α­
ποτελείται από δύο οριζόντιες αγώγιμες πλάκες ίσου εμβαδού Α.
Η κάτω πλάκα εδράζεται σε ακλόνητο στήριγμα και η άνω πλάκα
αναρτάται από τέσσερα ελατήρια με σταθερά ελατηρίου k, προ­
σαρτημένα στις τέσσερις κορυφές της πάνω πλάκας (Σχ. 25-31).
Οι πλάκες, όταν είναι aφόρτιστες, απέχουν μεταξύ τους απόσταση
z0• Μια μπαταρία συνδέεται με τις πλάκες και δημιουργεί διαφορά
δυναμικού Vμεταξύ τους. Μετά τη φόρτιση η απόσταση των πλα­
κών ελαττώνεται σε z. Αγνοήστε φαινόμενα άκρων (κροσσωτών
πεδίων). a) Δείξτε ότι η ηλεκτροστατική δύναμη μεταξύ των φορ­
τισμένων πλακών έχει μέτρο ε0A V2/(2z2). (Σημείωση: Βλέπε
Άσκηση 25-15.) b) Βρείτε μιαν έκφραση που συνδέειτην από­
σταση των πλακώνz με την διαφορά δυναμικού V μεταξύ τους. Η
εξίσωση που προκύπτει θα είναιτρίτου βαθμού ως προςz. c) Δε­
δομένων των τιμώνΑ =0,250 m2, z0 = 1,00 mm, k = 25,0 N/m, και
V = 100 V, βρείτε τις δύο τιμέςτουz για τις οποίες η πάνω πλάκα
θα βρίσκεται σε ισορροπία. (Υπόδειξη: Μπορείτε να λύσετε την ε­
ξίσωση τρίτου βαθμού θέτοντας μια δοκιμαστική τιμή τουz στην ε-
Α
Α
Σ;ΧΗΜΑ 25-31

5. ξίσωση καικατόπινμεταβάλλονταςτην αρχική τιμή που επιλέξατε
να βρείτε την τιμή τουz που ικανοποιείτην εξίσωση ωςτατρία ση­
μαντικά ψηφία. Ο γραφικός εντοπισμόςτων ριζών της εξίσωσης ί­
σως να σας βοηθήσει να επιλέξετε τις αρχικές τιμές του z στη δια­
δικασία<<τηςδοκιμής καιτης πλάνης». Μια ρίζατης εξίσωσης έχει
αρνητική τιμή που δεν είναι φυσικώς αποδεκτή. d) Για την καθε­
μιά από τις δύο άλλεςτιμέςτουz που βρέθηκαν στο (c), η ισορρο­
πία είναι ευσταθής ή ασταθής; Στην ευσταθή ισορροπία μικρή με­
τατόπιση του υπό μελέτη αντικειμένου οδηγεί σε εμφάνιση δύνα­
μης που τείνει να επαναφέρει το σώμα στην θέση ισορροπίας.
Στην ασταθή ισορροπία μικρή μετατόπιση οδηγεί σε δύναμη που
απομακρύνει το αντικείμενο ακόμη μακρύτερα από τη θέση ισορ­
ροπίας.
25-39 Δεν είναι πάντοτε εφικτός ο συνδυασμός πυκνωτών με
χρησιμοποίηση των απλών τύπων της σύνδεσης σε σειρά ή της πα­
ράλληλης σύνδεσης. Θεωρήστε τους πυκνωτές ζ, Cr και C, στο δι­
κτύωμα που φαίνεται στο Σχ. 25-32a. Μια τέτοια διάταξη πυκνω­
τών, λέγεται δικτύωμα Δ. Είναι προφανές ότι δεν μπορεί να μετα­
σχηματιστεί σε έναν ισοδύναμο πυκνωτή διότι υπάρχουν τρεις α­
κροδέκτες (κόμβοι) α, b, και c στο δικτύωμα και όχι μόνο δύο.
Μπορείνα δειχτείότι, σε ό,τιαφοράτην επίδρασή του στα εξωτε­
ρικά του δικτυώματος κυκλώματα, ένα δικτύωμα Δ μπορεί να με­
τασχηματιστεί σε ένα άλλο που λέγεται δικτύωμα Υ. Για παρά­
δειγμα, το δικτύωμα δέλτατου Σχ. 25-32a μπορείνα αντικαταστα­
θεί με το δικτύωμα Υ του Σχ. 25-32b. a) Δείξτε ότι οι εξισώσεις
μετασχηματισμού που δίνουν τα C1, C2, και C3 συναρτήσειτων ζ,
CY καιC, είναι
C, = (ζCr + CrC, + C,ζ)/ζ,
C2 = (ζCy + CrCz + C,ζ)!Cr,
C3 = (ζCr + CrC, + Czζ)/Cz.
(Υπόδειξη: Η διαφορά δυναμικού Vac πρέπεινα είναι ίδια και στα
δύο κυκλώματα, καθώς και η Vικ. Επιπλέον, το φορτίο Q1 που ρέει
από το σημείο α κατά μήκος του σύρματος όπως φαίνεται πρέπει
να είναι το ίδιο και σταδύο κυκλώματα και το ίδιο ισχύει και για
το φορτίο q2• Βρείτε μια σχέση για το Vac συνάρτηση τωνq1 καιq2
(καιτων χωρητικοτήτων) για το καθένα δικτύωμα και μιαν άλλη
σχέση για το Vικ ως συνάρτηση των φορτίων q1 και q2, καθώς και
των χωρητικοτήτων για το καθένα δικτύωμα. Οι συντελεστές των
αντίστοιχων φορτίων στις αντίστοιχες εξισώσεις πρέπει να είναι ί­
διοι και για τα δύο δικτυώματα.) b) Προσδιορίσετε την ισοδύνα­
μη χωρητικότητα του δικαιώματος των πυκνωτών μεταξύ των α­
κροδεικτών στο αριστερό άκρο του δικτυώματος γιατο δικτύωμα
ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 711
που φαίνεται στο Σχ. 25-32c. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τον με­
τασχηματισμό Δ - Υ που βρέθηκε στο (a). Χρησιμοποιήστε τα ση­
μεία α, b, και c για να σχηματίσετε το δικτύωμα Δ και μετασχη­
ματίστε το δικτύωμα Δ σε δικτύωμα Υ. Οι πυκνωτές μπορούντότε
να συνδυαστούν εύκολα χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για συνδυα­
σμούς πυκνωτών σε σειρά και σε παράλληλη σύνδεση.)
c) Προσδιορίστε τα φορτία των πυκνωτών των 72,0 μF, 27,0 μF,
18,0 μF, 6,0 μF, 28,0 μF, και 21,0 μF και τις διαφορές δυναμικών
μεταξύτωνοπλισμώντους.
c
(a)
(b)
72,0μF 27,0μF
c
n1---------4' 18,01�1._____
I μF �μ
t-
F
-......
,�ι'=�τ
,
72,0μF 21,0μF
(c)
ΣΧΗΜΑ 25-32