Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. 830 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 29 ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗτΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
Το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό δακτυλιοειδούς σωληνοειδούς (πηνίου) με Ν σπεί­
ρες και ρεύμα Ι, σε απόσταση r από τον άξονά του, είναι
μ0 ΝΙ
Β = 2πr (δακτυλιοειδές σωληνοειδές). (29-22)
• Στα μαγνητικά υλικά, η μαγνήτιση του υλικού δημιουργεί μια πρόσθετη συνεισφορά
στο Β. Για παραμαγνητικά και διαμαγνητικά υλικά, στις σχέσεις μεταξύ μαγνητικών
μεγεθών το μ0 αντικαθίσταται από το μ = Κmμο, όπου μ η διαπερατότητα του υλικού
και Km η σχετική διαπερατότητα. Η μαγνητική επιδεκτικότητα Xm ορίζεται ως Xm =
Km - 1. Οι μαγνητικές επιδεκτικότητες των παραμαγνητικών υλικών είναι μικροί θετι­
κοί αριθμοί· εκείνες των διαμαγνητικών υλικών είναι μικροί αρνητικοί αριθμοί. Στα
σιδηρομαγνητικά υλικά, το Km είναι πολύ μεγαλύτερο από τη μονάδα και δεν είναι
σταθερό. Ορισμένα σιδηρομαγνητικά υλικά είναι μόνιμοι μαγνήτες, δηλαδή διατη­
ρούν τη μαγνήτισή τους ακόμη και μετά τον μηδενισμό του εξωτερικού μαγνητικού πε­
δίου.
• Το ρεύμα μετατόπισης ί0λειτουργεί ως πηγή μαγνητικού πεδίου ακριβώς όπως και
το ρεύμα αγωγιμότητας. Ορίζεται από τη σχέση
. dΦε
lo = ετr. (29-33)
Ο νόμος του Ampere, συμπεριλαμβανομένου και του ρεύματος μετατόπισης, είναι
fΒ · dl =μο(ίc + ίο)· (29-34)
Το ρεύμα μετατόπισης παίζει σημαντικό ρόλο στην ύπαρξη (και ανάλυση) των ηλε­
κτρομαγνητικών κυμάτων.
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ________________________
Εδάφιο 29-1
Μαγνητικό πεδίο κινούμενου φορτίου
29-1 Θετικόσημειακόφορτίοq = 3,00 μCέχειταχύτηταυ =
(8,00 χ 106 m/s)i.Τη στιγμήπουτοφορτίοδιέρχεταιαπότηναρ­χήτωναξόνωνυπολογίστεποιοείναιτοδιανυσματικόμαγνητικόπεδίοΒ σταακόλουθασημεία: a)χ = 0,500 m,y = Ο, z = Ο· b)χ
= O,y = -{),500 m, z = Ο· c)x= O,y = O, z = +0,500 m· d)x= Ο,
y = -{),500 m, z = +0,500 m.
29-2 Δύοθετικάσημειακάφορτίαq καιq' κινούνταιωςπροςέ­νανπαρατηρητήστοΡ, όπωςφαίνεταιστοΣχ.29-24. a) Ποιαεί­ναιηκατεύθυνσητηςδύναμηςπουασκείτοq'στοq; b)Ποιαείναιηκατεύθυνσητηςδύναμηςπουασκείτοq στοq'; c) Ανυ = υ' =
7,00 χ 106 m/s,ποιοςείναιολόγοςτωνμέτρωντηςμαγνητικήςδύ­ναμηςπροςτηδύναμηCoulombμεταξύτωνδύοφορτίων;
q +
υ
dΡdυ
'
(i)q'•
ΣΧΗΜΑ 29-24
29-3 Δύοσημειακάφορτίαq = +5,00 μCκαιq' = -3,00 μC,κι­νούνταιόπωςδείχνειτοΣχ.29-25. Τησυγκεκριμένηαυτήστιγμή,ποιοείναιτομέτροκαιποιαηκατεύθυνσητουΒ πουδημιουργείταιστηναρχήτωναξόνων;Θεωρήστεότιυ = υ' = 6,00χ 105 m/s.
Υ
I υ
q +�-.....�
Ε
ο
ο
"'
ό
ο
ΣΧΗΜΑ 29-25
Εδάφιο 29-2
0,400 m
υ
'
χq'
Μαγνητικό πεδίο στοιχειώδους αγωγού
29-4 Ευθύγραμμοςαγωγόςμεγάλουμήκουςπουδιαρρέεταια­πόρεύμα200 Α, διέρχεταιαποκυβικόξύλινοκιβώτιομέσωανοιγ­μάτωνστακέντραδύοαπέναντιπλευρών(Σχ.29-26).Τομήκοςτηςακμήςείναι20,0 cm. Θεωρήστεέναστοιχείοτουαγωγούμήκους

2. 200 Α
---.,..
ΣΧΗΜΑ 29-26
0,200 cm στο κέντρο του κιβωτίου. Υπολογίστε το μέτροdBτου μα­
γνητικού πεδίου που δημιουργείται από το στοιχείο αυτό στα ση­
μεία α,b, c, d,καιe του Σχ. 29-26. Τα σημείαα,c, καιdβρίσκονται
στα κέντρα εδρών του κύβου· το b είναι στο μέσο μιας ακμής, και
το e πάνω σε κορυφή. Αντιγράψτε το σχήμα και δείξτε με διανύ­
σματα τις κατευθύνσεις και τα σχετικά μέτρα των διανυσματικών
πεδίων. (Σημείωση: Υποθέστε ότι το dlείναι μικρό σε σύγκριση με
τιςαποστάσειςτου από τα πέντε σημεία παρατήρησης.)
29-5 Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση του μαγνητικού
πεδίου Β στο σημείο Ρ, που δημιουργείται από το ημικυκλικό αγώ­
γιμο τμήμα του Σχ. 29-27. (Προσφέρει τίποτε στοΒ το ρεύμα που
διαρρέειτα ευθύγραμματμήματαμεγάλου μήκους;)
ΣΧΗΜΑ 29-27
29-6 Υπολογίστε το μέτρο του μαγνητικού πεδίου στο σημείο Ρ
του Σχ. 29-28 συναρτήσει των R, /1, και /2. Τι δίνει το αποτέλεσμά
σαςόταν/1 = /2;
� 2
ΣΧΗΜΑ 29-28
Εδάφιο 29-3
Μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμου αγωγού
29-7 Συμπληρώστε τα κενά στην απόδειξη της Εξ. (29-8) ξεκι­
νώντας απότην προηγούμενή της εξίσωση.
29-8 Θέλετε να δημιουργήσετε ένα μαγνητικό πεδίο μέτρου
3,00 χ 10-4 τσε απόσταση 0,050 m από ένα ευθύγραμμο σύρμα με­
γάλου μήκους. a) Τι ρεύμα απαιτείταιγιατη δημιουργία αmούτου
πεδίου; b)Με το ρεύμα που υπολογίσαμε στο (a), ποιο είναιτο μέ­
τρο του πεδίου σε απόσταση 0,100 m από το σύρμα; σε απόσταση
0,200 m;
29-9 Επίδραση των γραμμών μεταφοράς. Δύο πεζο­
πόροι για να προσανατολιστούν διαβάζουν την ένδειξη μιας πυξί­
δας ενώ βρίσκονται κάτω από μια εναέρια, οριζόντια γραμμή μετα­
φοράς ενέργειας που βρίσκεται 5,00 m πάνω από το έδαφος, και
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 831
διαρρέεται από ρεύμα 800 Α με κατεύθυνση από ανατολή προς δύ­
ση. a) Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση του μαγνητικού
πεδίου σε σημείο στο έδαφος ακριβώς κάτω από τη γραμμή. b)Ο
ένας από τους δύο πεζοπόρους προτείνει να διαβάσουν την πυξίδα
αφού πρώτα απομακρυνθούν περίπου 50 m για να αποφύγουν λά­
θος στην ανάγνωση της πυξίδας λόγω του ρεύματος. Αν λάβετε υ­
πόψη ότι το μαγνητικό πεδίο της Γης είναι της τάξης των 0,5 χ 10-4
Τ,υπολογίστε αν όντως δημιουργείταιπρόβλημα απότο ρεύμα.
29-10 Ευθύγραμμο σύρμα μεγάλου μήκους κείταικατά μήκος
του άξοναy και διαρρέεται από ρεύμα 5,00 Α κατάτη φοράτου -y
(Σχ. 29-29). Εκτός από το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από
το ρεύμα, υπάρχει και ένα δεύτερο μαγνητικόπεδίοΒ0μέτρου 1,00
χ 10-6 Τ στην κατεύθυνση + χ. Υπολογίστε το ολικό πεδίο (κατά
μέτρο και κατεύθυνση) στα ακόλουθα σημεία του επιπέδουχz: a)x
= Ο, z = 2,00 m· b)χ = 2,00 m, z = Ο· c)χ = Ο, z = - 0,50 m.
�� Vc
Λ b χ
/. Iz
ΣΧΗΜΑ 29-29
29-11 Δύο ευθύγραμμα και παράλληλα σύρματα μεγάλου μή­
κους, το ένα πάνω από το άλλο, απέχουν κατά 2α. Αν τα σύρματα
διαρρέονται από ίσα ρεύματα Ι με αντίθετες φορές, ποιο είναιτο
μέτρο του πεδίου πάνω στο επίπεδότους, σε ένα σημείο a) στο μέ­
σον της μεταξύ τους απόστασης, b)σε απόσταση α πιο ψηλά από
το επάνω σύρμα; c) και d) Επαναλάβετε τα (a) και (b)όταν τα
ρεύματα έχουν την ίδια φορά.
Εδάφιο 29-4
Δύναμη μεταξύ παράλληλων αγωγών
29-12 Δύο παράλληλα σύρματα μεγάλου μήκους απέχουν μετ�ξύ τους 0,400 m (Σχ. 29-30). Τα ρεύματα /1 και /2 έχουν�ις κdtευ­
θύνσεις που φαίνονται. a) Υπολογίστε το μέτρο της δύ αμης που
το κάθε σύρμα ασκείσε ένα τμήματου άλλου, μήκους 0,2 . Πρό­
κειταιγια ελκτική ή απωστική δύναμη; b)Αντο κάθε ρεύμα ιπΚd­
σιαστεί έτσι ώστε /1 = 10,0 Α και /2
= 4,00 Α, τι μέτρο έχειη δύναμη
που το κάθε σύρμα ασκεί σε τμήμα μήκους 2,00 m του άλλου;
29-13 Δύο παράλληλα σύρματα μεγάλου μήκους απέχουν μετα­
ξύ τους 0,100 m. Η δύναμη ανά μονάδα μήκους που ασκείται από
0,400 m 12 =
====:!J,====�
ΣΧΗΜΑ 29-30

3. 832 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 29 ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΠΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
τοένασύρμαστοάλλοείναι6,00 χ ιο-5 N/m,καιείναιαπωστική.Αντορεύμαστοένασύρμαείναι2,00Α, a) τιρεύμαδιαρρέειτοάλλοσύρμα; b)Έχουντηνίδιαήαντίθετηφοράταδύορεύματα;
29-14 Τρίαπαράλληλασύρματαδιαρρέονταιαπόρεύμα/τοκαθένα,όπωςδείχνειτοΣχ.29-31.Ανηαπόστασηανάμεσασεγει­τονικάσύρματαείναιd, υπολογίστετομέτροκαικατεύθυνσητουο­λικούμαγνητικούπεδίουανάμονάδαμήκουςσεκάθεσύρμα.
� c:======�========�1'
d
c::===Φ===;:::)�d
� c=======�========�
ΣΧΗΜΑ 29-31
29-15 ΟριζόντιοσύρμαΑΒμεγάλουμήκουςείναιτοποθετημέ­νοπάνωσεένατραπέζι.ΈναδεύτεροσύρμαCD μήκους0,400mβρίσκεταιπάνωαπότοπρώτοπαράλληλαμεαυτόκαιείναιελεύ­θεροναολισθαίνειχάρησεδύοάτριβους,κατακόρυφους,μεταλλι­κούςαγωγούςC καιD (Σχ.29-32).Ταδύοσύρματαείναισυνδεδε­μέναμέσωκινητήςεπαφήςκαιδιαρρέονταιαπόρεύμα40,0Α.ΤοσύρμαCD έχειγραμμικήπυκνότηταμάζας5,00 χ ιο-3 kg/m.Σετιύψοςh θαισορροπήσειτοσύρμαCD, ανυποθέσουμεότιημαγνη­τικήδύναμηπουασκείταισεαυτόοφείλεταιαποκλειστικάστορεύ­μαμέσωτουΑΒ;
Α Β
ΣΧΗΜΑ 29-32
Εδάφιο 29-5
Μαγνητικό πεδίο κυκλικού βρόχου
29-16 Κυκλικόπηνίοακτίνας5,00cmκαιπυκνήςπεριέλιξης
200σπειρώνδιαρρέεταιαπόρεύμα0,300Α.Ποιοείναιτομέτροτουμαγνητικούπεδίου a) στοκέντροτουπηνίου; b)στοσημείοτουάξονατουπηνίουπουαπέχει10,0cmαπότοκέντροτου;
29-17 Πηνίομεπυκνήπεριέλιξηδιαμέτρου18,0cmδιαρρέεταιαπόρεύμα2,50Α.Πόσεςσπείρεςδιαθέτειτοπηνίοαντομαγνητι­κόπεδίοστοκέντροτουείναι4,19χ 10-4Τ;
Εδάφιο 29-6
Ο νόμος του Ampere
29-18 Κλειστήκαμπύληπερικλείειμερικούςαγωγούς.Τοεπι­καμπύλιοολοκλήρωμαΦ Β · dl πάνωστηνκαμπύλη δίνει3,75 χ
ιο-5 Τ·m.Ποιοείναιτοολικόρεύμαπουδιαρρέειτουςαγωγούς;
Εδάφιο 29-7
Εφαρμογές του νόμου του Ampere
29-19 Ξύλινοδακτυλιοειδέςπλαίσιο,μέσηςδιαμέτρου0,180m,είναιπυκνάπεριτυλιγμένομε500σπείρες.Υπολογίστετομέτρο
τουμαγνητικούπεδίουσεένασημείοστοκέντροτηςδιατομήςτηςπεριέλιξηςότανοισπείρεςδιαρρέονταιαπόρεύμα0,300Α.
29-20 Σωληνοειδέςμήκους20,0cmκαιακτίνας3,00cmείναιπυκνάπεριελιγμέναμε200σπείρεςσύρματοςπουδιαρρέονταιαπόρεύμα6,00 Α.Υπολογίστετομαγνητικόπεδίοσεσημείοκοντάστοκέντροτουσωληνοειδούς.
29-21 Σωληνοειδέςμήκους50,0cmκαιακτίνας3,00cmείναισχεδιασμένοναδημιουργείστοκέντροτουπεδίο0,140τ. Τομέγι­στορεύμαπουμπορείναδιαρρέειτοσύρματουείναι10,0Α. a)
Ποιοςείναιοελάχιστοςαριθμόςσπειρώνανάμονάδαμήκουςπουπρέπειναέχειτοσωληνοειδές; b)Πόσοείναιτοολικόμήκοςτουσύρματος;
29-22 ΤοδακτυλιοειδέςσωληνοειδέςτουΣχ.29-17έχειεσωτε­ρικήδιάμετροΓι = 0,200mκαιεξωτερικήΓ2 = 0,280m. Έχει300
σπείρεςπουδιαρρέονταιαπόρεύμα3,50Α.Υπολογίστετομέτροτουμαγνητικούπεδίουσεκαθεμιάαπότιςακόλουθεςαποστάσειςαπότοκέντροτουπηνίου: a) 0,150m· b)0,240m· c)0,350m.
29-23 Ομοαξονικό καλώδιο. Συμπαγήςκυλινδρικόςα­γωγόςακτίναςα περιβάλλεταιαπόμονωτικόκυλινδρικόπερίβλημαακτίνωνα καιb, πουμετησειράτουπεριβάλλεταιαπόαγώγιμοπε­ρίβλημαακτίνωνb καιc, όπωςδείχνειτοΣχ.29-33.ΑνοκεντρικόςαγωγόςκαιτοαγώγιμοπερίβλημαδιαρρέονταιαπότοίδιορεύμαΙ
σεαντίθετεςκατευθύνσεις,βρείτεμιασχέσηγιατομέτροτουμα­γνητικούπεδίου a) σεσημείαπουαπέχουναπότοκέντροαπόστα­σηΓ, όπουα < Γ < b· b)σεσημείαέξωαπότοσύστημα(Γ > c).
ΣΧΗΜΑ 29-33
29-24 Επαναλάβετετηνάσκηση29-23θεωρώνταςότιτορεύμαστονεσωτερικόαγωγόείναι11,στονεξωτερικό12,καιέχουντηνί­διαφορά.
Εδάφιο 29-8
Μαγνητικά υλικά
* 29-25 Ο νόμος του Curie. Δίνονταιοιπαρακάτωπειρα­ματικέςτιμέςγιατηνμαγνητική επιδεκτικότητατηςστυπτικήςου­σίαςπουπεριέχεισίδηροκαιαμμώνιο.Αποδώστεγραφικάτηνε­ξάρτησητου1/Xmαπότηναπόλυτηθερμοκρασία.Ικανοποιείτου­λικόαυτότοννόμοτουCurie; Ανναι,ποιαείναιησταθεράCurie;
T (°C)
-258,15
-173
-73
27
Xm
129 χ ιο-4
19,4 χ ιο-4
9,7χ ιο-4
6,5 χ ιο-4
* 29-26 Δακτυλιοειδέςσωληνοειδέςμε500συρμάτινεςσπείρεςμέσηςακτίνας0,0800mδιαρρέεταιαπόρεύμα0,400Α.Η σχετικήδιαπερατότητατουπυρήναείναι120. a)Πόσοείναιτομαγνητικόπεδίομέσαστονπυρήνα; b)Τιμέροςτουμαγνητικούπεδίουοφεί­λεταιστημαγνήτισητουυλικού;

4. * 29-27 Δακτυλιοειδές σωληνοειδές αποτελείται από 400 σπεί­
ρες, τυλιγμένες γύρω από πυρήνα μέσης ακτίνας 3,80 cm. Υπολογί­
στε τι ρεύμα πρέπει να διαρρέει την περιέλιξη για να δημιουργηθεί
μαγνητικό πεδίο 0,150 Τ μέσα στον πυρήνα a)αν ο πυρήνας είναι
από ανοπτημένο σίδηρο (Km = 1400); b)αν ο πυρ1jνας είναι από
πυριτιούχοχάλυβα (Km = 5200).
* 29-28 Ρεύμα 2,00 Α διαρρέειτην περιέλιξη δακτυλιοειδούς σω­
ληνοειδούς. Υπάρχουν 400 σπείρες και η μέση του ακτίνα είναι
0,400 m. Ο πυρήνας είναι από μαγνητικό υλικό και το μαγνητικό
πεδίο μέσα σε αυτό βρίσκεται ότι είναι 1,00 Τ. Υπολογίστε a)τη
σχετικ1j διαπερατότητα· b)τη μαγνητική επιδεκτικότητα του υλι­
κού του πυρήνα.
Εδάφιο 29-9
Ρεύμα μετατόπισης
29-29 Στο Σχ. 29-23 η επιφάνεια των οπλισμών του πυκνωτή
είναι 4,00 cm2 και η μεταξύ τους απόστασή 3,00 mm. Ανάμεσά
τους υπάρχει κενόςχώρος. Το ρεύμα φόρτισης ίc έχει σταθερή τι­
μή 2,00 mA.Τη στιγμή ι = Ο το φορτίοστιςπλάκες είναι μηδέν. a)
Υπολογίστε το φορτίο στους οπλισμούς, το ηλεκτρικό πεδίο και τη
διαφορά δυναμικού, ανάμεσά τους, τη στιγμή ι = 5,00 μs. b)Υπο­
λογίστε τον ρυθμό μεταβολής dE/dι του ηλεκτρικού πεδίου ανάμε­
σα στους οπλισμούς. Μεταβάλλεται με τον χρόνο το dE/dι; c)
Υπολογίστε την πυκνότητα του ρεύματος μετατόπισηςj0 μεταξύ
των οπλισμών και από αυτήν το ολικό ρεύμα μετατόπισης ί0. Πώς
συγκρίνονται τα ίc και ί0 ;
29-30 Ρεύμα μετατόπισης μέσα σε διηλεκτρικό.
Υποθέστε ότι οι παράλληλοι οπλισμοί του Σχ. 29-23 έχουν επιφά-
Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
29-33 Ευθύγραμμο σύρμα μεγάλου μήκους διαρρέεται από
ρεύμα 1,50 Α. Ηλεκτρόνιο κινείται στην περιοχή του σύρματος.
Κάποιαστιγμή βρίσκεται σε απόσταση 0,0800 m από το σύρμα και
η ταχύτητά του είναι 5,00 χ 10' m/s, παράλληλη προς το σύρμα και
προς την ίδια φορά με το ρεύμα. Τη στιγμή εκείνη, ποια είναι η
δύναμη, κατά μέτρο και κατεύθυνση, που ασκείται στο κινούμενο
ηλεκτρόνιο από το μαγνητικό πεδίο του ρεύματος;
29-34 Το Σχ. 29-34 δείχνει δύο παράλληλα σύρματα μεγάλου
μήκους κάθετα στη σελίδα (επίπεδοxy), που διαρρέονται από ίσα
ρεύματα Ι με αντίθετες φορές. a)Αντιγράψτε το σχήμα και δείξ­
τε τα διανύσματατου πεδίου Β που δημιουργεί το κάθε σύρμα, ως
και το ολικό πεδίο στο σημείο Ρ. b)Βρείτε μια έκφραση για το
μέτρο του ολικού πεδίου Β σε κάθε σημείο του άξοναχ, συναρτή­
σει της συντεταγμένης χ του σημείου αυτού. Ποια είναι η κατεύ­
θυνση του Β; c) Αποδώστε με καμπύλη την εξάρτηση του μέτρου
του Β από το χ. d) Για ποια τιμή του χ μεγιστοποιείται το μέτρο
του Β;
29-35 Επαναλάβετε το Πρόβλ. 29-34, θεωρώντας ότι και τα
δύο ρεύματα κατευθύνονται προς το επίπεδοτου σχήματος.
29-36 Στο Σχ. 29-34, υποθέστε ότι υπάρχει κι ένα τρίτο όμοιο
σύρμα, παράλληλο στα δύοπρώτα, που διέρχεται από το Ρ και ότι
κάθε σύρμα διαρρέεται από ρεύμα Ι = 12,0 Α. Υποθέτουμε ότι α
= 0,300 m καιχ = 0,400 m. Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύ­
θυνση της δύναμης ανά μονάδα μήκους στο τρίτο σύρμα a) αν το
ρεύμα του, βάσει του Σχ. 29-34, είναι προς το επίπεδο της σελί­
δας b)αν το ρεύμα είναι προς τον αναγνώστη (χρησιμοποιήστε
τα αποτελέσματα του Προβλ. 29-34.)
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 833
νεια 2,00 cm2 και χωρίζονται από φύλλο διηλεκτρικού πάχους 1,0
mm με σχετική διηλεκτρική σταθερά (σχετική επιτρεπτότητα) 3,00.
(Αγνοήστε τις ανομοιογένειες του πεδίου κοντά στα άκρα.) Σε δε­
δομένη χρονική στιγμή η διαφορά δυναμικού μεταξύτων οπλισμών
είναι 140 Υ, καιτο ρεύμα αγωγιμότητας ίc είναι 2,00 mA. a)Πόσο
φορτίο υπάρχει σε κάθε οπλισμό εκείνη τη στιγμή; b)Με τι ρυθμό
μεταβάλλεται το φορτίο πάνω στους οπλισμούς; c) Πόσο είναι το
ρεύμα μετατόπισης μέσαστο διηλεκτρικό;
29-31 Πυκνωτής με παράλληλουςοπλισμούςκαι αέρα ανάμεσά
τους φορτίζεται όπως δείχνειτο Σχ. 29-23. Οι κυκλικοί οπλισμοί έ­
χουν ακτίνα 0,0500 m, και σε δεδομένη στιγμήτο ρεύμα αγωγιμότη­
τας στα σύρματα είναι 0,600 Α. a) Πόση είναι η πυκνότητα του
ρεύματος μετατόπισηςj0 στον χώρο μεταξύ των οπλισμών; b)Με
τι ρυθμό μεταβάλλεται το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των οπλισμών;
c) Πόσο είναι το επαγόμενο μαγνητικό πεδίο ανάμεσα στις πλάκες
σε απόσταση 0,0250 m από τον άξονα; d) σε απόσταση 0,100 m;
29-32 Χάλκινο σύρμα κυκλικής διατομής 4,0 mm2 διαρρέε­
ται από ρεύμα 40 Α. Η ειδική αντίσταση του υλικού είναι2,0 χ 10-8
Ω · m. a) Πόσο είναι το (ομογενές) ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο υλι­
κό; b)Αν το ρεύμα μεταβάλλεται με ρυθμό 5000 Ns, με τι ρυθμό
μεταβάλλεται το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο υλικό; c) Πόση είναι η
πυκνότητα του ρεύματος μετατόπισης στο ερώτημα (b); d) Αν το
ρεύμα μεταβάλλεται όπως στο ερώτημα (b), ποιο είναιτο μέτροτου
μαγνητικού πεδίου σε απόσταση 5,0 cm από το κέντρο του σύρμα­
τος. Σημειώστε ότι κατά τον υπολογισμό του Βθα πρέπει να λη­
φθούν υπόψη τόσο το ρεύμα αγωγιμότητας όσο και το ρεύμα μετα­
τόπισης. Πόσο σημαντική είναι η συνεισφορά από το ρεύμα μετα­
τόπισης;
29-37 Δύο ευθύγραμμα και μεγάλου μήκους παράλληλα σύρ­
ματα απέχουν μεταξύ τους 1,00 m (Σχ. 29-35). Το επάνω σύρμα
διαρρέεται από ρεύμα !1 = 6,00 Α προς το επίπεδο της σελίδας.
a)Ποιο πρέπει να είναιτο !2, σε μέτροκαι κατεύθυνση, ώστε το ο­
λικό πεδίο στο σημείο Ρ να είναι μηδέν; b)Ποιο είναιτότε το ολι­
κό πεδίο στο Q,κατά μέτρο και κατεύθυνση; c) Ποιο είναι το μέ­
τρο του ολικού πεδίου στο S;
Q
f0,50m
ψ/1 =6,00�
I
0,60m
l,OO m �s
1;80m
12
0,50m
iΡ
ΣΧΗΜΑ 29-34 ΣΧΗΜΑ 29-35

5. 834 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 29 ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗτΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
29-38 Δύο μακριά,παράλληλα σύρματα κρέμονται με νήματα
μήκους 4,00cmαπό κοινό άξονα (Σχ. 29-36).Η γραμμική πυκνό­
τητα μάζας των συρμάτων είναι 0,0300kg/mκαι διαρρέονται από
το ίδιο ρεύμα σε αντίθετες κατευθύνσεις. Ποιο είναι το ρεύμα σε
κάθε σύρμα αν τα νήματα ανάρτησης σχηματίζουνγωνία 6,00° με
την κατακόρυφο;
ΣΧΗΜΑ 29-36
29-39 Το ευθύγραμμο μεγάλου μήκους σύρμα ΑΒ του Σχ.
29-37διαρρέεται από ρεύμα 14,0Α Ο ορθογώνιος βρόχος του ο­
ποίου οι μεγάλες πλευρές είναι παράλληλες στο σύρμα διαρρέεται
από ρεύμα 5,00Α Υπολογίστε το μέτρο και κατεύθυνση της συνι­
σταμένης δύναμης που ασκείται στον βρόχο από το μαγνητικό πε­
δίοτου σύρματος.
Β
Ι = 14,0 Αί
1,0 cm-Ξ
ΣΧΗΜΑ 29-37 Α
:--- 10,0 cm--1
--:;:.
I =
5,00 Α
1' t
�
<Ε-
τ20,0
cm
1
29-40 Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση του μαγνητι­
κού πεδίου που δημιουργείται στο σημείο Ρ του Σχ. 29-38από το
ρεύμα Ι που διαρρέει τον ορθογώνιο συρμάτινο βρόχο. (το Ρ βρί­
σκεται στο κέντρο του ορθογωνίου.) (Υπόδειξη: Το διάκενο στην
αριστερή πλευρά, όπου τα σύρματα εισέρχονται και εξέρχονται α­
πό το ορθογώνιο, είναι τόσο μικρό ώστε η πλευρά αυτή μπορεί να
θεωρηθεί ως συνεχής, μήκους b.)
�α�
�
τ� Ρ t<Ε-- • b
1�
ΣΧΗΜΑ 29-38
29-41 Πηνία του Helmholtz. Το Σχ. 29-39δείχνει σε το­
μή δύο κυκλικά πηνία ακτίνας α, το καθένα. Τα πηνία, με Ν σπεί­
ρες σύρματος, διαρρέονται από ρεύμα Ιτης ίδιας φοράς και γιατα
δύο. Η απόσταση μεταξύ τους είναι όση και η ακτίνα τους α. Τα
δύο πηνία, έτσι όπως περιγράφτηκαν ονομάζονται πηνία του
Helmholtzκαι δημιουργούν ένα πολύ ομογενές πεδίο στον χώρο
ανάμεσά τους. a) Βρείτε μια έκφραση για το μέτρο Β του μαγνη­
τικού πεδίου σε κάποιο σημείο πάνω στον κοινό άξονα των πη­
νίων, σε απόστασηχ δεξιά του μέσου σημείου Ρ. b) Σχεδιάστε το
Β συναρτήσειτουχ, γιατιμές τουχ απόΟ έωςα/2. Συγκρίνετε αυτή
την καμπύλη με εκείνη για το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται
μόνο από το δεξιό πηνίο. c) Από το ερώτημα (a), βρείτε μια έκ­
φραση για το Β στο σημείο Ρ. d) Υπολογίστε το Β στοΡ αν Ν =
200σπείρες, Ι = 5,0Α καια = 0,300m.
ΣΧΗΜΑ 29-39
29-42 Τα συρμάτινα ημικύκλια του Σχ. 29-40έχουν ακτίνες α
και b. Υπολογίστε το ολικό μαγνητικό πεδίο (μέτρο και κατεύθυν­
ση) στο σημείο Ρ.
ΣΧΗΜΑ 29-40
29-43 Το σύρμα του Σχ. 29-41έχει άπειρο μήκος και διαρρέε­
ται από ρεύμα Ι. Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση του μα­
γνητικού πεδίου που δημιουργείται από το ρεύμα στο σημείο Ρ.
ΣΧΗΜΑ 29-41
29-44 Το σύρμα του Σχ. 29-42διαρρέεται από ρεύμαΙ με τη
φορά που φαίνεται. Το σύρμα αποτελείται από ένα ευθύγραμμο
τμήμα πολύ μεγάλου μήκους, ένα τεταρτημόριο περιφέρειας ακτί­
νας R, και ένα δεύτερο ευθύγραμμο τμήμα μεγάλου μήκους. Υπο­
λογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση του ολικού μαγνητικού πεδί­
ου στο κέντροκαμπυλότηταςτου τεταρτημορίου (σημείο Ρ);

6. ΣΧΗΜΑ 29-42
29-45 Ευθύγραμμο σύρμα μεγάλου μήκους κυκλικής διατομής
καιακτίναςR διαρρέεται από ρεύμα I. Υποθέστε ότι η πυκνότητα
ρεύματος δεν είναι σταθερή σε όλη την έκταση της διατομής του
σύρματος, αλλά ότι μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση J = αr, ό­
πουα είναι μια σταθερά. a) Κάνοντας χρήση του γεγονότος ότι ο­
λοκλήρωση του J σε όλη την έκταση της διατομής πρέπει να δίνει
το ολικό ρεύμα Ι, υπολογίστε τη σταθερά α συναρτήσειτωνΙ και
R. b)Χρησιμοποιήστετον νόμοτου Ampere για να υπολογίσετε
το μαγνητικό πεδίο B(r) όταν i) r :5 R- ii) r ?: R.
29-46 Κοίλος κυλινδρικός αγωγός έχει εσωτερική και εξωτερι­
κή ακτίνα α και b αντίστοιχα, και διαρρέεται από ρεύμα Ι ομοιό­
μορφα κατανεμημένο στη διατομή του. Βρείτε εκφράσεις για το
B(r) στις περιοχές a) r < α· b) α < r < b· c)r > b.
29-47 Επίπεδο ρεύμα απείρων διαστάσεων. Ευθύ­
γραμμοι αγωγοί μεγάλου μήκους, τετραγωνικής διατομής με ρεύ­
μα Ι ο καθένας, τοποθετούνται με τέτοιοτρόπο ώστε να εφάπτο­
νται μεταξύτους και να σχηματίζουν ένα φύλλο που διαρρέεται α­
πό ρεύμα (Σχ. 29-43). Οι αγωγοί βρίσκονταιπάνω στο επίπεδοxy,
είναι παράλληλοι προς τον άξοναy, και το ρεύμα τους είναι προς
την κατεύθυνση του +y. Υπάρχουν n αγωγοί ανά μέτρο κατά μή­
κοςτου άξοναχ. Υπολογίστε το μέτρο καιτηνκατεύθυνσητου μα­
γνητικού πεδίου σε απόσταση d a) κάτω απότο φύλλο· b) πάνω
από το φύλλο.
Υ
z
ΣΧΗΜΑ 29-43
29-48 Ευθύγραμμοι αγωγοί μεγάλου μήκους, τετραγωνικής
διατομής, που διαρρέονται από ρεύμα Ι ο καθένας,τοποθετούνται
με τέτοιο τρόπο ώστε να εφάπτονται μεταξύ τους και να σχηματί­
ζουν επίπεδο φύλλο aπείρων διαστάσεων που διαρρέεται από
• Ρ
• s
ΣΧΗΜΑ 29-44
ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 835
ρεύμα με φορά προςτον αναγνώστη (Σχ. 29-44). Ένα δεύτερο ό­
μοιο επίπεδο φύλλο που διαρρέεται από ρεύμα αντίθετης φοράς
βρίσκεται σε απόσταση d κάτω από τοπρώτο,παράλληλα με αυτό.
Και τα δύο φύλλα έχουν n αγωγούς ανά μονάδα μήκους. (Συμβου­
λευθείτε το Πρόβλ. 29-47). Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύ­
θυνση του ολικού μαγνητικού πεδίου a)στο σημείο Ρ (πάνω από
το ψηλότερο επίπεδο)· b) στο σημείο R (στο μέσον της μεταξύ
τους απόστασης)· c)στο σημείο S (κάτω από το χαμηλότερο επί­
πεδο).
29-49 Ευθύγραμμος συμπαγής κύλινδρος μεγάλου μήκους, με
τον άξονάτου παράλληλο στον άξοναz, διαρρέεται από ρεύμα
πυκνότητας]. Αν και κυλινδρικά συμμετρικό ως προς τον άξονα
του κυλίνδρου, το μέτρο της] μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση
2fo 2
J = -
2
[1 - (r/α) ] k για r :5 α,
πα
J = Ο για r ?: α,
όπου α είναι η ακτίνα του κυλίνδρου, r η ακτινική απόσταση από
τον άξονάτου, και Ι0 μια σταθερά σε μονάδες ρεύματος. . a) Δείξ­
τε ότιτοΙ0 είναιτο ολικό ρεύμα που διαρρέει ολόκληρη τη διατομή
του σύρματος. b)Από τον νόμο του Ampere, βρείτε μια έκφραση
για τοΒ στηνπεριοχή r ?: α. c) Βρείτε μια έκφραση γιατο ρεύμα Ι
που διαρρέει μια κυκλική διατομή ακτίναςr :5 α με το κέντρο της
πάνω στον άξονα του κυλίνδρου. d) Από το νόμο του Ampere, υ­
πολογίστε το B(r) στην περιοχή r :5 α. Πώς συγκρίνονται τα αποτε­
λέσματατων ερωτημάτων (b) και (d) γιαr = α;
29-50 Θεωρήστε το ομοαξονικό καλώδιο της Άσκησης 29-23.
Υποθέστε ότι τα ρεύματα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα σε όλη
τη διατομή του συμπαγούς αγωγού και του αγώγιμου περιβλήμα­
τος. Υπολογίστε το μέτρο του μαγνητικού πεδίου a) για r < α
(στο εσωτερικό του κεντρικού αγωγού - είναι η απάντησή σας το
αναμενόμενο αποτέλεσμα όταν r = α;)· b)για b < r < c (στο εσω­
τερικό του αγώγιμου περιβλήματος - δίνει η απάντησή σας, το α­
ναμενόμενο αποτέλεσμαγια r = c και r = b;).
29-51 Ολοκληρώστε το Βχ της Εξ. (29-15) από - οο ως + οο.
Δηλαδή υπολογίστε το [
�
Βχ dx. Εξηγήστε τη σπουδαιότητα του
αποτελέσματός σας.
29-52 Ράβδος από καθαρό πυρίτιο (ειδική αντίσταση p = 2300
Ω · m) διαρρέεται από ρεύμα. Το ηλεκτρικό πεδίο μεταβάλλεται
με τον χρόνοσύμφωνα με τη σχέση Ε = Ε0 sin ωt, όπου Ε0 = 0,100
V/m, ω = 2πf, και[ = 60 Hz. a) Υπολογίστε το μέγιστο του μέ­
τρου της πυκνότητας του ρεύματος αγωγιμότητας στο σύρμα. b)
Υποθέτοντας ότι ε = Εσ. υπολογίστε το μέγιστο μέτρο της πυκνότη­
τας του ρεύματος μετατόπισης μέσα στο σύρμα, και συγκρίνετέ το
με την απάντηση στο ερώτημα (a). Σε ποια συχνότητα[θα γίνο­
νταν ίσα τα μέγιστα μέτρα των δύο πυκνοτήτων με ε = ε0 (πράγμα
που δεν ισχύει στην πραγματικότητα); d) Στη συχνότητα που
προσδιορίσατε στο ερώτημα (c),ποια είναι η σχετική φάση του
ρεύματος αγωγιμότητας καιτου ρεύματος μετατόπισης;
29-53 Επίπεδος πυκνωτής επιφάνειαςΑ και απόστασης οπλι­
σμών d, έχει στο χώρο ανάμεσα στους οπλισμούς υλικό σχετικής
διηλεκτρικής σταθεράς (σχετικής επιτρεπτότητας) Κ. Το υλικό δεν
είναι τέλειος μονωτής αλλά έχει κάποια ειδική αντίσταση p. Ο πυ­
κνωτής είναι φορτισμένος με αρχικό φορτίο μέτρου Q0 σε κάθε ο­
πλισμό, το οποίο εκφορτίζεται βαθμιαία λόγω της αγωγιμότητας
του διηλεκτρικού. a)Υπολογίστε την πυκνότητα του ρεύματος α­
γωγιμότητας jc (ι) στο διηλεκτρικό. b)Δείξτε ότι κάθε στιγμή, η
πυκνότητατου ρεύματος μετατόπισης στο διηλεκτρικό είναι ίση με
την jcαλλάαντίθετης φοράς, έτσι ώστε η ολική πυκνότητα ρεύμα­
τος να είναι μηδέν κάθε στιγμή.

7. 836 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 29 ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗτΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α ______________
29-54 Η επάνω επιφάνεια μιας φαρδιάς, μονωτικής ταινίας
μεγάλου μήκους είναι φορτισμένη ομοιόμορφα με θετικό φορτίο
επιφανειακής πυκνότητας σ. Με τη βοήθεια περιστρεφόμενων κυ­
λίνδρων που βρίσκονται στα άκρα της, η ταινία κινείται προς τα
δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ. Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύ­
θυνση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται από την κινούμε­
νη ταινία σε κάποιο σημείο μόλις πάνω από την επιφάνειά της.
[Υποόδειξη: Σε σημεία κοντά στην επιφάνεια, μακριά από τα ά­
κρατης, η κινούμενη ταινία μπορεί να θεωρηθεί ως επίπεδο ρεύ­
μα aπείρων διαστάσεων (Πρόβλ. 29-47).]
29-55 Φορτισμένος διηλεκτρικός δίσκος. Λεπτός δί­
σκος από διηλεκτρικό υλικό ακτίνας α είναι ομοιόμορφα φορτι­
σμένος με ολικό φορτίο +Q. Ο δίσκος περιστρέφεταιn φορές ανά
δευτερόλεπτο γύρω από άξονα που είναι κάθετος στο δίσκο και
διέρχεται από το κέντρο του. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο στο
κέντρο του δίσκου. (Υπόδειξη: Υποθέστε ότι ο δίσκος αποτελείται
από ομοκεντρικούς δακτύλιους απειροστού πάχους.)
29-56 Συρμάτινο ημικύκλιο ακτίνας α βρίσκεται πάνω στο επί­
πεδοzy με το κέντρο καμπυλότητάς του στην αρχή (Σχ. 29-45). Αν
το ρεύμα μέσω του σύρματος είναι Ι, υπολογίστε τις συνιστώσες
του μαγνητικού πεδίου που δημιουργούνται στο σημείο Ρ, σε από­
στασηχαπότο κέντρο, πάνω στον άξοναχ. (Σημείωση: Μην παρα­
λείψετε τη συνιστώσα που δημιουργείται από το ευθύγραμμο σύρ­
μα στοκάτω μέρος του ημικυκλίου από z = - α ωςz = + α. Τα πε­
δία από τα αντίθετα ρεύματα στην περιοχή z > α αλληλοαναιρού­
νται.
�z �Ι
ΣΧΗΜΑ 29-45
α�
'χ
29-57 Δύο μακριά, ευθύγραμμα, αγώγιμα σύρματα με γραμμι­
κή πυκνότητα μάζαςλ = 1,75 χ 10-3 kglm εξαρτώνται από νήματα
έτσι ώστε να είναι οριζόντια, παράλληλα μεταξύ τους, και σε από­
σταση d= 2,00 cm. Από τη μια πλευρά τα σύρματα συνδέονται με­
ταξύ τους με ένα χαλαρό σύρμα μικρής αντίστασης. Απότην άλλη
πλευρά, τα άκρα των δύο συρμάτων συνδέονται με τους οπλισμούς
ενός πυκνωτή που έχει χωρητικότητα C = 1,00 μF και έχει προη­
γουμένως φορτιστεί από πηγή 1000 Υ, όπως δείχνει το Σχ. 29-46.
Τη στιγμή που αποκαθίστανται οι συνδέσεις, τα σύρματα απωθού­
νται προς τα πλάγια λόγω της απωστικής δύναμης μεταξύ τους, και
το καθένα αποκτά αρχική οριζόντια ταχύτητα υ0. Μπορείτε να υ­
ποθέσετε ότι ο χρόνος εκφόρτισης του πυκνωτή είναι αμελητέος
σε σύγκριση με τονχρόνοτης μετατόπισης των συρμάτων από την
αρχική τους θέση. a)Δείξτε ότι η αρχική ταχύτητα υ0 του κάθε
σύρματος είναι
όπου Q0 είναι το αρχικό φορτίοπάνω στον πυκνωτή, και R είναι η
ολική αντίσταση του κυκλώματος. b)Υπολογίστε το υ0, αν R =
0,0100 Ω. c) Ως ποιο ύψος h θα φτάσει κάθε σύρμα με το κλείσι­
μο του κυκλώματος;
ΣΧΗΜΑ 29-46