Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. 580 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
ΚΥΡΙΟΙ ΟΡΟΙ
συνοριακή (Jυνθήκη
αρχή της επαλληλίας
συμβολή
κόμβος
κοιλία
στάσιμο κύμα
θεμελιώδης (Jυχνότητα
αρμονικές
αρμονική σειρά
ανώτερη αρμονική
κανονικ()ς τρόπος
(ταλάντωσης)
κόμβος πίεσης
κοιλία πίεσης
εξαναγκασμένη ταλάνηοση
συντονωμ()ς
• Όταν και τα δύο άκρα χορδής μήκους L είναι ακλόνητα, μπορεί να παρουσια­
στούν στάσιμα κύματα μόνον όταν το L είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του λ/2· οι
αντίστοιχες επιτρεπτές συχνότητες είναι
υ
f,, = n 2L = nΛ (n = 1, 2, 3, ...). (20-6)
Κάθε συχνότητα με την αντιστοιχούσα σε αυτήν μορφή δόνησης ονομάζεται κανονι­
κός τρόπος ταλάντωσης. Ηχαμηλότερη συχνότητα/ι ονομάζεται θεμελιώδης συχνότη­
τα. Η θεμελιώδης συχνότητα δίνεται, συναρτήο:ει των μηχανικών ιδιοτήτων Fκαιμ της
χορδής, από
(20-8)
• Για ηχητικά κύματα σε αυλό ή σωλήνα, ένα κλειστό άκρο αντιστοιχεί σε κόμβο με­
τατοπίσεως και σε κοιλία πίεσης ένα ανοικτό άκρο αντιστοιχεί σε κοιλία μετατοπίσε­
ως και σε κόμβο πίεσης. Για αυλό ανοικτό και στα δύο άκρα οι συχνότητες των κανο­
νικών τρόπων είναι
fn �f (n = 1, 2, 3, ...) (ανοικτός αυλός). (20-11)
Για αυλό ανοικτό στο ένα άκρο και κλειστό στο άλλο οι συχνότητες κανονικών τρό­
πων είναι
f, _ nvn - 4L (n = 1, 3, 5, ...) (κλειστός αυλός), (20-15)
• Όταν δύο ή περισσότερα κύματα συναντώνται στην ίδια περιοχή του χώρου, τα
προκύπτοντα φαινόμενα ονομάζονται συμβολή. Το προκύπτον πλάτος μπορεί να είναι
είτε μεγαλύτερο είτε μικρότερο από το πλάτος καθενός από τα επιμέρους κύματα· αυ­
τό εξαρτάται από το πόσο τα κύματα είναι σε φάση ή εκτός φάσης. Όταν τα κύματα
είναι σε φάση, το αποτέλεσμα ονομάζεται ενίσχυση ή ενισχυτική συμβολή· όταν είναι
σε αντίθεση φάσης, ονομάζεται αναίρεση ή αναιρετική συμβολή.
• Όταν μια περιοδικά μεταβαλλόμενη δύναμη εφαρμόζεται σε σύστημα που έχει κα­
νονικούς τρόπους ταλάντωσης, το σύστημα δονείται με την ίδια συχνότητα όπως αυ­
τή της δύναμης αυτό ονομάζεται εξαναγκασμένη ταλάντωση. Εάν η συχνότητα της
δύναμης είναι ίση προς ή κοντά σε μια από τις συχνότητες των κανονικών τρόπων, το
πλάτος της προκύπτουσας εξαναγκασμένης ταλάντωσης μπορείνα γίνει πολύ μεγάλο·
αυτότο φαινόμενο ονομάζεται συντονισμός.
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ________________________
Εδάφιο 20-2
Επαλληλία και στάσιμα κύματα
20-1 Έστω ότι Υι(χ, t) = Αι sin (ωιl - kιχ) καιy2(χ, t) = Α2 sin
(ω2Ι - k2x) είναι δύο λύσεις της κυματικής εξίσωσης, Εξ. (19-12),
για το ίδιο υ. Δείξτε ότι ηy(χ, t) = Υι(χ, t) + y2(x, t) είναι επίσης λύ­
ση της ίδιας κυματικής εξίσωσης.
20-2 Δώστε λεπτομέρειες της απόδειξηςτης Εξ. (20-1)απότην
Υι + Υ2 = Α [sin(ωt + /α) - sin(ωt- /α)].
20-3 Τα στάσιμα κύματα σε σύρμα μήκους 2,40 m περιγράφο­
νται από την Εξ. (20-1), με Α = 3,00 cm, ω = 314 rad/s και k =
1,67π rad/m και με το αριστερό άκρο του σύρματος στοχ = Ο. Σε
ποιες αποστάσεις από το αριστερό άκρο είναι a) οι κόμβοι του
στάσιμου κύματος b) οι κοιλίες του στάσιμου κύματος;
20-4 Αποδείξτε, με απ' ευθείας αντικατάσταση, ότι η y = [2Α
cos ωt] sin /α είναι μια λύση της κυματικής εξίσωσης, Εξ. (19-12),
με υ = ω/k.
Εδάφιο 20-3
Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης χορδής
20-5 Φοιτητής της Φυσικής παρατηρεί μια τεντωμένη χορδή
που ταλαντώνεται με συχνότητα 40,0 Hz στο θεμελιώδη της τρόπο
όταν τα στηρίγματα, όπου είναι προσδεδεμένα τα δύο άκρα, βρί­
σκονται σε απόσταση 0,600 m. Το πλάτος ταλάντωσης στην κοιλία
είναι 0,50 cm. Η χορδή έχει μάζα 0,0500 kg. a) Ποια είναι η τα­
χύτητα διάδοσης ενός εγκάρσιου κύματος στη χορδή; b) Υπολο­
γίστε την τάση στη χορδή.
20-6 Ένας χορδιστής πιάνων τεντώνει το χαλύβδινο σύρματου
πιάνου με τάση 400 Ν. Το χαλύβδινο σύρμα έχει μήκος 0,500 m
και μάζα 6,00 g. a) Ποια είναι η συχνότητα του θεμελιώδους τρό­
που ταλάντωσης της χορδής; b) Ποια είναι η τάξη της υψηλότε­
ρης αρμονικής που μπορεί να ακούσει άτομο που είναι ικανό να
ακούει συχνότητες έως 10 000 Hz;
20-7 Παίζοντας το βιολοντσέλο. Το τμήμα της χορδής
του βιολοντσέλου μεταξύ της γέφυρας καιτουπάνωάκρουτης τα-

2. στιέρας (το τμήμα της χορδής που είναι ελεύθερο να ταλαντώνε­
ται) έχει μήκος 60,0cm και αυτό το μήκος της χορδής έχει μάζα
2,00g. Η χορδή όταν παίζεται ηχεί στη νότα λα (440Hz). a) Πού
πρέπει να βάλει το δάκτυλότου ο παίκτης (σε πόση απόσταση χ α­
πό τη γέφυρα) για να παίξει τη νότα ντο (528Hz); (βλ. Σχ. 20-20).
Και για τις δύο νότες λα και ντο η χορδή ταλαντώνεται στο θεμε­
λιώδη της τρόπο. b) Χωρίς νέο χόρδισμα είναι δυνατό να παίξει
τηνότα ρε (294Hz) σε αυτή τη χορδή; Ναι ή όχι και γιατί;
ΣΧΗΜΑ 20-20
20-8 Μια χορδή ταλαντώνεται στο θεμελιώδη της τρόπο. Τα
κύματα έχουν ταχύτητα υ, συχνότητα[, πλάτοςΑ και μήκος κύμα­
τος λ. a)Υπολογίστε τη μέγιστη ταχύτητα και επιτάχυνση σε ση­
μεία που βρίσκονταισε (ί)χ = λ/2 (ίί)χ = λ/4και (ίίί)χ = λ/8 α­
πό το αριστερό άκρο της χορδής. b) Σε κάθε ένα από τα σημεία
της ερώτησης (a),ποιο είναιτο πλάτος της κίνησης; c) Σε κάθε έ­
να από τα σημεία της ερώτησης (a), πόσος χρόνος χρειάζεται στη
χορδή για να πάει από τη μέγιστη προς τα επάνω μετατόπιση στη
μέγιστη προς τα κάτω μετατόπιση;
20-9 Ένα σχοινί μήκους 1,60 mτεντώνεται μεταξύ δύο υποστη­
ριγμάτων με τάση που κάνει την ταχύτητα των εγκάρσιων κυμά­
των 40,0m/s. Ποιο είναι το μήκος κύματος και η συχνότητα a)
του θεμελιώδους τρόπου ταλάντωσης b) της πρώτης ανώτερης
αρμονικής c) του τρίτου aρμονικού;
Εδάφιο 20-4
Διαμήκη στάσιμα κύματα
Εδάφιο 20-5
Κανονικοί τρόποι σε στήλες αέρα
20-10 Παράγονται στάσιμα ηχητικά κύματα σε αυλό μήκους
1,80mανοικτού καισταδύο άκρα. Σε ποια σημεία βρίσκονται κα­
τά μήκοςτου αυλού (όταν μετριέται από το ένα άκρο) a) οι κόμ­
βοι μετατόπισης, b) οι κόμβοιπίεσης, γιατο θεμελιώδητρόποτα­
λάντωσης και για τις δύοπρώτες ανώτερες αρμονικές;
20-11 Στάσιμα ηχητικά κύματα παράγονται σε αυλό μήκους
1,80mπου είναι ανοικτός στο ένα και κλειστός στο άλλο άκρο. Σε
ποια σημεία βρίσκονται, κατά μήκος του αυλού (όταν μετριέται α­
πό το κλειστό άκρο), a) οι κοιλίες μετατοπίσεως b) οι κοιλίες
πιέσεως για το θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης και τις δύο πρώτες
ανώτερες αρμονικές;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 581
20-12 Να βρείτε τη θεμελιώδη συχνότητα και τις συχνότητες
των πρώτων τριών ανώτερων αρμονικών για έναν αυλό μήκους
28,0cm a) εάν ο αυλός είναι ανοικτός και στα δύο άκρα· b) εάν
ο αυλός είναι κλειστός στο ένα άκρο. c) Ποια είναι η τάξη της υ­
ψηλότερης αρμονικής που θα μπορούσε να ακούσει άτομο που έ­
χει κανονική ακοή για κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις;
(Ένα άτομο με κανονική ακοή ακούει συχνότητες στην περιοχή
20-20000 Hz).
20-13 Οι μπάσες νότες ενός αρμονίου. Ο μακρύτερος
αυλός που βρίσκεται σε μεσαίου μεγέθους αρμόνια είναι 4,88m.
Ποια είναι η συχνότητα του τόνου που αντιστοιχεί στο θεμελιώδη
τρόπο ταλάντωσης εάν ο αυλός είναι a)ανοικτός και στα δύο ά­
κρα· b) ανοικτόςστο ένα και κλειστός στοάλλοάκρο;
20-14 Ένας συγκεκριμένος αυλός με αέρα παράγει συχνότητα
520 Hz. Εάν ο αυλός γεμιστεί με ήλιον στην ίδια θερμοκρασία, τι
συχνότητα παράγει; (Η γραμμομοριακή (molar) μάζατου αέρα εί­
ναι 28,8g/molκαι η γραμμομοριακή (molar)μάζατου ηλίου είναι
4,00g/mol).
Εδάφιο 20-6
Συμβολή κυμάτων
20-15 Το σχήμα 20-21 δείχνει δύο ορθογώνιους κυματοπαλ­
μούς σε τεντωμένη χορδή που οδεύουν ο ένας προςτον άλλο. Κάθε
παλμός διαδίδεται με ταχύτητα 1,00mm/sκαι έχειύψος καιπλάτος
που φαίνονται στο σχήμα. Εάν οι μπροστινές άκρες των παλμών
είναι σε απόσταση 8,00mmτη χρονική στιγμή t = Ο, σχεδιάστε τη
μορφή της χορδήςόταν t = 4,00s, t = 6,00s και t = 10,0s.
υ = 1,00mm/s �
4,00mm
�
4,00mm
ΣΧΗΜΑ 20-21
20-16 Συμβολή με στερεοφωνικό σύστημα. Δύο μεγά­
φωνα, Α καιΒ (Σχ. 20-22),τροφοδοτούνται απότον ίδιο ενισχιmj
και εκπέμπουν ημιτονοειδή κύματα σε φάση. Το μεγάφωνο Β εί­
ναι 2,00mπρος τα δεξιά του μεγαφώνου Α . Η συχνότητα των η­
χητικών κυμάτων που παράγονται από τα μεγάφωνα είναι 700Hz
και η ταχύτητά τους στον αέρα είναι 350 m/s. Θεωρείστε το ση­
μείο Ρ, μεταξύ των μεγαφώνων και κατά μήκος της γραμμής που
τα συνδέει, σε απόσταση χ προς τα δεξιά του Α. Για ποιες τιμές
τουχ θα παρουσιαστεί αναιρετική συμβολή στο Ρ;
Α
·I Ρ
I· •
�χ�
ΣΧΗΜΑ 20-22
Q
•
2,00m ------;.i<ε--1,00m ----?>J

3. 582 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΙΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
20-17 Δύο μεγάφωναΑκαι Β (Σχ. 20-22), τροφοδοτούνται από
τον ίδιο ενισχυτή και εκπέμπουν ημιτονοειδή κύματα σε φάση. Το
μεγάφωνο Β είναι 2,00 m στα δεξιά του μεγαφώνου Α.Ηταχύτητα
του ήχου στον αέρα είναι 350 m/s. Θεωρείστε το σημείο Q, κατά
μήκος της προέκτασης της γραμμής που συνδέει τα μεγάφωνα, σε
απόσταση 1,00 m στα δεξιά του μεγαφώνου Β. a) Για ποιες συχνό­
τητες παρουσιάζεται ενισχυτική συμβολή στο σημείοΡ; b) Για ποι­
ες συχνότητες παρσυσιάζεται αναιρετική συμβολή στο σημείο Ρ;
Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α _____________________
20-18 Μια χορδή με σταθερά τα δύο άκρα ταλαντώνεται στο
θεμελιώδη της τρόπο. Τα κύματα έχουν ταχύτητα 32,0 m/s και συ­
χνότητα 20,0 Hz. Το πλάτος του στασίμου κύματος στην κοιλίατου
είναι 1,20 cm. a) Υπολογίστε το πλάτος της κινήσεως των σωμα­
τίων στη χορδή σε απόσταση (ί) 80 cm, (ίί) 40 cm και (ίίί) 20 cm α­
πό το αριστερό άκροτης χορδής. b) Για καθένα από τα σημεία της
ερωτήσεως (a), πόσο χρόνο χρειάζεται η χορδή για να πάει από
τη μεγαλύτερη προςτα επάνω μετατόπιση στη μεγαλύτερη προςτα
κάτω;
20-19 Λάκκος και σανίδα. Μια ξύλινη σανίδα τοποθετεί­
ται πάνω από λάκκο ο οποίος έχει πλάτος 10,0 m. Μια φοιτήτρια
Φύσικής στέκεται στο μέσο της σανίδας και αρχίζει να πηδά με
ρυθμό ίσο με δύο πηδήματα ανά δευτερόλεπτο. Η σανίδα ταλα­
ντώνεται με μεγάλο πλάτος, με μέγιστο πλάτος στο κέντρο της. a)
Ποια είναι η ταχύτητα των εγκάρσιων κυμάτων στη σανίδα; b)
Με ποιο ρυθμό πρέπει να πηδά η φοιτήτρια ώστε να παράγει τα­
λαντώσεις μεγάλου πλάτους, εάν στέκεται 2,5 m από την άκρη του
λάκκου; (Σημείωση: Τα εγκάρσια στάσιμα κύματα της σανίδας έ­
χουν κόμβους στα δύο της άκρα τα οποία είναι ακίνητα στο έδα­
φος σε κάθε μια πλευρά του λάκκου).
20-20 Ο καθηγητής σας της Φυσικής έχει επινοήσει ένα μουσι­
κό όργανο. Αποτελείται από μεταλλικό κουτί μήκους L και διαμέ­
τρου L/10. Το πάνω μέρος του κουτιού έχει κοπεί και κατά μήκος
του ανοικτού άκρου έχει τεντωθεί μια χορδή. a) Ητάση στη χορ­
δή ρυθμίζεται έτσιώστε η θεμελιώδης συχνότητα για διαμήκη ηχη­
τικά κύματα στην αέρια στήλη μέσα στο κουτίνα ισούται με τη συ­
χνότητα της τρίτης αρμονικής για εγκάρσια κύματα στη χορδή.
Ποια είναι η σχέση μεταξύ της ταχύτητας υ, των εγκάρσιων κυμά­
των στη χορδή και της ταχύτητας υ, ηχητικών κυμάi:ων στον αέρα;
b) Τι συμβαίνει στον ήχο που παράγεται από το όργανο εάν η τά­
ση στη χορδή αυξηθείκατά παράγοντα τέσσερα;
20-21 Ένας αυλός αρμονίου, ανοικτός και στα δύο άκρα, έχει
δύο διαδοχικές αρμονικές με συχνότητες 240και 280 Hz. a) Ποιο
είναι το μήκος του αυλού; b) Ποιας τάξεως είναι αυτές οι δύο αρ­
μονικές;
20-22 Για τον προσδιορισμό των τροχιών υπατομικών σωματι­
δίων, οι φυσικοί διατάσσουν λεπτά παράλληλα σύQματα σε επίπε­
δα (κάθε επίπεδο είναι όπως μια άρπα) και τα τροφοδοτούν με η­
λεκτρισμό. Εκείνο το σύρμα κάθε επίπεδου, από το οποίο περνά
πιο κοντά το σωματίδιο, παράγει ένα χαρακτηριστικό ηλεκτρικό
σήμα που μπορεί να καταγραφεί. Είναι αναγκαίο τα σύρματα να
είναι πολύ τεντωμένα και όλα να έχουν την ίδια μηχανική τάση.
Ένας καλός τρόπος να τεντωθούν τα σύρματα είναι να κρεμαστεί
μια μάζα m απότο σύρμα ενώ το σύρμα συγκολλάται σε ένα πλαί­
σιο. Υποθέστε ότι εργάζεστε ως προπτυχιακός βοηθός και σας ζη­
τούν να ελέγξετε την τάση σε ένα περατωμένο πλαίσιο συρμάτων·
για το σκοπό αυτό θέτετε τα σύρματα σε ελαφρά ταλάντωση (χρη­
σιμοποιώντας μια μαγνητική μέθοδο) σε διάφορες συχνότητες και
βρίσκετε τη συχνότητα στην οποία παρουσιάζεται η θεμελιώδης
ταλάντωση συντονισμού. Υπολογίστε την αναμενόμενη συχνότητα
για ένα κατάλληλα τεντωμένο σύρμα εάν η τείνουσα μάζα είναι
50,0 g και το μήκος του σύρματος είναι 0,700 m. Τα σύρματα είναι
κατασκευασμένα από βολφράμιο (πυκνότητα = 19,3 g/cm3) και έ­
χουν διάμετρο 200μ m.
20-23 Ο βιολοντσελίστας Υο-Υο Ma χορδίζει τη χορδή λα του
οργάνου σε θεμελιώδη συχνότητα 220 Hz. Το δονούμενο τμήμα
της χορδής έχει μήκος 0,680 m και μάζα 1,42 g. a) Με ποια τάση
πρέπει να τεντωθεί; b) Πόση εκατοστιαία αύξηση της τάσης α­
παιτείται για να αυξηθεί η συχνότητα από 220 Hz σε 233 Hz που
αντιστοιχεί σε μια αύξηση του τόνου από λα σε λα δίεση;
20-24 Ένα γλυπτό από στερεό αλουμίνιο κρεμιέται από χαλύ­
βδινο σύρμα. Η θεμελιώδης συχνότητα για εγκάρσια στάσιμα κύ­
ματα στο σύρμα είναι 240 Hz. Το γλυπτό εμβαπτίζεται σε νερό έ­
τσι ώστε το ένα τρίτο του όγκου του να είναι βυθισμένο. Πόση εί­
ναι η νέα θεμελιώδης συχνότητα;
20-25 Ένας μακρύς σωλήνας περιέχει αέρα υπό πίεση 1,00
atm και θερμοκρασία 77,o•c. Ο σωλήνας είναι ανοικτός στο ένα
άκρο και κλειστός στο άλλο με κινούμενο έμβολο. Ένα διαπασών,
κοντά στο ανοικτό άκρο, δονείται με συχνότητα 500 Hz. Παράγε­
ται συντονισμός όταν το έμβολο είναι σε αποστάσεις 18,0 , 55,5
και 93,0 cm από το ανοικτό άκρο. a) Από αυτές τις μετρήσεις,
ποια είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα στους 77,o·c; b) Από
το αποτέλεσμα της πρώτης ερώτησης, ποιος είναι ο λόγος γ των ει­
δικών θερμοχωρητικοτήτων υπό σταθερή πίεση και σταθερό όγκο
για τον αέρα σε αυτή τη θερμοκρασία; (Ηγραμμομοριακή (molar)
μάζατου αέρα είναι 28,8g/mol).
20-26 Ένα στάσιμο κύμα συχνότητας 1100 Hz σε στήλη μεθα­
νίου (CH4) στους 20,0· Cπαράγει κόμβσυς που είναι σε απόσταση
μεταξύ τους 0,200 m. Ποιος είναι ο λόγος γ της θερμοχωρητικότη­
τας του μεθανίου υπό σταθερή πίεση προς εκείνη υπό σταθερό ό­
γκο; (Ηγραμμομοριακή μάζα του μεθανίου είναι 16,0 g/mol).
20-27 Η συχνότητα του μεσαίου ντο είναι 262 Hz. a) Εάν έ­
νας αυλός αρμονίου είναι ανοικτός και στα δύο άκρα, τι μήκος
πρέπει να έχει ώστε ο θεμελιώδης του τρόπος ταλάντωσης να πα­
ράγει αυτή τη νότα στους 2o,o·c; b) Σε ποια θερμοκρασία θα εί­
ναι η συχνότητα κατά 6,00% υψηλότερη, που αντιστοιχεί σε αύξη­
ση του τόνου από ντο σε ντο δίεση;
20-28 Δύο πανομοιότυπα μεγάφωνα τοποθετούνται στα ση­
μεία Ακαι Β, σε απόσταση 2,00 m. Τα μεγάφωνατροφοδοτούνται
από τον ίδιο ενισχυτή και παράγουν ηχητικά κύματα συχνότητας
480 Hz. Θεωρείστε ότι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340
m/s. Ένα μικρό μικρόφωνο κινείται από το σημείο Β κατά μήκος
μιας γραμμής κάθετης προς τη γραμμή που συνδέει ταΑ και Β
(γραμμή BC στο Σχ. 20-23). Σε ποιες αποστάσεις από το Β θα δη­
μιουργηθεί αναιρετική συμβολή;
c
ΣΧΗΜΑ 20-23

4. ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 583
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α --------------
20-29 Χορδισμός κιθάρας. Ηχαλύβδινη χορδή σι ακου­
στικής κιθάρας έχει μήκος 63,5 cm και διάμετρο 0,406 mm. a)
Πόση τάση πρέπει να εφαρμοστεί στη χορδή ώστε τα παραγόμενα
εγκάρσια κύματα να έχουν συχνότητα 247,5 Hz; Ηπυκνότητα του
χάλυβα είναι 7800 kg/m3. Υποθέστε ότι η χορδή ταλαντώνεται στη
θεμελιώδη της συχνότητα. b) Εάν η τάση μεταβληθεί κατά μια μι­
κρή ποσότητα ΔF, η συχνότητα μεταβάλλεται κατά Δf. Δείξτε ότι
c) Εάν η χορδή χορδίζεται όπως στην περίπτωση (a) σε κλειστό
χώρο όπου η θερμοκρασία είναι 24,0°C και μετά μεταφέρεται στη
σκηνή που είναι σε ανοιχτό χώρο όπου η θερμοκρασία είναι
11,0°C, η συχνότητα θα αλλάξει με δυσάρεστα αποτελέσματα. Να
βρείτε το Δfεάντο μέτρο του Young Υ,της χαλύβδινης χορδής εί­
ναι 2,00 χ 1011 Pa και ο συντελεστής γραμμικής διαστολής α είναι
1,20 χ 10-s (οcγΌ ο τόνος θα ψηλώσει ή θα χαμηλώσει;
20-30 Συντονισμός μηχανικού συστήματος. Μάζα m
προσδένεται στο ένα άκρο ελατηρίου χωρίς μάζα, σταθεράς k και
μήκους, όταν είναι ελεύθερο, /0. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι
ελεύθερο να περιστρέφεται γύρω από καρφί σε οριζόντια επιφά­
νεια χωρίς τριβές (Σχ. 20-24). Η μάζα τίθεται σε περιστροφή πά­
νω σε κύκλο με γωνιακή συχνότητα ωΌ a) Υπολογίστε το μήκος l
του ελατηρίου συναρτήσει του ωΌ b) Τι συμβαίνει στο αποτέλε­
σ,Ι!:!Uου (a) μέρους όταν το ω' πλησιάζει τη φυσική συχνότητα ω =
-.Jk/m του συστήματος μάζας-ελατηρίου; (Εάν το αποτέλεσμα σας
προβληματίζει, θυμηθείτε ότι ελατήρια χωρίς μάζα και επιφάνειες
χωρίς τριβές δεν υπάρχουν ακριβώς, μπορούν μόνο να προσεγγι­
στούν. Επίσης ο νόμος του Hooke περιγράφει προσεγγιστικά τη
συμπεριφορά πραγματικών ελατηρίων· όσο μεγαλύτερη η επιμή­
κυνση του ελατηρίου, τόσο μεγαλύτερη η απόκλιση από το νόμο
του Hooke.)
m
ΣΧΗΜΑ 20-24