πλαστική και ελαστική κρούση

1. ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
 Στην παρουσίαση που ακολουθεί θα μελετήσουμε τις κρούσεις σε
μία διάσταση.
 Συγκεκριμένα θα μελετήσουμε δύο ακραίες περιπτώσεις τέτοιων
κρούσεων:
Τελείως μη ελαστική
κρούση (πλαστική)
Ελαστική κρούση
Η πιο σημαντική διαφορά ανάμεσά τους είναι ότι ενώ η ορμή του συστήματος
διατηρείται και στις δύο περιπτώσεις , η κινητική ενέργεια διατηρείται μόνο στην
περίπτωση της ελαστικής κρούσης

2. Τελείως μη ελαστική (πλαστική) κρούση
Θεωρούμε δύο σώματα με μάζες m1 και m2 που έχουν ταχύτητες με μέτρα U1 και
U2 σε ευθεία γραμμή όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί:
m1
m2
1
U
→
2
U
→
Μετά την κρούση τα δύο σώματα κολλάνε μεταξύ τους ( συσσωμάτωμα) και
κινούνται με κοινή ταχύτητα μέτρου V όπως φαίνεται στο σχήμα
m1+m2
→
V
Η ολική ορμή του συστήματος πριν από την κρούση είναι ίση με την ολική ορμή
μετά την κρούση ( και ίση με αυτή που έχει κατά τη διάρκεια της κρούσης). Άρα
έχουμε:
→→
PP =αρχ τελ

3. Με αντικατάσταση στην παραπάνω σχέση και θεωρώντας θετική φορά την προς
τα δεξιά, έχουμε:
( )× × ×1 1 12 2 2
m U +m U = m +m V
δηλαδή
× ×
V= 1 1 2 2
1 2
+
m +m
m U m U
Σε παρόμοιες σχέσεις καταλήγουμε αν οι αρχικές κινήσεις των σωμάτων
διαφέρουν από αυτές που αναφέραμε. Π.χ. αν το δεύτερο σώμα ήταν ακίνητο ή
αν είχε αντίθετη κατεύθυνση κίνησης.
Η κινητική ενέργεια του συστήματος πριν την κρούση ήταν:
2 2
1 2 1 1 2 2
1
2
1
2
m UK K K m Uαρχ × + ×= + =

4. Η κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την κρούση είναι:
( ) 2
1 2
1
2
m m VKτελ
= × + ×
Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά τη διάρκεια της
κρούσης είναι:
a
KK Kτελ ρχ
−∆ =
Με αντικατάσταση των προηγούμενων σχέσεων στην παραπάνω έχουμε:
( ) 2 2 2
1 2 1 1 2 2
1 1 1
2 2 2a
K m m V m U m UK Kτελ ρχ
− = × + × − × × − ×∆ =
Στην περίπτωση της τελείως ανελαστικής κρούσης ισχύει ΔΚ< 0, δηλαδή η κινητική
ενέργεια του συστήματος μειώνεται. Η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται αλλά
μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια και ενέργεια μόνιμης παραμόρφωσης.

5. Εφαρμογή
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΡΟΥΣΗΣ
Nα εφαρμοστούν τα παραπάνω για την περίπτωση που m1=4Kg, m2=1Kg, U1=10m/s,
U2=0 και να βρεθούν:
α) η κοινή ταχύτητα των δύο σωμάτων μετά την κρούση
β) η αρχική και η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος
γ) Πόση είναι η μηχανική ενέργεια που έχασε το σύστημα και σε τι μετατράπηκε;
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσομοίωση που βρίσκεται στην παρακάτω
διεύθυνση αφού ακολουθήσουμε τα βήματα που ακολουθούν:

6. Αρχικά ψηλά στο επάνω μέρος (ΣΧΗΜΑ 1) δίνουμε τις τιμές στα m1 και m2
χρησιμοποιώντας τα βελάκια πάνω-κάτω. Στη συνέχεια σύροντας το κόκκινο βελάκι στο
πρώτο σώμα ρυθμίζουμε την U1=10m/s. (Την ένδειξη αυτή μπορούμε να τη δούμε κάτω
αριστερά , (ΣΧΗΜΑ 2)μετά το βέλος που δείχνει την ορμή του πρώτου σώματος.)
Επιλέγουμε ε=0 ώστε να είναι η κρούση τελείως μη ελαστική (πλαστική) και σταμάτημα
στην κρούση ώστε να μην συνεχίσει με κρούση στον τοίχο και να διαβάσουμε τα
δεδομένα αμέσως μετά την κρούση.
ΣΧΗΜΑ 1
ΣΧΗΜΑ 2

7. Μετά την εκτέλεση της προσομοίωσης με βάση τα δεδομένα της εφαρμογής
βρίσκουμε ότι:
Η κοινή ταχύτητα των σωμάτων μετά την κρούση είναι V=8m/s
Η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι Καρχ=200J ενώ η τελική
είναι Kτελ=160J (128J το πρώτο και 32J το δεύτερο)
Η μηχανική ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμική και ενέργεια
παραμόρφωσης είναι 40J.

8. Το εκπαιδευτικό λογισμικό που προσομοιώνει την παραπάνω διαδικασία είναι
σχετικά απλό στη χρήση του ενώ παρέχει δεδομένα που αφορούν και την ορμή και
την κινητική ενέργεια των σωμάτων και του συστήματος. Έχει δυνατότητες
προέκτασης. Πχ μπορεί να μας δείχνει τις τροχιές των σωμάτων επιλέγοντας την
ένδειξη «τροχιές» ή να αναιρέσουμε το «σταμάτημα μετά την κρούση» για να
συνεχίσουμε τη μελέτη της κίνησης. Έχει δυνατότητα επιλογής κλίμακας, αντίθετης
κατεύθυνσης της U1καθώς και αργής κίνησης. Όμως δεν περιλαμβάνει πολλές
περιπτώσεις πχ κίνηση του δεύτερου σώματος και προς τις δύο κατευθύνσεις.

9. ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ
m1
m2
1
U
→
2
U
→
'
1
U
→ '
2
U
→
m1 m2
Θεωρούμε δύο σφαιρικά σώματα με μάζες m1 και m2 τα οποία κινούνται στην ίδια
διεύθυνση με ταχύτητες U1 και U2 ίδιας φοράς όπως δείχνει το σχήμα και
συγκρούονται ελαστικά και μετωπικά. Αν U’1 και U’2 είναι τα μέτρα των
ταχυτήτων τους μετά την κρούση τότε εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της
ορμής του συστήματος για την κρούση και την διατήρηση της κινητικής ενέργειάς
του έχουμε:
P Pαρχ τελ
→ →
=
Από την διατήρηση της
ορμής:

10. ' '
1 1 2 2 1 1 2 2mU m U mU m U+ = +
Από τη διατήρηση της κινητικής ενέργειας του συστήματος
έχουμε:
2 2 '2 '2
1 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1 1
2 2 2 2
K K mU mU mU mUαρχ τελ= ⇒ + = +
Από τις παραπάνω εξισώσεις είναι δυνατό να βρούμε τις ταχύτητες των
σωμάτων μετά την κρούση. Αυτές δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις:
' 2 1 2
1 2 1
1 2 1 2
2m m m
U U U
m m m m
−
= +
+ +
' 1 2 1
2 1 2
1 2 1 2
2m m m
U U U
m m m m
−
= +
+ +

11. Στην περίπτωση που το δεύτερο σώμα είναι ακίνητο οι παραπάνω σχέσεις
απλοποιούνται ως εξής :
' 1 2
1 1
1 2
m m
U U
m m
−
=
+
' 1
2 1
1 2
2m
U U
m m
=
+
Στη συνέχεια θα εξετάσουμε κάποιες πιο ειδικές υποπεριπτώσεις που
προκύπτουν από τις προηγούμενες σχέσεις:
(1)

12. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1
Όταν τα σώματα έχουν την ίδια μάζα. Τότε εφαρμόζοντας τις προηγούμενες
σχέσεις για m1=m2 έχουμε:
'
1 0U =
'
2 1U U=
Δηλαδή τα σώματα ανταλλάσουν ταχύτητες
Η παραπάνω εφαρμογή μπορεί να υλοποιηθεί με τη βοήθεια προσομοίωσης
που βρίσκεται στη παρακάτω διεύθυνση σύμφωνα με τις οδηγίες που
ακολουθούν:
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΚΡΟΥΣΗΣ

13. Αρχικά, επιλέγουμε ώστε τα σώματα να έχουν τις ίδιες μάζες σύροντας τους δείκτες
που είναι δεξιά των ενδείξεων των μαζών. Σύροντας το βέλος της ταχύτητας
επιλέγουμε τιμή. Πάνω δεξιά κλικάρουμε τις ενδείξεις Kinetic Energy και Show
Values ώστε να φαίνεται η κινητική ενέργεια και οι τιμές των ταχυτήτων και των
ορμών των σωμάτων. Δίνουμε στην ελαστικότητα την τιμή 100% ώστε να έχουμε
ελαστική κρούση. Πατάμε έναρξη και μετά την κρούση πατάμε την παύση.
Παρατηρούμε τις τιμές των μεγεθών και επαναλαμβάνουμε αν θέλουμε
μεταβάλλοντας τις τιμές των μαζών.

14. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2
Μπορούμε να επεκτείνουμε τις δυνατότητες της προσομοίωσης δίνοντας
διαφορετικές τιμές στις μάζες των σωμάτων ή δίνοντας ταχύτητα και στο
δεύτερο σώμα. Αυτό μπορεί να γίνει αν κρατώντας πατημένο το ποντίκι με
αριστερό κλικ πάνω στο δεύτερο σώμα ,σύρουμε δεξιά ή αριστερά μέχρι να
πετύχουμε την ταχύτητα που θέλουμε.
Αν το σώμα m1 έχει μάζα πολύ μεγαλύτερη από το σώμα m2. Δηλαδή m1>>m2.
Τότε με εφαρμογή των τύπων (1) έχουμε:

15. '
1 1U U≅
'
2 12U U≅
Χρησιμοποιώντας πάλι την προσομοίωση ελαστικής κρούσης μπορούμε να
εξακριβώσουμε την παραπάνω περίπτωση.
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΚΡΟΥΣΗΣ
Επιλέγουμε για τη μάζα του πρώτου σώματος μία ενδεικτική τιμή 50Kg
πληκτρολογώντας την τιμή αυτή στο αντίστοιχο πλαίσιο και για το δεύτερο μία τιμή
0,1Kg. Επιλέγουμε μία τιμή για την αρχική ταχύτητα του πρώτου. Αν πατήσουμε την
έναρξη θα εξακριβώσουμε τις παραπάνω σχέσεις (κατά προσέγγιση).

17. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3
Αν το σώμα m1 έχει μάζα πολύ μικρότερη από το σώμα m2. Δηλαδή m1<<m2.
Τότε με εφαρμογή των τύπων (1) έχουμε:
'
1 1U U≅−
'
2 0U ≅
Χρησιμοποιώντας την ίδια προσομοίωση ελαστικής κρούσης μπορούμε να
εξακριβώσουμε την παραπάνω περίπτωση. Δηλαδή ότι η ταχύτητα του πρώτου
σώματος αλλάζει κατεύθυνση ενώ το δεύτερο σώμα παραμένει ακίνητο.
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΚΡΟΥΣΗΣ

18. Επιλέγουμε για τη μάζα του δεύτερου σώματος μία ενδεικτική τιμή 50Kg
πληκτρολογώντας την τιμή αυτή στο αντίστοιχο πλαίσιο και για το πρώτο μία τιμή
0,1Kg. Επιλέγουμε μία τιμή για την αρχική ταχύτητα του πρώτου. Αν πατήσουμε την
έναρξη θα εξακριβώσουμε τις παραπάνω σχέσεις (κατά προσέγγιση πάλι).

19. Το εκπαιδευτικό λογισμικό που προσομοιώνει την παραπάνω διαδικασία είναι
απλό στη χρήση ενώ ταυτόχρονα παρέχει αρκετές δυνατότητες.
 Αρχικά μας δίνει τη δυνατότητα να την χρησιμοποιήσουμε και στην πλαστική
κρούση επιλέγοντας ελαστικότητα 0% στον πίνακα που βρίσκεται δεξιά ή
οποιοδήποτε άλλο είδος κρούσης επιλέγοντας την τιμή της ελαστικότητας.
Επίσης μας δίνει τη δυνατότητα να μελετήσουμε πιο πολύπλοκες κρούσεις
όπως την περίπτωση της πλάγιας ή μη μετωπικής κρούσης καθώς και την
περίπτωση κρούσης πάνω από δυο σφαιρών. Αυτό γίνεται με τη χρήση της
καρτέλας Advanced. Εκεί επιλέγουμε αριθμό σωμάτων που συμμετέχουν στο
φαινόμενο καθώς και αν θέλουμε να γίνει σε μία ή δύο διαστάσεις η κρούση.
Επίσης μπορούμε να επιλέξουμε να φαίνονται οι λεπτομέρειες των ταχυτήτων
και των θέσεων των σωμάτων.