Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ
Α Σ Κ Ή Σ Ε Ι Σ _______________________
Εδάφιο 2-1
Μέση ταχύτητα
2-1 Πύραυλος που μεταφέρει δορυφόρο επιταχύνεται προς τα
πάνωακριβώς κατακόρυφα απότην επιφάνειατης Γης. Ο πύραυ­
λος εγκαταλείπει την κορυφή της εξέδρας εκτόξευσης 47 m πάνω
από το έδαφος, 1,35 s μετάτην aπογείωσή του. Αφού πέρασαν άλ­
λα 4,45 s ο πύραυλος βρίσκεται 1,00 km πάνω από το έδαφος.
Υπολογίστε το μέτρο της μέσης ταχύτητας του πυραύλου για
a)τοδιάστημα πτήσηςτων4,45 s· b)ταπρώτα 5,80 sτης πτήσηςτου.
2-2 Μια κοπέλα πεζοπορεί επί 40 min σε ευθεία γραμμή με
μέση ταχύτητα που έχει μέτρο 1,4 m/s. Πόση απόσταση καλύπτει
σ' αυτότο διάστημα;
2-3 Στην εθνική οδό Αθηνών-Λαμίας κανονικά οδηγούμε με
μέση ταχύτητα 80 km/h και η διαδρομή διαρκεί 2 h 45 min. Μια
βροχερή μέρα, οδηγούμε με μικρότερη μέση ταχύτητα, 65 km/h.
Για την ίδια απόσταση, πόσο χρόνο περισσότερο θα διαρκέσει η
διαδρομή;
2-4 Ο πιο γρήγορος άνθρωπος του κόσμου. Στις 30
Αυγούστου 1987, στη Ρώμη, ο Ben Johnson έτρεξε τα 100 m σε
9,83 s. Το διάστημα από 50,0 ώς 70,0 m το έτρεξε σε 1,70 s. Ποιο
ήταν το μέτρο της μέσης ταχύτητας για a) όλη τη διαδρομή;
b) Γιατοτμήματηςαπότα 50,0 m ώς τα 70,0 m;
2-5 Ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει σε ευθύ δρόμο. Η απόστασή
του,χ, από ένα σήμα STOP σαν συνάρτηση του χρόνου δίνεται α­
πότην εξίσωση χ = αt2 + βt3, όπου α = 1,80 m/s2 καιβ = 0,250
m/s3. Υπολογίστε τη μέση ταχύτητατου αυτοκινήτου για τα παρα­
κάτω χρονικά διαστήματα: a) t = Ο ως t = 2,00 s· b) t = Ο ως
t = 4,00s· c) t = 2,00 s ως t = 4,00 s.
Εδάφιο 2-2
Στιγμιαία ταχύτητα
2-6 Κάποιακαθηγήτριαφυσικής ξεκινάει από το σπίτι της με
τα πόδια γιατην Πανεπιστημιούπολη. Μετά από 5 min την πιάνει
βροχή και επιστρέφει σπίτιτης. Η απόστασή της από το σπίτι σαν
συνάρτηση του χρόνου φαίνεται στο Σχ. 2-23. Σε ποια από τα ση­
μεία που σημειώνονται η ταχύτητάτης είναι a) μηδέν, b) σταθε­
ρή και θετική, c) σταθερή και αρνητική, d) αύξουσα κατά μέ­
τρο, e) φθίνουσα κατά μέτρο;
2-7 Ένας μοντελιστής δοκιμάζει νέο μοντέλο μηχανής πυραύ­
λου πaνω σε βαγονάκι που κινείται σε μοντέλο σιδηροτροχιάς.
Βρίσκειότιη κίνηση του βαγονιού κατάτον άξοναχ περιγράφεται
απότην εξίσωσηχ = bt2, όπου b = 12,0 cm/s2• Υπολογίστε τη στιγ­
μιαίαταχύτητατου βαγονιού τη χρονική στιγμή t = 3,00 s.
x (m)
IV
ΣΧΗΜΑ 2-23
2-8 Ένα αυτοκίνητο σταματάει στο κόκκινο. Όταν ανάψει
πράσινο, προχωράει σε ευθεία και η απόστασή του απότο σημα­
τοδότη δίνεται από την εξίσωση χ = bf2 + cf3, όπου b = 1,40 m/s2
και c = 0,100 m/s3• a) Υπολογίστε τη μέση ταχύτητα του αυτοκι­
νήτου μέσα στο χρονικό διάστημα από t = Ο ώς t = 10,0 s.
b) Υπολογίστε τη στιγμιαία ταχύτητα του αυτοκινήτου τις χρονι­
κές στιγμές i) t = ο· ii) t = 5,0 s· iii) t = 10,0 s.
Εδάφιο 2-3
Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση
2-9 Ένα-φορτηγό τρέχει σε ευθύγραμο τμήμα της εθνικής ο­
δού με 120 km/h. Ο οδηγός διακρίνει μπροστάτου το περιπολικό
της τροχαίας. Αν το φορτηγό αρχίσει να φρενάρει με μέση επι­
βράδυνση -4,0 m/s2, πόση ώρα θα χρειαστεί ώστε η ταχύτητά του
να μειωθείστο όριο του δρόμου, που είναι 80 km/h;
2-10 Στο Σχ. 2-24 βλέπουμε, σαν συνάρτηση του χρόνου, την
ταχύτητααυτοκινήτου που λειτουργεί με ηλιακούς συσσωρευτές.
Ξεκινώντας από κάποιο STOP ο οδηγός αρχικά επιταχύνει, μετά
προχωράει με σταθερή ταχύτητα 60 km/h επί 20 s και τέλος φρε­
νάρει για να σταματήσει σ' ένα άλλο STOP, 40 s αφού ξεκίνησε
από το προηγούμενο. a) Υπολογίστε τη μέση επιτάχυνση σε κα­
θένα από τα παρακάτωχρονικάδιαστήματα: ί) t = Ο ώς t = 10 s·
ίί) t = 30 s ώς t = 40 s· ίίί) t = 10 s ώς t = 30 s· iv) t = Ο ώς
t = 40 s. b) Ποιαχρονική στιγμή η στιγμιαία επιτάχυνση α παίρνει
τη μέγιστη τιμή της; c) Πόση είναι η στιγμιαία επιτάχυνση όταν
t = 20 s; d) Πόση είναι η στιγμιαία επιτάχυνση όταν t = 35 s;
υ (km!h)
-0-JL--
...J...__
_ι_
_
_j_
_
_
JL_ ι (s)10 20 30 40
ΣΧΗΜΑ 2-24
2-11 Ο δοκιμαστής της <<Απίθανα Αυτοκίνητα Α.Ε.>> ελέγχει έ­
να νέο μοντέλο, του οποίου το ταχύμετρο είναι βαθμονομημένα
σε m/s αντί για km/h. Σε ένα τεστ πάρθηκαν οι παρακάτω ενδεί­
ξειςτουταχύμετρου:
Χρόνος (s) Ο
Ταχύτητα (m/s) Ο
2
ο
4
2
6 8 10 12 14 16
5 10 15 20 22 22
a) Υπολογίστε τη μέση επιτάχυνση κατά τη διάρκεια καθενός
διαστήματος 2 s. Παραμένει αυτή σταθερή; Παραμένει σταθερή
για κάποιο τμήμα του συνολικού τεστ; b) Να τοποθετήσετε τα
δεδομένα αυτά σε διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου με οριζόντια
κλίμακα 1 cm = 1 s και κάθετη κλίμακα 1 cm = 2 m/s. Σχεδιάστε
μια ομαλή καμπύλη διά μέσου αυτών των σημείων. Μετρώντας
την κλίση της καμπύλης αυτής βρείτε τη στιγμιαία επιτάχυνση για
t = 8 s, 13 s και 15 s.

2. 2-12 Ένας aστροναύτης ξεκίνησε από το <<Διαστημικό Εργα-
'uτήριο V» και ελέγχει νέο αστρο-σκούτερ, που πρόκειται να χρη­
σιμοποιηθείστην κατασκευή του <<Διαστημιού Χωριού 1». Η συ­
νεργάτιδά του μετράει τις μεταβολές της ταχύτητάς του μέσα σε
διαδοχικά χρονικά διαστήματα 10 s. Ποιο είναι το μέτρο, το αλγε­
βρικό πρόσημο και η κατεύθυνση της μέσης επιτάχυνσης σε κάθε
διάστημα; Υποθέστε πως η θετική κατεύθυνση είναι προς τα δε­
ξιά. Οιταχύτητες του σκούτερ είναι οι παρακάτω: a) Στην αρχή
του πρώτου διαστήματος κινείται προς τα δεξιά, πάνω στον άξονα
χ, με 25,0 m/s και στο τέλος του πάλι προς τα δεξιά με 5,0 m/s.
b) Στην αρχή του δεύτερου διαστήματος κινείται προς τα αριστερά
με 5,0m/sκαι στο τέλοςτου πάλι προςτα αριστερά με 25,0 m/s. c)
Στην αρχή του τελευταίου χρονικού διαστήματος κινείται προς τα
δεξιά με 25,0 m/s και στοτέλοςτου με 25,0 m/s προς τα αριστερά.
2-13 Στο Σχ. 2-25 έχουμε διάγραμμα της συντεταγμένης μιας
aράχνης, που σέρνεται κατά μήκος του άξοναχ. Σχεδιάστε τα
διαγράμματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σαν συναρτήσε­
ωντου χρόνου.
x (m)
1,0 ιΕυθεί�γραμμη
0,5
Παραβολή
ΣΧΗΜΑ 2-25
Παραβολή
2-14 Ηταχύτητα αυτοκινήτου σαν συνάρτηση του χρόνου δίνε­
ται σαν v(t) = α + βt2, όπου α = 5,00 m/s και β = 0,200 m/s3•
a) Υπολογίστε τη μέση επιτάχυνση κατάτο χρονικό διάστημα από
t = Ο ώς t = 5,00 s· b) Υπολογίστε τη στιγμιαία επιτάχυνση για
ί) t = Ο· ii) t = 5,00s.
Εδάφιο 2-4
Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση
2-15 Μια aντιλόπη, που κινείται με σταθερή επιτάχυνση, κα­
λύπτει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων που απέχουν 80 m σε
6,00s. Όταν περνάει από το δεύτερο σημείο η ταχύτητά της είναι
15,0 m/s. a) Πόση είναι η ταχύτητά της στο πρώτο σημείο;
b) Πόση είναι η επιτάχυνσή της;
2-16 Ένα αεροπλάνο διανύει 480 m στο διάδρομο πριν απο­
γειωθεί. Αν ξεκινήσει από την ακινησία, κινηθεί με σταθερή επι­
τάχυνση και απογειωθεί σε 16,0 s, πόση είναι η ταχύτητά του, σε
m/s, όταν απογειώνεται;
2-17 Το διάγραμμα του Σχ. 2-26 δείχνειτην ταχύτητα ενός μο­
τοσυκλετιστή αστυνομικού σαν συνάρτηση του χρόνου. a) Βρείτε
τη στιγμιαία επιτάχυνση όταν t = 3 s, όταν t = 7 s κι όταν t = 11 s.
b) Πόση απόσταση έχει διανύσει ο αστυνομικός τα πρώτα 5 s; Τα
πρώτα 9 s; Ταπρώτα 13 s;
2-18 Το Σχ. 2-27 παρουσιάζει διάγραμμα της επιτάχυνσης μο­
ντέλου μηχανής τρένου που κινείται κατά τον άξοναχ. Σχεδιάστε
ΣΧΗΜΑ 2-26
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
υ (m/s)
so r=����=r=η�
ο 2 4 6 8 10 12 14 1 (s)
51
τα διαγράμματα της ταχύτητας και της συντεταγμένης της μηχα­
νής, σανσυναρτήσεωντουχρόνου, ανχ = Ο καιυ = Ο για t = Ο.
2-19 Ο χρόνος αντίδρασης του μέσου οδηγού είναι περίπου
0,7 s (ο χρόνος αντίδρασης είναι το διάστημα που μεσολαβεί με­
ταξύ της στιγμής που θα αντιληφθούμε κάποιο κίνδυνο και της
στιγμής που θα πατήσουμε φρένο). Αν ένα αυτοκίνητο επιβραδύ­
νεται κατά -4,0 m/s2, υπολογίστε την ολική απόσταση που διανύει
μέχρι να σταματήσει από τη στιγμή που ο οδηγός αντιλαμβάνεται
κίνδυνο a) αν η αρχική του ταχύτητα ήταν 8,3 m/s (30 km/h) σε
δρόμο που υπάρχει σχολείο b) αν η αρχική ταχύτηταήταν 22,2 m/s
(80 km!h);
2-20 Τουπόγειο μετρό ξεκινάει απόκάποιοσταθμό και επιτα­
χύνεταικατά 1,80 m/s2 επί 12 s. Κινείται με σταθερή ταχύτητα επί
30,0 s και επιβραδύνεται κατά -3,50 m/s2 μέχρι να σταματήσει
στον επόμενο σταθμό. Βρείτε την ολική απόσταση που καλύφθη­
κε.
2-21 Ένα διαστημόπλοιο, που μεταφέρει εργάτες στη Σελη­
νιακή Βάση I, ακολουθεί ευθύγραμμη τροχιά από τη Γη ώς τη Σε­
λήνη, μια απόσταση περίπου 400000km. Υποθέστε πως τα πρώ­
τα 10,0 min του ταξιδιού το διαστημόπλοιο επιταχύνεται κατά
15,0 m/s2, ενώ στη συνέχεια ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα ώς τα
τελευταία 10,0 min, οπότε και επιβραδύνεται κατά -15,0 m/s2 μέ­
χρι να σταματήσειτελείως στην επιφάνειατης Σελήνης. a) Πόση
ήταν η μέγιστη ταχύτητα που ανέπτυξε; b) Τι ποσοστό της συνο­
λικής απόστασης διανύθηκε με σταθερή ταχύτητα; c) Πόσοςήταν
ο συνολικός χρόνος που απαιτήθηκε για το ταξίδι;
Εδάφιο 2-5
Ελεύθερη πτώση σωμάτων
2-22 Προσελήνωση. Σεληνάκατος προσεληνώνεται στη
Σεληνιακή Βάση Ι (Σχ. 2-28). Η σεληνάκατος κατεβαίνει αργά ε­
ξαιτίας κατάλληλης ώθησης προς τα πάνω που προκαλεί η μηχα-
ΣΧΗΜΑ 2-27

3. 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ
νή της. Η μηχανή σβήνει όταν η σεληνάκατος βρίσκεται 5,0 m πά­
νω από την πλατφόρμα προσγείωσης κι έχει ταχύτητα 2,0 m/s
προς τα κάτω. Πόση είναι η ταχύτητα της σεληνακάτου ακριβώς
πριν αγγίξει την επιφάνεια της Σελήνης; Η επιτάχυνση της βαρύ­
τητας στη Σελήνη είναι 1,6 m/s2.
2-23 a) Αν ένας ψύλλος μπορεί να πηδήξει σε ύψος 0,640 m, με
πόση αρχική ταχύτητα αφήνειτο έδαφος; b) Επί πόσο χρόνο βρί­
σκεται στον αέρα;
2-24 Ένα τούβλο πέφτει (με μηδενική αρχική ταχύτητα) από
την ταράτσα κτιρίου. Το τούβλο χτυπάει στο έδαφος σε 4,90 s.
a) Πόσο ψηλό, σε μέτρα, είναιτο κτίριο; b) Πόσο είναιτο μέτρο
της ταχύτητας του τούβλου ακριβώς πριν φτάσει στο έδαφος;
2-25 Ένας σπουδαστής ρίχνει ένα μπαλόνι γεμάτο νερό κατα­
κόρυφα προς τα κάτω από την ταράτσα κτιρίου. Το μπαλόνι φεύ­
γει από το χέριτου σπουδαστή με ταχύτητα 12,0 m/s. a) Πόση εί­
ναι η ταχύτητά του αφού πέσει επί 2,00 s; b) Πόσο κάτω πέφτει
σε 2,00 s; c) Πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητάς του αφού πέσει
κατά 10 m;
2-26 Ρίχνουμε μια πέτρα κατακόρυφα προςτα πάνω με ταχύ­
τητα 12,0 m/s από την ταράτσα κτιρίου, που βρίσκεται 40,0 m πά­
νω από το έδαφος. a) Μετά πόσα δευτερόλεπτα από τη στιγμή
που τη ρίξουμε η πέτρα πέφτει στο έδαφος; b) Πόση είναι η τα­
χύτητα της πέτρας ακριβώς πριν χτυπήσει στο έδαφος;
2-27 Ρίχνουμε μια πέτρα ακριβώς προς τα πάνω με αρχική τα­
χύτητα 8,00 m/s από την ταράτσα κτιρίου, 12,0 m πάνω από το έ­
δαφος. Ότανη πέτρα ξαναπέφτει από το ύψος της ταράτσας προς
το έδαφος ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση a) της μέ­
σης τηςταχύτητας και b) της μέσης της επιτάχυνσης της πέτρας;
2-28 Αερόστατο θερμού αέρα υψώνεται κατακόρυφα με στα­
θερή ταχύτητα που έχει μέτρο 5,00 m/s. Τη στιγμή που το αερό­
στατο βρίσκεται 40,0 m πάνω απότο έδαφος, ο χειριστής ελευθε­
ρώνει ένα σάκκο με άμμο (Σχ. 2-29). Υπολογίστε τη θέση και την
ταχύτητα του σάκκου 0,500 s και 2,00 s μετά την απελευθέρωσή
του. b) Μετά πόσα δευτερόλεπτα από την απελευθέρωσή του ο
σάκκος θα πέσει στο έδαφος; c)Με πόση ταχύτητα χτυπάει στο
έδαφος;
2-29 Ρίχνουμε ένα αυγό σχεδόνκατακόρυφαπρος τα πάνω α­
πό θέση κοντά σε κορνίζαψηλού κτιρίου. Καθώς το αυγό ξαναπέ­
φτει κάτω, μόλις και δε χτυπάει στην κορνίζα· περνάει από ση-
ΣΧΗΜΑ 2-28
ΣΧΗΜΑ 2-29 40,0 m απότο έδαφος
μείο 50,0 m πιο κάτω από τη θέση που ξεκίνησε 7,00 s μετά τη ρί­
ψη του. a) Πόση είναι η αρχική ταχύτητα του αυγού; b) Πόσο
ψηλά υψώθηκε από την αρχική θέση ρίψης; c) Πόσο είναι το μέ­
τρο τηςταχύτητάς του στο ψηλότερο σημείο; d) Πόσο είναιτο μέ­
·τρο και ποιά η κατεύθυνση της επιτάχυνσης στο ψηλότερο σημείο;
2-30 Ρίχνουμε μια μπάλα κατακόρυφα προς ταπάνω από το έ-
δαφος με ταχύτηταπου έχει μέτρο 45,0m/s. a) Μετάπόσοχρόνο
από τη ρίψη της η μπάλα θα έχει ταχύτητα 15,0 m/s προς τα πάνω;
b) Μετά πόσο χρόνο θα έχει ταχύτητα 150 m/s προς τα κάτω;
c) Πότε μηδενίζεται η απομάκρυνση της μπάλας; d) Πότε μηδενί­
ζεται η ταχύτητα της μπάλας; e) Πόσο είναι το μέτρο και ποια η
κατεύθυνση της επιτάχυνσης όταν η μπάλα i) κινείται προς τα πά­
νω; ii) κινείται προς τα κάτω; ίίί) βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο;
2-31 Το πυραυλοκίνητο έλκηθρο <<Ηχητικός Άνεμος Νο 2>>,
που χρησιμοποιείται στη μελέτη των φυσιολογικών επιπτώσεων
μεγάλων επιταχύνσεων, κινείται σε ευθύγραμμη επίπεδη τροχιά
με μήκος 1070 m (3500 ft). Ξεκινώντας από την ηρεμία πιάνει τα­
χύτητα 447 m/s (1000 mi/h) σε 1,80 s. a) Υπολογίστε την επιτά­
χυνση σε m/s2, υποθέτοντας ότι αυτή είναι σταθερή. b) Ποιος εί­
ναι ο λόγος αυτής της επιτάχυνσης προςτην επιτάχυνση της ελεύ­
θερης πτώσης (g); c) Πόση απόσταση καλύπτεται σε 1,80 s;
d) Σε άρθρο περιοδικού αναφέρεται ότι στο τέλος μιας ορισμένης
δοκιμής η ταχύτητα του έλκυθρου μειώθηκε από 283 m/s στο μη­
δέν μέσα σε 1,40 s και ότικατάτη διάρκειάτης ο επιβάτηςυπέστη
δυνάμεις μεγαλύτερες από το 40-πλάσιο της δύναμης της βαρύτη­
τας (δηλ. το μέτρο της επιτάχυνσής του ήταν μεγαλύτερο από 40
g). Είναι αυτοί οι αριθμοί συνεπείς μεταξύ τους;
2-32 Υποθέστε πως η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι μόνο
2,0 m/s2, αντίγια 9,8 m/s2. a) Εκτιμήστε το ύψος που θα μπορού­
σατε να πηδήξετε κατακόρυφα ξεκινώντας από ακινησία αν μπο­
ρείτε να πηδήξετε 0,75 m ότανg = 9,8 m/s2. b) Πόσο ψηλά μπο­
ρείτε να ρίξετε τη μπάλα του μπέιζμπολ αν μπορείτε να φτάσετε
18 m ότανg = 9,8 m/s2• c) Εκτιμήστε το μέγιστο ύψος παραθύρου
απ' όπου θα τολμούσατε να πηδήξετε κάτω στο πλακόστρωτο πε­
ζοδρόμιο αν για g = 9,8 m/s2 θα το κάνατε απόύψος 2,0 m, που
είναιτο τυπικό ύψος παραθύρου του υπερυψωμένου ισογείου.

4. Εδάφιο 2-6
Εύρεση ταχύτητας και θέσης με ολοκλήρωση
*2-33 Η επιτάχυνση μοτοσυκλέτας δίνεται σαν α = At -Bt2, ό­
πουΑ = 1,90 m/s3 και Β = 0,120 m/s4. Η μοτοσυκλέτα βρίσκεται
ακίνητη στην αρχή τη χρονική στιγμή t = Ο. a) Βρείτε τη θέση και
τηνταχύτητα σαν συναρτήσειςτου χρόνου. b) Υπολογίστε τη μέ­
γιστη ταχύτηταπου φτάνει η μοτοσυκλέτα.
*2-34 Η επιτάχυνση λεωφορείου δίνεται σαν α = αt, όπου α =
3,0 m/s3. a) Αν η ταχύτητατου λεωφορείου σε χρόνο t = 1,0 s εί­
ναι 5,0 m/s, πόση θα γίνει όταν t = 2,0 s; b) Αν η θέση του λεω­
φορείου σε χρόνο t = 1,0 s είναι 6,0 m, ποια θα είναι η θέση του
γιαt = 2,0 s;
*2-35 Οι Εξ. (2-21) και (2-22) μπορούν να εφαρμοστούν στην
περίπτωση όπου η επιτάχυνση α είναι σταθερή. Χρησιμοποιήστε
την Εξ. (2-22) για να υπολογίσετε την ταχύτητα v(t), όταν η α εί­
ναι σταθερή. Στη συνέχεια να εισάγετε αυτή την έκφραση της v(t)
στην Εξ. (2-21) για να υπολογίσετε τη θέση x(t). Να συγκρίνετε
τα αποτελέσματά σας με τις Εξ. (2-9) και (2-13);
Εδάφιο 2-7
Σχετική κίνηση σε ευθεία γραμμή
2-36 Σιδηροδρομική πλατφόρμα ταξιδεύει προς τα δεξιά με
ταχύτητα 13,0 m/s σχετικά με παρατηρητή που στέκεται στο έδα­
φος. Ένα σκούτερ κινείται πάνω στην πλατφόρμα (Σχ. 2-30).
Ποια είναι η ταχύτητα (μέτροκαικατεύθυνση) του σκούτερ σχετι­
κά με την πλατφόρμα, αν η ταχύτητά του σχετικά με τον παρατη­
ρητή στο έδαφος είναι a) 18,0 m/s προς τα δεξιά; b) 1,5 m/s
προςτ' αριστερά; c) μηδέν;
2-37 Κινούμενος διάδρομος επιβατών σε αερολιμένα κινείται
με 1,0 m/s και έχει μήκος 80,0 m. Αν μια γυναίκα μπει από τη μια
άκρη και περπατάει με 2,0 m/s,σχετικά με τον κινούμενο διάδρο­
μο, πόσο χρόνο θα χρειαστεί για να φτάσει στην άλλη άκρη αν
Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
2-39 Η κίνηση σωματίου σε ευθεία γραμμή περιγράφεται από
τη συνάρτηση χ = α + βt2 - γt4, όπου α = 6,00 m, β = 4,80 m/s2
καιγ = 1,30 m/s4• a) Βρείτε τη θέση, την ταχύτητα και την επιτά­
χυνση τη χρονική στιγμή t = 2,00 s. b) Σχεδιάστε τα διαγράμματα
θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης σαν συναρτήσεων του χρόνου
από ι = Ο ώς ι = 2,00 s. c) Ποια είναι η μέγιστη θετική ταχύτητα
του σωματίου; Ποια χρονική στιγμή τη φτάνει;
2-40 Κάθε διαγωνιζόμενος σε <<αυγοδρομία>> πρέπει να τρέξει
20,0 m μεταφέροντας ένααυγό μέσα σε κουτάλι και να ξαναγυρί­
σειπίσω. Η Ελένη τρέχει τα πρώτα 20,0 m σε 12,0 s. Κατάτην επι­
στροφή της έχει αποκτήσει περισσότερη αυτοπεποίθηση, οπότε
τηςχρειάζονται μόνο 8,0 s. Ποιο είναι το μέτρο της μέσης της τα­
χύτητας για a) τα πρώτα 20,0 m; b) την επιστροφή της; c) Πόση
είναι η μέση της ταχύτητα για τη συνολική διαδρομή μετ' επιστρο­
φής; d) Πόσο είναι το μέσο μέτρο ταχυτήτων για τη συνολική
διαδρομή;
2-41 Ο τυπικός δρομέας παγκόσμιων επιδόσεων επιταχύνεται
στη μέγιστη ταχύτητά του σε 4,0 s. Αν ένας τέτοιος δρομέας τερ­
ματίζει αγώνα 100 m σε 9,1 s, πόση είναι η μέση του επιτάχυνση
κατάτα πρώτα 4,0 s της κούρσας;
2-42 Αερόσακκοι ασφαλείας αυτοκινήτου. Το ανθρώ­
πινοσώμα μπορείνα αντέξειτραυματισμό, που οφείλεται στην επι-
ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 53
υ = 13,0 m/s
.. . ..
ΣΧΗΜΑ 2-30
περπατάει a) στην ίδια κατεύθυνση με την οποία κινείται ο διά­
δρομος; b) στην αντίθετη κατεύθυνση;
2-38 Σ' ένα ποτάμι υπάρχουν δύο aποβάθρες, Α και Β: Η Β α­
πέχει από τηνΑ 1500 m, προς την κατεύθυνση του ρεύματος (Σχ.
2-31). Δύο φίλοι ξεκινούν από την αποβάθραΑ για τη Β και πάλι
πίσωγιατηνΑ. Ο ένας κωπηλατείσε μια βάρκα με σταθερή ταχύ­
τητα 6,00 km/h σε σχέση με το νερό· ο άλλος περπατάει στην α­
κροποταμιά με σταθερή ταχύτητα 6,00 km/h. Η ταχύτητα του νε­
ρού είναι 3,20 km/h, με κατεύθυνση από τηνΑ στη Β. Πόσο χρόνο
χρειάζεται καθένας τους για τη συνολική διαδρομή ΑΒΑ;
� �
Α Ι«-------- 1500 m ------� Β
i Iιιf;>�
ΣΧΗΜΑ 2-31
υρεύμα
�
βράδυνση (εξαιτίας απότομης σύγκρουσης), αν το μέτρο της είναι
μικρότερο από 250 m/s2 (περίπου 25g). Αν σας συμβεί αυτοκινητι­
κό δυστύχημα από αρχική ταχύτητα 100 km/h και προφυλαχτείτε με
αερόσακκο που φουσκώνει από το τιμόνι, μέσα σε πόση απόσταση
πρέπει ο αερόσακκος να σας σταματήσει, ώστε να επιζήσετε;
2-43 Ο Γιάννης μπαίνει στην εθνική οδό από την πόλη Seward
της πολιτείας Nebraska και οδηγεί σ' ευθεία γραμμή δυτικά με μέ­
ση ταχύτητα, που έχει μέτρο 88 km/h. Αφού διανύσει 76 km φτά-
ΣΧΗΜΑ 2-32
Aurora8 York8 Seward 8
�76 km --l
f-- 34 km�
----- -- --

5. 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ
νει στην έξοδο για την πόλη Aurora (Σχ. 2-32). Καταλαβαίνοντας
πως ξεπέρασε τον προορισμό του, γυρίζει πίσω και ταξιδεύει α­
νατολικά προς την έξοδο για την πόλη York με μέση ταχύτητα,
που έχει μέτρο 79 km/h. Για τη συνολική του διαδρομή από την έ­
ξοδο της Seward ώς την έξοδο της York, a) Πόσο είναι το μέσο
μέτρο ταχυτήτων του; b) Πόσο είναιτο μέτρο της μέσηςτου ταχύ­
τητας;
2-44 Κυκλοφορία σε aυτοκινητόδρομους. Σύμφωνα
με άρθρο του περιοδικού ScίentίficAmerίcan (τεύχος Μα"tου 1990)
οι σύγχρονοι αυτοκινητόδρομοι μπορούν να εξυπηρετήσουν σε ο­
μαλή κυκλοφοριακή ροή στα 90 km/h περίπου 2250 οχήματα ανά
λωρίδα και ώρα. Με περισσόΠ!'(t οχήματαη κυκλοφοριακή ροή α­
ναταράσσεται (δηλ. διακόπτεται περιοδικά). a) Αν, κατά μέσο ό­
ρο, τα οχήματα έχουν μήκος 4,3 m, πόση είναι η μέση απόστασή
τους στην παραπάνω κυκλοφοριακή πυκνότητα; b) Η απαιτούμε­
νη απόσταση μεταξύ οχημάτων θα μπορούσε να περιοριστεί σημα­
ντικ� με χρήση αυτοματοποιημένων συστημάτων ελέγχου, που λει­
τουργούν με εκπομπή σημάτων ραντάρ ή σονάρ απόγειτονικά οχή­
ματα· όσα κινδυνεύουν να συγκρουστούν επιταχύνονται ή επιβρα­
δύνονται αυτομάτως. Αν η μέση απόσταση οχημάτων είναι 8,6 m
(διπλάσια του μέσου μήκους), πόσα οχήματα ανά ώρα μπορεί να
εξυπηρετήσει μια λωρίδα κυκλοφορίαςστα90 km!h;
2-45 Αυτοκίνητο, που έχει μήκος 3,5 m και κινείται με σταθε­
ρή ταχύτητα 20 m/s, πλησιάζει σε διασταύρωση (Σχ. 2-33). Το
πλάτος της διασταύρωσης είναι 20 m. Όταν η μάσκα του αυτοκι­
νήτου απέχει 50 m από την αρχή της διασταύρωσης ανάβει κίτρι­
νο. Αν ο οδηγός πατήσει φρένο το αυτοκίνητο επιβραδύνεται κα­
τά -4,2 m/s2. Αν, αντίθετα, ο οδηγός πατήσει γκάζι το αυτοκίνητο
θα επιταχυνθεί κατά 1,5 m/s2• Το κίτρινο φως διαρκεί 3,0 s. Αμε­
λήστε το χρόνο αντίδρασης του οδηγού. Για να μη βρεθεί μέσα
στη διασταύρωση με κόκκινο, ο οδηγός θα πρέπει να πατήσει
φρένο ή γκάζι;
-""' .......- som/43,5m
� -
ΣΧΗΜΑ 2-33
2-46 Ένα έλκηθρο ξεκινάει από την ηρεμία στην κορυφή λό­
φου και γλυστράει προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση. Κάποια
κατοπινή χρονική στιγμή το έλκηθρο απέχει 32,0 m από την κορυ­
φή· μετά 2,00 s απέχει 50,0 m από την κορυφή· μετά 2,00 s απέχει
72 m· τέλος, μετά από άλλα 2,00 s, απέχει 98,0 m από την κορυφή.
a) Πόσο είναιτο μέτρο της μέσης ταχύτητας του έλκηθρου κατάτη
διάρκεια καθενός από τα διαστήματα των 2,00 s, αφού ξεπέρασε
την απόσταση των 32 m; b) Πόση είναι η επιτάχυνση του έλκη­
θρου; c) Πόση είναι η ταχύτητα του έλκηθρου, όταν απέχει 32 m
από την κορυφή; d) Πόσο χρόνο χρειάστηκε για να γλυστρήσει
απότην κορυφή στα 32 m; e) Πόση απόσταση διάνυσε το έλκη­
θρο μέσα στο πρώτο δευτερόλεπτο αφότου πέρασε τα 32 m;
2-47 Τη στιγμή που ο φωτεινός σηματοδότης δείχνει πράσινο
ένα αυτοκίνητο, που περίμενε στη διασταύρωση, ξεκινάει με στα-
θερή επιτάχυνση 2,00 m/s2• Την ίδια στιγμή ένα φορτηγό, που κι­
νείται με σταθερή ταχύτητα 14,0 m/s, προσπερνάειτο αυτοκίνητο.
a) Σε πόση απόσταση από το σημείο που ξεκίνησε το αυτοκίνητο
θα προσπεράσει το φορτηγό; b) Με πόση ταχύτητα θα κινείται
το αυτοκίνητο όταν θα προσπερνάει το φορτηγό; c) Σχεδιάστε
τις θέσεις των δύο οχημάτων σαν συναρτήσεις του χρόνου στο ί­
διο διάγραμμα, με αρχή τη διασταύρωση.
2-48 Ο μηχανοδηγός επιβατικής αμαξοστοιχίας, που κινείται
με 25,0 m/s, διακρίνει μπροστάτου φορτηγό συρμότου οποίου το
τελευταίο βαγόνι-γραφείο απέχει 200 m, στην ίδια σιδηροδρομική
γραμμή (Σχ. 2-34). Το φορτηγό τρένο κινείται με ταχύτητα 15,0
m/s, στην ίδια κατεύθυνση με το επιβατικό. Ο μηχανοδηγός του ε­
πιβατικού αμέσως φρενάρει και προκαλεί σταθερή επιβράδυνση
-0,100 m/s2, ενώ το φορτηγό συνεχίζει να κινείται με την ίδια τα­
χύτητα. a) Θα γίνουν οι αγελάδες μάρτυρες σύγκρουσης; b) Αν
ναι, σε ποιο σημείο θα συμβεί; c) Σχεδιάστε τη θέση της αρχής
καθενός τρένου σαν συνάρτηση του χρόνου, στο ίδιο διάγραμμα.
Θεωρήστε ότι η αρχική θέση του επιβατικού τρένου είναι στο ση­
μείοχ = Ο.
υπ = 15,0 rn/s
ΣΧΗΜΑ 2-34
2-49 Ένα αυτοκίνητο Ι.Χ. και ένα φορτηγό ξεκινούν την ίδια
στιγμή, όταν το Ι.Χ. βρίσκεται σε κάποια απόσταση πίσω από το
φορτηγό. Το φορτηγό έχει σταθερή επιτάχυνση 2,20 m/s2 και το
αυτοκίνητο 3,50 m/s2. Το αυτοκίνητο προσπερνάει το φορτηγό, α­
φού το φορτηγό έχει προχωρήσει 75,0 m. a) Πόσος χρόνος απαι­
τήθηκε ώστε το Ι.Χ. να προσπεράσει το φορτηγό; b) Σε πόση α­
πόσταση πίσω από το φορτηγό βρισκόταν αρχικά το Ι.Χ.; c) Πό­
ση είναι η ταχύτητα καθενός οχήματος όταν αυτά βρίσκονται δί­
πλα - δίπλα; d) Σχεδιάστε τη θέση καθενός οχήματος σαν συνάρ­
τηση του χρόνου στο ίδιο διάγραμμα. Θεωρήστε ότι η αρχική θέ­
ση του φορτηγού βρίσκεται στο σημείοχ = Ο.
*2-50 Η ταχύτητα αντικειμένου μετράται να είναι v(t) = α -βt2,
όπου α = 6,00 m/s2 και β = 2,00 m/s3. Τη χρονική στιγμή t = Ο
το αντικείμενο βρίσκεται στη θέση χ = Ο. a) Βρείτε τη θέση και
την επιτάχυνση του αντικειμένου σαν συναρτήσεις του χρόνου.
b) Πόση είναι η μέγιστη θετική απομάκρυνση του αντικειμένου α­
πό την αρχή;
2-51 Βρίσκεστε στην ταράτσα του κτιρίου φυσικής, 46,0 m πά­
νω από το έδαφος (Σχ. 2-35). Ο καθηγητής σας της φυσικής, που
έχει ύψος 1,80 m, πλησιάζει προς το κτίριο με σταθερή ταχύτητα
1,20 m/s. Αν θέλετε να ρίξετε ένα αυγό στο κεφάλι του καθηγητή
σας, πού πρέπει να βρίσκεται αυτός όταν αφήνετε το αυγό;
2-52 Απλό τεστ χρόνου αντίδρασης. Κρατάτε ένα χά­
ρακα από την κάτω άκρη του, κατακόρυφα πάνω από το χέρι σας,
με τον αντίχειρα και το δείκτη σας. Ελευθερώνετε το χάρακα και

6. υ = 1,20 m/s
1,80 m �
ΣΧΗΜΑ 2-35
0 0 0 0
D O G O
0 0 0 0
EI D EJ D
0 0 0 0
D O EI O
0 0 0 0
D O lΞJ O
B CJ EJ O
0 0 0 0
46,0 m
τον ξαναπιάνετε με τα ίδια δάχτυλα. Ο χρόνος αντίδρασής σας
μπορείνα υπολογιστεί από την απόσταση που διάνυσε ο χάρακας,
η οποία μετριέται κατευθείαν από την ένδειξη που πιάσατε.
a) Βρείτετη σχέση που δίνειτο χρόνο αντίδρασής σας σαν συνάρ­
τηση αυτής της απόστασης d, που μετράτε. b) Αν μετρήσατε από­
σταση 22,8 cm, πόσος είναι οχρόνος αντίδρασης;
2-53 Σε ένα τσίρκο οι θεατές παρακολουθούν καταδύσεις σε
πισίνα από ελαστική πλατφόρμα που βρίσκεται σε ύψος 25,0 m.
Σύμφωνα με τον παρουσιαστή οι αθλήτριες μπαίνουν στο νερό με
ταχύτητα 100km/h. a) Είναι σωστός ο ισχυρισμός του παρουσια­
στή; b) Είναι δυνατό η αθλήτρια να πηδήξει προς τα πάνω από
την πλατφόρμα και κατά την πτώση της στο νερό να φτάσει ταχύ­
τητα 100 km/h; Πόση αρχική ταχύτητα προς τα πάνω θα χρειαζό­
τανγια να το πετύχειαυτό; Είναι αυτή η ταχύτητα πραγματοποιή­
σιμη;
2-54 Ένας σπουδαστής, aποφασισμένος να ελέγξει προσωπι­
κάτο νόμο της βαρύτητας, πηδάει από ουρανοξύστη 250 m ψηλό
με το χρονόμετρο στο χέρι και αρχίζει την ελεύθερη πτώση του
(με μηδενική αρχική ταχύτητα). Μετά πέντε δευτερόλεπτα φτάνει
ο Σούπερμαν και βουτάει από την ταράτσα για να σώσει τον
σπουδαστή. a) Πόση πρέπει να είναι η αρχική ταχύτητατου Σού­
περμανώστε να πιάσειτον σπουδαστή ακριβώςπριν χτυπήσει στο
έδαφος; (Υποθέστε ότι ο Σούπερμαν έχει την επιτάχυνση της ε­
λεύθερης πτώσης). b) Αν το ύψος του ουρανοξύστη είναι μικρό­
τερο από ένα ελάχιστο όριο, ακόμα κι ο Σούπερμαν δεν προφταί­
νει να πιάσει τον σπουδαστή πριν χτυπήσει κάτω. Πόσο είναι αυ­
τότο ελάχιστο ύψος;
2-55 Κλωτσάμε μια μπάλα ποδοσφαίρου κατακόρυφα προς τα
ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 55
πάνω από το έδαφος και μια φοιτήτρια, που κοιτάζει από το πα­
ράθυρό της, βλέπει τη μπάλα να περνάει από μπροστά της με τα­
χύτητα 5,00m/sπρος τα πάνω. Το παράθυρο βρίσκεται 12,0 m πά­
νω από το έδαφος. a) Πόσο ψηλά σηκώθηκε η μπάλα από το έ­
δαφος; b) Πόσο χρόνο χρειάστηκε για να φτάσει η μπάλα στο
μέγιστο ύψος της;
2-56 Ένα βάζο πέφτει από το περβάζι και η διέλευσή του
μπροστά από το κάτω παράθυρο, που έχει ύψος 1,90 m, απαιτεί
0,420 s. Πόσο απέχειτο πάνω μέρος του παράθυρου αυτού απότο
περβάζι που βρίσκεται από πάνω του;
2-57 Ο οδηγός Ι.Χ. αυτοκινήτου θέλει να προσπεράσει φορτη­
γό που ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα 20,0 m/s (περίπου 70
km/h). Αρχικά, το Ι.Χ. ταξιδεύει κι αυτό με 20,0 m/s. Η μέγιστη ε­
πιτάχυνση του Ι.Χ. σε αυτή την περιοχή ταχυτήτων είναι
0,800 m/s2. Αρχικά, τα οχήματα απέχουν 25,0 m καιτο Ι.Χ. επι­
στρέφει στη λωρίδα που κινείται το φορτηγό, αφού το προσπερά­
σει κατά 25,0 m. Το I.X. έχει μήκος 5,0 m και το φορτηγό 20,0 m.
Η επιτάχυνση του Ι.Χ. είναι σταθερή, 0,800 m/s2• a) Πόσος χρό­
νος απαιτείταιώστε το Ι.Χ. να προσπεράσει το φορτηγό; b) Πό­
ση απόσταση διανύει το Ι.Χ. σ' αυτό το χρόνο; c) Πόση είναι η
τελική ταχύτητατου Ι.Χ.;
2-58 Ένας ζογκλέρ δίνει παράσταση σε αίθουσα της οποίας
το ταβάνι βρίσκεται σε ύψος 4,50 m από τα χέρια του. Ρίχνει ένα
μήλο κατακόρυφα προς τα πάνω έτσι ώστε αυτό μόλις και αγγίζει
το ταβάνι. a) Με πόση αρχική ταχύτητατο έριξε; b) Πόσος χρό­
νος χρειάστηκε ώστετο μήλο να φτάσει στο ταβάνι; Ο ζογκλέρ ρί­
χνει κι ένα πορτοκάλι με την ίδια αρχική ταχύτητα προς τα πάνω
τη στιγμή που το μήλο βρίσκεταιστο ταβάνι. c) Μετά πόσο χρόνο
από τη στιγμή που φεύγειτο πορτοκάλι συναντάειτο μήλοστον α­
έρα; d) Τη στιγμή της συνάντησής τους πόσο απέχουν από τα χέ­
ριατου ζογκλέρ;
2-59 Το πρόβλημα του ταχυδρομικού περιστεριού.
Ο Γιώργος οδηγεί ανατολικά το αυτοκίνητό του με ταχύτητα
40 km/h. Ο δίδυμος αδελφός του, ο Γιάννης, οδηγεί ένα aπαράλ­
λακτο αυτοκίνητο δυτικά προςτο Γιώργο, με 30 km/h στον ίδιο ευ­
θύ δρόμο. Όταν απέχουν 35 km ο Γιώργος αφήνει έναταχυδρομι­
κό περιστέρι, που πετάει με σταθερή ταχύτητα 50 km/h. (Όλες οι
ταχύτητες είναι σχετικές με το έδαφος.) Το περιστέρι πετάει προς
το Γιάννη, μπερδεύεται κι αμέσως επιστρέφει στο Γιώργο, όπου
μπερδεύεται περισσότερο και πετάει ξανά πίσω στο Γιάννη. Αυτό
συνεχίζεται μέχρι να συναντηθούν οι δίδυμοι, οπότε το σαστισμέ­
νο περιστέρι πέφτει εξαντλημένο στο έδαφος. Αμελώντας το χρό­
νο που χρειάστηκε για τις στροφές, πόση απόσταση διάνυσε το
περιστέρι;
2-60 Δύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται σε ευθεία γραμμή. Η
απόσταση του Α από την αρχή σαν συνάρτηση του χρόνου είναι
χΑ = at + βt2, με α = 4,00m/s καιβ = 1,20 m/s2. Η απόσταση του
Β από την αρχή είναι χ8 = γt2 + δt3, με γ = 1,60 m/s2 και δ =
1,20 mfs3. a) Για ποιες τιμές του t τα αυτοκίνητα βρίσκονται στο
ίδιο σημείο; c) Για ποιες τιμέςτου t μηδενίζεται η ταχύτητατουΒ
σχετικά με τοΑ; d) Για ποιες τιμές του t η απόσταση τωνΑ καιΒ
ούτε μεγαλώνει ούτε μικραίνει;

7. 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ
Π Ι Ο ΣΥ Ν Θ Ε Τ Α ΠΡ Ο ΒΛ Ή Μ Α Τ Α
2-61 Από τις Εξ. (2-4) και (2-6) φαίνεται πως ο ορισμός της
παραγώγου df/dtτης συνάρτησηςf(t) είναι
d[ = lim Δf
dt Δι.....ο Δt '
όπου Δf = f(t + Δt) -f(t). Με βάση τον ορισμό αυτό aποδείξτε τα
παρακάτω: a) (d!dt)t" = nt"-1• (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το
διωνυμικό θεώρημα που μπορείτε να το βρείτε στο Παράρτημα
Β.) b) (d!dt) [af(t)] = a(df!dt). c) (d!dt)[j(t) + g(t)] =
(df!dt) + (dg/dt).
2-62 Ένας παρατηρητικός πεζοπόρος βλέπει μια κροκάλλα να
πέφτει από την κορυφή γκρεμού και σημειώνει πως χρειάστηκε
1,50 s για να διανύσει η κροκάλλα το τελευταίο τρίτο της διαδρο­
μής της προς το έδαφος. a) Πόσο είναι το ύψος του γκρεμού σε
μέτρα; b) Αν στο a) μέρος βρήκατε τις δύο ρίζες δευτεροβάθμιας
εξίσωσης και δώσατε τη μίασαν απάντηση, τι παριστάνει η άλλη;
2-63 Μια φοιτήτρια τρέχει να προλάβει το εσωτερικό λεωφο­
ρείο της Πανεπιστημιούπολης, που περιμένει στη στάση. Η φοιτή­
τρια τρέχει με 6,0 m/s· δεν μπορεί νατρέξει γρηγορότερα. Όταν η
φοιτήτρια θέλει ακόμα 60,0 m για να το φτάσει, το λεωφορείο ξε­
κινάει με σταθερή επιτάχυνση 0,180 m/s2. a) Επί πόσο χρόνο
πρέπει να τρέξει η φοιτήτρια και τι απόσταση πρέπει να διανύσει
για να φτάσει το λεωφορείο; b) Πόσο γρήγορα κινείται το λεω­
φορείο όταν το φτάνει η φοιτήτρια; c) Να κάνετε γραφικές πα­
ραστάσεις των aπομακρύνσεων x(t) τόσο της φοιτήτριας όσο και
του λεωφορείου. Πάρτε την αρχική θέση της φοιτήτριας στο ση­
μείοχ = Ο. d) Οι εξισώσεις που χρησιμοποιήσατε στην a) ερώτη-
ση για να βρείτε το χρόνο, έχουν και μια δεύτερη λύση που αντι­
στοιχεί σε μια κατοπινή χρονική στιγμή, όπου η φοιτήτρια και το
λεωφορείο βρίσκονται και πάλι στο ίδιο σημείο, αν συνεχίσουν
τις κινήσεις που περιγράψαμε. Εξηγήστε τη σημασία αυτής της
δεύτερης λύσης. Πόσο γρήγορα κινείται το λεωφορείο σ' αυτό το
σημείο; e) Αν η σταθερή ταχύτητα της φοιτήτριας ήταν 4,0 m/s θα
έφτανε το λεωφορείο; f) Πόση είναι η ελάχιστη ταχύτητα που
πρέπει να έχει η φοιτήτρια ώστε να φτάσει το λεωφορείο; Επί πό­
σο χρόνο πρέπει να τρέξει και τι απόσταση πρέπει να διανύσει
στην περίπτωση αυτή;
2-64 Ρίχνουμε μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω από την
άκρη της ταράτσας κτιρίου και 2,00 s αργότερα αφήνουμε δεύτε­
ρη μπάλανα πέσεικάτω ελεύθερα. a) Αν το ύψοςτου κτιρίου εί­
ναι 60,0 m πόση πρέπει να είναι η αρχική ταχύτητα της πρώτης
μπάλας ώστε να φτάσει στο έδαφος συγχρόνως με τη δεύτερη;
Θεωρήστε τώρατην ίδια κατάσταση, αλλά υποθέστε πως δίνεται
η αρχική ταχύτητα υ0 της πρώτης μπάλας, ενώ είναι άγνωστο το ύ­
ψος h του κτιρίου. b) Πόσο πρέπει να είναι το ύψος του κτιρίου
ώστε οι δύο μπάλες να πέσουν συγχρόνως στο έδαφος για τις πα­
ρακάτω τιμές της υ0: ί) 13,0 m/s· ίί) 19,2 m/s. c) Αν η υ0 είναι
μεγαλύτερη από κάποιατιμή Vmax δεν υπάρχειτιμήτουh πουνα ε­
πιτρέπει στις δύο μπάλες να φτάσουν συγχρόνως στο έδαφος
βρείτε την Vmax· Αυτή η τιμή Vmax έχει μια απλή φυσική ερμηνεία·
ποια είναι αυτή; d) Αν η υ0 είναι μικρότερη από κάποιατιμή Vmin
δεν υπάρχει τιμή του ύψους h που να επιτρέπει στις δύο μπάλες
να φτάσουν συγχρόνως στο έδαφος βρείτε την Vmin· Αυτή η τιμή
Vmin έχει επίσης μια απλή φυσική ερμηνεία· ποια είναι αυτή;