Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 559
Ηταχύτητα του ήχου σε ιδανικό αέριο είναι
υ =
ffή
υ _
_
�γΜRΤ (ιδανικό αέριο). (19-27)
• Το κύμα, γενικώς, μεταφέρει ενέργεια από μια περιοχή σε μια άλλη. Για εγκάρσιο
κύμα σε τεντωμένη χορδή, ο (στιγμιαίος) ρυθμός μεταφοράς ενέργειας (ισχύς) είναι
ay ay
Ρ = Fyv1= -F ()χ at'
Για ημιτονοειδές κύμα η μέση ισχύς είναι
1 - r-:;::; 2 1Ρ.ν = z'νμFωΑ .
(19-29)
(19-34)
Για διάμηκες κύμα η μέση ισχύς Ρaνανά μονάδα εμβαδού εγκάρσιας διατομήςΑ στην
κυματική κίνηση ονομάζεται ένταση, Ι =P.v!A. Για ρευστό σε σωλήνα,
(19-35)
Για στερεά ράβδο,
(19-36)
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ________________________
Εδάφιο 19-2
Περιοδικά κύματα
19-1 Η ταχύτητατου ήχου στον αέρα στους 20oC είναι 344 m/s.
a) Ποιο είναι το μήκος κύματος ηχητικού κύματος με συχνότητα
32,0 Hz, που αντιστοιχεί στη νότα που παράγεται από το κατώτερο
πετάλι ενός μεσαίου μεγέθους εκκλησιαστικού οργάνου αυλών;
b) Ποια είναι η συχνότητα ενός κύματος με μήκος κύματος 1,22 m,
που αντιστοιχεί περίπου στη νότα ρε πάνω από το μεσαίο ντοτου
πιάνου;
19-2 Ηταχύτητατων ραδιοκυμάτων στο κενό (ίση προς την τα­
χύτητατου φωτός) είναι 3,00 χ 108 m/s. Να βρείτε το μήκος κύμα­
τος για a) σταθμό ΑΜ συχνότητας 1240 kHz· b) σταθμό FM συ­
χνότητας 90,0 MHz.
19-3 Με την προϋπόθεση πωςτο πλάτος κύματος είναι αρκετά
μεγάλο, τοανθρώπινοαυτίακούει διαμήκηκύματαστηνπεριοχή συ­
χνοτήτων από περίπου 20,0 Hz έως 20 000 Hz. Υπολογίστε τα μήκη
κύματος που αντιστοιχούν σε αυτές τις συχνότητες a) για κύματα
στον αέρα (υ = 344 m/s)· b) γιακύματαστο νερό (υ = 1480 m/s).
19-4 Τα ηχητικά κύματα από ηχείο διασκορπίζονται σχεδόν ι­
σότροπα σ' όλες τις κατευθύνσεις όταν τα μήκη κύματός των είναι
μεγάλα συγκριτικά με τη διάμετροτου ηχείου. Όταν το μήκος κύ­
ματος είναι μικρό σε σχέση με τη διάμετρο του ηχείου, πολλή από
την ηχητική ενέργεια εκπέμπεται προς την κατ' ευθείαν εμπρός δι­
εύθυνση. Για ηχείο διαμέτρου 20,0 cm, υπολογίστε τη συχνότητα
γιατην οποία το μήκος κύματος των ηχητικών κυμάτων στον αέρα
(υ = 344 m/s) είναι a) δέκα φορές μεγαλύτερο από τη διάμετρο
του ηχείου· b) ίσο προς τη διάμετρο του ηχείου· c) ένα δέκατο
της διαμέτρουτου ηχείου.
19-5 Θαλάσσια κύματα. Ένας ψαράς παρατηρεί ότι η
βάρκα του κινείται πάνω-κάτω περιοδικά λόγω των κυμάτων στην
επιφάνεια του νερού. Απαιτούνται 3,0 s ώστε η βάρκα να φθάσει
από το ανώτατο στο κατώτατο σημείο, μια ολική απόσταση 0,800
m. Ο ψαράς βλέπει ότι οι κορυφές των κυμάτων απέχουν 8,0 m.
a) Πόσο γρήγοραταξιδεύουντα κύματα; b) Πόσο είναι το πλάτος
του κάθε κύματος;
Εδάφιο 19-3
Μαθηματική περιγραφή κύματος
19-6 Η εξίσωση ενός εγκάρσιου κύματος είναι
y = (3,00 cm) sin 2π (Ο,Ο�ΟΟ s
-
40,�cm ).
Υπολογίστε a) το πλάτος b) το μήκος κύματος c) τη συχνότη­
τα· d) τηνταχύτητα διάδοσης του κύματος.
19-7 Εγκάρσια κύματα σε χορδή έχουνταχύτητα 15,0 m/s, πλά­
τος 0,0800 m και μήκος κύματος 0,300 m. Τα κύματα ταξιδεύουν
στη διεύθυνση +χ, και για t = Ο το άκροχ = Ο της χορδής έχει με­
τατόπιση μηδέν και κινείται προς τα επάνω. a) Να βρείτε τη συ­
χνότητα, την περίοδο και τον κυματαριθμό αυτών των κυμάτων.
b) Ναγράψετε μια κυματοσυνάρτηση που περιγράφει το κύμα. c)
Να βρείτε την εγκάρσια μετατόπιση σημείου στοχ = 0,200 m τη
χρονική στιγμή t = 0,200 s.
19-8 Δείξτε ότι η Εξ. (19-3) μπορείνα γραφεί ως:
y =-Α sin 'f (χ - υt).

2. 560 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
19-9 Ένα εγκάρσιο κύμα, που διαδίδεται σε χορδή, παριστάνε­
ται απότην εξίσωση της Άσκ. 19-8. ΈστωΑ = 8,0cm, λ = 12,0
cm και υ =2,0 cm/s. a) Τη στιγμή t = Ο υπολογίστε την εγκάρσια
μετατόπισηy κατά διαστήματα 2 cm τουχ (δηλαδή, στο χ = Ο,χ =
2 cm,x = 4 cm, κ.ο.κ.) από χ = Ο έως χ = 24 cm. Δείξτε τα απο­
τελέσματα σε γραφική παράσταση. Αυτή είναι η μορφή της χορ­
δής στο t = Ο. b) Επαναλάβατε τους υπολογισμούς για τις ίδιες
τιμές τουχ τις χρονικές στιγμές t = 2 s και t = 4 s. Δείξτε στην ί­
δια παράσταση τη μορφή της χορδής αυτές τις στιγμές. Προς ποια
κατεύftυνση ταξιδεύειτο κύμα;
Εδάφιο 19-4
Ταχύτητα εγκάρσιου κύματος
19-10 Σύρμαχάλυβα μήκους 5,00m έχει μάζα 0,0600kgκαι εί­
ναι υπό μηχανική τάση 800 Ν. Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης ε­
γκάρσιου κύματος στο σύρμα;
19-11 Το ένα άκρο οριζόντιας χορδής είναι προσδεμένο στη
διχάλα ενός ηλεκτρικού διαπασών του οποίου η συχνότητα ταλά­
ντωσης είναι 240 Hz. Στο άλλο άκρο, που περνά από τροχαλία,
κρέμεται μάζα 5,00 kg. Η γραμμική πυκνότητα της χορδής είναι
0,0180kg/m. a) Ποια είναιη ταχύτητατου εγκάρσιου κύματος στη
χορδή; b) Πόσο είναιτο μήκος κύματος;
19-12 Με ποιατάση πρέπεινα τεντωθεί σχοινί μήκους 5,00 m
και μάζας 0,160 kg ώστε εγκάρσια κύματα συχνότητας 60,0 Hz να
έχουν μήκος κύματος 0,600 m;
Εδάφιο 19-5
Ταχύτητα διαμήκους κύματος
Εδάφιο 19-6
Κύματα ήχου σε αέρια
19-13 Ράβδος χάλυβα μήκους 120 m δέχεται κτύπημα στο ένα
του άκρο. Ένας ακροατής στο άλλο άκρο ακούει δύοήχους ως α­
ποτέλεσμα δύο διαμήκων κυμάτων, ένα που ταξιδεύει στη ράβδο
και το άλλο στον αέρα. Ποιο είναι το χρονικό διάστημα μεταξύ
των δύο ήχων; (το μέτρο του Young για το χάλυβα είναι 2,00 χ
1011 Pa, η πυκνότητατου χάλυβα είναι 7800 kg/m3 και η ταχύτητα
του ήχου στον αέρα είναι 344 m/s).
19-14 Μεταλλική ράβδος μήκους 20,0 m έχει πυκνότητα 6000
kg/m3• Διαμήκη ηχητικά κύματα χρειάζονται 5,00 χ 10-3 s για να
διαδοθούν από το ένα άκρο στο άλλο. Ποιο είναι το μέτρο του
Young αυτού του μετάλλου;
19-15 Διαμήκη κύματα συχνότητας 150 Hz σε υγρό πυκνότητας
800 kg/m3 έχουν μήκος κύματος 8,00 m. Υπολογίστε το μέτρο ελα­
στικότηταςόγκουτουυγρού.
19-16 Ποια είναι η ταχύτητα διαμήκων κυμάτων σε θερμοκρα­
σία 27°C, a) σε αργό (γραμμομοριακή (molar) μάζα 39,9 g/mol);
b) σε υδρογόνο (γραμμομοριακή (molar) μάζα2,02g/mol); c) Συ­
γκρίνετε τις απαντήσεις σας στα (a) και (b) με την ταχύτητα στον
αέρα στην ίδια θερμοκρασία.
19-17 Τα'Χύτητα του ή'Χου στο νερό. Μια δύτρια κάτω
από την επιφάνεια λίμνης ακούει τον ήχο της σειρήνας ενός πλοί­
ου στην επιφάνεια κατ' ευθείαν από πάνω του την ίδια χρονική
στιγμή με φίλο του που στέκεται στην ξηρά 22,0 m από τη βάρκα
(Σχ. 19-23). Σε ποιο βάθος είναι η δύτρια;
19-18 Χρησιμοποιείστε τον ορισμόΒ = -Vdp/dVκαιτη σχέση
μεταξύ p και V για ισόθερμη μεταβολή για να αποδείξετε την Εξ.
(19-25).
19-19 Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της ταχύτητας διαμήκων κυ­
μάτωνστον αέρα στους 7,0οC και τηςταχύτητάςτους στους 67,0οC ;
t__
22,0 m
.....___
I?
�ΣΧΗΜΑ 19-23
Εδάφιο 19-7
Ενέργεια στην κυματική κίνηση
19-20 Σύρμα πιάνου μάζας 4,00 g και μήκους 0,800 m είναι τε­
ντωμένο με τάση 30,0 Ν. Κατά μήκος του σύρματος διαδίδονται
κύματα συχνότητας f = 60,0 Hz και πλάτους 1,5 mm. a) Υπολογί­
στε τη μέση ισχύ που μεταφέρεται από αυτά τα κύματα. b) Τι συμ­
βαίνει στη μέση ισχύ αντο πλάτος των κυμάτων διπλασιαστεί;
19-21 Δείξτε ότι η Εξ. (19-34) μπορεί επίσης να γραφεί ως
Ρ., = ;FkωA2, όπου k είναι ο κυματαριθμόςτου κύματος.
Εδάφιο 19-8
Ηχητικά κύματα σε κρυστάλλους: Μελέτη
ενός ειδικού θέματος της σύγχρονης φυσικής
19-22 Στο απλό μοντέλο κρυστάλλου που μελετήθηκε στο Εδ.
19-8, πώς σχετίζεται η σταθερά ελατηρίου με τη γραμμομοριακή
(molar) μάζα Μ, την απόσταση α, την πυκνότητα p και το μέτρο
του Young Υ;
19-23 Το μέτρο της φασικής ταχύτητας (ταχύτητα κύματος) εί­
ναι ω/k. Το μέτρο της ομαδικής ταχύτητας ορίζεται ως dω/dk. a)
Πώς σχετίζεται η ομαδική ταχύτητα με το Σχ. 19-22; b) Ποια εί­
ναι η έκφραση για την ομαδική ταχύτητα στο μοντέλο μας; c) Για
κυματαριθμούς από k = Ο έως k = π/α, σε ποιο μήκος κύματος η ο­
μαδική ταχύτητα μηδενίζεται; d) Για κυματαριθμούς από k = Ο έ­
ως k = π/α, για ποια μήκη κύματος το μέτρο της ομαδικής ταχύτη­
τας είναι περίπου ίσο με το μέτρο της φασικής ταχύτητας;
19-24 Μη ελαστική σκέδαση σε κρύσταλλο νατρίου.
Οι φυσικοί προκαλούν τη σύγκρουση νετρονίων με νάτριο και πα­
ρατηρούντη δημιουργία ή απορρόφηση φωνονίων (ονομαζόμενη
μη ελαστική σκέδαση). Βρίσκουν μια μέγιστη συχνότητα 3,8 χ
1012 Hz για επίπεδα διαμήκη κύματα που διαδίδονται σε μια ορι­
σμένη κρυσταλλική διεύθυνση. Το νάτριο έχει γραμμομοριακή
(molar) μάζα 23,0 g/mol ατόμων. Χρησιμοποιήστε το απλό μας
κρυσταλλικό μοντέλο. a) Ποια είναι σταθερά ελατηρίου σε αυτή
τη διεύftυνση; b) Ποια είναι η μέγιστη ενέργεια φωνονίων γι' αυ­
τά τα κύματα; c) Ποιο είναι το μέτρο του Young, εάν τα άτομα α­
πέχουν μεταξύ τους 0,30 nm και η πυκνότητατου νατρίου είναι 540
kg/m3; d) Ποιο είναι το μεγαλύτερο μήκος κύματος για το οποίο η
ενέργεια φωνονίου είναι το μισό της μέγιστης τιμής της;
19-25 Η ενέργεια ενός ηλεκτρονίου στο γερμάνιο αυξάνεται
κατά 1,230 χ ιο-19 J με την ταυτόχρονη απορρόφηση φωτεινής ε­
νέργειας 1,189 χ 10-19J και ενός φωνονίου. Ποιαείναιη συχνότη­
τα και η κυκλική συχνότητααυτούτου φωνονίου;
19-26 Ένα ηχητικό κύμα ταξιδεύει σε ράβδο χαλκού έχοντας
μέση ισχύ 3,7 μW και συχνότητα 264 Hz. a) Πόσα φωνόνια ανά
δευτερόλεπτο ταξιδεύουν κατά μήκος της ράβδου; b) Θα ήταν η
απάντηση διαφορετική γιατο αλουμίνιο;

3. Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
19-27 Εγκάρσιο ημιτονοειδές κύμα με πλάτος 0,0800 m και μή­
κος κύματος 1,60 m διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά κατά
μήκος οριζόντιας τεντωμένης χορδής με ταχύτητα 100 m/s. Πάρτε
την αρχή στο αριστερό άκρο της αδιατάρακτης χορδής. Τη στιγμή
ι = Ο το αριστερό άκρο της χορδής είναι στην αρχή (χ = Ο) και κι­
νείται προς τα κάτω. a) Ποια είναι η συχνότητα, η κυκλική συ­
χνότητα και η σταθερά διάδοσης του κύματος; b) Ποια είναι η
κυματοσυνάρτηση του κύματος; c) Ποια είναι η εξίσωση κίνησης
του αριστερού άκρου της χορδής; d) Ποια είναι η εξίσωση κίνη­
σης ενόςσωματίου 1,20 m προς τα δεξιά της αρχής; e) Ποιά είναι
η μέγιστη τιμή του μέτρου της εγκάρσιας ταχύτητας οποιουδήποτε
σωματίου της χορδής; f) Να βρείτε την εγκάρσια μετατόπιση και
την εγκάρσια ταχύτητα σωματίου 1,20 m προς τα δεξιά της αρχής
τη στιγμή ι = 0,0240 s.
19-28 Η κυματοσυνάρτηση εγκάρσιου κύματος που διαδίδεται
m �� ε�
'
y = (1,75 cm) sin π[(250/s)ι + (0,400/cm)x].
a) Να βρείτε το πλάτος, το μήκος κύματος, τη συχνότητα, την πε­
ρίοδο καιτηνταχύτητα διάδοσης. b) Να σχεδιάσετε τη μορφή της
χορδής στις ακόλουθες τιμέςτουι : Ο, 0,0020s και 0,0040 s. c) Το
κύμα οδεύει προς τη θετική ή την αρνητική φορά του χ; d) Εάν η
μάζα ανά μονάδα μήκους της χορδής είναι 0,50 kg!m, να βρείτε
την τάση.
19-29 Να δείξετε ότι η y(x, ι) = Α cos (ωι + /α) ικανοποιείτην
κυματική εξίσωση.
19-30 Εύρεση της θέσης κεραυνού με το ραδιόφωνο.
Φοιτήτριαστο δωμάτιο της εστίας, παρακολουθεί στο ραδιόφωνο
την περιγραφή αγώνα ποδοσφαίρου ενώ μελετά φυσική. Στο τέ­
λος του β' ημιχρόνου πλησιάζει καταιγίδα από δυτικά και κάνει
τηνπαρουσία της αισθητή με τρεις τρόπους: (1) Η φοιτήτρια βλέ­
πει έναν κεραυνό ·(και ακούει τον ηλεκτρομαγνητικό θόρυβο στο
ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 561
ραδιόφωνό της)· (2) 3,00 s μετά, ακούει τη βροντή στο ραδιόφω­
νο· (3) 4,43 s μετά τον κεραυνό, η βροντή προκαλεί τριγμό στο
παράθυρό της. Από προηγούμενη μέτρηση γνωρίζει ότι βρίσκεται
1,12 km βόρεια από το θάλαμο εκπομπής του ραδιόφωνου στο γή­
πεδο. Η ταχύτητα του ήχου είναι 344 m/s. Σε ποια θέση ως προς
το γήπεδο έπεσε ο κεραυνός;
19-31 Το ένα άκρο ελαστικού σωλήνα μήκους 12,0 m και ολι­
κής μάζας 0,800 kg, στερεώνεται σε σταθερό υποστήριγμα. Σε
χορδή που είναι δεμένη στο άλλο άκρο και περνά από τροχαλία
κρέμεται αντικείμενο μάζας 15,0 kg. Ο σωλήνας δέχεται ένα ε­
γκάρσιο κτύπημα στο ένα άκρο. Να βρείτε το χρόνο που απαιτεί­
ται ώστε ο παλμός να φθάσει στο άλλο άκρο.
19-32 Ένας καουμπόυ δένει το ένα άκρο ενός σχοινιού μή­
κους 20,0 m στον πάσσαλο ενός φράκτη και τραβά το άλλο άκρο
ώστε να τεντωθεί οριζόντια με τάση 70,0 Ν. Η μάζα του σχοινιού
είναι 0,200 kg. a) Εάν ο καουμπόυ κινεί το ελεύθερο άκρο πάνω­
κάτω με συχνότητα 6,00 Hz, πόσο είναι το μήκος κύματος των ε­
γκάρσιων κυμάτων στο σχοινί; b) Ο καουμπόυ τραβά δυνατότερα
το σχοινί ώστε η τάση διπλασιάζεται στα 140,0 Ν. Με ποια συχνό­
τητα πρέπει να κινεί το σχοινί πάνω-κάτω για να παράγει εγκάρ­
σια κύματατου ίδιου μήκους κύματος όπως στην ερώτηση (a);
19-33 Πόση πρέπει να είναι η τάση (FIA) σε τεντωμένο σύρμα
από υλικό του οποίουτο μέτροτου Young είναι Υώστε η ταχύτητα
των διαμήκων κυμάτων να είναι πενήντα φορές μεγαλύτερη από
την ταχύτητατων εγκάρσιων κυμάτων;
19-34 Μεταλλικό σύρμα, πυκνότητας 4,00 χ 103 kg/m3 και μέ­
τρου του Young 2,00 χ 1011 Pa, τεντώνεται μεταξύ στερεών υπο­
στηριγμάτων. Σε μια θερμοκρασία η ταχύτητα εγκάρσιου κύματος
βρίσκεται ότι είναι 200 m/s. Όταν η θερμοκρασία αυξηθεί κατά
3o,o·c, η ταχύτητα ελαττώνεται σε 160 m/s. Υπολογίστε τον συ­
ντελεστή γραμμικής διαστολής του σύρματος.
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α ______________
19-35 Ένας δύτης κρέμεται κάτω από την επιφάνεια της λί­
μνης του Loch Ness (Λοχ Νες) από καλώδιο μήκους 100 m που
είναι προσδεμένο σε βάρκα στην επιφάνεια (Σχ. 19-24). Ο δύ­
της και η στολή του έχουν συνολική μάζα 120 kg και όγκο 0,0800
m3• Το καλώδιο έχει διάμετρο 2,00 cm και γραμμική πυκνότητα
μ = 1,30 kg/m. Ο δύτης νομίζει ότι κάτι βλέπει να κινείται στα
σκοτεινά βάθη και τινάζει την άκρη του καλωδίου πίσω-μπρος
ώστε να στείλει εγκάρσια κύματα ως ειδοποίηση στους συντρό­
φους του στη βάρκα. a) Ποια είναι η τάση στο κατώτερο άκρο
του καλωδίου όπου είναι προσδεμένος ο δύτης; Μη ξεχάσετε να
περιλάβετε τη δύναμη της άνωσης που ασκεί το νερό της λίμνης
(πυκνότητα 1030 kg/m3) στον δύτη. b) Υπολογίστε την τάση στο
καλώδιο σε απόσταση χ από τον δύτη. Η δύναμη της άνωσης
πρέπει να περιληφθεί σε αυτόν τον υπολογισμό. c) Η ταχύτητα
των εγκάρσιων κυμάτων στο καλώδιο δίδεται από υ = {fJji
(Εξ. 19-13). Η ταχύτητα λοιπόν, μεταβάλλεται κατά μήκος του
καλωδίου, επειδή η τάση δεν είναι σταθερή. (Αυτή η έκφραση
αγνοεί τη δύναμη απόσβεσης που ασκεί το νερό στο κινούμενο
καλώδιο.) Υπολογίζοντας το κατάλληλο ολοκλήρωμα, βρείτε
τον χρόνο που απαιτείται για να φθάσει το πρώτο σήμα στην ε­
πιφάνεια.
Ι/ι
ΣΧΗΜΑ 19-24