Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
.Για μια δύναμη που μεταβάλλετα� με το χρόνο,
fιzJ = F dt.
I J
(8-22)
Η μεταβολή της ορμής ενός σώματος σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα είναι ίση με την
ώθηση της ολικής εξωτερικής δύναμης που ασκείται επάνω του:
..,
(8-21)
• Οι συντεταγμένεςχcm κα�yc"' του κέντρου μάζας ενός συστήματος σωματίων ορίζονται
ως
m1x1 + m2x2 + m3x3 + .. .
mι + mz + m3 + ...
m1Υι + mzYz + m3y3 + ...
mι + mz + m3 + ...
Σm χί ί ί
- --
Σm yι ι ι
• Συναρτήσει των διανυσμάτων θέσης rJ , r2, ... των σωματίων, το διάνυσμα θέσης rcm
του κέντρου μάζας είναι
rcm = mιrι + mzrz + m3r3 + . ..
m1 + m2 + m3 + ...
Σm rί ί i- --
• Η ολική ορμή Ρ ενός συστήματος είναι ίση με την ολική μάζα Μ επί την ταχύτητα Vcm
του κέντρου μάζας:
(8-29)
• Το κέντρο μάζας ενός συστήματος κινείται ωσάν όλη η μάζα του συστήματος να ήταν
συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας:
(8-31)
• Στην προώθηση ενός πυραύλου, η μάζα του πυραύλου μεταβάλλεται καθώςτα καύσι­
μα καίγονται. Η ανάλυση των σχέσεων ορμής πρέπει να συμπεριλαμβάνει και την ορμή
που έχουν τα αέρια που αποβάλλονται καθώς και την ορμή του ιδίου του πυραύλου.
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ
Εδάφιο 8-1
Ορμή
8-1 a) Ποιο είναι το μέτρο της ορμής ενός φορτηγού μάζας 10
000 kg του οποίου η ταχύτητα είναι 40,0 m/s; b) Τιταχύτητα πρέ­
πεινα έχει ένα φορτηγό μάζας 5 000 kg για να έχει (i) την ίδια ορ­
μή; (ίί) την ίδια κινητική ενέργεια;
8-2 Μια μπάλα ποδοσφαίρου που έχει μάζα 0,420 kg, κινείται
με ταχύτητα 4,50 m/s που σχηματίζει γωνία 20,0" με τον άξονα
τωνχ σε φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού (Σχ. 8-28).
Ποιες είναι οι συνιστώσεςχ καιy της ορμής της μπάλας;
8-3 Μια μπάλατου μπέιζμπολ, που έχει μάζα 0,145 kg, κινείται
προς τα θετικάχ με ταχύτητα 1,20 m/s και μια μπάλα του τένις,
μάζας 0,0550 kg, κινείται προς τα αρνητικάχ με ταχύτητα 6,20
m/s. Ποιο είναιτο μέτρο και η κατεύθυνση της ολικής ορμής του
συστήματος που αποτελείται από τις δύο μπάλες;
Υ
��·m = 0,420 kg
ΣΧΗΜΑ S-28
223

2. 224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΩΘΗΣΗ
8-4 Μια μπάλατουγκολφ έχει μάζα 0,045 kg και κινείται στην
κατεύθυνση +y με ταχύτητα 5,00 m/s, ενώ μια μπάλα του μπέιζ­
μπολ έχει μάζα 0,145 kg και κινείται στην κατεύθυνση -χ με ταχύ­
τητα 2,00 m/s. Ποιο είναιτο μέτρο και η κατεύθυνση της ολικής ορ­
μής του συστήματος;
Εδάφιο 8-2
Διατήρηση της ορμής
8-5 Μεταβολή ενέργειας σε σύγκρουση. Ο πρωταθλη­
τής του χόκεϋ Wayne Gretzky παγοδρομεί με ταχύτητα 13,0 m/s
προς έναν αμυντικόπαίκτη ο οποίος κινείται προς τον Gretzky με
5,0 m/s (Σχ. 8-29). Το βάρος του Gretzky είναι 756 Ν και αυτότου
αμυντικού 900 Ν. Αμέσως μετά τη σύγκρουση, ο Gretzky κινείται
με 2,50 m/s στην αρχικήτου κατεύθυνση. Αγνοείστε τις εξωτερικές
οριζόντιες δυνάμεις που ασκούνται πάνω στους παίκτες από τον
πάγο στη διάρκεια της σύγκρουσης a) Ποια είναι η ταχύτητα του
αμυντικού παίκτη αμέσως μετά τη σύγκρουση; b) Υπολογίστε τη
μεταβολή στην ολική κινητική ενέργειατων δύο παικτών.
---
ΣΧΗΜΑ S-29
8-6 Πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια, η μάζαΑ (3,00 kg)
κινείται προς τη μάζα Β (5,00 kg), η οποία είναι αρχικά ακίνητη.
Μετά τη σύγκρουση, η μάζαΑ έχει ταχύτητα 1,20 m/s προς τ' αρι­
στερά και η Β 6,50 m/s προς τα δεξιά. a) Ποια ήταν η ταχύτητα
τηςΑ αρχικά; b) Υπολογίστε τη μεταβολή στην ολική κινητική ε­
νέργειατου συστήματος που συμβαίνει κατά τη σύγκρουση.
8-7 Στέκεστε πάνω σε ένα λεπτό στρώμα πάγου που καλύπτει έ­
να χώρο στάθμευσης αυτοκινήτων· η τριβή ανάμεσα στα πόδια σας
και στον πάγο είναι αμελητέα. Ένας φίλος σας, σας πετά μια μπά­
λα μάζας 0,400 kg που κινείται οριζόντια με 12,0 rn/s. Η μάζα σας
είναι 80,0 kg. a) Αν πιάσετε τη μπάλα, με ποια ταχύτητα θα κινη­
θήτε, μαζί με τη μπάλα, μετά; b) Αν η μπάλα σας κτυπήσει στο
στήθος και αναπηδήσει, ώστε να κινείται μετά οριζόντια με ταχύ­
τητα 12,0 m/s στην αντίθετη κατεύθυνση, ποια είναι η δική σας τα­
χύτητα μετά τη σύγκρουση;
8-8 Ένας άνθρωπος με μάζα 80,0 kg, που στέκεται πάνω στον
πάγο, πετάει μια μπάλα μάζας 0,300 kg οριζόντια με ταχύτητα 30,0
m/s. Με ποιαταχύτητα και προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί ο άν­
θρωπος, αν θεωρηθεί ότι δεν υπάρχει τριβή ανάμεσα στα πόδια
του καιτον πάγο;
8-9 Θεωρήστε την ακόλουθη κατάσταση ανάκρουσης. Αρχικά,
ένα σύνθετο σώμα με μάζα mA + m8 είναι ακίνητο στην αρχή των
αξόνων. Τότε, εξαιτίας μιας εσωτερικής δύναμης, το σώμα δια­
σπάται σε δύο κομμάτια. Το ένακομμάτι, με μάζαmA, φεύγει προς
τ' αριστερά με ταχύτητα υΑ. Το άλλο, με μάζα m8 κινείται προς τα
δεξιά με ταχύτητα v8. a) Χρησιμοποιήστε τη διατήρηση της ορμής
για να βρείτε την v8 συναρτήσει των mA, m8 και υΑ. b) Χρησιμο­
ποιήστε το αποτέλεσμα του a) για να δείξετε ότι ΚΑ/Κ8 = m8/mA,
όπου ΚΑ καιΚ8 είναι οι κινητικές ενέργειες των δύο κομματιών.
8-10 Ένας από τους aντιπάλους του τζέημς Μποντ στέκεται
πάνω σε μια παγωμένη λίμνη· δεν υπάρχει τριβή ανάμεσα στα πό­
δια του και στον πάγο. Πετάει το ενισχυμένο με ατσάλι καπέλλο
του με ταχύτητα 25,0 m/s και κλίση 36,9• πάνω από την οριζόντια,
ελπίζοντας ότι θα κτυπήσειτον Μποντ. Αν η μάζατου είναι 160 kg
και του καπέλλου του 9,00 kg, ποιο είναι το μέτρο της οριζόντιας
ταχύτητας ανάκρουσήςτου;
8-11 Το σώμαΑ του Σχ. 8-30 έχει μάζα 1,00 kg και το σώμα Β έ­
χει μάζα 3,00 kg. Τα σώματα σπρώχνονται ώστε να προσεγγίσουν
το ένα το άλλο συμπιέζοντας ένα ελατήριο S που βρίσκεται ανάμε­
σά τους. Το σύστημα αφήνεται μετά ελεύθερο, ενώ ηρεμεί πάνω
σε μιαοριζόντιακαι λεία επιφάνεια. Το ελατήριο δεν είναι συνδε­
δεμένο με κανένα από τα σώματα και πέφτει πάνωστην επιφάνεια
αφού διασταλεί. Το σώμα Β αποκτά ταχύτητα 0,500 m/s. a) Ποια
είναι η τελική ταχύτητα της μάζαςΑ; b) Πόση δυναμική ενέργεια
είχε αποθηκευθεί στο συμπιεσμένο ελατήριο;
mA = 1 ,00 kg m8 = 3,00 kg
s
mJJJ1JfJJJJ
ΣΧΗΜΑ S-30
8-12 Ένα ασκεπές βαγόνι μάζας 10 000 kg κινείται αργά χωρίς
τριβή πάνω σε μια επίπεδη σιδηροδρομική γραμμή. Βρέχει καταρ­
ρακτωδώς και η βροχή πέφτει κατακόρυφα. Το βαγόνι είναι αρχι­
κά άδειο και κινείται με ταχύτητα 2,00 m/s. Ποια είναι η ταχύτητα
του βαγονιού όταν έχει μαζέψει 1000 kg νερού;
8-13 Ένας δίσκος του χόκεϋ, Β, είναι ακίνητος πάνω σε λεία ε­
πιφάνεια πάγου και κτυπιέται από ένα δεύτερο δίσκοΑ, ο οποίος
αρχικά είχε ταχύτητα 40,0 m/s και που εκτρέπεται κατά 3ο,ο· από
την αρχική του κατεύθυνση κίνησης (Σχ. 8-31). Ο δίσκος Β κινεί­
ται σε κατεύθυνση που σχηματίζειγωνία45,0• ως προςτην αρχική
ταχύτητα του Α. Οι δίσκοι έχουν ίσες μάζες. a) Υπολογίστε την
ταχύτητα του κάθε δίσκου μετά την κρούση. b) Τι κλάσματης αρ­
χικήςκινητικής ενέργειαςτου δίσκουΑ χάνεταικατάτην κρούση;
ΣΧΗΜΑ S-31

3. 8-14 Δύο παγοδρόμοι, ο Γιώργος και η Ευγενία, προπονούνται.
Η μάζα του Γιώργου είναι 60,0 kg και της Ευγενίας 40,0 kg. Ο
Γιώργος σταματάγια να δέσειτα κορδόνιατου και, ενώ είναι ακί­
νητος, τον κτυπά η Ευγενία που, πριν από τη σύγκρουση, κινείται
με ταχύτητα 12,5 m/s. Μετά τη σύγκρουση, η Ευγενία έχει ταχύτη­
τα με μέτρο 10,0 m/s και σε γωνία 37,0° ως προς την αρχική της
κατεύθυνση κίνησης. Και οι δύο παγοδρόμοι κινούνται πάνω στη
λεία οριζόντια επιφάνεια της πίστας. a) Ποιο είναι το μέτρο και
η κατεύθυνση της ταχύτηταςτου Γιώργου μετάτη σύγκρουση; b)
Ποια είναι η μεταβολή της ολικής κινητικής ενέργειαςτωνδύοπα­
γοδρόμων που οφείλεταιστη σύγκρουση;
Εδάφιο 8-3
Μη ελαστικές κρούσεις
8-15 a) Ένα άδειο βαγόνι μάζας 10 000 kg κυλά με ταχύτητα
4,00 m/s κατά μήκος μιας οριζόντιας σιδηροδρομικής γραμμής και
συγκρούεται με ένα φορτωμένο βαγόνι μάζας 20 000 kg που είναι
ακίνητο, με τα φρένα του ελεύθερα. Η τριβή μπορεί να αγνοηθεί.
Αν τα δύο βαγόνια ενώνονται, βρείτε τηνταχύτητά τους μετά τη
σύγκρουση. b) Βρείτε τη μεταβολή στην ολική κινητική ενέργεια
των δύο βαγονιών λόγωτης σύγκρουσης. c) Ποια ταχύτητα θα έ­
πρεπε να είχε το φορτωμένο βαγόνι ώστε μετά τη σύγκρουση τα
δύο βαγόνια να παρέμεναν ακίνητα;
8-16 Πάνω σε μια λεία οριζόντια αεροτροχιά κινείται ένα βαγό­
νι μάζας 0,300 kg μεταχύτητα6,00 m/s προς τα δεξιά και συγκρού­
εται με ένα άλλο μάζας 0,800 kg που κινείται με ταχύτητα 1,50 m/s
προς τ' αριστερά. a) Αν τα δύο βαγόνια κολλάνε, ποια είναι η τε­
λική τους ταχύτητα; b) Πόση μηχανική ενέργεια χάνεται στη σύ­
γκρουση;
8-17 Ένα ψάρι μάζας 18,0 kg κινείται οριζόντια προς τα δεξιά
με ταχύτητα 3,20 m/s και καταπίνει έναψάρι μάζας 2,0 kg που κι­
νείταιπροςτ' αριστερά με 6,80 m/s. Ποια είναι η ταχύτητα του με­
γάλου ψαριού μετάτογεύματου αν αγνοηθούν οι δυνάμεις που α­
σκείτονερό πάνω στα ψάρια;
8-18 Στη διασταύρωση της λεωφόρου Κύπρου και της οδσύ Πα­
νεπιστημίου, ένα μικρό αυτοκίνητο μάζας900 kg που κινείται ανα­
τολικά στην οδό Πανεπιστημίου, συγκρούεται με ένα μικρό φορ­
τηγό μάζας 1500 kg που κινείται βόρεια στη λεωφόρο Κύπρου και
δεν σταμάτησε στο κόκκινο (Σχ. 8-32). Ως αποτέλεσμα της σύ­
γκρουσης τα δύο αυτοκίνητα κολλάνε και το σύμπλεγμα κινείται
αμέσως μετά με ταχύτητα 16,0 m/s σε κατεύθυνση 24,0° ανατολι­
κά του βορρά. Υπολογίστε τις ταχύτητες των δύο οχημάτων. (Οι
δυνάμεις τριβής ανάμεσα στα αυτοκίνητα καιτο δρόμο μπορούν
να αγνοηθούνκατάτη διάρκεια της σύγκρουσης).
y (Βορράς)
[J
ΣΧΗΜΑ S-32
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 225
8-19 Ένα αυτοκίνητο μάζας 2000 kg που κινείται ανατολικά
στην οδό Καστανιάς με 40,0 km/h, συγκρούεται με ένα φορτηγό
μάζας 4000 kg που κινείται νότια διασχίζοντας την οδό Καστανιάς
με 20,0 km/h. Ποιο είναι το μέτρο και η κατεύθυνση της ταχύτητάς
τους αμέσως μετά τη σύγκρουση, αν κινηθούν ως ένα σώμα; (Οι
δυνάμειςτριβής ανάμεσα στα οχήματα και το δρόμο μπορούν να
αγνοηθούν κατάτη διάρκειατης σύγκρουσης).
8-20 Ένα βαλλιστικό εκκρεμές. Μια σφαίρα όπλου,
μάζας 10,0 g, πυροβολείται με ταχύτητα 500 m/s προς ένα βαλλι­
στικό εκκρεμές μάζας 5,00 kg, που είναι κρεμασμένο στο άκρο
χορδής μήκους 0,600 m. Υπολογίστε a) την κατακόρυφη μετατό­
πιση του εκκρεμούς, b) την αρχική κινητική ενέργεια της σφαί­
ρας, c) την κινητική ενέργεια σφαίρας και εκκρεμούς, μόλις έχει
σφηνωθεί η σφαίρα στο εκκρεμές.
8-21 Μια σφαίρα μάζας 5,00 g πυροβολείται οριζόντια και σφη­
νώνεται σε ένα κομμάτι ξύλο μάζας 2,50 kg που είναι ακίνητο πά­
νω σε μια οριζόντια επιφάνεια. Ο συντελεστής κινητικήςτριβής α­
νάμεσα στοξύλο και την επιφάνεια είναι 0,20. Το ξύλο με τη σφη­
νωμένη σφαίρα γλυστρά 0,250 m πάνω στην επιφάνεια πριν στα­
ματήσει. Ποια ήταν η αρχική ταχύτητα της σφαίρας;
Εδάφιο 8-4
Ελαστικές κρο �σεις
8-22 Ένας βώλος μάζας 10,0 g κινείται προς τ' αριστερά με τα­
χύτητα 0,400 m/s πάνω σε λεία και επίπεδη επιφάνεια και συ­
γκρούεται μετωπικά με ένα βαρύτερο βώλο 30,0 g που κινείται
προςτα δεξιά με ταχύτητα 0,200 m/s (Σχ. 8-33). Αν η κρούση είναι
τελείως ελαστική, βρείτε τις ταχύτητες των δύο βώλων (μέτρο και
κατεύθυνση) μετά την κρούση. (Επειδή η κρούση είναι μετωπική,
η κίνηση των δύο σωμάτωνγίνεται πάνω σε μια ευθεία).
30,0g 10,0g
ΣΧΗΜΑ S-33
8-23 Μια μάζα 0,300 kg κινείται προς τα δεξιά πάνω σε μια ορι­
ζόντια, λεία επιφάνεια, με ταχύτητα 0,60 m/s. Συγκρούεται μετω­
πικά με μια άλλη μάζα 0,200 kg που κινείται προς τ' αριστερά με
ταχύτητα 1,50 m/s. Βρείτε τις τελικές ταχύτητες (μέτρο και κατεύ­
θυνση) των δύο μαζών μετά την κρούση. (Επειδή η κρούση είναι
μετωπική όλες οι κινήσεις γίνονταιπάνω σε μια ευθεία).
8-24 Εκθέστε τις λεπτομέρειεςτου υπολογισμού τωνα καιβ στο
Παράδειγμα 8-11.
Εδάφιο 8-5
Ώθηση
8-25 Ένα κομμάτι πάγου, μάζας 1,50 kg, κινείται πάνω σε μια
λεία, οριζόντια επιφάνεια. Στο χρόνο ι = Ο, ο πάγος κινείται προς
τα δεξιά με ταχύτητα 5,00 m/s. Υπολογίστε την ταχύτητα του πά­
γου (μέτρο και κατεύθυνση) μετά την εφαρμογή επί 5,00 s, καθε­
μιάςαπό τις ακόλουθες δυνάμεις: a) δύναμης 5,00 Ν προςτα δε­
ξιά και b) δύναμης 7,00 Νπροςτ' αριστερά.

4. 226 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΩΘΗΣΗ
8-26 Δύναμη σε κτύπημα του μπέιζμπολ. Μια μπάλα
του μπέιζμπολ έχει μάζα 0,145 kg. a) Αν η ταχύτητα μιας τέτοιας
μπάλας είναι 30,0 rn/s πριν και 50,0 rn/s στην αντίθετη κατεύθυνση
αφού χτυπηθεί, βρείτε το μέτρο της μεταβολής της ορμής της μπά­
λας και την ώθηση που ασκήθηκε επάνωτης από το μπαστούνι. b)
Αν η μπάλα βρίσκεται σε επαφή με το μπαστούνι για 2,00 χ 10-3 s,
βρείτε το μέτρο της μέσηςτιμήςτης δύναμης που ασκήθηκε απότο
μπαστούνι.
8-27 Δύναμη σε κτύπημα του γκολφ. Μια μπάλα του
γκολφ, μάζας 0,0450 kg, που είναι αρχικά ακίνητη, αποκτά ταχύ­
τητα 50,0 m/s όταν κτυπηθεί με ένα μπαστούνι. Αν η επαφή μπά­
λας και μπαστουνιού διαρκεί για 2,00 χ ιο-3 s ποια είναι η μέση
δύναμη που ασκείται πάνω στη μπάλα; Κατά τη διάρκεια του
κτυπήματος, είναι σημαντική η επίδραση του βάρους της μπά­
λας;
8-28 Μια μπάλα του μπέιζμπολ, μάζας 0,145 kg, χτυπιέται από
ένα μπαστούνι. Λίγο πριν από το κτύπημα η μπάλα κινείται ορι­
ζόντια και προς τα δεξιά με ταχύτητα 40,0 m/s και αμέσως μετά
το κτύπημα κινείται με 60,0 m/s προς τ' αριστερά και σε γωνία
30• πάνωαπότην οριζόντια. Αν μπάλα και μπαστούνι βρίσκονται
σε επαφή για 5,00 χ 10-3 s, βρείτε την οριζόντια και την κατακό­
ρυφη συνιστώσα της μέσης δύναμης που ασκείται πάνω στη μπά­
λα.
8-29 Μια δύναμη με μέτρο F(t) = Α + Βι2 και κατεύθυνση προς
τα δεξιά ασκείται πάνω σε ένα κορίτσι με πατίνια. Η μάζα του
κοριτσιού είναι m. Η δύναμη εφαρμόζεται από τη χρονική στιγμή
t
1
= Ο μέχρι ι = t
2• a) Ποια είναι η ώθηση J της δύναμης; b) Αν
το κορίτσι είναι αρχικά ακίνητο, ποια είναι η ταχύτητά του τη
στιγμή t
2
;
Εδάφιο 8-6
Κέντρο μάζας
8-30 Ένα αυτοκίνητο μάζας 1000 kg κινείται σε ευθύγραμμο
δρόμο με 12,0 m/s. Ένα άλλο αυτοκίνητο, μάζας 2000 kg, κινείται
με ταχύτητα 2,0 m/s και βρίσκεται 40,0 m μπροστά από το πρώτο
(Σχ. 8-34). a) Βρείτε το κέντρο μάζας των δύο αυτοκινήτων. b)
Βρείτε το μέτρο της ολικής ορμής από τα στοιχεία που δόθηκαν.
c) Βρείτε την ταχύτητα του κέντρου μάζας. d) Βρείτε την ολική
ορμή, χρησιμοποιώντας την ταχύτητα του κέντρου μάζας. Συγκρί­
νατε με το αποτέλεσματου ερωτήματος (b).
12,0 m/s
�
2000 kg
ι.Ε----- 40,0 m ----�
ΣΧΗΜΑ S-34
20,0m/s
�
8-31 Βρείτε τη θέση του κέντρου μάζας του συστήματος Γης-Σε­
λήνης. Χρησιμοποιήστε τα δεδομένα του Παραρτήματος ΣΤ'.
8-32 Τρία σωμάτια έχουντις ακόλουθες μάζες και συντεταγμέ­
νες: (1) 2,00 kg (4,00 m, 2,00 m)· (2) 3,00 kg, (1,00 m, -4 m)· (3)
4,00 kg, (-3,00 m, 6,00 m). Βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου
μάζαςτου συστήματος.
Εδάφιο 8-8
Προώθηση πυραύλου
8-33 Ένας πύραυλος εκτοξεύεται από ένα διαστημικό σταθμό,
όπου η δύναμη της βαρύτητας είναι πολύ μικρή. Αν ο πύραυλος έ-
χει αρχική μάζα 5000 kgκαι αποβάλλει αέρια με μια σχετική ταχύ­
τητα 2000 rn/s, πόση μάζα αερίου πρέπει να αποβάλλει ανά δευτε­
ρόλεπτο για να έχειαρχική επιτάχυνση 20,0 m/s2;
* 8-34 Ένας πύραυλος εκτοξεύεταιστο διάστημα όπουυπάρχει α­
μελητέο βαρυτικό πεδίο. Στο πρώτο δευτερόλεπτο αποβάλλειτο io
της μάζας του ως αέριο και αποκτά επιτάχυνση 40,0 m/sΌ Ποια εί­
ναι η σχετικήταχύτητατου αερίου ως προς τον πύραυλο;
* 8-35 Ένας μικρός πύραυλος καίει καύσιμο με ρυθμό 0,0500 kg/s,
εκτοξεύοντας τα αέρια που παράγονται με ταχύτητα 800 m/s σε
σχέση με τον πύραυλο. a) Πόση δύναμη ασκούν αυτά τα αέρια
πάνωστονπύραυλο; b) Θα λειτουργούσε ο πύραυλος στο διάστη­
μα; c) Αν θα λειτουργούσε στο διάστημα πώς θα τον κατευθύνα­
τε; Θα μπορούσατε νατον φρενάρετε;
* 8-36 Ένας πύραυλος εκτοξεύεται από ένα διαστημικό σταθμό,
όπου το βαρυτικό πεδίο είναι αμελητέο. Αν ο πύραυλος καίει τα
καύσιμάτου σε χρόνο 40,0 s και η ταχύτητατων εκτοξευομένων α­
ερίων σε σχέση με τον πύραυλο είναι υeχ = 3000 m/s, ποιος πρέπει
να είναι ο λόγος mrJm για να επιτευχθείτελική ταχύτητα υ = 8,00
km/s (ίση περίπου με την τροχιακή ταχύτητα ενός δορυφόρου της
Γης);
* 8-37 Οι πύραυλοι μπορούν προφανώς να κινηθούν πολύ γρήγο­
ρα, αλλά ποια θαήταν μια λογική μέγιστη ταχύτητα; Υποθέστε ότι
ένας πύραυλος εκτοξεύεται από ένα διαστημικό σταθμό όπου το
πεδίο βαρύτητας είναι αμελητέο. a) Αν ο πύραυλος αποβάλλει α­
έρια με σχετική ταχύτητα 2000 m/s και η τελική ταχύτητα του πυ­
ραύλου θέλετε να είναι 1,00 χ ιο-3 c, όπου c είναι η ταχύτητα του
φωτός στο κενό, τι κλάσμα της ολικής αρχικής μάζας πυραύλου
και καυσίμων δεν είναι καύσιμα; b) Ποιο θα έπρεπε να ήταν αυ­
τό το κλάσμα για τελική ταχύτητα 3000 m/s;
Εδάφιο 8-9
Το νετρίνο: μελέτη ενός ειδικού θέματος
της σύγχρονης φυσικής
8-38 Ένας πυρήνας 1"'Pt διασπάται σε ένα πυρήνα 1860s με
εκπομπή ενός σωματιδίου α. Η ολική κινητική ενέργεια των
προ'ίόντων της διάσπασης είναι 5,20 χ 10-3 J. Ένα σωματίδιο α
έχει τα 2,15% της μάζας ενός πυρήνα του 1860s. Υπολογίστε τις
κινητικές ενέργειες (a) του πυρήνα του 1860s, (b) του σωματιδίου
α.
8-39 Σε μιαδιάσπαση α, η κινητική ενέργεια του σωματιδίου α
είναι 1,070 χ 10-3J και η τιμή του Q της διάσπασης είναι 1,090 χ
10-3J. Πόση είναι η μάζατου θυγατρικούπυρήνα;
8-40 Ο πυρήνας του 21Έί μπορεί να υποστεί διάσπαση β- σε
21'Ρο. Υποθέστε ότι το εκπεμπόμενα ηλεκτρόνιο κινείται προς τα
δεξιά με ορμή που βρίσκεται σχετικιστικά ίση με 6,20 χ ιο-22 kg ο
m/s. Ο πυρήνας του 21'Ρο, με μάζα 3,50 χ ιο-25 kg, κινείται προς
τ' αριστερά με ταχύτητα 1,14 χ 103 m/s. Υπολογίστε το μέτρο και
την κατεύθυνση της ορμής του αντινετρίνου που εκπέμπεται στη
διάσπαση. [Ο πυρήνας του 21'Ρο κινείται με ταχύτητα πολύ μι­
κρότερη από αυτήν του φωτός στο κενό και γι' αυτό η ορμή του
μπορεί να υπολογιστεί από τη μη σχετικιστική σχέση της Εξ.
(8-1)].
8-41 Ο πυρήνας του 21Έί μπορεί να υποστεί διάσπαση β- σε
210Ρο. Σε μια συγκεκριμένη διάσπαση, το ηλεκτρόνιο και το αντι­
νετρίνο εκπέμπονται σε κατευθύνσεις που σχηματίζουν ορθή γω­
νία μεταξύ τους. Τα μέτρα των ορμών τους είναι 3,60 χ ιο-22 kg ·
m/s για το ηλεκτρόνιο και 4,40 χ ιο-22 kg · m/s για το αντινετρίνο.
Ο πυρήνας του210Ρο έχει μάζα 3,50 χ ιο-25 kg. Υπολογίστε a) το
μέτρο της ορμής του πυρήνα του 21'Ρο, b) την κινητική του ενέρ­
γεια.

5. ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 227
Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α _____________________
8-42 Ένα αυτοκίνητο μάζας 1500 kg κινείται προς νότο ενώ ένα
άλλο, μάζας 2000 kg, κινείται προς δυσμάς. Αν η ολική ορμή των
δύο αυτοκινήτων είναι 9000 kg · m/s με κατεύθυνση 30,0• δυτικά
του νότου, ποια είναι η ταχύτητατου καθενός από τα δύο αυτοκί­
νητα;
8-43 Δύο βαγόνια τρένου κινούνται και ενώνονται με ένα τρίτο
που είναι αρχικά ακίνητο. Τα τρία βαγόνια κινούνται μαζί και ε­
νώνονται με ένατέταρτο. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται μέχρις ό­
του η ταχύτητατης τελικής ομάδας βαγονιών να είναι το ϊϊ της τα­
χύτητας των δύο πρώτων βαγονιών. Όλα τα βαγόνια είναι πανο­
μοιότυπα. Αγνοώντας την τριβή βρείτε πόσα βαγόνια βρίσκονται
ενωμένα τελικά.
8-44 Τα αντικείμεναΑ (μάζα 2,00 kg), Β (μάζα 3,00 kg) και C
(μάζα 4,00 kg) πλησιάζουν την αρχή των αξόνων (Σχ. 8-35). Οι
αρχικές ταχύτητες τωνΑ καιΒ δίνονται στο σχήμα. Τατρία αντι­
κείμενα φθάνουν στο Ο την ίδια στιγμή. Ποιες πρέπει να είναι οι
συνιστώσεςχ καιy της αρχικής ταχύτητας του C, ώστε τα τρία α­
ντικείμενα να παραμείνουν ακίνητα μετάτη σύγκρουση;
ΣΧΗΜΑ 8-35
Υ
I
Ο I
I
Β
Ιv8 = 0,50m/s
I
60• υΑ = 1,50m/s
-χ
Υ Α
c
8-45 Ένα χειροκίνητο βαγόνι κινείται κατά μήκος μιας ευθύ­
γραμμης γραμμής, χωρίς τριβές. Σε κάθε μια από τις ακόλουθες
τρεις περιπτώσεις το βαγόνι έχει αρχικά ολική μάζα (βαγόνι και
περιεχόμενα) 200 kg και ταξιδεύει προς ανατολάς με ταχύτητα
5,00 m/s. Βρείτε την τελική ταχύτητα του βαγονιού σε κάθε περί­
πτωση. a) Μια μάζα 20,0 kg εκτοξεύεται πλαγίως απότο βαγόνι
με ταχύτητα 2,00 m/s σε σχέση με την αρχική ταχύτητατου βαγονι­
ού. b) Μια μάζα 20,0 kg εκτοξεύεται από το βαγόνι προς τα πίσω
με ταχύτητα 5,00 m/s ως προς το βαγόνι. c) Μια μάζα 20,0 kg πε­
τιέται μέσα στο βαγόνι με ταχύτητα 6,00 m/s ως προςτο έδαφος
και σε κατεύθυνση αντίθετη αυτής της αρχικήςταχύτητας του βα­
γονιού.
8-46 Ένα βαγόνι με διαρροή άμμου. Ένα βαγόνι γεμάτο
άμμο κυλάει πάνω σε ευθύγραμμη οριζόντια σιδηροδρομική
γραμμή, με αρχική ταχύτητα 12,0 m/s. Η ολική μάζα του βαγονιού
με την άμμο είναι 1200 kg. Το βαγόνι έχει μια τρύπα στο κάτω μέ­
ρος, από την οποία τρέχει άμμος. Μετά από 20 min, έχει χαθεί συ­
νολικά άμμος μάζας 200 kg. Ποια είναι τότε η ταχύτητα του βαγο­
νιού; (Συγκρίνετε την ανάλυσή σας με αυτήν που χρησιμοποιήθη­
κε στη λύση τηςΆσκησης 8-12).
8-47 Μια σφαίρα μάζας 2,00 g που κινείται οριζόντια με ταχύ­
τητα 500 m/s συγκρούεται με ένα κομμάτι ξύλου, μάζας 1,00 kg,
που είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια. Η
σφαίρα διαπερνά το ξύλο και βγαίνει από αυτό με ταχύτητα 100
m/s. Το ξύλο γλυστρά για απόσταση 0,30 m από την αρχική του
θέση, πάνω στην επιφάνεια a) Ποιος είναι ο συντελεστής κινητι-
κής τριβής ανάμεσα στοξύλο και την επιφάνεια; b) Ποια είναι η
μείωση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας; c) Ποια είναι η κι­
νητική ενέργεια του ξύλου τη στιγμή που η σφαίρα βγαίνει από
αυτό;
8-48 Μια σφαίρα μάζας 5,00 g διαπερνά ένα κομμάτι ξύλο μά­
ζας 1,00 kg που κρέμεται από ένα ελατήριο μήκους 2,00 m. Παρα­
τηρείται ότι το κέντρομάζαςτου ξύλου ανυψώνεταικατά 0,45 cm.
Βρείτε την ταχύτητα της σφαίρας τη στιγμή που βγαίνει από το ξύ­
λο, αν η αρχική της ταχύτητα ήταν ίση με 300 m/s.
ΣΧΗΜΑ 8-36
8-49 Μόλις κρεμαστεί από ένα ελατήριο, ένας δίσκος 0,200 kg,
επιμηκύνει το ελατήριοκατά0,050 m. Ένα κομμάτιστόκου, μάζας
0,200 kg, ρίχνεται πάνω στον δίσκο από ύψος 0,300 m με μηδενική
αρχική ταχύτητα (Σχ. 8-36). Βρέστε τη μέγιστη απόσταση κατά
την οποία ο δίσκος θα κινηθεί προς τα κάτω.
8-50 Μια σφαίρα μάζας 10,0 g κτυπά και σφηνώνεται σε ένα σώ­
μα μάζας 0,990 kg που βρίσκεται ακίνητο πάνω σε μια λεία οριζό­
ντια επιφάνεια και είναι συνδεδεμένο με ένα ελατήριο (Σχ. 8-37).
Η ώθηση συμπιέζει το ελατήριο κατά 10,0 cm. Η βαθμονόμηση
του ελατηρίου δείχνει ότι για να συμπιεστείτο ελατήριο κατά 1,00
cm χρειάζεται δύναμη ίση με 2,00 Ν. a) Βρείτε τηνταχύτητα του
σώματος αμέσως μετά τη σύγκρουση. b) Ποια ήταν η αρχική τα­
χύτητατης σφαίρας;
υ
- �
ΣΧΗΜΑ S-37
�10,0cm4
8-51 Εξοστρακιζόμενη σφαίρα. Μια πέτρα μάζας 0,100 kg
είναι ακίνητη πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια. Μια σφαίρα
μάζας 2,50 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα 450 m/s, κτυπά την πέ­
τρα και αναπηδά οριζόντια σε κατεύθυνση που σχηματίζει ορθή
γωνία με την αρχική της και με ταχύτητα ίση προς 300 m/s. (a)
Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας της πέ­
τρας μετά το κτύπημα που δέχεται. (b) Η κρούση είναι τελείως ε­
λαστική;

6. 228 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΩΘΗΣΗ
ΣΧΗΜΑ 8-38
8-52 Ένας κασκαντέρ (μάζα 80,0 kg) στέκεται πάνωστοπερβά­
ζι ενός παραθύρου, σε ύψος 5,0 m από το πάτωμα (Σχ. 8-38).
Αρπάζοντας ένα σχοινί που κρέμεται από έναν πολυέλεο πηδά
προς τα κάτω για να παλέψει με τον κακοποιό της ταινίας (μάζα
70,0 kg), που στέκεται ακριβώς κάτω από τον πολυέλεο. (Υποθέ­
στε ότι το κέντρο μάζαςτου κασκαντέρ κινείται προς τα κάτω κα­
τά 5,0 m. Αφήνει το σχοινί μόλις φτάσει στον κακοποιό). a)
Ποια είναι η κοινή ταχύτητα με την οποία αρχίζουν να γλυστρούν
πάνω στο πάτωμα οι δύο αντίπαλοι; b) Αν ο συντελεστής κινητι­
κής τριβής των σωμάτων τους με το πάτωμα είναιμk = 0,300, πό­
ση συνολικά απόσταση θα διανύσουν γλυστρώντας πάνω στο πά­
τωμα;
8-53 Ένανετρόνιο μάζας m συγκρούεται ελαστικά με ένα πυρή­
να μάζας Μ, που είναι αρχικά ακίνητος. Δείξετε ότι, αν η αρχική
κινητική ενέργειατου νετρονίου είναι Κ0, η μέγιστη κινητική ενέρ­
γειαπου μπορείναχάσει στην κρούση είναι
4mMK0/(M + m)'.
(Υπόδειξη: Η μέγιστη απώλεια ενέργειας συμβαίνει όταν η κρού­
ση είναι μετωπική).
8-54 Ένα μπλε σώμα μάζας 0,400 kg, που γλυστρά πάνω σε μια
λεία οριζόντια επιφάνεια με ταχύτητα 0,120 m/s, συγκρούεται με­
τωπικά καιτελείως ελαστικά με ένα κόκκινο σώμα μάζας m, που
είναι αρχικά ακίνητο. Μετά τη σύγκρουση, η ταχύτητα του μπλε
σώματος είναι 0,040 m/s στην αρχική του κατεύθυνση. Βρείτε a)
Την ταχύτητα (μέτρο και κατεύθυνση) του κόκκινου σώματος μετά
τη σύγκρουση. b) Τη μάζα m του κόκκινου σώματος.
8-55 Δύο aστεροειδείς με μάζεςmA και m8 κινούνται με ταχύτη­
τες υΑ και υ8 σε σχέση με έναν αστρονόμο που βρίσκεται σε ένα
διαστημόπλοιο. a) Δείξτε ότι η ολική κινητική ενέργεια των aστε­
ροειδών, όπως μετριέται απότον αστρονόμο, είναι
με την υ,m όπως ορίζεται στο Εδάφιο 8-ό, υΑ' = υΑ - υ,m και υ8
'
=
υ8 - υ,m· Σε αυτή τη σχέση, η ολική κινητική ενέργεια των δύο α­
στεροειδών είναι η ενέργεια που σχετίζεται με το κέντρο μάζας
τους συν αυτήν που σχετίζεται με την εσωτερική τους κίνηση ως
προςτο κέντρο μάζαςτους. b) Αν οι aστεροειδείς συγκρουστούν,
ποια είναι η ελάχιστη δυνατή κινητική ενέργεια που μπορούν να έ­
χουν μετάτη σύγκρουση, όπως την μετρά ο aστρονόμος;
8-56 Μια μικρή aτσάλινη μπίλια που κινείται με ταχύτητα υ0
στην κατεύθνση +χ, συγκρούεταιτελείως ελαστικάκαι όχι μετωπι­
κά με μια πανομοιότυπη μπίλια που είναι αρχικά ακίνητη. Μετά
την κρούση, η πρώτη μπίλια κινείται με ταχύτητα υ1 σχηματίζοντας
γωνία θ1 με τον άξονα τωνχ, στο πρώτο τεταρτημόριο, ενώ η δεύ­
τερη κινείται με ταχύτητα υ2 σε γωνία θ
2
με τον άξονα τωνχ, στο
τέταρτο τεταρτημόριο. a) Γράψετε τις εξισώσεις διατήρησης της
ορμής κατά μήκος των αξόνωνχ καιy. b) Υψώστε στοτετράγωνο
και προσθέστε τις σχέσεις του ερωτήματος (a). c) Χρησιμοποιή­
στε το γεγονός ότι η κρούση είναι τελείως ελαστική. d) Αποδείξε­
τε ότι θ1 + θ2 = π. (Έχετε έτσι αποδείξει ότι αυτή η σχέση ισχύει
σε κάθε ελαστική κρούση ανάμεσα σε δύο σώματα ίσων μαζών, ό­
ταντο ένα είναι αρχικά ακίνητο).
8-57 Ένας δίσκος του χόκεϋ, Β, είναι ακίνητος πάνω σε μιαλεία
επιφάνεια πάγου και χτυπιέται από ένα δεύτερο δίσκο,Α, που έ­
χει την ίδια μάζα με τον Β. Ο δίσκοςΑ, που έχει αρχική ταχύτητα
30,0 m/s, αποκλίνει κατά 30,0° από την αρχική του κατεύθυνση.
Υποθέστε ότι η κρούση είναι τελείως ελαστική. Βρείτε την τελική
ταχύτητα του κάθε δίσκου και την κατεύθυνση του Β μετά την
κρούση. [Υπόδειξη: χρησιμοποιήστε τη σχέση που βρέθηκε στο ε­
ρώτημα (d) του Προβλήματος 8-56].
8-58 Ένας άνδρας και μια γυναίκα κάθονται σε ένα έλκηθρο
που είναι ακίνητο πάνω σε λείο πάγο. Το βάροςτου άνδρα είναι
800 Ν, της γυναίκας 600 Ν και του ελκήθρου 1200 Ν. Ξαφνικά
βλέπουν μια δηλητηριώδη αράχνη στο πάτωμα του ελκήθρου και
πηδούν και οι δύο έξω από το έλκηθρο. Ο άνδρας πηδά στα αρι­
στερά με ταχύτητα 6,00 m/s και σε κατεύθυνση 30,0ο πάνω από
την οριζόντια και η γυναίκα στα δεξιά με ταχύτητα 9,00 m/s σε
κατεύθυνση 36,9° πάνω από την οριζόντια. Υπολογίστε την ορι­
ζόντια ταχύτητα (μέτρο και κατεύθυνση) του ελκήθρου αμέσως
μετά.
8-59 Ο τζακκαι η τζιλ στέκονται πάνω σε ένα κιβώτιοπου είναι
ακίνητο πάνω σε μια λεία, οριζόντια, παγωμένη επιφάνεια λίμνης.
Ο τζακ έχει μάζα 80,0 kg, η τζιλ 50,0 kg και το κιβώτιο 20,0 kg.
Θυμούνται ότι πρέπει να πάνε να φέρουν ένα κουβά νερό και πη­
δούν, και οι δύο, οριζόντια από την κορυφή του κιβωτίου με ταχύ­
τητα 5,00 m/s σε σχέση με το κιβώτιο. a) Ποια είναι η τελική ταχύ­
τητα του κιβωτίου, αν και οι δύο πηδούν ταυτόχρονα και προς την
ίδια κατεύθυνση; b) Ποια είναι η τελική ταχύτητα του κιβωτίου
αν ο τζακ πηδά πρώτος και μερικά δευτερόλεπτα αργότερα η τζιλ
πηδά προς την ίδια κατεύθυνση; (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε ένα
αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων ακίνητο ως προς το έδαφος).
c) Ποια είναι η τελική ταχύτητατου κιβωτίου αν η τζιλ πηδά πρώ­
τη και μετά οτζακ, πάλι στην ίδια κατεύθυνση;
8-60 Μια ομοιογενής aτσάλινη ράβδος μήκους 0,800 m λυγίζε­
ται σε γωνία 90° στο κεντρικό της σημείο. Βρείτε τη θέση του κέ­
ντρου μάζας της. (Υπόδειξη: Οι μάζες των δύο πλευρών μπορούν
να θεωρηθούν ότι είναι συγκεντρωμένες στα αντίστοιχα κέντρα
τους).
8-61 Τα αντικείμενα του Σχ. 8-39 είναι κατασκευασμένα από ο­
μοιογενές σύρμα που έχει λυγιστεί στα σχήματα που φαίνονται.
Βρείτε τη θέση του κέντρου μάζαςτου καθενός.
8-62 Ο James και ο Ramon στέκονται πάνω στη λεία επιφάνεια
μιας παγωμένης λίμνης. Ο Ramon έχει μάζα 60,0 kg και ο James
90,0 kg. Απέχουν 20,0 m ο έναςαπότον άλλο και κρατάνε από ένα
άκρο ενός τεντωμένου ελαφρού σχοινιού. Στο μέσο της απόστασης
ανάμεσα στους δύο άνδρες βρίσκεται ένα ποτήρι μπύρα (Σχ.
8-40). Ο James τραβάτοσχοινίκαιγλυστρά προςτο ποτήρι. Όταν
έχει κινηθεί κατά 4,0 m, κατά πόσο και προς ποια κατεύθυνση έχει
κινηθεί ο Ramon;

7. ΣΧΗΜΑ 8-39
(a)
L
(c)
L
(b)
L
(d)
Rarn.on 60,0 kg .-
' 7/O m
lO,O m
ΣΧΗΜΑ �Ο
8-63 Στέκεστε πάνω σε μια τσιμεντένια πλάκα, η οποία βρίσκε­
ται πάνω στην επιφάνεια μιας παγωμένης λίμνης. Υποθέστε ότι
δεν υπάρχει τριβή ανάμεσα στην πλάκα και τον πάγο. Η πλάκα έ­
χειπενταπλάσια μάζααπότη δική σας. Αν αρχίσετε να περπατάτε
προςτα εμπρός με ταχύτητα 3,00 m/s ως προς τον πάγο, με τι ταχύ­
τητακινείται η πλάκα ως προς τον πάγο;
8-64 Μια γυναίκα της οποίας η μάζα είναι 70,0 kg, στέκεται μέ­
σασε ένα κανό που έχει μάζα 30,0 kg και μήκος 5,00 m. Περπατά
από το σημείο που απέχει 1,00 m από το ένα άκρο του κανό, στο
σημείο που απέχει 1,00 m από το άλλο του άκρο. Αν το κανό κινεί­
ται μέσαστο νερό χωρίς αντίσταση, κατά πόση απόσταση μετατο­
πίζεταιτο κανό;
8-65 Μια πυρηνική αντίδραση. Η σχάση, η διεργασία με
τηνοποία παράγεται ενέργεια στους πυρηνικούς aντιδραστήρες,
συμβαίνει όταν ένας βαρύς πυρήνας διασπαστεί σε δύο πυρήνες
μεσαίου μεγέθους. Μια τέτοια αντίδραση συμβαίνει όταν ένα νε­
τρόνιο συγκρούεται με έναν πυρήνα '"U και τον διασπά σε ένα
πυρήνα '"Ba και έναν πυρήνα"Κr. Στην αντίδραση αυτή, από τον
αρχικό πυρήνα του '"U αποσπώνται και δύο νετρόνια. Πριν από
τη σύγκρουση έχουμε την κατάσταση του Σχ. 8-41a. Μετά τη σχά­
ση, ο πυρήνας του Ba κινείται προς την κατεύθυνση +z και ο πυ­
ρήνας του Κr στην κατεύθυνση -z. Τα τρία νετρόνια κινούνται στο
επίπεδοχy όπως φαίνεταιστο Σχ. 8-41b. Αν το προσπίπτον νετρό­
νιο έχει αρχική ταχύτητα 4,0 χ 10' m/s και τελική 2,0 χ 10' m/s
στις κατευθύνσεις που φαίνονται, ποιες είναι οι ταχύτητες των άλ­
λων δύο νετρονίων; Τι μπορείτε να πείτε για τις ταχύτητες των πυ­
ρήνωντου Ba και του Κr; (Η μάζα του πυρήνα του Ba είναι περί­
που 2,3 χ ω-" kg και του πυρήνα του Κr είναι περίπου 1,5 χ ω-"
kg).
ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 229
8-66 Μια aτσάλινη μπίλια μάζας 0,200 kg πέφτει από ύψος 4,00
m πάνω σε μια οριζόντια aτσάλινη πλάκα. Η κρούση είναι ελαστι­
κή και η μπίλια αναπηδά στο αρχικότης ύψος. a) Υπολογίστετην
ώθηση που δίνεται στη μπίλιακατάτη διάρκεια της κρούσης. b)
Αν η μπίλια βρίσκεται σε επαφή με την πλάκα για 2,00 χ ω-3 s,
βρείτε τη μέση δύναμη που ασκείταιπάνω στη μπίλια στο διάστη­
μα αυτό.
8-67 Βρείτε τη μέση δύναμη με την οποία κλωτσά ένα πολυβόλο
που ρίχνει 120 σφαίρες το λεπτό. Η μάζα κάθε σφαίρας είναι 10,0
gκαι η ταχύτητα με την οποία βγαίνειαπότηνκάννη 500 m/s.
8-68 Μια μπάλα του τένις, βάρους 0,560 Ν, έχει ταχύτητα v1 =
(22,0 m/s)i - (4,0 m/s)j πριν κτυπηθεί από τη ρακέτα. Η ρακέτα α­
σκεί δύναμη ίση μεF = - (400 Ν)ί + (120 N)j, που θα υποθέσουμε
ότι παραμένει σταθερή για το χρονικό διάστημα 4,00 χ 10-3 s κατά
το οποίο η ρακέτα και η μπάλα βρίσκονται σε επαφή. a) Ποιες
είναι οι συνιστώσεςχ καιy τηςώθησηςτηςδύναμης πάνωστη μπά­
λα; b) Ποιες είναι οι συνιστώσεςχ καιy της τελικής ταχύτητας της
μπάλας;
8-69 Επάνω σε ένα αντικείμενο μάζας 2,00 kg ασκείται δύναμη
F = (αt')i - (β - γt)j, όπου α = 15,0 N/s', β = 12,0 Ν και γ = 20,0
N/s. Αν το αντικείμενο ήταν αρχικά ακίνητο, ποια είναι η ταχύτη­
τάτου όταν η δύναμη έχει ασκηθεί για 0,500 s; Εκφράστε την απά­
ντησή σας συναρτήσειτων μοναδιαίων διανυσμάτων ί καιj.
8-70 Σύστημα αναφοράς κέντρου μάζας. Το σώμαΑ
(μάζα mA) κινείται πάνω σε μια λεία, οριζόντια επιφάνεια, με τα­
χύτητα uΑι προς την κατεύθυνση +χ και συγκρούεται ελαστικά με
το σώμα Β (μάζα m8) που είναι αρχικά ακίνητο. a) Υπολογίστε
την ταχύτητα του κέντρου μάζας του συστήματος των δύο σωμά­
των, πριν από τη σύγκρουση. b) Θεωρήστε ένα σύστημα συντε­
ταγμένων του οποίου η αρχή βρίσκεται στο κέντρο μάζας και κι­
νείται μαζί του. c) Ποιες είναι οι αρχικές ταχύτητες uΑ ι και u81
των δύο σωμάτων σε αυτό το σύστημα αναφοράςτου κέντρου μά­
ζας; Πόση είναι η ολική ορμή σε αυτότο σύστημα; d) Χρησιμο­
ποιήστε τη διατήρηση της ορμής καιτης ενέργειας στο σύστημα α­
ναφοράς του κέντρου μάζας για να βρείτε την τελική ορμή της κά­
θε μάζας συναρτήσει της αρχικής του ορμής και έτσι και την τελι­
κή της ταχύτητα συναρτήσει της αρχικής. Τα αποτελέσματά σας
θα πρέπει να δείχνουν ότι η μονοδιάστατη ελαστική κρούση περι­
γράφεταιπολύαπλά στο σύστημα αναφοράς του κέντρου μάζας,
όπως αναφέρθηκε στο Εδάφιο 8-7. e) Έστω ότι mA = 2,00 kg,
m8 = 4,00 kg και uΑι = 5,00 m/s. Βρείτε τις ταχύτητες uΑι και u81
στο σύστημακέντρου μάζας και χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα
του ερωτήματος (d) για να μετασχηματίσετε τις ταχύτητες σε ένα
ακίνητο σύστημα αναφοράς, βρίσκοντας έτσι τις τελικές ταχύτητες
των δύο σωμάτων. Συμφωνεί το αποτέλεσμά σας με τις Εξ. (8-16)
και (8-17);
-?-Νετρόνιο Ακίνητος
πυρήνας
ΣΧΗΜΑ �l
Υ
(a)
Υ
χ
(b)
Εκπεμπόμενανετρόνιο
Αρχικό
νετρόνιο
�
2
Εκπεμπόμενα νετρόνιο

8. 230 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΩΘΗΣΗ
* 8-71 Ένας πολυόροφος πύραυλος. Υποθέστε ότι ο πρώ­
τος όροφος ενός διόροφου πυραύλου έχει ολική μάζα 12 000 kg, α­
πό την οποία 9000 kg είναι καύσιμα. Η ολική μάζα του δεύτερου ο­
ρόφου είναι 1000 kg από την οποία 600 kg είναι καύσιμα. Υποθέ­
στε ότι η σχετική ταχύτητα υeχ των αποβαλλομένων αερίων είναι
σταθερή και αγνοήστε τη βαρύτητα. (Η επίδραση της βαρύτητας
είναι μικρή κατά τη διάρκεια της εκτόξευσης αν ο ρυθμός καύσης
των καυσίμων είναι μεγάλος). a) Υποθέστε ότι όλα τα αποθέματα
καυσίμων του διόροφου πυραύλου χρησιμοποιούνται σε ένα μονό­
ροφο της ίδιας ολικής μάζας 13 000 kg. Αν ο πύραυλος είναι αρχι-
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
* 8-72 Μια σταγόνα βροχής με μεταβλητή μάζα. Σε ένα
πρόβλημα προώθησης πυραύλου, η μάζα μεταβάλλεται. Άλλο έ­
να τέτοιο πρόβλημα είναι αυτό της σταγόνας βροχής που πέφτει
μέσα από ένα σύννεφο που αποτελείται από μικρά σταγονίδια
νερού. Μερικά από αυτά τα σταγονίδια προσκολλώνται στη
σταγόνα αυξάνοντας έτσι τη μάζα της καθώς πέφτει. Η δύναμη
πάνω στη σταγόνα είναι
Υποθέστε ότι η μάζα της σταγόνας εξαρτάται από την απόστα­
ση που έχει διανύσει. Τότε m = /α, όπου k είναι μια σταθερά,
και dιn/dt = kυ. Από αυτό, και επειδή Fexι = mg, προκύπτει ότι
ή, διαιρώντας δια k,
dvmg = m
dt
+ υ(kυ),
dυ 2
xg = χ
dt
+ υ .
Αυτή είναι μια διαφορική εξίσωση που έχει μια λύση της μορ­
φtjς υ = αt, όπου α είναι η επιτάχυνση. Πάρτε την αρχική ταχύ­
τητα της σταγόνας ίση με μηδέν. a) Χρησιμοποιόντας τη λύση
που προτάθηκε για την υ, βρείτε την επιτάχυνση α. b) Βρείτε
την απόσταση που έχει διανύσει η σταγόνα όταν ι = 0,500 s. c)
Αν δοθεί ότι k = 2,00 glm, βρείτε τη μάζα της σταγόνας όταν ι
= 0,500 s. Για πολύ περισσότερες ενδιαφέρουσες πλευρές αυ­
τού του προβλήματος, βλ. K.S. Krane, Amerίcαn Joιιrnαl of
Physίcs, τόμος 49 (1981) σελ. 1 13-1 17.
8-73 Στο Εδάφιο 8-6 υπολογίσαμε το κέντρο μάζας εξετάζο­
ντας αντικείμενα που αποτελούνταν από πεπερασμένο αριθμό
σημειακών μαζών ή αντικείμενα τα οποία λόγω συμμετρίας
μπορούσαν να παρασταθούν από ένα πεπερασμένο αριθμό ση­
μειακών μαζών. Για ένα στερεό σώμα του οποίου η κατανομή
μάζας δεν επιτρέπει τον απλό προσδιορισμό του κέντρου μάζας
χρησιμοποιώντας τη συμμετρία, τα αθροίσματα των Εξ. (8-25)
πρέπει να γενικευθούν σε ολοκληρώματα:
Ycm = iιfy dm,
όπου χ και y είναι οι συντεταγμένες του μικρού στοιχείου του
σώματος που έχει μάζα dm. Η ολοκλήρωση εκτείνεται σε όλο
το σώμα. Θεωρήστε μια λεπτή ράβδο μήκους L, μάζας Μ και με
εμβαδόν εγκάρσιας διατομής Α. Έστω ότι η αρχή των αξόνων
είναι στο αριστερό άκρο της ράβδου και ότι ο άξονας των θετι­
κών χ είναι κατά μήκος της ράβδου. a) Αν η πυκνότητα της ρά-
κά ακίνητος, ποια είναι η ταχύτητά του όταν τα καύσιμα έχουν ε­
ξαντληθεί; b) Ποια είναι η ταχύτητα όταν τα καύσιμα του πρώτου
ορόφου έχουν μόλις εξαντληθεί, αν ο πρώτος όροφος μεταφέρει
και τον δεύτερο μέχρι αυτό το σημείο; Αυτή η ταχύτητα γίνεται τό­
τε η αρχική ταχύτητα του δεύτερου ορόφου. Σε αυτό το σημείο, ο
δεύτερος όροφος αποχωρίζεται από τον πρώτο. c) Ποια είναι η
τελική ταχύτητα του δευτέρου ορόφου; d) Ποια ταχύτητα υeχ α­
παιτείται για να αποκτήσει ο δεύτερος όροφοςτου πυραύλου τελι­
κή ταχύτητα ίση με 8,00 km/s;
βδου είναι σταθερή και ίση με p = M/V, υπολογίστε το ολοκλή­
ρωμα που δόθηκε πιο πάνω και δείξτε ότι η συντεταγμένη χ του
κέντρου μάζας της ράβδου βρίσκεται στο γεωμετρικό της κέ­
ντρο. b) Αν η πυκνότητα της ράβδου μεταβάλλεται γραμμικά
με τοχ, δηλαδή p = αχ όπου α είναι μια σταθερά, υπολογίστε τη
συντεταγμένη χ του κέντρου μάζας της ράβδου.
8-74 Χρησιμοποιήστε τις μεθόδους του Προβλήματος 8-73
για να υπολογίσετε τις συντεταγμένεςχ καιy του κέντρου μάζας
μιας ημικυκλικής μεταλλικής πλάκας με ομοιόμορφη πυκνότητα
p και πάχος Ι. Αν η ακτίνα της πλάκας είναι ίση με α, η μάζα της
θα είναι Μ = ipπα2t. Χρησιμοποιήστε το σύστημα συντεταγμέ-
νων που δίνεται στο Σχ. 8-42.
Υ
ΣΧΗΜΑ S-42
8-75 Μια εφαρμογή με χρήση του κέντρου μάζας.
Υποθέστε ότι το ένα τέταρτο του ολικού μήκους I ενός σχοινιού
κρέμεται από την άκρη ενός λείου τραπεζιού. Το σχοινί έχει
γραμμική πυκνότητα (μάζα ανά μονάδα μήκους) ίση με λ και
κάποιος κρατάει το άκρο του που βρίσκεται πάνω στο τραπέζι.
Πόσο έργο παράγεται όταν αυτός που κρατάει το άκρο του
σχοινιού το τραβάει ώστε να ανεβάσει πάνω στο τραπέζι αργά
και το υπόλοιπο του σχοινιού; Λύστε το πρόβλημα με τους δύο
τρόπους που περιγράφονται παρακάτω. a) Βρείτε τη δύναμη
που πρέπει να ασκήσει αυτός που τραβά το σχοινί και από αυ­
τήν το παραγόμενο έργο. Σημειώστε ότι η δύναμη αυτή είναι
μεταβλητή γιατί σε διαφορετικές στιγμές το μήκοςτου σχοινιού
που κρέμεται από το τραπέζι είναι διαφορετικό. b) Υποθέστε
ότι όλη η μάζα του κομματιού του σχοινιού που κρέμεται αρχι­
κά από το τραπέζι, βρίσκεται συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας
του κομματιού. Υπολογίστε το έργο που απαιτείται για να ανυ­
ψωθεί αυτή η μάζα στο ύψος της επιφάνειας του τραπεζιού. Θα
βρείτε ίσως αυτή τη μέθοδο ευκολότερη από αυτή του ερωτήμα­
τος (a). Συγκρίνετε τις απαντήσεις που βρήκατε με τους δύο
τρόπους.

9. 8-76 Ένα βλήμα μάζας 20,0 kg εκτοξεύεται σε γωνία 60,0 °
πάνω από την οριζόντια και με ταχύτητα 300 m/s. Στο ψηλότε­
ρο σημείο της τροχιάς του, το βλήμα διασπάται σε δύο θραύ­
σματα ίσων μαζών, το ένα από τα οποία πέφτει κατακόρυφα
με μηδενική αρχική ταχύτητα. a) Σε πόση απόσταση από το
σημείο εκτόξευσης θα κτυπήσει το άλλο θραύσμα το έδαφος
αν αυτό είναι οριζόντιο; b) Πόση ενέργεια εκλύεται στην έ-
ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 231
κρηξη που προκαλείτη θραύση του βλήματος; f-- 40 m μέχρι
8-77 Μια άμαξα που περιέχει δύο κιβώτια χρυσού και έχει
συνολική μάζα 300 kg, έχει αποκοπεί από τα άλογά της από
κάποιο ληστή, όταν αυτή βρισκόταν σε απόσταση 50 m από τη
βάση ενός λόφου που έχει κλήση 6,0° (Σχ. 8-43). Ο ληστής θέ­
λει να κυλίσει η άμαξα στο λόφο προς τα κάτω και μετά σε ο­
ριζόντιο έδαφος μέχρι που να πέσει μέσα σε ένα φαράγγι, ό­
που περιμένουν οι συνεργάτες του. Πάνω σε ένα δέντρο όμως,
σε απόσταση 40 m από την άκρη του γκρεμού περιμένουν ο
Lone Ranger (μάζα 80,0 kg) και ο Tonto (μάζα 70,0 kg). Πέ­
φτουν κατακόρυφα μέσα στην άμαξα καθώς περνά κάτω από
το δέντρο. Αν τους χρειάζονται 5,0 s για να πετάξουν το χρυ­
σάφι από την άμαξα και να πηδήσουν και οι ίδιοι, θα προλά­
βουν να το κάνουν πριν η άμαξα πέσει στον γκρεμό; Υποθέστε
ότι η άμαξα κυλά χωρίς τριβές.
8-78 Το αγαπημένο σας τρυκ είναι να τραβάτε το τραπεζομά­
ντηλο από κάτω από τα πιάτα που βρίσκονται σε ένα τραπέζι.
Σκοπεύετε να το κάνετε στο πάρτυ γενεθλίων της θείας σας. Η
τούρτα γενεθλίων βρίσκεται πάνω στο τραπεζομάντηλο και
στο κέντρο ενός στρογγυλού τραπεζιού ακτίνας r = 1,2 m. Το
τραπεζομάντηλο έχει το ίδιο μέγεθος με την επιφάνεια του
τραπεζιού. Πιάνετε το άκρο του τραπεζομάντηλου και τραβάτε
τογκρεμό
ΣΧΗΜΑ S-43
απότομα. Το τραπεζομάντηλο και η τούρτα βρίσκονται σε επα­
φή για χρόνο t από τη στιγμή που αρχίσατε να τραβάτε. Τότε, η
τριβή ανάμεσα στην τούρτα και την επιφάνεια του τραπεζιού,
σταματά (ελπίζετε) την τούρτα να γλυστρά. Ο συντελεστής κι­
νητικής τριβής ανάμεσα στην τούρτα και το τραπεζομάντηλο
είναι μk1 = 0,30 και ανάμεσα στην τούρτα και την επιφάνεια
του τραπεζιού είναι μk2 = 0,40. Εφαρμόστε το θεώρημα ώθη­
σης-ορμής (Εξ. 8-24) και το θεώρημα έργου-ενέργειας (Εξ.
6-12) για να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του t για να μην π�­
σει η τούρτα στο πάτωμα. (Υπόδειξη: Υποθέστε ότι η τούρτα
κινείται κατά απόσταση r - d όσο γλυστρά πάνω στην επιφά­
νεια του τραπεζιού. Υποθέστε ότι οι δυνάμεις τριβής είναι α­
νεξάρτητες της σχετικήςταχύτητας των επιφανειών μεταξύ των
οποίων ασκούνται. Μπορείτε εύκολα να δοκιμάσετε αυτό το
τρυκ τραβώντας ένα φύλλο χαρτιού κάτω από ένα ποτήρι νε­
ρού αλλά, για καλό και για κακό, έχετε και ένα σφουγγαρόπα­
νο πρόχειρο).