Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 681
• Ο καθοδικός σωλήνας χρησιμοποιεί μια δέσμη ηλεκτρονίων που παράγεται από έ­
να σύνολο ηλεκτροδίων που ονομάζονται τηλεβόλο ηλεκτρονίων. Η δέσμη εκτρέπε­
ται από δύο ζεύγη πλακιδίων εκτροπής και μετά κτυπά σε φθορίζουσα οθόνη σχημα­
τίζοντας πάνω της μια εικόνα. Τέτοιοι σωλήνες χρησιμοποιούνται σε παλμογράφους
παρόμοιοι σωλήνες χρησιμοποιούνται σε τηλεοράσεις και οθόνες (VDτ) υπολογι­
στών.
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ
Εδάφιο 24-1
Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια
24-1 Σημειακό φορτίο Q = + 8,00 μC τοποθετείται στην αρχή
των αξόνων. Ένα δεύτερο σημειακό φορτίο q = - 0,500 μC με μά­
ζα 3,00 χ 10-4 kg τοποθετείται πάνω στον άξονα τωνχ σε από­
σταση 0,800 m από την αρχή. a) Ποια είναι η ηλεκτρική δυναμι­
κή ενέργεια του ζεύγους των φορτίων; (Θεωρήστε τη δυναμική
ενέργεια μηδέν όταν τα φορτία βρίσκονται σε άπειρη απόσταση.)
b) Το δεύτερο φορτίο ελευθερώνεται σε ηρεμία. Ποια είναι η τα­
χύτητάτου σε απόσταση 0,200 m από την αρχή;
24-2 Σημειακό φορτίο q1 = + 3,20 μC κρατείται ακίνητο στην
αρχή των αξόνων. Πόσο μακριά πρέπει νατοποθετηθεί ένα δεύτε­
ρο σημειακό φορτίοq2 = + 5,20 μC, ώστεη ηλεκτρική δυναμική ε­
νέργεια Uτου ζεύγους των φορτίων να είναι 0,600 J; (Θεωρήστε
τη δυναμική ενέργεια μηδέν όταντα φορτία βρίσκονται σε άπειρη
απόσταση.)
24-3 Σημειακό φορτίο q1 = - 6,00 μC κρατείται ακίνητο στην
αρχή των αξόνων. Ένα δεύτερο σημειακό φορτίο q2 = + 4,00 μC
κινείται από το σημείοχ = 0,160 m,y = Ο, στοχ = 0,280 m, y = Ο.
Πόσο έργο παράγεται πάνω στο q2 από την ηλεκτρική δύναμη;
24-4 Σημειακό φορτίοq1 κρατείταιακίνητοστην αρχή των αξό­
νων. Ένα δεύτερο φορτίο q2 τοποθετείται στο σημείο α και η ηλε­
κτρική δυναμική ενέργειατου ζεύγους είναι - 4,60 χ 10-8 J. Όταν
το δεύτερο φορτίο μετακινηθεί στο σημείο b, η ηλεκτρική δύναμη
στο φορτίο παράγει έργο 2,40 χ 10-8 J. Πόση είναι η ηλεκτρική
δυναμική ενέργειατου ζεύγουςτων φορτίωνόταντο δεύτερο φορ­
τίο είναιστο σημείο b;
24-5 Δύο συγκρουόμενα θετικά φορτία. Μικρή μεταλ­
λική σφαίρα, που φέρει φορτίο q1 = + 6,00 μC, κρατείται ακίνητη
με μονωτικά υποστηρίγματα. Μια δεύτερη μικρή μεταλλική σφαί­
ρα με φορτίο q2 = + 2,50 μC και μάζας 2,00 g, βάλλεται προς την
q1• Όταν οι δυο σφαίρες είναι σε απόσταση 0,800 m, η q2 κινείται
προς την q1 με ταχύτητα 22,0 m/s (Σχ. 24-23). Υποθέστε ότι οι δυο
σφαίρες μπορεί να θεωρηθούν ως σημειακά φορτία. Αμελήστε τη
υ = 22,0 m/s
�
�----- 0,800 m -------';>1
ΣΧΗΜΑ 24-23
δύναμη της βαρύτητας. a) Ποια είναι η ταχύτητα της q2 όταν οι
σφαίρες απέχουν μεταξύ τους 0,500 m; b) Πόσο κοντά πλησιάζει
η q2 την qι;
24-6 Τρία ίσα σημειακά φορτία q = 6,00 χ 10-7 C τοποθετού­
νται στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 1,00 m. Πόση εί­
ναι η δυναμική ενέργειατου συστήματος; (Θεωρήστε τη δυναμική
ενέργεια μηδέν όταν τα φορτία βρίσκονται σε άπειρη απόσταση
μεταξύ τους.)
Εδάφιο 24-2
Δυναμικό
24-7 Σε πόση απόσταση από σημειακό φορτίο q = 6,00 χ 10- 11
C είναι το δυναμικό a) 12,0 ν· b) 24,0 ν;
24-8 Το δυναμικό σε απόσταση 0,600 m από πολύ μικρή φορτι­
σμένη σφαίρα είναι 48,0 ν. Αν η σφαίρα θεωρηθεί ως σημειακό
φορτίο, πόσο είναι το φορτίο της;
24-9 Ομογενές ηλεκτρικό πεδίο εντάσεωςΕ έχει κατεύθυνση
προς τα θετικά χ. Θεωρήστε το σημείο α στη θέση χ = 0,80 m και
το σημείο b στη θέση χ = 1,20 m. Η διαφορά δυναμικού μεταξύ
των δυο αυτών σημείων είναι 500 ν. a) Ποιο από τα δυο σημεία,
α ή b, είναι στο υψηλότερο δυναμικό; b) Υπολογίστε την ένταση
Ε του ηλεκτρικού πεδίου. c) Ένα αρνητικό σημειακό φορτίο q =
- 0,200 μC κινείται από το α προς το b. Υπολογίστε το έργο που
παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο κατά την κίνηση του φορτίου.
24-10 Ένα σωμάτιο με φορτίο 3,00 nC βρίσκεται σε ομογενές
ηλεκτρικό πεδίο που κατευθύνεται προς τα αριστερά. Ελευθερώ­
νεται απότην ηρεμία και κινείται προς τα αριστερά διανύοντας α­
πόσταση 5,00 cm· μετά από αυτό η κινητική του ενέργεια βρίσκε­
ται ότι είναι + 2,50 χ 10-6 J. a) Τι έργο παρήχθη από την ηλε­
κτρική δύναμη; b) Ποιο είναι το δυναμικό του σημείου εκκίνησης
ως προς το τελικό σημείο; c) Ποια είναι η ένταση του ηλεκτρικού
πεδίου;
24-11 Φορτίο 3,00 χ 10-8 C τοποθετείται σε ομογενές ηλε­
κτρικό πεδίο που έχει κατεύθυνση κατακόρυφα προς τα πάνω και
ένταση 5,00 χ 104 N/C. Τι έργο παράγεται από την ηλεκτρική δύ­
ναμη όταν το φορτίο κινείται a) 0,450 m προς τα δεξιά; b) 0,800
m προς τα κάτω c) 2,60 m υπό γωνία 45,0• προς τα επάνω ως
προς την οριζόντια διεύθυνση;
24-12 Το δυναμικό σε ορισμένη απόσταση από σημειακό φορ­
τίο είναι 600 ν και το ηλεκτρικό πεδίο είναι 300 N/C. a) Ποια εί­
ναι η απόσταση από το σημειακό φορτίο; b) Ποια είναι η ποσότη­
τα του φορτίου;

2. 682 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
ΣΧΗΜΑ 24-24
24-13 Δυο σημειακά φορτία q1 = + 4,00 nC και q2 = -3,00 nC
βρίσκονται σε απόσταση 0,100 m το ένααπότο άλλο. Το σημείοΑ
βρίσκεται στο μέσον της απόστασήςτους και το Β 0,080 m από το
q1 και 0,060 m από το q2 (Σχ. 24-24). Να βρείτε a) το δυναμικό
στοΑ· b) το δυναμικό στο Β· c) το έργο πουπαράγεταιαπότο η­
λεκτρικό πεδίο κατάτην κίνηση φορτίου 2,50 nC από το σημείο Β
στοσημείοΑ.
24-14 Δυο ακίνητα σημειακά φορτία + 2,80 χ 10- 1° C και
-1,20 χ 10- 1° C βρίσκονται σε απόσταση 5,00 cm μεταξύ τους.
Ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται σε ηρεμία μεταξύ των δυο φορ­
τίων και σε απόσταση 1,00 cm από το αρνητικό φορτίο ελευθερώ­
νεται (σε ηρεμία) και κινείται πάνω στη γραμμή που συνδέει τα
δυο φορτία. Ποια είναι η ταχύτητα του όταν βρίσκεται 1,00 cm α­
πό το θετικό φορτίο;
24-15 Δυναμικό στο μέσον της απόστασης δύο θε­
τικών φορτίων. Δυο θετικά σημειακά φορτία, το καθένα φορ­
τίου q, είναι τοποθετημένα στον άξοναy και στα σημείαy = + α
καιy = -α. a) Σχεδιάστε ένα διάγραμμα που να δείχνει τις θέσεις
των φορτίων. b) Πόσο είναι το δυναμικό στην αρχή των αξόνων;
c) Δείξτε ότι το δυναμικό σε οποιοδήποτε σημείο του άξοναχ εί­
ναι
V = _1_ 2q
4πεο --/α2 + 2·
d) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση του δυναμικού πάνω στον ά­
ξοναχ συναρτήσει του χ για την περιοχή χ = - 4α έωςχ = 4α. e)
Για ποια τιμή τουχ το δυναμικό είναι ίσο με το μισό της τιμής του
στηναρχή των αξόνων;
24-16 Δυναμικό δύο αντιθέτων φορτίων. Θετικό φορ­
τίο + q, βρίσκεται στη θέσηχ = O,y = - α και ίσοαρνητικόφορτίο
-q βρίσκεταιστη θέσηχ = O,y = + α. a) Σχεδιάστε ένα διάγραμ­
μα που να δείχνειτις θέσεις τωνφορτίων. b) Πόσο είναιτο δυνα­
μικό σε σημείοτου άξοναχ σε απόστασηχ από την αρχή των αξό­
νων; c) Να βρείτε μια σχέση για το δυναμικό σε σημείο του άξο­
ναy και σε απόστασηy από τη αρχή. d) Σχεδιάστε τη γραφική
παράσταση του δυναμικού πάνω στον άξοναy συναρτήσει τουy
για την περιοχήy = - 4α έωςy = 4α. Σχεδιάστε θετικά δυναμικά
προςτα επάνω καιαρνητικάδυναμικά προς τα κάτω.
24-17 Έναςαπλός τύπος λυχνίας κενού, γνωστή ως δίοδος, α­
ποτελείται βασικά από δύο ηλεκτρόδια σε μια κάψουλα υψηλού
κενού. Ένα ηλεκτρόδιο, η κάθοδος, διατηρείται σε υψηλή θερμο­
κρασία και εκπέμπειηλεκτρόνια απότην επιφάνεια της. Εφαρμό­
ζεται διαφορά δυναμικού μερικών εκατοντάδων νolt μεταξύ της
καθόδου και ενός άλλου ηλεκτροδίου, της ανόδου, με την άνοδο
στο υψηλότερο δυναμικό. Υποθέστε ότι η δίοδος αποτελείται από
κυλινδρική κάθοδο ακτίνας 0,050 cm, τοποθετημένη ομοαξονικά
με κυλινδρική άνοδο ακτίνας 0,450 cm. Το δυναμικό της ανόδου
είναι 360 ν υψηλότερο της καθόδου. Ένα ηλεκτρόνιο αφήνει την
επιφάνεια της καθόδου με μηδενική αρχική ταχύτητα. Να βρείτε
τηνταχύτητατου όταν χτυπάειτην άνοδο.
Εδάφιο 24-3
Υπολογισμός δυναμικών
24-18 Δύο μεγάλα παράλληλα μεταλλικά φύλλα διαχωρίζονται
με απόσταση 0,0500 m και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά
φορτία. Το ηλεκτρικό πεδίο στον μεταξύ τους χώρο είναι ομογε­
νές και έχει ένταση 500N/C. a) Πόση είναιη διαφορά δυναμικού
μεταξύ των φύλλων; b) Ποιο φύλλο είναι σε υψηλότερο δυναμι­
κό, αmό με το θετικό φορτίο ή αmό με το αρνητικό;
24-19 Δύο μεγάλες παράλληλες μεταλλικές πλάκες φέρουν ίσα
και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Βρίσκονται σε απόσταση 0,0800
m το ένα από το άλλο και η διαφορά δυναμικού μεταξύ τους είναι
500 ν. a) Πόση είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στον μετα­
ξύ τους χώρο (υποθέτοντας ότι είναι ομογενές); b) Πόσο είναι το
μέτρο της δύναμης που αmό το πεδίο ασκεί σε σωμάτιο με φορτίο
+ 2,00 nC; c) Χρησιμοποιείστε το αποτέλεσμα του (b) για να υ­
πολογίσετε το έργο που παράγεται από το πεδίο κατά την κίνηση
του σωματίου από την πλάκα με το υψηλότερο δυναμικό προς αυ­
τήν με το χαμηλότερο. d) Συγκρίνετε τα αποτελέσματα του (c) με
τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειαςτου ίδιου φορτίου που υπο­
λογίζεται απότο ηλεκτρικό δυναμικό.
24-20 Συνολικό ηλεκτρικό φορτίο 6,20 nC κατανέμεται ομοιό­
μορφα στην επιφάνεια μεταλλικής σφαίρας ακτίνας 0,200 m. Εάν
το δυναμικό είναι μηδέν στο άπειρο, ποια είναι η τιμή του δυναμι­
κού a) σε τυχόν σημείο στην επιφάνεια της σφαίρας; b) σε τυχόν
σημείο στο εσωτερικό της σφαίρας 0,100 m από το κέντρο της;
24-21 Δύο παράλληλα πλακίδια στον αέρα βρίσκονται σε δια­
φορά δυναμικού 2,50 kν. Εάν ο αέρας γίνεται ηλεκτρικά αγώγι­
μος όταντο ηλεκτρικό πεδίο ξεπερνά τα 3,00 χ 106N/C, ποια εί­
ναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύτων πλακιδίων για να συμβείαυ­
τό;
24-22 a) Από την έκφραση για το Ε, που βρέθηκε στο Παρά­
δειγμα 23-9 (Εδ. 23-3), να βρείτε την έκφραση για το δυναμικό V
συναρτήσει του r εντός και εκτός της σφαίρας, ως προς το άπειρο.
b) Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις του Vκαι Ε συναρτήσει
του rαπό r = Ο έωςr = 3R,καισυγκρίνετε με τοΣχ. 24-9.
Εδάφιο 24-4
Ισοδυναμικές επιφάνειες
Εδάφιο 24-5
Βαθμίδα δυναμικού
24-23 Δυο μεγάλες παράλληλες μεταλλικές πλάκες έχουν με­
ταξύ τους διαφορά δυναμικού 400 ν. Έστω ότι η μια έχει δυναμι­
κό 400 ν και η άλλη Ο ν. Οι πλάκες απέχουν μεταξύτους απόστα­
ση 1,20 cm. a) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση των ισοδυναμι­
κών επιφανειών που αντιστοιχούν σε Ο, 100, 200, 300 και 400 ν.
b) Σε αυτή τη γραφική παράσταση δείξτε τις γραμμέςτου ηλεκτρι­
κού πεδίου. Η γραφική σας παράσταση επιβεβαιώνει το γεγονός
ότι οι δυναμικές γραμμές και οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι
κάθετες μεταξύτους;
24-24 Σφαίρα μέσα σε κέλυφος. Μεταλλική σφαίρα α­
κτίνας ι·. στηρίζεται με μονωτικό υποστήριγμα στο κέντρο κοίλου
σφαιρικού μεταλλικού κελύφους ακτίναςrb. Στην εσωτερική σφαί­
ρα υπάρχει φορτίο + q και - q στο εξωτερικό κέλυφος. a) Υπο­
λογίστε το δυναμικό V(r) για ί) r < r. , ii) r. < r < rb . ίίί) r > rb.
Χρησιμοποιείστε το γεγονός ότι το συνολικό δυναμικό είναι το ά­
θροισμα των δυναμικών που οφείλονται στις επιμέρους σφαίρες.
Θεωρήστε το V(r) μηδέν όταν το r είναι άπειρο. b) Δείξτε ότι το
δυναμικό της εσωτερικής σφαίρας ως προς τη εξωτερική είναι
V = _
q (_!_-_!_)4πεο r. rb ·

3. c) ΧρησιμοποιείστετηνΕξ.(24-29) καιτοαποτέλεσματου(a) μέ­ρουςγιαναδείξετεότιτοηλεκτρικόπεδίοσεκάθεσημείομεταξύτωνσφαιρώνέχειμέτρο
Ε =
v.b _!_(llr.- llrb) r2 •
d) ΧρησιμοποιείστετηνΕξ.(24-29) καιτοαποτέλεσματου(a) μέ­ρουςγιαναβρείτετοηλεκτρικόπεδίοσεσημείοεκτόςτηςμεγά­ληςσφαίραςκαισεαπόστασηrαπότοκέντρο,όπουr> rb. e)
Υποθέστεότιτοφορτίοστηνεξωτερικήσφαίραδενείναι-q αλλά
αρνητικόφορτίοδιαφορετικήςποσότητας,-Q.Δείξτεότιοιαπα­
ντήσειςστα(b) και(c) είναιίδιεςόπωςπροηγουμένως,αλλά ηα­
πάντησηστο(d) είναιδιαφορετική.
24-25 Μεταλλικήσφαίραακτίνας'• = 1,00 cmστηρίζεταιμεμονωτικόυποστήριγμαστοκέντροκοίλουσφαιρικούμεταλλικούκελύφουςακτίναςrb= 10,0 cm.Φορτίο+ q τίθεταιστηνεσωτερικήσφαίρακαι-q στοεξωτερικόσφαιρικόκέλυφος.Τομέγεθοςτουq επιλέγεταιώστενακάνειτηδιαφοράδυναμικούμεταξύτωνσφαιρών500 ν, μετηνεσωτερικήσφαίραστουψηλότεροδυναμι­κό. a) ΧρησιμοποιείστετοαποτέλεσματηςΆσκησης24-24 (a)
γιαναυπολογίσετετοq. b) ΜετηβοήθειατουαποτελέσματοςτηςΆσκησης24-24 (a), σχεδιάστεέναδιάγραμμαπουναδείχνειτιςισοδυναμικέςεπιφάνειεςπουαντιστοιχούνσε500, 400, 300,
200, 100 καιΟ Υ. c) Στηγραφικήσαςπαράστασηδείξτετιςδυνα­μικέςγραμμές.Είναιοιγραμμέςτουπεδίουκαιοιισοδυναμικέςεπιφάνειεςκάθετεςμεταξύτους;Είναιοιισοδυναμικέςεπιφάνει­εςπλησιέστεραημιαστηνάλληόταντομέτροτουΕ είναιμεγαλύ­
τερο;
24-26 Υπολογίστετο-8V/ 8χ γιατοV(x) πουδίνεταιστοΠα­ράδειγμα24-14 (Εδ.24-5). Δείξτεότιαυτόδίνειέναξπουσυμ­φωνείμεαυτόπουυπολογίστηκεστοΠαράδειγμα22-11 (Εδ.22-6).
Εδάφιο 24-6
Το πείραμα του Millikan
με σταγονίδια λαδιού
24-27 Σταγόναλαδιούμάζας3,00 χ 10- 14 kg καιακτίνας2,00 χ 10-6 m έχειπερίσσειαοκτώηλεκτρονίων.Πόσηείναιηο­ρικήτηςταχύτητα a) ότανπέφτεισεπεριοχήπουδενυπάρχειη­λεκτρικόπεδίο· b) ότανπέφτειμέσασεηλεκτρικόπεδίοεντάσε­ως4,00 χ 104 N/C κατευθυνόμενοπροςτακάτω;(τοιξώδεςτουαέραείναι 180 χ 10-7 Ν·s/m2• Αγνοήστετηδύναμηάνωσηςτου
αέρα.)
24-28 Σεσυσκευήμέτρησηςτουφορτίουτουηλεκτρονίουe μετη μέθοδοτουMillikan, απαιτείταιηλεκτρικόπεδίο5,86 χ 104
νιm γιαναδιατηρηθείμιαορισμένησταγόναακίνητη.Εάνοιπλάκεςβρίσκονταισεμεταξύτ.ουςαπόσταση 1,50 cm, πόσηδια­φοράδυναμικούαπαιτείταιμεταξύτους;
Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
24-35 Οιφυσικοίέχουνκαταφέρεινααπομακρύνουνκαιτα92 ηλεκτρόνιατουατόμουτουουρανίου.Υποθέστεπωςτοθετικόφορτίοτουπυρήνατουουρανίουκατανέμεταιομοιόμορφασεσφαιρικόόγκομεακτίνα7,40 χ 10- 15 m. a) Εάντοδυναμικόεί­ναιμηδένστοάπειρο,πόσοείναιτοδυναμικόστηνεπιφάνειατουaπογυμνωμένουπυρήνατουουρανίου; b) Πόσηείναιηηλεκτρι-
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 683
24-29 Ναβρείτετηδυναμικήενέργειατηςαλληλεπίδρασηςδύοπρωτονίωνγιααπόστασηαπόκέντροσεκέντρο2,40 χ 10-15
m, χαρακτηριστικήτωνδιαστάσεωντουπυρήνατουατόμου.ΝαεκφράσετετοαποτέλεσμασεΜeν.
Εδάφιο 24-7
Ο καθοδικός σωλήνας
24-30 Πόσηείναιητελικήταχύτηταηλεκτρονίουπου επιταχύ­νεταισεπεδίοδιαφοράςδυναμικού94,0 ν εάνέχειαρχικήταχύ­τητα3,00 χ 106 m/s;
24-31 Απόκλιση σε καθοδικό σωλήνα. ΣτοΣχ.24-25 έ­ναηλεκτρόνιοεκτοξεύεταικατάμήκοςτουάξοναπου περνάαπό
τομέσοτωνπλακιδίωνκαθοδικούσωλήναμεαρχικήταχύτητα8,00 χ 10 6 m/s. Τοομογενέςηλεκτρικόπεδίομεταξύτωνπλακι­δίωνέχειένταση6,00 χ 10 3 N/C μεκατεύθυνσηπροςταεπάνω.a) Σεπόσηαπόστασηκάτωαπότονάξοναέχεικινηθείτοηλε­κτρόνιοότανφθάνειστοτέλοςτωνπλακιδίων; b) Υπόποιαγω­νίαωςπροςτονάξονακινείταιόταναφήνειταπλακίδια; c) Σεπόσηαπόστασηκάτωαπότονάξοναθακτυπήσειτηφθορίζουσα
οθόνη;
2,0cm
� rc::_=_=_�- !- - - - - - -
s
I-E-4,0cm�12,0cm
ΣΧΗΜΑ 24-25
24-32 Τοηλεκτρικόπεδίοστηνπεριοχήμεταξύτωνπλακι­δίωναπόκλισηςσυγκεκριμένουκαθοδικούσωλήναείναι2,50 χ
104 N/C. a) Πόσοείναιτομέτροτηςδύναμηςπουασκείταισεη­λεκτρόνιοσεαυτήτηνπεριοχή; b) Πόσοείναιτομέτροτηςεπι­τάχυνσηςηλεκτρονίουπάνωστοοποίοασκείταιαυτήηδύναμη;
Εδάφιο 24-8
Ισοδυναμικές γραμμές: Μια ειδική μελέτη
στην ανάλυση με υπολογιστή
24-33 Γράψτεέναπρόγραμμαυπολογιστήπουναπραγματο­ποιείτηδιαδικασίατουΕδ.24-8. Τρε'ξτεαυτότοπρόγραμμαγιατηνπερίπτωσηδυοφορτίωναντίθετουπροσήμου.Συγκρίνετετοσχήμαπου δημιουργείτοπρόγραμμάσαςμετοΣχ.24-22.
24-34 Νατρέξετετοπρόγραμμασας,τηςΆσκησης24-33, γιατιςεξήςπεριπτώσεις: a) ένααπλόθετικόφορτίο· b) δύοίσακαιομώνυμαφορτία.Γιακάθεπερίπτωσηνασυγκρίνετετααποτελέ­σματασαςμετοΣχ.24-15.
κήδυναμικήενέργειαενόςζεύγουςπυρήνωνουρανίουτωνοποί­ωνοιεπιφάνειεςαπέχουναπόσταση10,0 fm; (Εκφράσετετηνα­πάντησησαςσεeν).
24-36 Μικρήσφαίραμάζας3,00 gr κρεμιέταιμενήμαμεταξύδύοπαράλληλωνπλακώνπουαπέχουν5,00 cm.Τοφορτίοτης

4. 684 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
ΣΧΗΜΑ 24-26
1 30'
I
q
σφαίρας είναι q = 6,00 χ 10-6 C. Πόση διαφορά δυναμικού μετα­
ξύ των πλακών θα αναγκάσει το νήμα να σχηματίσει γωνία 30° με
την κατακόρυφο (Σχ. 24-26);
24-37 Υποθέστε ότι άλλη μια δύναμη, εκτόςτηςηλεκτρικής, ε­
νεργεί στοσωμάτιοτης Άσκησης 24-10 έτσι, ώστε όταν αφεθεί α-·
πό την ηρεμία να κινείται προς τα δεξιά. Μετά από κίνηση 5,00 cm
η πρόσθετη δύναμη έχει παράγει έργο 9,00 χ 10-5 J και το σωμά­
τιο έχει κινητική ενέργεια 7,00 χ 10-5 J. a) Πόσο έργο έχει πα­
ραγάγει η ηλεκτρική δύναμη; b) Πόσο είναι το δυναμικότου ση­
μείου εκκίνησης ως προς το τελικό σημείο; c) Πόση είναι η έντα­
ση του ηλεκτρικού πεδίου;
24-38 Θεωρήστε την ίδια κατανομή φορτίου όπως στην Άσκη­
ση 24-16. Δείξτε ότι το δυναμικό σε ένα σημείο του άξοναy δίνε­
ται από V = - (1/4πε0)2qα!/ ότανy >>α.
24-39 Μεταξύ δύο παράλληλων πλακών που απέχουν μεταξύ
τους 4,00 cm υπάρχει διαφορά δυναμικού 1200 ν. Ένα ηλεκτρό­
νιο ελευθερώνεται από την αρνητική πλάκατην ίδια στιγμή που έ­
να πρωτόνιο ελευθερώνεται από τη θετική πλάκα. a) Σε πόση α­
πόσταση απότη θετική πλάκα θα περάσει το ένα δίπλα απότο άλ­
λο; b) Ποιος είναι ο λόγος των ταχυτήτων τους ακριβώς πριν κτυ­
πήσουν τις αντίθετες πλάκες; c) Ποιος είναι ο λόγος των κινητι­
κών τους ενεργειών ακριβώς πριν κτυπήσουν τις αντίθετες πλά­
κες;
24-40 Μοντέλο του Bohr για το άτομο του υδρογό­
νου. Στο μοντέλο του Bohr για το άτομοτου υδρογόνου, το μο­
ναδικό ηλεκτρόνιο περιστρέφεται γύρω από το μοναδικό πρωτό­
νιο σε κύκλο ακτίνας r. Υποθέστε ότι το πρωτόνιο παραμένει ακί­
νητο. a) Εξισώνοντας την ηλεκτρική δύναμη προς τη μάζατου η­
λεκτρονίου επίτην επιτάχυνση, να βρείτε μια έκφραση γιατην τα­
χύτητατου ηλεκτρονίου. b) Βρείτε μια έκφραση για την κινητική
ενέργεια του ηλεκτρονίου και να δείξετε ότι το μέγεθος της είναι
ακριβώς ίσοπροςτην ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. c) Να βρείτε
μια έκφραση για την ολική ενέργεια και να την υπολογίσετε θεω­
ρώντας το r = 5,29 χ 10- 11 m. Να δώσετε τις αριθμητικέςτιμές σε
joule και eV.
24-41 Η δίοδος λυχνία κενού περιγράφηκε στην Άσκηση
24-17. Εξαιτίας της συγκέντρωσης φορτίου κοντά στηνκάθοδο,το
ηλεκτρικό δυναμικό μεταξύ των ηλεκτροδίων δεν είναι γραμμική
συνάρτηση της θέσης, ακόμη και για επίπεδη γεωμετρία, αλλά δί­
νεται από
V = Cx413,
όπου, για συγκεκριμένες συνθήκες λειτουργίας το C είναι σταθε­
ρά, χαρακτηριστική της συγκεκριμένης διόδου και των συνθηκών
λειτουργίας καιχ η απόσταση από την κάθοδο (αρνητικό ηλεκτρό­
διο). Υποθέστε ότι η απόσταση μεταξύ καθόδου-ανόδου (θετικό
ηλεκτρόδιο) είναι 12,0 mm και η διαφορά δυναμικού μεταξύ των
ηλεκτροδίων 160 ν. a) Προσδιορίστε τηντιμή του C. b) Να βρεί-
τε μια σχέση για το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των ηλεκτροδίων συ­
ναρτήσει τουχ. c) Υπολογίστε τη δύναμη πάνω σε ένα ηλεκτρό­
νιο, όταν το ηλεκτρόνιο είναι στο μέσον της απόστασης μεταξύ
των ηλεκτροδίων.
24-42 Αναφερθείτε στο Πρόβλημα 22-38. a) Υπολογίστε το
δυναμικό στο σημείο χ = 3,00 cm,y = Ο και στο σημείοχ = 3,00
cm,y = 4,00 cm που οφείλεται στα δύο πρώτα φορτία. b) Εάν το
τρίτο φορτίο κινείται από το σημείοχ = 3,00 cm,y = Ο στο σημείο
χ = 3,00 cm,y = 4,00 cm, υπολογίστε το έργο που παράγεται από
το πεδίο των δύο πρώτων φορτίων. Σχολιάστε το πρόσημο αυτού
του έργου. Είναι λογικό το αποτέλεσμα σας;
24-43 Ομοαξονικοί κύλινδροι. Μάκρύς μεταλλικός κύ­
λινδρος ακτίνας α στηρίζεται με μονωτικά υποστηρίγματα στον ά­
ξονα κοίλου μεταλλικού σωλήνα ακτίνας b. Το θετικό φορτίο ανά
μονάδα μήκους στον εσωτερικό κύλινδρο είναι λ και υπάρχει ίσο
αρνητικό φορτίο ανά μονάδα μήκους στον εξωτερικό κύλινδρο.
a) Υπολογίστε το δυναμικό V(r) για ί) r < α· ίί) α < r < b·
ίίί)r > b. Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότιτο συνολικό δυναμικό εί­
ναι το άθροισματων δυναμικώντων επιμέρους αγωγών. b) Δείξ­
τε ότι το δυναμικότου εσωτερικού κυλίνδρου ως προςτον εξωτε­
ρικό είναι
λ bvab = -;:;::---- ln -.
""'ιεο α
c) Χρησιμοποιήστε την Εξ. (24-29) και το αποτέλεσμα του (a) μέ­
ρους για να δείξετε ότι το ηλεκτρικό πεδίο σε κάθε σημείο μεταξύ
τωνκυλίνδρων έχει ένταση
E = � l_
ln (blα) r ·
d) Ποια είναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο κυλίνδρων ε­
άν ο εξωτερικός κύλινδρος δεν έχει συνολικό φορτίο;
24-44 Απαριθμητής Geίger. Οaπαριθμητής Geiger χρη­
σιμοποιείται για ανίχνευση ακτινοβολιών, όπως σωματιδίων άλ­
φα, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η ακτινοβολία ιονίζει τον αέ­
ρα κατά τη διαδρομή της εντός αυτού. Η συσκευή αποτελείται α­
πό λεπτό σύρμα τοποθετημένο κατά μήκος του άξονα κοίλου με­
ταλλικού κυλίνδρου που είναι μονωμένο από αυτόν. (Σχ. 24-27).
Μια μεγάλη διαφορά δυναμικού εφαρμόζεται μεταξύ του σύρμα­
τος και του εξωτερικού κυλίνδρου, με το σύρμα στο υψηλότερο
δυναμικό. Αυτό δημιουργεί ένα ισχυρό ακτινικό ηλεκτρικό πεδίο
που κατευθύνεται προς τα έξω. Όταν ιονίζουσα ακτινοβολία ει­
σέρχεται στη συσκευή, ιονίζει μερικά μόρια αέρος. Τα παραγό­
μενα ελεύθερα ηλεκτρόνια επιταχύνονται από το ηλεκτρικό πεδίο
προς το σύρμα και, κινούμενα προς τα εκεί, ιονίζουν πολύ περισ­
σότερα μόρια αέρος. Έτσιπαράγεται ένας παλμός ρεύματος που
μπορεί να ανιχνευτεί με τα κατάλληλα ηλεκτρονικά κυκλώματα
και ακόμη να μετατραπεί σε ένα ακουστό "κλίκ". Υποθέστε πως
η διάμετρος του κεντρικού σύρματος είναι 50,0 μm και η ακτίνα
Απαριθμητής
Ελεύθερο
ηλεκτρόνιο
ΣΧΗΜΑ 24-27

5. του κοίλου κυλίνδρου είναι 2,00 cm. Πόση διαφορά δυναμικού
μεταξύ του σύρματος και του κυλίνδρου απαιτείται για να δημι­
ουργηθεί ηλεκτρικό πεδίο 6,00 χ 10 4 N/C σε απόσταση 1,00 cm
από το σύρμα; (Υποθέστε ότι το σύρμα και ο κύλινδρος είναι και
τα δύο πολύ μακρύτερα σε σύγκριση με την ακτίνατου κυλίνδρου
έτσι ώστε να εφαρμόζονται τα αποτελέσματα του Προβλήματος
24-43).
24-45 Ηλεκτροστατικά φίλτρα. Τα ηλεκτροστατικά
φίλτρα χρησιμοποιούν ηλεκτρικές δυνάμεις για να απομακρύ­
νουν σωμάτια ρύπων από τον καπνό, ειδικότερα στις καπνοδό­
χους των σταθμών παραγωγής ηλεκτρισμού που λειτουργούν με
άνθρακα. Μια μορφή φίλτρου αποτελείται από έναν κοίλο κατα­
κόρυφο μεταλλικό κύλινδρο με ένα λεπτό σύρμα κατά μήκος του
άξονα του και μονωμένο από τον κύλινδρο (Σχ. 24-28). Μεταξύ
του σύρματος και του εξωτερικού κυλίνδρου εφαρμόζεται μια με­
γάλη διαφορά δυναμικού με το σύρμα στο χαμηλότερο δυναμικό.
Αυτό δημιουργεί ένα ισχυρό ακτινικό ηλεκτρικό πεδίο που κατευ­
θύνεται προς τα μέσα. Το πεδίο παράγει μια περιοχή ιονισμένου
αέρα κοντά στο σύρμα. Ο καπνός εισέρχεται στο φίλτρο από τη
βάση, η στάχτη και η σκόνη που είναι εκεί κοντά παίρνουν ηλε­
κτρόνια και οι φορτισμένοι ρύποι επιταχύνονται προςτο εξωτερι­
κό κυλινδρικό τοίχωμα από το ηλεκτρικό πεδίο. Υποθέστε ότι η
ακτίνατου κεντρικού σύρματος είναι 80,0 μm, η ακτίνα του κυλίν­
δρου 12,0 cm και η διαφορά δυναμικού μεταξύ σύρματος και κυ­
λίνδρου είναι 60 kV. Υποθέστε ακόμη ότι το σύρμα και ο κύλιν­
δρος έχουν πολύ μεγάλο μήκος συγκριτικά με την ακτίνα του κυ­
λίνδρου, ώστε να εφαρμόζονται τα αποτελέσματα του Προβλήμα­
τος 24-43. a) Πόση είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο
μέσον της απόστασης μεταξύ σύρματος και κυλινδρικού τοιχώμα­
τος; b) Πόση ποσότηταφορτίου πρέπει να έχει ένα σωμάτιο κα­
πνού μάζας 30,0 μg εάν το ηλεκτρικό πεδίο που υπολογίστηκε στο
μέρος (a) εξασκεί μια δύναμη δέκα φορές το βάρος του σωματί­
ου;
ΣΧΗΜΑ 24-28
24-46 τέσσερα ευθύγραμμα φορτισμένα γραμμικά τμήματα
διατάσσονται ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο πλευράς α. Υπολο­
γίστε το δυναμικό στο κέντρο του τετραγώνου εάν το δυναμικό εί­
ναι μηδέν στο άπειρο, a) εάν οι δύο απέναντι πλευρές είναι θετι­
κά φορτισμένες με φορτίο + Q κάθε μία και οι άλλες δυο αρνητι­
κά φορτισμένες με φορτίο - Q η καθεμιά· b) εάν κάθε πλευρά έ­
χει θετικό φορτίο + Q. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το αποτέλε­
σματου Παραδείγματος 24-10).
24-47 a) Απότην έκφραση γιατοΕ που βρέθηκε στο Πρόβλη­
μα 23-24, να βρείτε εκφράσεις για το δυναμικό Vσυναρτήσειτουr
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 685
τόσο στο εσωτερικό όσο και στο εξωτερικότου κυλίνδρου. Έστω
V = Ο στην επιφάνεια του κυλίνδρου. a) Σε κάθε περίπτωση εκ­
φράστε το αποτέλεσμα συναρτήσει του φορτίου ανά μονάδα μή­
κους λ της κατανομής φορτίου. b) Σχεδιάστε τις γραφικές παρα­
στάσεις των VκαιΕ συναρτήσει τουr, από r = Ο έως r = 3R.
24-48 Ηλεκτρικό φορτίο κατανέμεται ομοιόμορφα κατά μήκος
ημικυκλίου ακτίνας α· το ολικό φορτίο είναι Q. Υπολογίστε το δυ­
ναμικό στο κέντρο καμπυλότητας εάν θεωρούμε το δυναμικό μη­
δένστοάπειρο.
24-49 Ολικόηλεκτρικόφορτίο Q κατανέμεται ομοιόμορφακα­
τά μήκος λεπτής ράβδου μήκους α. Θεωρήστε το δυναμικό μηδέν
στο άπειρο. Να βρείτε το δυναμικό στα εξής σημεία (δείτε το Σχ.
24-29): a) στο σημείο Ρ, σε απόσταση χ στα δεξιά της ράβδου·
b) στο σημείο R, σε απόστασηy πάνω από το δεξιό άκρο της ρά­
βδου. c) Σε τι ανάγονται τα αποτελέσματατων ερωτημάτων (a)
και (b) όταν ταχ καιy γίνονται μεγάλα;
R
Υ
�-------α --------�
ΣΧΗΜΑ 24-29
24-50 Φορτισμένες σταγόνες βροχής. a) Σφαιρική
σταγόνα βροχής έχει ακτίνα 0,400 mm. Εάν φέρει αρνητικό φορ­
τίο 1,60 pC, πόσο είναιτο δυναμικό στην επιφάνειά της; (Πάρτε το
δυναμικό μηδέν σε άπειρη απόσταση από τη σταγόνα). b) Δύο ί­
διες σταγόνες, κάθε μία με ακτίνα και φορτίο όπως ορίστηκαν στο
(a), συγκρούονται και ενώνονται σχηματίζοντας μια μεγαλύτερη
σταγόνα. Πόση είναι η ακτίνατης μεγαλύτερης σταγόνας και πό­
σο το δυναμικόστην επιφάνειατης;
24-51 Φορτισμένη σταγόνα λαδιού στο πείραμα του Millikan
με σταγονίδια λαδιού παρατηρείται να πέφτει με σταθερή ταχύτη­
τα 1,00 mm σε χρόνο 27,4 s κατά την απουσία οποιουδήποτε ηλε­
κτρικού πεδίου. Η ίδια σταγόνα μπορεί να κρατηθεί ακίνητη σε
πεδίο 1,58 χ 104 N/C. Πόσα πλεονάζοντα ηλεκτρόνια έχει προ­
σλάβει η σταγόνα; Το ιξώδες του αέρα είναι 180 χ 10-7 Ν · s/m2•
Η πυκνότητα του λαδιού είναι 824 kg/m3 και η πυκνότητα του αέ­
ρα είναι 1,20 kg/m3•
24-52 Σωματίδιο άλφα με κινητική ενέργεια 10 MeΥ συγκρού­
εται μετωπικά με πυρήνα χρυσού που είναι ακίνητος. Πόση είναι η
απόσταση πλησιέστερης προσέγγισης των δύο σωματιδίων; (Υπο­
θέστε ότι ο πυρήναςχρυσού παραμένει ακίνητος και ότι μπορεί να
θεωρηθεί ως σημειακό φορτίο. Ο ατομικός αριθμόςτουχρυσού εί­
ναι 79. Το σωματίδιο άλφα είναι πυρήνας ηλίου, με ατομικό αριθ­
μό 2).
24-53 Δύο μεταλλικές σφαίρες διαφορετικού μεγέθους φορτί­
ζονται έτσι ώστε το ηλεκτρικό δυναμικό στην επιφάνειά τους να
είναι το ίδιο. Η σφαίραΑ έχει ακτίνα τρεις φορές μεγαλύτερη ε­
κείνης της Β. Έστω QA και Q8 τα φορτία σε κάθε σφαίρα και ΕΑ
και Ε8 οι εντάσεις των ηλεκτρικών πεδίων στην επιφάνεια της κά­
θε σφαίρας. Πόσος είναι a) ο λόγος Q8/QA· b) ο λόγος Ε8/ΕΑ ;
24-54 Μεταλλική σφαίρα ακτίνας R1 = 0,160 m έχει φορτίο
Q1 = 3,20 χ 10-8 C. a) Πόσο είναιτο ηλεκτρικό πεδίο καιτο ηλε­
κτρικό δυναμικό στην επιφάνειατης σφαίρας; Αυτή η σφαίρα συν­
δέεται μέσω μακρού λεπτού αγώγιμου σύρματος με άλλη σφαίρα
ακτίναςR2 = 0,040 m που βρίσκεται αρκετά μέτρα μακρύτερααπό

6. 686 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
την πρώτη σφαίρα. Πριν γίνει η σύνδεση, η δεύτερη σφαίρα είναι
aφόρτιστη. Μετά την αποκατάσταση ηλεκτροστατικής ισορρο­
πίας, πόσο είναι b) το ολικό φορτίο σε κάθε σφαίρα· c) το ηλε­
κτρικό δυναμικό στην επιφάνεια κάθε σφαίρας d) το ηλεκτρικό
πεδίο στην επιφάνεια κάθε σφαίρας; Υποθέστε ότι η ποσότητα
του φορτίου στο σύρμα είναι πολύ μικρότερη από το φορτίο κάθε
σφαίρας.
ΙΙ Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α ΙΙ Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α
24-56 Το ηλεκτρικό δυναμικό Vσε κάποια περιοχή του χώρου
δίνεται από
V = ax
2
+ αy
2
- 2αl-,
όπου α είναι σταθερά. a) Να βρείτε μια έκφραση για το ηλεκτρι­
κό πεδίο Ε, που να ισχύει για όλα τα σημεία σε αυτή την περιοχή.
b) Αν το έργο που παράγεται από το πεδίο όταν δοκιμαστικό
φορτίο 2,00 μC κινείται από το σημείο (χ, y, z) = (0, Ο, 0,100 m) μέ­
χρι την αρχή των αξόνων είναι - 5,00 χ ιο-5 J, υπολογίστε την
σταθερά α. c) Προσδιορίστε το ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο (0, Ο,
0,100 m). d) Δείξτε ότι σε κάθε επίπεδο παράλληλο προς το επί­
πεδοxy οι ισοδυναμικές γραμμές είναι κύκλοι. e) Ποια είναι η α­
κτίνα της ισοδυναμικής γραμμήςπου αντιστοιχεί στο V = 5000 V
καιz = {im;
24-57 Δύο σημειακά φορτία κινούνται προςτα δεξιά κατά μή­
κος του άξοναχ. Το υπ' αριθμόν 1 έχει φορτίο q1 = 2,00 μC, μάζα
mι = 6,00 χ 10-5 kg καιταχύτητα υι. Το υπ' αριθμόν 2 είναι προς
τα δεξιά του q1 και έχει φορτίοq2 = -5,00 μC, μάζα m2 = 3,00 χ
10-5 kg και ταχύτητα υ2• Σε μια συγκεκριμένη στιγμή τα φορτία α­
πέχουν μεταξύ τους απόσταση 9,00 mm και έχουνταχύτητες υ1 =
400 m/s και υ2 = 1200 m/s. Οι μοναδικές δυνάμεις που ασκούνται
στα φορτία είναι αυτές που ασκούν το ένα πάνω στο άλλο. a)
Υπολογίστετηνταχύτητα του κέντρου μάζας, υcm> του συστήματος.
b) Η σχετικήενέργεια Ε,του συστήματος ορίζεται ως η ολική ενέρ­
γεια μείον την κινητική ενέργεια που συνεισφέρεται απότην κίνη­
ση του κέντρου μάζας:
Ε, = Ε - Ηmι + m2)υcm
2
,
όπου Ε = tm1υ1
2
+ tm2υ/ + q1q2/4πεοr είναι η ολική ενέργεια
του συστήματος και rη απόσταση μεταξύτων φορτίων. Να δείξετε
ότιΕ, = tμυ
2
+ q1q2/4πεοr, όπουμ ονομάζεταιανηγμένημάζατου
συστήματος και ισούται με m1 m2/(m1 + m2) και υ = υ2 - υ1 είναι
η σχετική ταχύτητα μεταξύ των σωματίων. c) Για τις δεδομένες
παραπάνω (αριθμητικές) τιμές υπολογίστε τηντιμή τουΕ,. d) Η
τιμή τουΕ, μπορεί να χρησιμοποιηθείγια να προσδιοριστεί εάν τα
σωμάτια θα "διαφύγουν" το ένα από το άλλο. Για τις συνθήκες
που δόθηκαν παραπάνω θα διαφύγει το ένα σωμάτιο του άλλου;
Εξηγήστε. e) Εάν τα σωμάτια πράγματι διαφεύγουν το ένα του
24-55 Χρησιμοποιείστε την κατανομή φορτίου και το ηλεκτρι­
κό πεδίο που υπολογίστηκε στο Πρόβλημα 23-25. a) Δείξτε ότι
για r � R το δυναμικό είναι ίδιο με αυτό που παράγεται από ση­
μειακό φορτίο Q.(Θεωρήστε το δυναμικό μηδέν στο άπειρο). b)
Να βρείτε μια έκφραση για το ηλεκτρικό δυναμικό που να ισχύει
στην περιοχή r :S R.
άλλου, ποια θα είναι η τελική τους σχετική ταχύτητα; Δηλαδή ποια
θα είναι η σχετική τους ταχύτητα ότανr � οο; Εάν τα σωμάτια δεν
διαφεύγουν, ποια θα είναι η μέγιστη απόσταση διαχωρισμού τους;
Δηλαδή ποια θα είναι η τιμή του r όταν υ = Ο; f) Επαναλάβετε τις
ερωτήσεις (c) έως (e) για υ1 = 400m/s και υ2 = 1800 m/s όταν η α­
πόσταση διαχωρισμού των σωματιδίων είναι 9,00 mm.
24-58 Κατανομή φορτίου σε σφαιρικές συντεταγμέ­
νες. Σε ορισμένη περιοχή υπάρχει κατανομή φορτίου που είναι
σφαιρική αλλά μη ομογενής. Δηλαδή, η πυκνότητα φορτίου όγκου
p(r) εξαρτάται από την απόσταση r από το κέντρο της κατανομής
αλλά όχι από τις σφαιρικές συντεταγμένες (γωνίες) θ και φ. Το η­
λεκτρικό δυναμικό V(r) που οφείλεται σε αυτή την κατανομή φορ­
τίου δίνεται από
για r :S α,
V = O γιαr � α,
όπου Ρο είναι σταθερά με μονάδες C/m3 και α είναι σταθερά με
μονάδες m. a) Να βρείτε εκφράσεις για το ηλεκτρικό πεδίο στις
περιοχές r :S α και r � α. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τον τελεστή
βαθμίδας σε σφαιρικές συντεταγμένες,
'"' . a . ι a . ι a
v = Ι, 8r + 18 r 8θ + Ιφ r Sin θ 8φ '
όπου ί,, ί8 , i
φ είναι τα μοναδιαία διανύσματα κατά τις διευθύνσεις
αύξησης των r, θ και φ). b) Να βρείτε μια έκφραση για το p(r)
στις περιοχές όπουr :S α και r � α. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστετο
νόμο τουGaussγια τονσφαιρικόφλοιό μεταξύ τωνσφαιρών ακτί­
νας r και r + dr. Μετά χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι dq =
4πr2pdr, όπου dq είναι το φορτίο που περιέχεται στον aπειροστό
αυτό σφαιρικό φλοιό πάχους dr. c) Δείξτε ότι το συνολικό φορτίο
που περιέχεται στον όγκο σφαίρας με ακτίνα μεγαλύτερη ή ίση
του α είναι μηδέν. [Υπόδειξη: Ολοκληρώστε τις εκφράσεις που
βρήκατε στην ερώτηση (b) γιατοp στοσφαιρικό όγκο ακτίνας με­
γαλύτερης ή ίσης προς το α]. Είναι αυτό το αποτέλεσμα συμβατό
με το ηλεκτρικό πεδίο για r > α που υπολογίσατε στο ερώτημα (a);