05-Φθίνουσες ταλαντώσεις

1. 2011 - 2012
Φυσική
ΓΕΛ∆Ε Σαπών
Γ’ Λυκείου
Κατεύθυνση
Φθίνουσες
ταλαντώσεις

2. Αμείωτη ταλάντωση
Ταλάντωση που δε συνοδεύεται από απώλειες ενέργειας,
με αποτέλεσμα να διατηρεί το πλάτος της σταθερό.
Στην πραγματικότητα...
Αν απομακρύνουμε
το σώμα από τη ΘΙ
του κατά Α και το
αφήσουμε ελεύθερο
να κινηθεί
... το σώμα, αφού
εκτελέσει μια ταλάντωση
δε θα επανέλθει στην
αρχική θέση, γιατί λόγω
τρίβών, το πλάτος
συνεχώς μειώνεται και
τελικά μηδενίζεται.

3. Φθίνουσα ταλάντωση
Φθίνουσα ή αποσβεννύμενη ονομάζεται η ταλάντωση κατά την
οποία το πλάτος της μειώνεται σταδιακά με το χρόνο λόγω
τριβών και τελικά μηδενίζεται.

4. Φθίνουσες ταλαντώσεις
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχουν οι φθίνουσες μηχανικές r
ταλαντώσεις στις οποίες η δύναμη της αντίστασης F
είναι της μορφής r r
F = -bυ
όπου b η σταθερά απόσβεσης, που εξαρτάται από:
1. τις ιδιότητες του μέσου,
2. από το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου που
ταλαντώνεται.
π.χ. bμελιού > bλαδιού > bνερού > bαέρα
ΠΡΟΣΟΧΗ : το - υποδηλώνει ότι το διάνυσμα της F είναι αντίρροπο
προς το διάνυσμα της ταχύτητας.

5. Πειραματικές διατάξεις μελέτης

6. Χαρακτηριστικά φθίνουσας
ταλάντωσης
Για ορισμένη τιμή της b, η περίοδος της φθίνουσας
ταλάντωσης παραμένει σταθερή.
b0=0 b1>b0
Τ0=σταθ. Τ1=σταθ.

7. Όταν η σταθερή b μεγαλώνει, το πλάτος της
φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα.
Τ1>Τ0
Τότε, απαιτείται περισσότερος χρόνος για μια
ταλάντωση.
Έτσι όταν b , T , ω και f .

8. Παρατηρήσεις
αμείωτη ταλάντωση σταθερό πλάτος
η περίοδος για ορισμένη τιμή της σταθεράς
b είναι σταθερή και ανεξάρτητη του πλάτους.
όταν η σταθερά b αυξάνεται, το πλάτος της
ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα και η
περίοδος αυξάνεται λίγο
για πολύ μεγάλες τιμές της σταθεράς b,
η κίνηση γίνεται απεριοδική.

9. Παρατηρήσεις (... συνέχεια)
Το πλάτος μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο, δηλαδή
αν Αο είναι το αρχικό πλάτος την t=0, Α1 το πλάτος
σε χρόνο t=T, Α2 το πλάτος σε χρόνο t=2T .... και
Αν το πλάτος σε χρόνο t=νΤ, τότε ισχύει
A0 A1 A2
= = = ... = σταθερό
A1 A2 A3
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ...
Aν Αο e − Λtν v =ν
= − Λtν +1
⎯t⎯Τ,tv+⎯v⎯T →
⎯ 1 =( +1)
⎯
Aν +1 Αο e A
Aν Αο e − ΛvT Αο e − ΛvT Aν 1 Aν
= = ⇒ = − ΛT ⇒ = e ΛT
Aν +1 Αο e − Λ ( v +1)T
Αο e − ΛvT
⋅e − ΛT Aν +1 e Aν +1

10. Μεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης
Το πλάτος της φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης
μειώνεται εκθετικά με το χρόνο και υπολογίζεται από τη
σχέση
Αν = Αο·e-Λt
όπου...
• Λ : σταθερά που εξαρτάται από
τη σταθερά απόσβεσης b και τη
μάζα του σώματος (Λ=b/2m)
• t = νΤ , όπου ν ακέραιος
Ο χρόνος είναι ακέραιο
πολλαπλάσιο της περιόδου!

11. Αμορτισέρ
Πρέπει να έχουν μεγάλο b, ώστε το Εκκρεμές
πλάτος της ταλάντωσης να μειώνεται
γρήγορα. ρολόι
Επιδιώκεται ελαχιστοποίηση
της απόσβεσης

12. Φθίνουσες Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις
Το κύκλωμα LC των ηλεκτρικών ταλαντώσεων που μελετήσαμε θεωρητικά
δεν είχε καθόλου ωμική αντίσταση (R=0) θεωρούσαμε ότι δεν υπάρχουν
απώλειες ενέργειας η ηλεκτρική ταλάντωση ήταν αμείωτη.
Στην πραγματικότητα...
1. στο κύκλωμα υπάρχει ωμική αντίσταση λόγω φαινομένου Joule,
υπάρχει απώλεια ενέργειας
2. τα κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητική
ακτινοβολία χάνουν ενέργεια
και άρα η ταλάντωση είναι φθίνουσα, δηλαδή το πλάτος της έντασης και το
μέγιστο φορτίο του πυκνωτή σταδιακά μειώνονται και τελικά η ταλάντωση
σταματά.
Ο κύριος λόγος της απόσβεσης είναι η ωμική
αντίσταση R του ηλεκτρικού κυκλώματος LC και το
ρόλο που παίζει η σταθερά απόσβεσης b σε μια
φθίνουσα μηχανική ταλάντωση, εδώ έχει η
αντίσταση R.

13. Παρατηρήσεις στις φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις
Ισχύει ακριβώς ό,τι ισχύει και στις μηχανικές, αν στη θέση του b,
βάλουμε την αντίστασ R.
μηδενική αντίσταση αμείωτη ταλάντωση
σταθερό πλάτος
η περίοδος για ορισμένη τιμή της αντίστασης
R είναι σταθερή και ανεξάρτητη του πλάτους.
όταν η αντίσταση R αυξάνεται, το πλάτος της
ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα και η
περίοδος αυξάνεται λίγο
για πολύ μεγάλες τιμές της αντίστασης R,
η κίνηση γίνεται απεριοδική.

14. R=0
R μικρό
R μεσαίο
R μεγάλο
T2>T1>T0

15. Εξισώσεις στις φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις
Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή και το πλάτος της έντασης
μειώνονται εκθετικά με το χρόνο και υπολογίζονται από τις σχέσεις
Q = Qο·e-Λt I = Iο·e-Λt
όπου...
• Λ : σταθερά που εξαρτάται από
τη αντίσταση και το συντελεστή
αυτεπαγωγής του πηνίου
(Λ=R/2L)
• t = νΤ , όπου ν ακέραιος
Ο χρόνος είναι ακέραιο
πολλαπλάσιο της περιόδου!
Tην t=0 ο πυκνωτής θεωρείται
φορτισμένος με φορτίο Qo

16. Γραφικές παραστάσεις
R
Qk=Q0e -2L t
R
q=Q0e
-2L t συνωt

17. Η ενέργεια στη φθίνουσα ταλάντωση
Η ολική ενέργεια της φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης
μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, και υπολογίζεται από τη
σχέση
1 − Λt
A= A e 1 1
E = DA ⎯⎯ ⎯ → E = D( Ao e ) ⇒ E = DAo2 e − 2 Λt
2
o
⎯ − Λt 2
2 2 2
1
και επειδή η αρχική ενέργεια είναι Eo = DAo2
2
προκύπτει ότι −2 Λt
E = Eo e

18. Η ενέργεια στη φθίνουσα ταλάντωση
• Μείωση (απώλεια) ενέργειας/ Ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμότητα
Εαπ = Εαρχ - Ετελ
• Κλάσμα μείωσης (απώλειας) ενέργειας
Eαπ Εαρχ − Ετελ
a= =
Εαρχ Εαρχ
• Ποσοστό μείωσης (απώλειας) ενέργειας
Eαπ Εαρχ − Ετελ
a% = ⋅100% = ⋅100%
Εαρχ Εαρχ
• Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής για τις φθίνουσες ταλαντώσεις
ΣF = m·α -Dx - bυ = m ·α
Dx + bυ + m ·α = 0