Dokumen tersebut membahas distribusi peluang binomial, termasuk materi prasyarat seperti kombinasi dan peluang, variabel acak, distribusi peluang variabel acak diskrit, dan teorema distribusi peluang binomial beserta contoh-contoh soalnya.

1. Distribusi Peluang
Binomial
-Materi persyarat & Variabel Acak-
Luthfi Ridhwansyah Al., S.Pd.

2. Pokok Bahasan
Materi Prasyarat
Kombinasi & Peluang Variabel Acak
Distribusi Peluang
Binomial

3. Materi Prasyarat
• Kombinasi : Memilih 𝑟 dari 𝑛 unsur (tanpa
memperhatikan urutan)
𝐶𝑟
𝑛
=
𝑛!
𝑛 − 𝑟 ! 𝑟!
• Contoh 1:
Dari 8 orang siswa dipilih 3 orang oleh sekolah untuk
mengikuti lomba olimpiade matematika. Banyak
cara pemilihan adalah….
• Jawab
Dik : 𝑛 = 8 , 𝑟 = 3
Banyak cara =
𝐶3
8
=
8!
8 − 3 ! 3!
=
8!
5! 3!
=
8.7.6.5!
5! 3.2.1
= 𝟓𝟔 𝐜𝐚𝐫𝐚
• Peluang : Probabilitas/Kemungkinan
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
• 𝑛(𝐴) = kejadian yang diiinginkan dalam soal
𝑛(𝑆) = banyaknya anggota dari ruang sampel
• Contoh 2:
4 Bola Kuning
3 Bola Hijau
Diambil 2 bola secara acak,
berapa peluang terambil bola
Kuning?
Jawab:
A: Kejadian terambil Bola Kuning
𝑛(𝐴)= 𝐶2
4
=
4!
4−2 !2!
=
4.3.2!
2.1.2!
= 6
𝑛(𝑆)= 𝐶2
7
=
7!
7−2 !2!
=
7.6.5!
5!2!
= 21
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
=
𝟔
𝟐𝟏
=
𝟑
𝟕

4. Variabel Acak
Definisi Suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan
real dengan setiap unsur dalam ruang sampel
Contoh 3:
Bang supri menikah dengan neng surti, mereka mempunyai 3 orang anak. Tentukan Kemungkinan banyaknya
anak laki-laki bang supri dan neng surti!
A1 A2 A3
L L L
P L L
L P L
L L P
L P P
P L P
P P L
P P P
Variabel acak X didefinisikan:
banyaknya anak Laki-laki bang supri
dan neng surti
Ruang
Sampel
Nilai Variabel
Acak
PPP 0
LPP, PLP,PPL 1
PLL,LPL,LLP 2
LLL 3
𝑋 menyatakan variable acaknya
𝑋 = {0,1,2,3}
𝑥 menyatakan Nilai variable acaknya
𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 𝑥 = 3

5. Variabel Acak
Contoh 4:
5 Bola Hijau
4 Bola Biru
Diambil 2 bola secara acak,
kemungkinan terambil bola
berwarna biru!
Variabel acak X didefinisikan:
“banyaknya bola Biru terambil”
B1 B2
B B
B H
H B
H H
Sehingga,
kemungkinan banyak bola biru
yang terambil
Ruang
Sampel
Nilai Variabel
Acak
HH 0
BH, HB 1
BB 2
𝑋 menyatakan variable acaknya
𝑋 = {0,1,2}
𝑥 menyatakan Nilai variable acaknya
𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2

6. Variabel Acak
Variabel Acak
(VA)
VA Diskrit : Berisi kemungkinan yang dapat dihitung
Contoh :
• Banyaknya bilangan genap yang kurang dari 1000
• Banyaknya ayam jantan dari sekumpulan ayam berjumlah 7000 ekor
VA Kontinu : Berisi kemungkinan yang tidak dapat dihitung
Contoh :
• Banyaknya bilangan Desimal dari 0 sampai 1
• Banyaknya bilangan real yang kurang dari 50

7. Distribusi Peluang Variabel Acak
Diskrit
Contoh 5:
Bang supri menikah dengan neng surti, mereka
mempunyai 3 orang anak. Tentukan distribusi
peluang dari kemungkinan banyakna anak laki-laki
bang supri dan neng surti!
Variabel acak X didefinisikan:
banyaknya anak Laki-laki bang supri
dan neng surti
Ruang
Sampel
Nilai 𝑿 =
𝒙
P(𝑿 = 𝒙)
PPP 0 𝟏
𝟖
LPP,
PLP,PPL
1 𝟑
𝟖
PLL,LPL,LLP 2 𝟑
𝟖
LLL 3 𝟏
𝟖
𝑛 𝑆 = 23
= 8
Peluang banyak anak laki-laki = 0
𝑓 0 = 𝑃 𝑋 = 0
𝑃 𝑋 = 0 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
=
𝟏
𝟖
Peluang banyak anak laki-laki = 1
𝑓 1 = 𝑃 𝑋 = 1
𝑃 𝑋 = 1 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
=
𝟑
𝟖
Peluang banyak anak laki-laki = 2
𝑓 2 = 𝑃 𝑋 = 2
𝑃 𝑋 = 2 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
=
𝟑
𝟖
Peluang banyak anak laki-laki = 3
𝑓 3 = 𝑃 𝑋 = 3
𝑃 𝑋 = 3 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
=
𝟏
𝟖

8. Menyatakan Distribusi Peluang Variabel
Acak
1. Tabel
𝑥 0 1 2 3
𝑓(𝑥) 1
8
3
8
3
8
1
8
2. Fungsi
𝑓(𝑥) =
1
8
, untuk 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 3
3
8
, untuk 𝑥 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 2
0, untuk 𝑥 lainnya
3. Grafik
X
Y
1 2 3
0
1
8
3
8
Yang harus diperhatikan :
1. Nilai peluang selalu 0 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 1
2. Jumlah semua 𝑓 𝑥 =1
𝑖=0
1
𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓 0 + 𝑓 1 + ⋯ + 𝑓 𝑛 = 1

9. Distribusi Kumulatif
𝑭 𝒄 = 𝑷 𝒙 ≤ 𝒄
= 𝑷 𝒙 = 𝟎 + 𝑷 𝒙 = 𝟏 + ⋯ + 𝑷 𝒙 = 𝒄
= 𝒇 𝟎 + 𝒇 𝟏 + ⋯ + 𝒇(𝒄)
Kasus Bang Supri dan Neng Surti
𝑥 0 1 2 3
𝑓(𝑥) 1
8
3
8
3
8
1
8
𝑭 𝟎 = 𝑷 𝒙 ≤ 𝟎 = 𝒇 𝟎 =
𝟏
𝟖
𝑭 𝟏 = 𝑷 𝒙 ≤ 𝟏 = 𝒇 𝟎 + 𝒇 𝟏 =
𝟏
𝟖
+
𝟑
𝟖
=
𝟒
𝟖
𝑭 𝟐 = 𝑷 𝒙 ≤ 𝟐 = 𝒇 𝟎 + 𝒇 𝟏 + 𝒇 𝟐 =
𝟏
𝟖
+
𝟑
𝟖
+
𝟑
𝟖
=
𝟕
𝟖
𝑭 𝟑 = 𝒇 𝟎 + 𝒇 𝟏 + 𝒇 𝟐 + 𝒇(𝟑) =
𝟏
𝟖
+
𝟑
𝟖
+
𝟑
𝟖
+
𝟏
𝟖
=
𝟖
𝟖
= 𝟏
Tabel Distributif Kumulatif
𝑥 0 1 2 3
𝐹(𝑥) 1
8
4
8
7
8
1

10. Fungsi Distribusi Kumulatif
Contoh 6:
Diketahui sebuah variable acak
Mempunyai table distribusi peluang
Sebagai berikut.
Tabel Distributif Kumulatif
𝑥 0 1 2 3 4
𝐹(𝑥) 1
10
3
10
8
10
9
10
1
Berdasarkan table tersebut, tentukanlah :
a. 𝑓(3)
b. 𝑃(𝑥 ≥ 2)
Jawab
a. 𝑭 𝟑 = 𝒇 𝟎 + 𝒇 𝟏 + 𝒇 𝟐 + 𝒇(𝟑)
𝑭 𝟐 = 𝒇 𝟎 + 𝒇 𝟏 + 𝒇 𝟐
𝑭 𝟑 − 𝑭 𝟐 = 𝒇(𝟑)
𝑓 3 =
9
10
−
8
10
=
1
10
𝒇 𝒌 = 𝑭 𝒌 − 𝑭 𝒌 − 𝟏
Secara umum:
b. 𝑭 𝒄 = 𝑷 𝒙 ≤ 𝒄
𝑃 𝑥 ≥ 2 = 𝑓 2 + 𝑓 3 + 𝑓 4
=
5
5
+
1
10
+
1
10
=
7
10

11. Latihan Soal
Variabel acak 𝑋 menyatakan banyak gambar
pada pelemparan dua keping mata uang logam.
Tentukan nilai dari :
a. 𝑃(𝑋 = 0)
b. 𝑃(𝑋 = 1)
c. 𝑃(𝑋 = 2)
Dewi melakukan pelemparan dua buah dadu
satu kali. Variabel acak 𝑋 menyatakan jumlah
kedua mata dadu. Nyatakan hasil yang mungkin
diperoleh sebagai variabel acak.
Variabel acak 𝑋 menyatakan banyaknya angka
pada pelemparan empat keping mata uang
logam. Tentukan nilai dari:
a. 𝑃(𝑋 ≤ 1)
b. 𝑃 (𝑋 ≤ 2)
c. 𝑃 (𝑋 ≤ 3 )
d. 𝑃 (𝑋 ≤ 4 )
Tentukan table distribusi berikut.
Tentukan table distribusi kumulatif berikut.
𝑥 1 2 3 4
𝑓(𝑥) 1
4
2
5
𝑘 1
5
Tentukan nilai k.
𝑥 1 2 3 4 5
𝐹(𝑥) 1
4
3
5
3
4
4
5
1
Tentukanlah:
a. 𝑓(3).
b. 𝑃(𝑋 = 4).
c. 𝑃(𝑋 ≤ 4)
d. 𝑃(𝑋 ≥ 3)

12. Distribusi Peluang Binomial
Karakteristik:
• Banyaknya percobaan diketahui dan tetap (N)
• Percobaan hanya memiliki 2 kemungkinan hasil
 Dinyatakan : “Sukses” atau “Gagal”
 Pelemparan Koin : Angka atau Gambar
 Kelahiran Anak : Laki-laki atau Perempuan
 Mengikuti Lomba : Menang atau Kalah
 Pelemparan Dadu : Muncul angka 2 atau bukan angka 2
 Peluang sukses : 𝑝 dan peluang gagal : 𝑞
 𝑞 = 1 − 𝑝
• Percobaan harus bersifat independent satu sama lain

13. Teorema :
𝒇(𝒙) = 𝒃(𝒙 ; 𝒏; 𝒑) = 𝑪𝒙
𝒏. 𝒑𝒙 . 𝒒𝒏 – 𝒙
Keterangan:
𝑪𝒙
𝒏
= koefisien binomial
𝒏 = Banyaknya percobaan
𝒙 = banyaknya kejadian yang diharapkan dengan 𝑥 = 0, 1, 2, . . 𝑛
𝒑 = peluang kejadian yang diharapkan (sukses)
𝒒 = peluang kejadian yang tidak diharapkan (gagal)
Contoh 1 :
Regia melakukan latihan tendangan penalti sebanyak 3 kali. Peluang sukses
melakukan tendangan sebesar
4
5
. tentukan peluang Regia mencetak tepat dua gol.
Jawab:
𝑝 = peluang sukses mencetak gol, maka 𝑝 =
4
5
𝑞 = peluang gagal mencetak gol, maka 𝑞 = 1 – 𝑝 = 1 –
4
5
=
1
5
Diketahui
𝑛 = 3
𝑥 = 2
𝑝 =
4
5
𝑞 =
1
5
Jawab :
karena Regia berharap mencetak 2 gol, maka
𝑓 2 = 2; 3;
4
5
= 𝐶2
3
.
4
5
2
.
1
5
3−2
= 3 .
16
25
.
1
5
=
48
125

14. Contoh 2 :
Galih mengerjakan 4 soal pilihan ganda dengan 5 pilihan jawaban. Tentukan peluang galih menjawab benar 3 soal!
Jawab :
Sukses : menjawab soal dengan benar
𝑛 = 4
Pilihan Ganda dengan 5 pilihan jawaban
Jawaban benar : 1
Jawaban Salah : 4
𝑝 =
1
5
𝑞 =
4
5
Galih menjawab 3 soal benar
𝑥 = 3
Teorema :
𝒇(𝒙) = 𝒃(𝒙 ; 𝒏; 𝒑) = 𝑪𝒙
𝒏
. 𝒑𝒙
. 𝒒𝒏 – 𝒙
↔ 𝑓 3 = 3; 4;
1
5
= 𝐶3
4
.
1
5
3
.
4
5
4−3
= 4 .
1
125
.
4
5
=
16
625

15. Contoh 3 :
Dari catatan pejabat bank yang meberikan pinjaman kredit bagi pembeli rumah sederhana, diketahui bahwa terdapat
10% debitur yang menunggak cicilan rumah. Dari 10 debitur, berapa peluang terdapat 3 debitur yang membayar tepat
Waktu!
Contoh 4 :
Pada pelemparan 8 dadu sekaligus, Berapa probabilitas muncul mata dadu 5 sebanyak 2 kali!
Contoh 5 :
Catatan uji klinis farmasi menyatakan bahwa peluang pasien sembuh setelah diberikan obat X adalah 80%. Dari
7 pasien yang diberikan obat X, tentukan peluang paling sedikit ada 2 orang yang sembuh!

16. Soal 3:
Pembahasan
Kemungkinan Kejadian : 1. Membayar Tepat Waktu = sukses
2. Menunggak cicilan = gagal
𝑛 = 10
10% debitur menunggak cicilan
𝑝 =
9
10
𝑞 =
1
10
Terdapat 3 debitur yang membayar tepat waktu
𝑥 = 3
Teorema :
𝒇(𝒙) = 𝒃(𝒙 ; 𝒏; 𝒑) = 𝑪𝒙
𝒏
. 𝒑𝒙
. 𝒒𝒏 – 𝒙
↔ 𝑓 3 = 3; 10;
9
10
= 𝐶3
10
.
9
10
3
.
1
10
10−3
=
10!
10 − 3 ! 3!
.
93
103
.
1
107
=
10.9.8
3
.
729
1010
=
93
. 24
109

17. Soal 4: Kemungkinan Kejadian : 1. Muncul Matdad bukan 5 = sukses
2. Muncul matdad 5= gagal
𝑛 = 8
𝑝 =
5
6
𝑞 =
1
6
Mata dadu bukan 5 sebanyak 6 kali
𝑥 = 6
Teorema :
𝒇(𝒙) = 𝒃(𝒙 ; 𝒏; 𝒑) = 𝑪𝒙
𝒏
. 𝒑𝒙
. 𝒒𝒏 – 𝒙
↔ 𝑓 6 = 6; 8;
5
6
= 𝐶6
8
.
5
6
6
.
1
6
8−6
=
8!
8 − 6 ! 6!
.
56
66
.
1
62
=
8.7
2
.
56
68
=
56
. 28
68

18. Soal 5: Kemungkinan Kejadian : 1. Sembuh = sukses
2. Tidak sembuh = gagal
𝑛 = 7
𝑝 =
4
5
𝑞 =
1
5
Paling sedikit ada 2 orang yang sembuh
𝑥 ≥ 2
↔ 𝑃 𝑥 ≥ 2 = 𝑃 𝑥 = 2 + 𝑃 𝑥 = 3 + 𝑃 𝑥 = 4 + 𝑃 𝑥 = 5 +…+ 𝑃 𝑥 = 7
Peluang pasien sembuh adalah 80%
= 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 1 − (𝑓(0) + 𝑓(1))
↔ 𝑓 0 = 0; 7;
4
5
= 𝐶0
7
.
4
5
0
.
1
5
7−0
=
1
5
7
=
1
57
↔ 𝑓 1 = 1; 7;
4
5
= 𝐶1
7
.
4
5
1
.
1
5
7−1
= 7.
4
5
.
1
5
6
=
28
57
= 1 −
1
57
+
28
57
= 1 −
29
57
=
57
− 29
57

19. Teorema 2 :
𝑭 𝒕 = 𝑷 𝒙 ≤ 𝒕 =
𝒙=𝟎
𝒕
𝒃 𝒙 ; 𝒏; 𝒑 =
𝒙=𝟎
𝒕
𝑪𝒙
𝒏
. 𝒑𝒙
. 𝒒𝒏 – 𝒙