1. In here, we will give some problem about:
1. Number Theory
2. Algebra
3. Geometry
4. Probability
1 Number Theory
1.1 Exercise
1. Tentukan angka terakhir dari 777333
2. Tunjukkan bahwa 55552222 + 22225555 habis dibagi oleh 7
3. Tentukan sisa 31990 jika dibagi 41
4. Tentukan angka satuan bilangan 19971991
5. Berapakah sisa pembagian 434343
oleh 10
1.2 Answer
1. Mencari angka terakhir = menentukan sisa pembagian oleh 10
= 777333mod(10)
= 7333mod(10)
= (7710 + 7)333mod(10)
= 72166+1mod(10)
= (72)1667mod(10)
= (49)166x7mod(10)
= 92837mod(10)
= (81)837mod(10)
= 1837mod(10)
= 7mod(10)
jadi angka terakhir dari 777333 adalah 7
2. Bukti : 55552222 + 22225555mod(7)
= (7793 + 4)2222 + (7317 + 3)5555mod(7)
= 42222 + 35555mod(7)
= (43740+2) + (331851+2)mod(7)
= (43)74042 + (33)185132mod(7)
= 6474016 + 2718519mod(7)
= 174016 + (−1)9mod(7)
= (16 − 9)mod(7)
= 7mod(7)
= 0 (terbukti)
1

2. 3. 31990mod(41)
= 34x497+2mod(41)
= (34)497x32mod(41)
= (2x41 − 1)497x9mod(41)
= (−1)497x9mod(41)
= −9mod(41)
= (41 − 9)mod(41)
= 32mod(41)
Jadi sisa 31990 dibagi oleh 41 adalah 32
4. angka satuan 19971991= sisa pembagian 19971991 oleh 10
= (199x10 + 7)1991mod(10)
= 71991mod(10)
= 74x497+3mod(10)
= (74)497x73mod(10)
= (2421)497x343mod(10)
= 1x3mod(10)
= 3mod(10)
Jadi angka satuan 19971991 adalah 3
5. Berapakah sisa pembagian 434343
oleh 10 4343 = (11.4 − 1)43mod(4)
= (−1)43mod(4)
= −1mod(4)
= (4 − 1)mod(4)
= 3mod(4)
Berarti 4343= 4k + 3
434343
= 434k+3mod(100)
= (1849)2k.433mod(100)
= (49)2k.433mod(100)
= (2401)k.79507mod(100)
= 7mod(100)
jadi sisa pembagian 434343
oleh 100 adalah 7
2 Algebra
2.1 Exercise
1. Tentukan banyaknya akar-akar bilangan bulat dari persamaan 4x4−15x2+
5x + 6 = 0
2. Diketahui akar-akar persamaan x3 − 2x2 − 3x + 1 = 0 adalah x1,x2 dan
x3. Tentukanlah nilai 1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
3. Diketahui akar-akar persamaan x3 − 3x2 + 4x + 5 = 0 adalah x1,x2 dan
x3. Tentukanlah nilai x3
1 + x3
2 + x3
3
4. Diketahui akar-akar persamaan x4 − 8x3 + ax2 − bx + c = 0 membentuk
barisan aritmetika dengan beda 2. Tentukan nilai a, b, dan c
2

3. 2.2 Answer
1. Faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, 6
x = 1
4 0 −15 5 6
4 4 -11 -6
4 4 −11 −6 0
x1 = 1 merupakan akar-akar persamaan
x = −2
4 4 −11 −6
-8 8 -6
4 -4 −3 0
x2 = −2 merupakan akar-akar persamaan
akar-akar yang lainnya diperoleh dari persamaan 4x2 − 4x − 3 = 0
(2x + 1)(2x − 3) = 0
x3 = −1
2 , x4 = 3
2
jadi banyaknya akar-akar persamaan 4x4 − 15x2 + 5x + 6 = 0 adalah 2
2. x3 − 2x2 − 3x + 1 = 0
x1x2 + x1x3 + x2x3 = (−1)2 a3−2
a3
= −3
1 = −3
x1x2x3 = (−1)3 a3−3
a3
= −1
1 = −1
jadi:
1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
= x1x2+x1x3+x2x3
x1x2x3
= −3
−1 = 3
3. x3 − 3x2 + 4x + 5 = 0
x1 + x2 + x3 = (−1)1 a2
a3
= (−1)−3
1 = 3
x1x2 + x1x3 + x2x3 = (−1)2 a1
a3
= 14
1 = 4
x2
1 + x2
2 + x2
3 = (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 32 − 2(4) = 1
x3 − 3x2 + 4x + 5 = 0
x3 = 3x2 − 4x − 5
x3
1 = 3x2
1 − 4x1 − 5
x3
2 = 3x2
2 − 4x2 − 5
x3
3 = 3x2
3 − 4x3 − 5
x3
1 + x3
2 + x3
3
= 3(x1(2 + x2
2 + x2
3 − 4(x1 + x2 + x3) − 15
3

4. = 3(1) − 4(3) − 15
= −24
4. misalkan akar-akar persamaan x1 = p, x2 = p + 2, x3 = p + 4, x4 = p + 6
x1 + x2 + x3 + x4 = 8
p + (p + 2) + (p + 4) + (p + 6) = 8, makap = −1
didapat x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 5
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = a
−1 − 3 − 5 + 3 + 4 + 5 + 15 = a, makaa = 14
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = b
−3 − 5 − 15 + 15 = bmakab = −8x1x2x3x4 = c
−15 = c
jadi a = 14, b = −8, c = −15
3 Geometry
3.1 Exercise
1. Sebuah segitiga mempunyai alas yang panjangnya 3 cm lebih pendek dari
tingginya dan luasnya kurang dari 27cm2. Jika tinggi segitiga itu t cm
maka...
2. Dari selembar karton yang luasnya 10dm2 akan dibuat selimut tabung
yang jari-jari alasnya 14 cm dan tingginya 10cm. Dengan π = 22
7 , luas
sisa karton adalah...
3. Seorang anak berdiri di suatu tempat A di tepi sungai yang lurus. Ia
mengamati dua pohon B tepat diseberang sungai. Pohon B tepat dise-
berang A. Jarak pohon B dan C adalah 8
√
6 meter dan besar sudut
BAC = 30o. Lebar sungai adalah...
4. Trapesium ABCD, DC AB. T titik potong perpanjangan AD dan BC.
Panjang TA adalah...
3.2 Answer
1. L < 27
1
2 (t − 3)t < 27
t2 − 3t < 54
t2 − 3t − 54 < 0
(t − 9)(t + 6) < 0
karena t > 0 maka haruslah t − 9 < 0
0 < t < 9
2. sisa = luas karton-luas selimut
= 10dm2 − 2πRt
= 1000cm2 − 2x22
7 x14x10cm2
= 1000cm2 − 800cm2
= 120cm2
4

5. 3. tan300 = 8 6
AB
3
3 = 8(2)(3)
AB
AB = 24
√
2
4. misalkan TD = x
x
9 = x+8
15
15x = 9x + 72
6x = 72, maka x = 12
TA = x + 8 = 12 + 8 = 20
4 Probability
4.1 Exercise
1. Perempat final Champions 2010 diikuti 8 team A,B,C,D,E,F,G dan H.
Setiap team mempunyai peluang 1/2 untuk menuju ke babak berikutnya.
Peluang kejadian A bertemu G di final dan pada akhirnya A juara adalah
...
2. Misal dadu pertama munculnya angka a dan dadu kedua memunculkan
angka b. Maka kemungkinan-kemungkinan yang akan didapatkan jika
a dan b adalah angka-angka pada dadu yang saling bertolak belakang
adalah ...
3. Berapa banyaknya cara Rizky menuliskan bilangan 6 angka sama dengan
banyaknya cara menyisipkan dua angka 1 pada bilangan 2002 (termasuk
angka pertama dan sesudah angka terakhir)?
4. Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan ke-
dua T tidak berdekatan ?
4.2 Answer
1. Perempat final Champions 2010 diikuti 8 team A,B,C,D,E,F,G dan H.
Setiap team mempunyai peluang 1/2 untuk menuju ke babak berikutnya.
Peluang kejadian A bertemu G di final dan pada akhirnya A juara adalah
(1
2 )5= 1
32
2. Misal dadu pertama munculnya angka a dan dadu kedua memunculkan
angka b. Maka kemungkinan-kemungkinan yang akan didapatkan jika
a dan b adalah angka-angka pada dadu yang saling bertolak belakang
adalah (a,b) = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3) jadi 6
36 = 1
6
3. Berapa banyaknya cara Rizky menuliskan bilangan 6 angka sama dengan
banyaknya cara menyisipkan dua angka 1 pada bilangan 2002 (termasuk
angka pertama dan sesudah angka terakhir)?15 cara
4. Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan ke-
dua T tidak berdekatan ? 120960
5