cara menerangkan bilangan real dan rasional pada anak sekolah dasar

1. BILANGAN REAL DAN RASIONAL
Mata Kuliah : Pendidikan Matematika Di SD 1
Dosen Pengampu : Drs. Wahyudi, M.Pd.
Disusun Oleh :
Kelompok 20 /3C
1. Winahyu Arif Wicaksono ( K7112269 / 22 )
2. Tri Subekti
PROGRAM STUDI SI PGSD KAMPUS VI KEBUMEN
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
i

2. KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan YME yang telah memberikan rahmat,
hidayah dan anugerah-Nya kepada kita semua, sehingga kami
dapat
menyelesaikan makalah Pendidikan Matematika Di SD I “Bilangan Real dan
Rasional” ini tepat waktu.
Makalah ini merupakan pemenuhan tugas dari mata kuliah Pendidikan
Matematika Di SD I yang merupakan bukti pertanggungjawaban atas
terlaksananya presentasi kelompok . Di samping itu, makalah ini bertujuan untuk
bahan pengetahuan bagi para pembaca.
Kami berharap juga makalah ini betul-betul dapat memberikan bekal
sebagai calon pendidik. Karena seorang pendidik yang berkualitas sangat
diharapkan memahami dan mengerti tentang materi-materi dalam Pendidikan
Matematika Di SD I khususnya mengenai bilangan rasional.
Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
penyelesaian makalah ini. Makalah ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu,
masukan dan saran dari pembaca kami harapkan untuk kesempurnaan makalah
ini.
Kebumen, 16 September 2013
Penulis
ii

3. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ....................................................................................
DAFTAR ISI ...................................................................................................
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .........................................................................
1.2 Tujuan ......................................................................................
BAB II SISTEM BILANGAN REAL .......................................................
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan ..............................................................................
3.2 Saran ..........................................................................................
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………....
iii

4. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sistem bilangan adalah hal pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga
dikatakan sebagai inti dari suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini terbagi
menjadi banyak macamnya, adapun yang kami sajikan dalam makalah ini adalah mengenai
Himpunan Bilangan Real.
Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan
dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.
Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem
bilangan real.
Dalam aplikasinya himpunan bilangan ini mempunyai banyak turunan yang
mempunyai bermacam-macam sifat dan bentuk bilangan.
1.2 Tujuan
Tujuan penyusunan makalah ini adalah untuk :
a. Memenuhi salah satu tugas terstruktur Mata Kuliah Konsep Dasar Matematika
b. Mengembangkan pengetahuan dan kemampuan tentang Himpunan Bilangan Real dan
Rasional
c. Menemukan soluasi dari suatu permasalahan yang terkait dengan Himpunan Bilangan
Real dan Rasional
4

5. BAB II
Pembahasan
BAB II
SISTEM BILANGAN REAL
Sebelum masuk ke dalam bilangan real, maka kita membahas terlebih dahulu konsep
Himpunan (sets) Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu.
Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki
anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi  atau { }.
Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a  S dan dibaca “a elemen S“. Jika a
dan dibaca “a bukan elemen S“.
bukan anggota himpunan S, maka dituliskan
Himpunan dapat disajikan dengan 2 cara. Pertama, dengan menuliskan seluruh
anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat
dinyatakan sebagai:
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota
suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut.
Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:
A={x|x bilangan bulat positif kurang dari 10}
Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis
merupakan anggota B.
Beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting adalah
5
, jika setiap anggota A

6. Himpunan semua bilangan asli adalah N ={1,2,3,…}. Himpunan ini tertutup terhadap
operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya
dan
untuk setiap
.
Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa
disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan
bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z,
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan
asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,
Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional.
Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara
lain adalah
dan  Bilangan
.
adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan
panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1
Sedangkan bilangan  merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap
diameternya (Gambar 1.1.2).
6

7. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua
bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali
digunakan cara desimal. Sebagai contoh, bilangan-bilangan
dinyatakan
dalam
desimal
masing-masing dapat
sebagai
Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah
satu dari 2 tipe berikut:
1. berhenti (
), atau
2. berulang beraturan (
).
Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bilangan
tersebut adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan:
7

8. BILANGAN REAL
Bilangan real adalah himpunan bilangan yang data di sajikan dalam bentuk decimal tidak
terbatas. Jadi bilangan real mencakup semua bilangan rasional ( seperti bilangan decimal
berulang tidak terbatas, bilangan positif, bilangan negative, dan bilangan nol. ) serta bilangan
irrasional.
Skema bilangan Real
Bilangan Real
Bil.Rasional
Bil. irasional
Bilangan
bulat
Pecahan
Negatif
Cacah
Sifat Sifat Bilangan Real
Nol
Asli
Penjumlahan :
Perkalian
1. Tertutup
1. Tertutup
2. Komutatif
2. Komutitatif
3. Assosiatif
3. Asosiatif
4. Identitas ( 0 )
4. Identitas ( 1 )
5. Invers (-a)
5. Invers (1/a untuk a tidak sama
dengan 0 )
8

9. Sifat Sifat Urutan bilangan Real
1. Transitif kurang dari
2. Sifat kurang dari dan penjumlahan
3. Sifat kurang dari dan perkalian dengan bilangan positif
4. Sifat dari dan perkalian dengan bilangan negative
5. Sifat kepadatan
Macam-macam bilangan real
1. Bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentuk a/b, dimana a dan b
bilangan bulat, dan b tidak sama dengan 0. Dengan demikian setiap pecahan merupakan bilangan
rasional. Tetapi tidak semua rasional merupakan pecahan. Dengan kata lain, semua pecahan
merupakan bilangan rasional. Dengan notasi himpunan, bilangan rasional dapat disajikan sebagai
berikut.
Q=
Contoh : -3,
, 1, 0, , 4, 5 ,
dan lain-lain.
Definisi Kesamaan Bilangan Rasional
Diketahui a/b dan c/d sembarang bilangan rasional. Maka a/b = c/d jika dan hanya jika
a/d = b/c. Kesamaan tersebut digunakan untuk menentukan nama-nama lain bilangan rasional:
menyederhanakan bilangan rasional, menyamakan penyebut untuk operasi hitung penjumlahan,
pengurangan, dan membandingkan bilangan-bilangan rasional. Sebagai suatu pecahan, setiap
bilangan rasional mempunyai tak terhingga bentuk penyajiannya.
Contoh:
½ = 2/4 = 3/6 = ....... = -1/2 = -2/4 = -3/6
Suatu bilangan rasional dapat dikatakan sederhana jika a dan b tidak mempunyai faktorfaktor prima yang sama dan b adalah positif.
9

10. Berdasarkan penggunaan defisi kesamaan bilangan rasional, dapat ditunjukkan teorema
bilangan rasional sebagai berikut.
Diketahui a/b sembarang bilangan rasional dan n sembarang bilangan bulatbukan nol. Maka: a/b
= an/bn =na/nb.
Operasi bilangan rasional
Dalam bilangan rasional ada empat operasi bilangan rasional yaitu penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian.
a. Penjumlahan bilangan rasional
Didefinisikan sebagai pengembangan dari penjulahan pecahan.
a/b + cd = (ad + bc)/bd
contoh : 3/7 + -5/7 = (3 + (-5))/7 = -2/7
teorema
diketahui a/b sembarang bilangan rasional, maka :
-a/b = -a/b = a/-b
Sifat-sifat dari penjumlahan bilangan rasional
1. Sifat tertutup
a/b + c/d akan selalu menghasilkan bilangan rasional
2. Sifat Komutatif (Pertukaran)
a/b + c/d = c/d + a/b
3. Sifat Asosiatif (Pengelompokkan)
(a/b + c/d ) + e/f = a/b + (c/b + e/f)
4. Sifat identitas penjumlahan
a/b + 0 = a/b = 0 + a/b (0 = 0/m, m
0)
5. Sifat invers penjumlahan
Untuk setiap bilangan rasional a/b maka ada suatu bilangan rasional –a/b sehingga :
a/b + (-a/b) =() = (-a/b) + a/b
10

11. Teorema lain Bilangan Rasional:
Diketahui a/b, c/d, dan e/f sembarang bilangan rasional,
1. Jika a/b +e/f = c/d + ef maka a/b=c/d
2. –(-a/b) = a/b
Pengurangan Bilangan Rasional
Pengurangan dapat didefinisikan sebagai pengembangan dari pengurangan bilangan
bulat.
Definisi : a/b – c/d = a/b + (-c/d)
Definisi pengurangan juga dikembangkan dari pengurangan pecahan:
1. Penyebut sama
a/b + c/d = a/b + (-c/d)
= (a + (-c))/d
= (a-c)/d
Jadi pengurangan bilangan rasional dengan penyebut yang sama dapat dicari dengan
cara seperti pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Penyebut tidak sama
a/b –c/d = ad/bd – bc/bd = (ad-bc)/bd
Perkalian Bilangan Rasional
Perkalian bilangan rasional didefinisikan sebagai pengembangan dari perkalian pecahan.
Definisi : a/b dan c/d sembarang bilangan rasional, maka a/b x c/d = ac/bd
Sifat-sifat perkalian bilangan rasional
Diketahui a/b, c/d, e/f sembarang bilangan rasional
1. Sifat tertutup
a/b x c/d = ac/bd selalu merupakan bilangan rasional
11

12. 2. Sifat komutatif (pertukaran)
a/b x c/d = c/d x a/b
3. Sifat asosiatif (pengelompokkan)
(a/b x c/d) x e/f = a/b x (c/dx e/f)
4. Sifat identitas perkalian
a/b x 1 = a/b = 1 x a/b (1 = m/m, m
0)
5. Sifat invers perkalian
Untuk bilangan rasional a/b bukan nol tentu ada sebuah bilangan b/a sehingga a/b x
b/a = 1
6. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan (penyebaran)
a/b x (c/d + e/f) = a/b x c/d + a/b x e/f
Pembagian Bilangan rasional
Pembagian bilangan rasional dikembangkan dari pembagian pecahan.
Definisi :
Diketahui a/b, c/d adalah sembarang bilangan rasional, dimana c/d bukan nol, maka: a/b :
c/d = a/b x d/c.
Teorema
Ada tiga metode pembagian bilangan rasional,
Diketahui a/b, c/d sembarang bilangan raional dimana c/d bukan nol, maka:
1) a/b : c/d = a/b x d/c
2) a/b : c/b = a/c
3) a/b : c/d = (a:c)/(b:d)
Urutan Bilangan Rasional
Ada tiga cara untuk mengurutkan bilangan Rasional seperti halnya mengurutkan pecahan
1. Pendekatan Garis Bilangan
a/b < c/d (atau c/d > a/b) jika dan hanya jika a/b berada di sebelah kiri dari c/d pada garis
bilangan rasional.
Contoh
12

13. Tentukan urutan bilangan -3/7 dan 5/2
Jawab : dengan menggunakan garis bilangan, semua bilangan negatif berada di sebelah
kiri bilangan positif. Jadi -3/7 < 5/2
2. Pendekatan Penyebut positif yang sama
a/b < c/b jika dan hanya jika a< c dan b>0.
Contoh : Tentukan urutan bilangan -7/13 dan -2/13
Jawab : karena -7 < -2 maka -7/13 < -2/13
3. Pendekatan penjumlahan
a/b < c/d jika dan hanya jika ada sebuah bilangan rasional positif p/q sedemikian rupa
sehingga a/b + p/q = c/d
dengan kata lain pendekatan penjmlahan adalah a/b < c/d jika dan hanya jika c/d –a/b =
positif.
Contoh : -5/7 – (-3/4) = -5/7 + ¾ = -20/28 + 21/28
= 1/28
Teorema : sifat perkalian silang dari pertidaksamaan
Diketahui a/b dan c/d sembarang bilangan rasional, dimana b > 0 dan d > 0, maka a/b <
c/d jika dan hanya jika ad < bc.
Sifat-sifat urutan bilangan rasional
Diketahui a/b, c/d, dan e/f sembarang bilangan rasional
1) Sifat transitif kurang dari
Jika a/b < c/d dan c/d < e/f maka a/b < e/f
2) Sifat kurang dari dan penjumlahan
Jika a/b < c/d maka a/b + e/f < c/d + e/f
3) Sifat kurang dari dan perkalian dengan bilangan rasional positif
Jika a/b < c/d dan e/f >0, maka a/b . e/f < a/d . e/f
4) Sifat kurang dari dan perkalian dengan bilangan rasional negatif
Jika a/b < c/d dan e/f < 0, maka a/b . e/f > c/d . e/f
5) Sifat kepadatan (densitas)
Jika a/b < c/d maka ada sebuah bilangan rasional e/f sedemikian sehingga a/b < e/f <
c/d
13

14. 2. Bilangan Pecahan (Pc)
Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
adalah anggota bilangan bulat ( a dan b
B dan b
dengan a dan b
). a disebut pembilang dan b disebut
penyebut.
Contoh: Dua buah mangga dibagikan seorang ibu kepada 3 orang anaknya. Berapa
bagian yang didapatkan oleh setiap anaknya ?
Jawab: Masing-masing anaknya memperoleh bagian.
Mengenai bilangan pecahan akan di perdalam oleh kelompok lainnya
3. Bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan
himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota
himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:
Dalam operasi pengurangan pada bilangan cacah terdapat bilangan negatif. Misalnya: 3
– 5 = -2 , 20 – 35 = -15
Bilangan asli, nol dan bilangan negatif dinamakan bilangan bulat.
a. Bilangan Bulat negatif
Bilangan negatif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota negatif, sedangkan ciri
bilangan negatif adalah bilangan yang nilai paling besar terletak pada nilai -1. Bisa ditulis
dengan B = {-1,-5,-7,-9} terlihat nilai paling besar adalah -1.
b. Bilangan Bulat Positif
Bilangan Positif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota positif dan bilangan asli.
Bilangan ini memiliki ciri nilai paling besar adalah tak hingga. Bisa ditulis dengan B =
{1,2,3,4,5,….10}.
c. Bilangan Bulat Nol
14

15. Bilangan nol adalah suatu himpunan yang memiliki anggota hanya bilangan nol saja. Bisa
ditulis dengan B = {0}
d. Bilangan Bulat Ganjil
Bilangan bulat ganjil adalah suatu himpunan yang memiliki anggota bilangan ganjil baik
positif atau negatif. Bisa dituliskan dengan B = {-5,-3,1,3}.
e. Bilangan Bulat Genap
Bilangan bulat genap adalah suatu himpunan yang memiliki anggota bilangan genap baik
positif maupun negatif. Bisa dituliskan dengan B = {-4,-2,2,4}.
Mengenai bilangan bulat akan di perdalam oleh kelompok lainnya
4. Bilangan cacah
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}.
Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif.
Himpunan bilangan cacah :
C = {0, 1, 2, 3, 4, ....}
Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan antara lain :
Himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, 4, ...}
Himpunan bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}
Himpunan bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}
Himpunan bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}
Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}
Himpunan bilangan tersusun (komposit) = {4, 6, 8, 12, ...}
5. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli adalah bilangan-bilangan yang terdapat pada garis bilangan berikutdisebut
bilangan asli. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai
positif(integer positif)
.Contoh :
A = {1,2,3,4,…} Mengenai bilangan asli akan di perdalam oleh kelompok lainnya
15

16. BAB III
PENUTUP
3.1 Keimpulan
Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari
himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.
Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem
bilangan real.
Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :
a. Sifat-sifat aljabar
b. Sifat-sifat urutan
c. Sifat-sifat kelengkapan
3.2 Saran
Kami sebagai penyusun menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini termasuk
jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan saran dan kritik dan saran
yang membangun dari para pembaca.
Semoga makalah ini dapat memberi manfaat kepada kami dan pembaca pada
umumnya.
16