1. Dokumen membahas tentang sistem bilangan real dan berbagai jenis bilangan yang membentuknya, seperti bilangan asli, cacah, bulat, rasional, irasional, dan real. 2. Terdapat enam jenis bilangan yang dijelaskan dengan contoh dan diagram Venn yang menggambarkan hubungan antara bilangan-bilangan tersebut. 3. Bilangan real merupakan gabungan dari bilangan rasional dan irasional, dan memiliki sifat-sifat tertentu pada

1. Sistem bilangan reall adalah sistem bilangan yang telah kita kenal sejak lama dan
seringkali kita gunakan dalam kehudupan sehari hari tanpa kita sadari. Misalnya
ketika kita membeli pulpen di toko serta menghitung berapa lama waktu yang
dibutuhkan untuk naik bus dari rumah ke sekolah. Kita akan mempelajari operasi-
operasi pada bilangan real yang sering kita gunakan seperti : operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian serta akar.
1. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli merupakan bilangan yang sering kita gunakan, seperti untuk
menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu pertunjukan seni atau banyaknya
tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering pula disebut sebagai
bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dari angka 1, 2, 3, dan
seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu himpunan bilangan yang
disebut sebagai himpunan bilangan asli. Dengan demikian, himpunan bilangan asli
didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan bertambah
satu-satu. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota
himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.
Bilangan Asli dapat digolongkan menjadi :
a. Bilangan Genap, yaitu bilangan asli yang habis dibagi 2. Himpunan bilangan
genap dilambangkan dengan huruf G.
Anggota himpunan bilangan genap yaitu, G = { 2, 4, 6, 8, … }.
b. Bilangan Ganjil, yaitu bilangan asli yang tidak habis dibagi 2. Himpunan
bilangan ganjil dilambangkan dengan huruf J.
Anggota himpunan bilangan ganjil yaitu, J = { 1, 3, 5, 7, … }.
c. Bilangan Prima, yaitu bilangan asli yang tepat memiliki 2 faktor ( 1 dan
dirinya sendiri ). Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf P.
Anggota himpunan bilangan prima yaitu P = { 2, 3, 5, 7, 11, …
2. Bilangan Cacah (C)
Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas tertentu, diketahui bahwa
banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi jalan-jalan sebanyak 16 orang,
hobi olahraga sebanyak 9 orang dan tidak ada siswa yang memilih hobi menari.
Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak memiliki hobi menari tersebut,
digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan
bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan ini
dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah
dinyatakan seperti di bawah ini :
Pada bilangan asli kita dapat mengadakan operasi pengurangan, misalnya: 7 – 5
= 2, 20 – 8 = 12, tetapi bagaimana dengan 5 – 5 = ? Oleh karena itu dikenal
bilangan nol, sehingga 5 – 5 = 0 Bilangan asli dan nol dinamakan Bilangan
Cacah.

2. 3. Bilangan Bulat (B)
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan
himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan
anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:
Dalam operasi pengurangan pada bilangan cacah terdapat bilangan negatif.
Misalnya: 3 – 5 = -2 , 20 – 35 = -15
Bilangan asli, nol dan bilangan negatif dinamakan bilangan bulat.
4. Bilangan Rasional (Q)
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk dengan p, q є B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut
penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari
bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut :
Bilangan rasional (disebut juga bilangan pecahan) adalah bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk dengan p, q є B dan q ≠ 0.
Contoh bilangan rasional (Q) = 2; 0,3; ; ; 1,321321321...
Jadi 2 adalah bilangan rasional.
Jadi 0,3 adalah bilangan rasional.
dan
Jelas bilangan rasional.
1,321321321... dapat dibuktikan sbb:

3. Misal x = 1,321321321...
1000x = 1321,321321...
1000x–x = (1321,321321...) – (1,321321321...)
999x = 1320
X =
Pecahan desimal berulang lainnya dapat diperlakukan sama. Sehingga disimpulkan bahwa
pecahan desimal berulang merpakan bilangan rasional.
5. Bilangan Irasional ( )
Bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak
berpola), misalnya: 2 , π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan
dengan huruf I.
Himpunan bilangan real adalah gabungan antara himpunan bilangan
rasional dan himpunan bilangan irasional, yang dilambangkan dengan huruf
R.
Hubungan antara bilangan real dan bilangan-bilangan pembentuknya dapat
dinyatakan dalam diagram Venn di bawah.
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam
bentuk dengan p, q є B dan q ≠ 0.
Contoh: V2, V5, , log 5 ,...
6. Bilangan Real (R)
Bilangan Real adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dan bilangan irasional
atau R = Q I. Uraian di atas dapat di nyatakan dalam diagram Venn berikut ini :
Keterangan :
A = Bilangan Asli
B = Bilangan Bulat
C = Bilangan Cacah
Q = Bilangan Rasional
I = Bilangan Irasional
R = Bilangan Real
R = Q U

4. 3). Bilangan real.
Sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan real.
Untuk setiap berlaku sifat :
a). Tertutup :
b). Komutatif :
c). Asosiatif :
Untuk setiap berlaku sifat :
d). Elemen Identitas :
e). Invers Penjumlahan :
Sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan real.
Untuk setiap berlaku sifat :
a). Tertutup :
b). Komutatif :
Untuk setiap berlaku sifat :
c). Asosiatif :
d). Distributif terhadap Penjumlahan :
e). Distributif terhadap Pengurangan :
Untuk setiap berlaku sifat : Elemen Identitas :
4). Bilangan pecah.
Penjumlahan dan pengurangan bilangan pecah dapat dilakukan dengan menyamakan
penyebut bilangan-bilangan pecah yang akan dijumlahkan. Perkalian bilangan pecah
dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan
penyebut bilangan yang dilibatkan dalam perkalian. Pembagian bilangan pecah
dilakukan dengan mengalikan kebalikan pembagi dari bilangan pecah.
5). Konversi bilangan
Menjelaskan tentang Konversi Bilangan Pecahan dari satu bentuk ke bentuk yang lain.
a). Konversi bentuk pecahan ke dalam bentuk Desimal dan Persen
b). Konversi bentuk desimal ke dalam bentuk Pecahan dan Persen
c). Konversi bentuk persen ke dalam bentuk Pecahan dan Desimal
6). Perbandingan dan skala.
a). Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Perbandingan Senilai : jika bertambah
maka akan bertambah dan sebaliknya jika berkurang maka akan berkurang.
Perbandingan Berbalik Nilai : jika bertambah maka akan berkurang dan sebaliknya
jika berkurang maka akan bertambah.
b). Skala : perbandingan antara jarak (ukuran) pada gambar dengan jarak (ukuran)
yang sebenarnya.
Contoh soal:

5. 1). Tentukan hasil operasi hitung berikut.
a. 2 x (-5 + (-7)) = . . .
b. 4 + (-3) x (-4) = . . .
Jawab :
a). -24.
b). -8.
2). Ali menerima 5/12 bagian warisan, Bana 7/16 bagian, dan Cita menerima sisanya.
Berapa bagian yang diterima Cita ?
Jawab :
1 – 5/12 – 7/16 = 48/48 – 20/48 - 21/48 = 7/48 Jadi Cita mendapatkan 7/48 bagian
warisan.
3). Ubahlah bilangan ¾ menjadi persen.
Jawab :
¾ x 100% = 75%.
4). Sebanyak 15 pekerja merenovasi sebuah taman hiburan selama 12 hari. Jika
dikerjakan oleh 9 pekerja, berapa hari diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan
tersebut.
Jawab :
15/9 x 12 = 20
Smk n 1 kokap