Dokumen tersebut membahas relasi rekursif dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan persamaan karakteristik dan teorema-teorema yang terkait. Secara singkat, relasi rekursif adalah persamaan yang menyatakan suatu deret bilangan dalam bentuk deret sebelumnya, dan dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya.
This document provides solutions to problems in group theory from the book Topics in Algebra by I.N. Herstein. The solutions cover problems related to determining if a system forms a group, properties of groups like abelian groups, and examples in the symmetric group S3. The preface explains that the solutions are meant to facilitate deeper understanding and some notations were changed for clarity.
Dokumen tersebut membahas relasi rekursif dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan persamaan karakteristik dan teorema-teorema yang terkait. Secara singkat, relasi rekursif adalah persamaan yang menyatakan suatu deret bilangan dalam bentuk deret sebelumnya, dan dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya.
This document provides solutions to problems in group theory from the book Topics in Algebra by I.N. Herstein. The solutions cover problems related to determining if a system forms a group, properties of groups like abelian groups, and examples in the symmetric group S3. The preface explains that the solutions are meant to facilitate deeper understanding and some notations were changed for clarity.
Dokumen tersebut membahas tentang diagonalisasi matriks. Terdapat 3 poin penting:
1. Mendiagonalisasi matriks berarti menemukan basis baru yang terdiri dari vektor eigen matriks tersebut.
2. Vektor eigen dapat dikelompokkan menjadi matriks partisi P.
3. Dengan menggunakan matriks partisi P, persamaan nilai eigen dapat ditulis menjadi bentuk AP = PD, dimana D adalah matriks diagonal yang berisi
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Buku ini membahas materi geometri analitik ruang yang meliputi titik dan vektor dalam ruang tiga dimensi, garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajat dua.
Dokumen tersebut memberikan definisi-definisi dasar tentang segitiga, seperti definisi polygon, sisi, sudut, diagonal, dan jenis-jenis segitiga. Kemudian membahas teorema-teorema penting seperti jumlah sudut segitiga 180 derajat, kriteria kekongruenan dan kesebangunan dua segitiga berdasarkan sisi dan sudutnya. Terakhir membahas sifat-sifat segitiga sama kaki dan sama sisi.
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
1. Dokumen tersebut membahas prinsip inklusi-eksklusi dalam menghitung banyaknya obyek yang memenuhi beberapa sifat tertentu.
2. Bentuk umum prinsip inklusi-eksklusi ditulis sebagai rumus yang menghitung jumlah obyek tanpa sifat tertentu berdasarkan jumlah obyek dengan berbagai kombinasi sifat.
3. Beberapa contoh penerapan prinsip inklusi-eksklusi untuk
1. Dokumen membahas tentang kemungkinan solusi persamaan binomial dan multinomial dengan syarat-syarat tertentu.
2. Terdapat rumusan teorema dan contoh soal untuk menghitung jumlah kemungkinan solusi persamaan tersebut menggunakan kombinasi dan koefisien binomial.
3. Dibahas pula ekspansi persamaan binomial menggunakan koefisien binomial sesuai teorema binomial.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
(1) Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan dan konsep pembagian bilangan bulat;
(2) Terdapat definisi dan teorema-teorema yang menjelaskan relasi antara bilangan yang membagi bilangan lain;
(3) Beberapa contoh soal dan pembahasan juga disajikan untuk membuktikan teorema-teorema tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang konsep-konsep dasar matematika, seperti himpunan bilangan real, komponen bilangan real, diagram Venn himpunan bilangan real, relasi urutan, nilai mutlak, dan ketidaksamaan yang menyangkut nilai mutlak.
Dokumen tersebut membahas tentang diagonalisasi matriks. Terdapat 3 poin penting:
1. Mendiagonalisasi matriks berarti menemukan basis baru yang terdiri dari vektor eigen matriks tersebut.
2. Vektor eigen dapat dikelompokkan menjadi matriks partisi P.
3. Dengan menggunakan matriks partisi P, persamaan nilai eigen dapat ditulis menjadi bentuk AP = PD, dimana D adalah matriks diagonal yang berisi
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Buku ini membahas materi geometri analitik ruang yang meliputi titik dan vektor dalam ruang tiga dimensi, garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajat dua.
Dokumen tersebut memberikan definisi-definisi dasar tentang segitiga, seperti definisi polygon, sisi, sudut, diagonal, dan jenis-jenis segitiga. Kemudian membahas teorema-teorema penting seperti jumlah sudut segitiga 180 derajat, kriteria kekongruenan dan kesebangunan dua segitiga berdasarkan sisi dan sudutnya. Terakhir membahas sifat-sifat segitiga sama kaki dan sama sisi.
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
1. Dokumen tersebut membahas prinsip inklusi-eksklusi dalam menghitung banyaknya obyek yang memenuhi beberapa sifat tertentu.
2. Bentuk umum prinsip inklusi-eksklusi ditulis sebagai rumus yang menghitung jumlah obyek tanpa sifat tertentu berdasarkan jumlah obyek dengan berbagai kombinasi sifat.
3. Beberapa contoh penerapan prinsip inklusi-eksklusi untuk
1. Dokumen membahas tentang kemungkinan solusi persamaan binomial dan multinomial dengan syarat-syarat tertentu.
2. Terdapat rumusan teorema dan contoh soal untuk menghitung jumlah kemungkinan solusi persamaan tersebut menggunakan kombinasi dan koefisien binomial.
3. Dibahas pula ekspansi persamaan binomial menggunakan koefisien binomial sesuai teorema binomial.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
(1) Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan dan konsep pembagian bilangan bulat;
(2) Terdapat definisi dan teorema-teorema yang menjelaskan relasi antara bilangan yang membagi bilangan lain;
(3) Beberapa contoh soal dan pembahasan juga disajikan untuk membuktikan teorema-teorema tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang konsep-konsep dasar matematika, seperti himpunan bilangan real, komponen bilangan real, diagram Venn himpunan bilangan real, relasi urutan, nilai mutlak, dan ketidaksamaan yang menyangkut nilai mutlak.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan real (R) yang meliputi sifat-sifat aljabar, urutan, dan kelengkapan dari R. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain mengenai operasi biner di R, aksioma dan sifat-sifat dasar aljabar dan urutan bilangan real, ketaksamaan segitiga, serta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang:
1. Konsep bilangan real dan komponennya seperti bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional.
2. Diagram Venn yang menggambarkan hubungan antar himpunan bilangan.
3. Jenis-jenis interval dan relasi urutan pada bilangan real.
Konsep pembaharuan dalam pendidikan islamNizar Syamsi
Makalah ini membahas konsep pembaharuan dalam pendidikan Islam, termasuk pengertian, pola, dan tokoh pembaharu. Tujuannya adalah memahami upaya perubahan kurikulum dan metode pendidikan Islam menjadi lebih rasional dan sejalan dengan perkembangan ilmu."
Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar dasar seperti grupoida, semigrup, dan monoida. Grupoida adalah struktur aljabar tersederhana dengan satu operasi biner tertutup. Semigrup adalah grupoida yang memenuhi sifat asosiatif, sedangkan monoida adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas. Dokumen ini juga menjelaskan sifat-sifat penting grupoida, semigrup, dan monoida seperti h
Dokumen tersebut membahas tentang bilangan prima, bilangan komposit, FPB, dan KPK. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan bilangannya sendiri, sedangkan bilangan komposit mempunyai lebih dari dua faktor. FPB dan KPK dapat dihitung dengan menggunakan himpunan faktor, pohon faktor, atau pembagian bilangan.
This document provides an overview and suggested itinerary for a 2 night/3 day corporate trip to Malaysia for 50 passengers. Key details include an overview of Malaysia's economy and tourism industry, highlights of places to visit, and an itinerary with accommodations in Genting and Kuala Lumpur, meals, transportation and a city tour. The total estimated cost per passenger is INR 44,049.
The document describes various solar panel sets ranging from 20 to 2400 watts that include solar panels, controllers, inverters, batteries, and lists of appliances that can be powered. The sets provide off-grid home or business power and include the total equipment cost and optional installation costs. Larger wattage sets can power more appliances for longer durations.
The document outlines details of an annual AOP meet organized by Tripnavigator.in for 55 participants from Geocycle team over 3 nights and 4 days in Mount Abu. It lists the various event elements organized including ticketing, hotel bookings, team building activities, gala dinner with DJ and free flowing alcohol, and photography/videography. It includes a testimonial praising Tripnavigator for the outstanding commitment and responsiveness in fulfilling all requirements, delivering an extraordinary experience for Geocycle team as promised.
Upcoming destination for your next Sales Incentive program or Conference. Enjoy the uniqueness of this beautiful destination with nightclubs, discotheques, beaches giving you great options to make stay fun-filled .
Petra being one of the newest wonders of the world it is a very beautiful place to visit.
This Summer Trip Navigator's Handcrafted CorporateTravel & Event Ideas brings to you "the Stone City - Taskent"; the trip includes a visit to all the significant places like - Victory Monument, Independence Square, beautiful Charvak Lake and many more unexplored places along with Gala Dinner, Adventure Activities & a lot more included in our MICE Package.
More details @ https://media.wix.com/ugd/faca98_8455c23f54d44f8ca1ad041636d9d4d3.pdf
Like us on FB @ https://www.facebook.com/TripNavigator/
Follow us on Linkedin @ https://www.linkedin.com/co mpany/trip-navigator?trk=top_nav_home
Follow us on Twitter @ https://twitter.com/Tripnavigator
- An event was held at the Hyatt Regency in Gurgaon, Delhi in November 2014 for 195 people from Axis Bank to launch a contest called "Wheelomania" for their Wheels team and do team building activities.
- For team building, 9 teams were formed with different names and took part in internal competitions. Entertainment included a dance group, sufi singer, and rock band.
- A testimonial from Bijoy Thaplial praised Tripnavigator for their management of the 200 person event, including transfers, team building, gala dinner, and performance selection. Thaplial noted Tripnavigator's flexibility and client-focused "never say no" attitude.
1. Modul ini membahas konsep dasar keterbagian bilangan bulat, algoritma pembagian, faktor persekutuan terbesar (FPB), dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
2. Keterbagian bilangan bulat merujuk pada kondisi sebuah bilangan yang dapat dibagi habis oleh bilangan lain. Algoritma pembagian digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dua bilangan.
3. FPB dan KPK digunakan untuk
Dokumen ini membahas tentang Kalkulus 1. Terdiri dari beberapa bab yang membahas bilangan riil, persamaan linier, nilai mutlak, fungsi, limit, turunan 1, dan turunan 2.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian limit secara intuitif dan beberapa contoh perhitungan limit fungsi. Limit didefinisikan sebagai nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabelnya mendekati suatu nilai tertentu. Beberapa contoh perhitungan limit menggunakan pendekatan aljabar dan kalkulasi nilai-nilai dekat untuk memperkirakan nilai limit. Dokumen juga membahas tentang limit sepihak dan kasus dimana limit tidak terdef
1. Dokumen membahas tentang kalimat tertutup dan terbuka dalam matematika, persamaan linear satu variabel, dan penyelesaian kalimat terbuka.
2. Kalimat tertutup adalah kalimat yang nilai kebenarannya dapat ditentukan (benar atau salah), sedangkan kalimat terbuka belum diketahui nilainya karena memuat variabel.
3. Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang hanya memuat satu variabel den
Persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlakMono Manullang
Pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlak mencakup konsep harga mutlak dan sifat-sifatnya seperti persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan harga mutlak. Dibahas pula teorema-teorema terkait persamaan dan pertidaksamaan harga mutlak beserta contoh penerapannya.
Dokumen tersebut merupakan ringkasan bab pertama tentang sistem bilangan riil, operasi hitungan, dan konsep dasar kalkulus seperti fungsi, limit, derivasi, dan integral.
Dokumen tersebut membahas tentang revisi bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar yang mencakup sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, koordinat kartesius, dan konsep-konsep matematika lainnya."
Dokumen tersebut membahas tentang konsep maksimum dan minimum dalam kalkulus. Terdapat penjelasan tentang titik kritis seperti titik ujung, titik stasioner, dan titik singular yang dapat menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Juga dijelaskan prosedur untuk menemukan nilai ekstrim suatu fungsi melalui penentuan titik-titik kritisnya. Beberapa contoh soal juga diberikan untuk memperjelas konsep tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang notasi Leibniz untuk turunan dan turunan tingkat tinggi, termasuk contoh-contoh penggunaannya. Notasi Leibniz menggunakan lambang dy/dx untuk menyatakan turunan pertama suatu fungsi. Aturan rantai turunan juga dibahas beserta contoh penerapannya.
Dokumen tersebut membahas tentang kontinuitas fungsi. Definisi kontinuitas fungsi pada suatu titik adalah bahwa batas fungsi saat nilai argumennya mendekati titik tersebut sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut. Fungsi dikatakan kontinu pada suatu selang jika kontinu pada setiap titiknya. Teorema nilai antara menyatakan bahwa jika fungsi kontinu pada suatu selang, maka akan ada nilai fungsi yang sama
Materi ini membahas operasi-operasi dasar pada fungsi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pangkat, dan komposisi fungsi. Jenis-jenis fungsi polinom dan rasional juga dijelaskan.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai aturan hubungan satu lawan satu antara elemen-elemen daerah asal dengan nilai-nilai daerah hasil. Dokumen tersebut juga menjelaskan notasi fungsi, daerah asal, daerah hasil, grafik fungsi, fungsi genap dan ganjil, serta dua fungsi khusus yaitu fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbes
Dokumen ini membahas tentang penggambaran grafik persamaan matematika. Terdapat beberapa langkah untuk menggambar grafik persamaan yaitu dengan membuat tabel nilai, merajah titik-titik, dan menghubungkan titik-titik dengan kurva. Dokumen ini juga menjelaskan tentang simetri grafik dan perpotongan grafik.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang penyelesaian ketaksamaan, termasuk jenis-jenis selang, cara menyelesaikan ketaksamaan linear, kuadrat, dan lainnya, serta memberikan contoh soal beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang keragaman dan kesetaraan dalam masyarakat Indonesia, termasuk unsur-unsur keragaman, pengaruhnya terhadap kehidupan beragama dan bermasyarakat, serta upaya-upaya untuk mengatasi diskriminasi dan mewujudkan persatuan bangsa melalui penerapan nilai-nilai Pancasila dan peraturan perundang-undangan.
Dokumen tersebut membahas tentang hakikat manusia sebagai makhluk berbudaya yang memiliki akal budi sehingga mampu menciptakan kebudayaan, memenuhi kebutuhan hidup, dan mengembangkan sisi kemanusiaannya. Dokumen ini juga menjelaskan tentang etika dan estetika berbudaya dimana etika berkaitan dengan nilai moral sementara kebudayaan merupakan hasil cipta, rasa, dan karsa manusia yang seharusnya memil
Sains, teknologi, dan seni saling berkaitan dan bergantung satu sama lain. Sains menjawab pertanyaan mengapa sedangkan teknologi menjawab bagaimana sesuatu dapat dilakukan. Teknologi merupakan penerapan ilmu pengetahuan untuk menyelesaikan masalah. Seni memberikan nilai estetika pada teknologi. Perkembangan iptek dapat memberikan manfaat namun juga berpotensi merusak lingkungan jika disalah
Dokumen ini membahas tentang besaran dan turunan dalam fisika. Ia menjelaskan definisi besaran dan satuan, serta membedakan besaran pokok dan turunan. Dokumen ini juga menjelaskan sistem satuan internasional (SI) dan cara penulisan simbol satuan.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
ppt profesionalisasi pendidikan Pai 9.pdfNur afiyah
Pembelajaran landasan pendidikan yang membahas tentang profesionalisasi pendidikan. Semoga dengan adanya materi ini dapat memudahkan kita untuk memahami dengan baik serta menambah pengetahuan kita tentang profesionalisasi pendidikan.
Ppt landasan pendidikan Pai 9 _20240604_231000_0000.pdffadlurrahman260903
Ppt landasan pendidikan tentang pendidikan seumur hidup.
Prodi pendidikan agama Islam
Fakultas tarbiyah dan ilmu keguruan
Universitas Islam negeri syekh Ali Hasan Ahmad addary Padangsidimpuan
Pendidikan sepanjang hayat atau pendidikan seumur hidup adalah sebuah system konsepkonsep pendidikan yang menerangkan keseluruhan peristiwa-peristiwa kegiatan belajarmengajar yang berlangsung dalam keseluruhan kehidupan manusia. Pendidikan sepanjang
hayat memandang jauh ke depan, berusaha untuk menghasilkan manusia dan masyarakat yang
baru, merupakan suatu proyek masyarakat yang sangat besar. Pendidikan sepanjang hayat
merupakan asas pendidikan yang cocok bagi orang-orang yang hidup dalam dunia
transformasi dan informasi, yaitu masyarakat modern. Manusia harus lebih bisa menyesuaikan
dirinya secara terus menerus dengan situasi yang baru.
Laporan Pembina Pramuka SD dalam format doc dapat anda jadikan sebagai rujukan dalam membuat laporan. silakan download di sini https://unduhperangkatku.com/contoh-laporan-kegiatan-pramuka-format-word/
1. Materi 1
Sistem Bilangan Riil
Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Tetapi apakah bilangan riil
itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan
yang lebih sederhana.
Bilangan-Bilangan Bulat dan Rasional
Di antara sistem bilangan, yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli,
1 , 2, 3, 4, 5, 6, . . . . .
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, dan uang
kita. Jika kita gandengkan negartifnya dengan nol, kita peroleh bilangan-bilangan bulat:
. . . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . . .
Bilamana kita mencoba mengukur panjang, berat atau tegangan listrik, bilangan-bilangan
bulat tidak memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memberikan ketelitian yang cukup.
Kita dituntun untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat
(gambar 1) yaitu bilangan-bilangan seperti :
3
4
,
−7
8
,
21
5
,
19
−2
,
16
2
dan
−17
1
Gambar 1
Perhatikan bahwa kita menyertakan 16/2 dan -17/1, walaupun secara normal kita
menuliskannya sebagai 8 dan -17, karena sesuai dengan arti pembagian yang biasa mereka
sama dengan yang belakangan. Kita tidak menyertakan 5/0 atau -9/0, karena tidak mungkin
membuat pengertian dari lambang-lambang ini, marilah kita bersepakat untuk seterusnya
membuang jauh-jauh dari pikiran kita pembagian oleh nol dalam materi ini (gambar 2).
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m/n , dimana m dan n adalah
bilangan-bilangan bulat dengan n ≠ 0, disebut bilangan-bilangan rasional.
Apakah bilangan-bilanagn rasional berfungsi mengukur semua panjang? Tidak. Fakta yang
mengejutkan ini ditemukan oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi.
Mereka memperlihatkan bahwa meskipun √2 merupakan panjang sisi miring sebuah
2. segitiga siku-siku dengan sisi 1 (gambar 3), bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu
hasil bagi dari dua bilangan bulat. Jadi √2 adalah suatu bilangan tak-rasional (Irasional).
Demikian juga √3 , √5 ,√7 dan 𝜋 serta sekelompok bilangan lain.
Bilangan – bilangan Riil
Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-
sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan riil.
Bilangan-bilangan riil dapat dipandang sebagai pengenal (label) untuk titik-titik sepanjang
sebuah garis mendatar. Di sana bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan atau ke kiri
(jarak berarah) dari suatu titik tetap yang disebut titik asal dan diberi label 0 (gambar 4).
Walaupun kita tidak mungkin memperlihatkan semua label itu, tiap titik memang
mempunyai sebuah label tunggal bilangan riil. Bilangan ini disebut koordinat titik tertentu.
Dan garis koordinat yang dihasilkan diacu sebagai garis riil.
Terdapat lambang-lambang baku untuk mengenali kelas-kelas bilangan yang sejauh ini telah
dibahas. Mulai sekarang , N akan menyatakan himpunan bilangan asli (bilangan bulat
positif), Z menyatakan himpunan bilangan bulat, Q (hasil bagi bilangan bulat) menyatakan
himpunan bilangan rasional, dan R himpunan bilangan riil. Seperti ditunjukkan pada gambar
5,
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Di sini ⊂ adalah lambang himpunan bagian; dibaca “ adalah himpunan bagian dari”.
Hampir semua mahasiswa akan ingat bahwa sistem bilangan masih dapat diperluas
lebih jauh lagi ke bilangan yang disebut bilangan kompleks. Bilangan-bilangan ini
berbentuk a + b√−𝟏, di mana a dan b adalah bilangan-bilangan riil. Bilangan-bilangan
kompleks akan jarang dipakai dalam buku ini. Kenyataannya, jika kita mengatakn
bilangan tanpa penjelasan khusus, anda dapat mengangap bahwa yang dimaksudkan
adalah bilangan riil. Bilangan-bilangan riil merupakan ciri utama dalam kalkulus.
Empat Operasi Hitungan
Dengan dua bilangan riil x dan y, kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya untuk
memperoleh dua bilangan riil baru x + y dan x . y (biasanya cukup dituliskan xy).
3. Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat yang telah dikenal berikut. Selanjutnya,
kita menyebutnya sifat-sifat medan.
Sifat-Sifat Medan
1. Hukum komutatif. x + y = y + x dan xy = yx
2. Hukum asosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z
3. Hukum distribusi. x (y + z) = xy + xz
4. Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan riil yang berlainan 0 dan 1 yang
memenuhi x + 0 = x dan x . 1 = x
5. Balikan (invers). Setiap bilangan x mempunyai balikan aditif (disebut juga sebuah
negatif), -x yang memenuhi x + (-x) = 0. Juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai
balikan perkalian (disebut juga kebalikan) x-1 yang memenuhi x . x-1 = 1.
Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan :
x – y = x + (-y)
dan
𝑥
𝑦
= x.y-1.
Dari fakta-fakta dasar ini, banyak yang lain menyusul. Kenyataannya, hampir semua aljabar
pada akhirnya berpatokan pada lima sifat medan dan definisi pengurangan dan pembagian
tersebut.
Urutan Pada Garis Bilangan Riil.
Misalkan x < y berarti x berada di sebelah kiri y pada garis bilangan riil (lihat gambar)
Urutan
Bilangan-bilangan riil bukan nol secara baik dipisahkan menjadi dua himpunan terpisah
(bilangan-bilangan riil positif dan bilangan-bilangan riil negatif). Fakta ini memungkinkan kita
memperkenalkan relasi urutan < (dibaca “ kurang dari) yaitu
x < y ↔ y – x positif
Lambang dua anak panah ↔ di sini merupakan konjungsi dari → (sehingga) dan ← (karena).
Jadi, ↔ boleh dibaca “setara dengan” atau sebagai “ jika dan hanya jika”. Kita setuju bahwa
x < y dan y > x akan berarti sama. Sehingga 3 < 4 sama dengan 4 > 3 dan -3 < -2 sama
dengan -2 > -3. Perhatikan ungkapan geometrik < yang ditunjukkan dalam sifat-sifat urutan
di bawah ini :
4. Sifat-sifat urutan
1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan , maka pasti satu di antara yang
berikut berlaku :
x < y atau x = y atau x > y
2. Ketransitifan, x < y dan y < z → x < z
3. Penambahan : x < y ↔ x + z < y + z
4. perkalian : bilangan z positif , x < y ↔ xz < yz. Bilamana z negatif, x < y ↔ xz > yz
relasi urutan ≤ (dibaca “kurang dari atau sama dengan”) adalah sepupu pertama dari <.
Relasi ini didefinisikan dengan : x ≤ y ↔ y – x positif atau nol.
Sifat-sifat urutan 2, 3, dan 4 berlaku dengan lambang-lambang < dan > diganti oleh ≤ dan ≥.
Sedikit Logika
Hasil penting dalam matematika disebut teorema, dan anda akan menemukan cukup
banyak teorema dalam materi ini. Teorema yang dianggap amat penting untuk diketahui
dalam materi ini biasanya diberi nama (misalnya teorema Pythagoras), sedangkan lainnya
dimuat dalam kelompok-kelompok soal dan diperkenalkan dengan kata tunjukkan bahwa
atau buktikan bahwa. Untuk membedakannya dengan aksioma atau definisi yang
kebenarannya telah dianggap pasti, teorema memerlukan pembuktian.
Teorema yang dapat dinyatakan dalam bentuk “Jika P maka Q” seringkali disingkat dengan
P→Q. Kita namakan P sebagai hipotesis dan Q sebagai kesimpulan teorema tersebut.
Pembuktian yang mengandung unsur “ tunjukkanlah bahwa P harus dapat menyatakan Q”.
Para mahasiswa tingkat pertama kadang-kadang mengalami kesulitan membedakan P →Q
dengan kebalikannya Q → P. Jelasnya, kedua pernyataan ini tidak sama, sebagai contoh:
“Jika Maman adalah seorang sunda maka dia adalah orang Indonesia” merupakan
pernyataan yang benar, akan tetapi kebalikannya “ Bila Maman adalah Orang Indonesia
maka ia adalah orang Sunda” jelas merupakan pernyataan yang salah. Di lainpihak ∼Q → ∼P
yang dibaca “bukan Q menyatakan bukan P” dinamakan Kontrapositif yang ekivalen dengan
P → Q. Pada contoh tadi, akan benar bahwa “ Bila Maman bukan orang Indonesia maka ia
bukan orang Sunda”.
Karena pernyataan dan kontrapositifnya adalah ekivalen, kita sering menggunakan bentuk
ini untuk membuktikan suatu teorema, dan cara seperti ini dinamakan pembuktian dengan
kontradiksi. Jadi untuk membuktikan P → Q, kita dapat memisalkan ∼Q dan mencobanya
untuk menyimpulkan ∼P darinya, dengan perkataan lain kita mencoba mengkontradiksi P.
Di sini diberikan contoh sederhana.
Teorema : jumlah dari suatu bilangan rasional dan bilangan tak rasional adalah tak rasional.
5. Bukti : teorema ini dapat ditulis sebagai berikut : “Bla x = m/n, dimana m dan n adalah
bilangan bulat, dan y adalah bilangan tak rasional, maka x + y adalah tak rasional”. Kita
misalkan x + y rasional, dan dengan demikian x + y = p/q dimana p dan q adalah bilangan
bulat, maka :
Y = p/q – x = p/q – m/n = (np – mq)/ qn
Ini berarti y adalah bilangan rasional, bertentangan dengan hipotesis. Kita berikan teorema
terbukti.
Cara lain untuk menunjukkan pembuktian secara kontradiksi adalah dengan hukum
Excluded Middle yang berbunyi : Salah satu di antara R atau ∼R, bukan kedua-duanya.
Pada teorema di atas, bila R adalah pernyataan “ Jumlah suatu bilangan rasional dan
bilangan tak rasional adalah tak rasional”, pembuktian kita menunjukkan bahwa ∼R, tidak
benar, maka berati R benar.
Kadangkala, untuk melakukan pembuktian kita memerlukan cara lain yang dikenal dengan
induksi Matematika, yang pada kesempatan ini tidak akan dibahas karena terlalu rinci.
Pembuktian dengan kontradiksi dikenal pula dengan nama reductio ad absurdum, seperti
apa yang telah dikatakan oleh pakar matematika besar G.H. Hardy: “Reductio ad absurdum
yang sangat disenangi oleh Euclid, adalah merupakan senjata paling ampuh bagi para
matematikawan. Merupakan gambit yang jauh lebih ampuh dari gambit catur manapun;
seorang pemain catur dapat menawarkan pengorbanan sebuah bidak ataupun buah lainnya,
akan tetapi matematikawan menawarkan permainan.
7. 30. Perlihatkan bahwa pembagian oleh 0 adalah tanpa arti sebagai berikut : andaikan a ≠
0. Jika a/0 = b, maka a = 0.b = 0 yang merupakan kontradiksi. Sekarang cari alasan
mengapa 0/0 juga tanpa arti.
31. Nyatakan apakah masing-masing berikut benar atau salah
a. -2 < -20 d. -4 > -16
b. 1 > -39 e. 6/7 < 34/39
c. -3 < 5/9 f. -5/7 < -44/59
32. Buktikan masing-masing jika a > 0, b > 0
a. a < b ↔ a2 < b2
b. a < b ↔ 1/a > 1/b
33. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak diantara kedua bilangan itu,
artinya buktikan bahwa
a < b → a <
𝑎 + 𝑏
2
< b
34. Mana di antara berikut selalu benar jika a ≤ b
a. a – 4 ≤ b – 4 c. a2 ≤ ab
b. –a ≤ -b d. a3 ≤ a2b
35. Mana di antara berikut rasional dan mana yang tak rasional
a. √4 d. (1 + √3 )2
b. 0,375 e. (3√2 )(5√2)
c. 1 + √2 f. 5√2
36. Apakah jumlah dua bilangan tak rasional pasti tak rasional? jelaskan