Dokumen tersebut membahas tentang definisi himpunan, operasi-operasi dasar himpunan seperti gabungan, irisan, selisih, komplemen, sistem bilangan real, dan latihan soal terkait himpunan dan sistem bilangan real."

1. Himpunan dan Sistem
Bilangan Real
Dwi Astuti Aprijani

2. Definisi himpunan
Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek
tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan
dengan keterangannya yang jelas
Himpunan dinyatakan dengan huruf besar
(KAPITAL) seperti A, B, C, dan sebagainya.
Sedangkan anggota himpunan atau objek
dinyatakan dengan huruf kecil seperti a, b, c,
dan sebagainya.

3. Definisi himpunan
Himpunan A sama dengan himpunan B, ditulis
A = B, jika setiap anggota himpunan A juga
merupakan anggota himpunan B dan setiap
anggota himpunan B juga merupakan anggota
himpunan A. Dengan kata lain, A dan B
memiliki anggota yang benar-benar sama
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak
mempunyai anggota, ditulis ∅ atau { }

4. Definisi himpunan
Dalam teori himpunan, semua himpunan yang
dibicarakan merupakan himpunan bagian dari
suatu himpunan tertentu. Himpunan tertentu ini
merupakan himpunan semesta atau semesta
pembicaraan, dilambangkan dengan S atau U.
Contoh:
Himpunan bilangan real merupakan semesta
dari himpunan bilangan asli dan himpunan
bilangan bulat

5. Cara penyajian himpunan
1. Enumerasi:
mendaftarkan semua anggotanya dan
diletakkan di dalam sepasang tanda kurung
kurawal, dan di antara setiap anggotanya
dipisahkan dengan tanda koma
Contoh:
– Himpunan lima bilangan asli pertama:
A = {1, 2, 3, 4, 5}.
– Himpunan lima bilangan genap positif pertama:
B = {2, 4, 6, 8, 10}

6. Cara penyajian himpunan
2. Simbol baku:
menggunakan simbol tertentu yang telah
disepakati
Contoh:
P = himpunan bilangan bulat positif
N = himpunan bilangan asli (natural)
Z = himpunan bilangan bulat
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan real
C = himpunan bilangan kompleks

7. Cara penyajian himpunan
3. Notasi pembentuk himpunan:
dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-
sifat umum dari anggota.
Contoh:
- A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat}
- B = {x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil
dari 5}
- M = {x | x adalah mahasiswa yang mengambil
matakuliah MATA4110}

8. Cara penyajian himpunan
4. Diagram Venn:
menyajikan himpunan secara grafis. Pada
umumnya tiap himpunan digambarkan dengan
lingkaran dan himpunan semesta (S atau U)
digambarkan dengan segiempat
S

9. Himpunan dan Himpunan Bagian
Himpunan A disebut himpunan bagian dari
himpunan B, ditulis A ⊂ B, jika setiap
anggota A juga merupakan anggota B,
tetapi tidak semua anggota B merupakan
anggota A
Contoh:
A = {a, b}; B = {a, b, c}; C = {a, b, c, d}
maka A ⊂ B; A ⊂ C; B ⊂ C

10. Himpunan dan Himpunan Bagian
Jika setiap anggota A juga merupakan
anggota B, dan setiap anggota B juga
merupakan anggota A, maka A ⊂ B dan
B ⊂ A, atau dengan kata lain A = B
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {3, 1, 4, 5, 2}
maka A = B

11. Himpunan dan Himpunan Bagian
Jika A ⊂ B dan B ⊂ C, maka A ⊂ C
Contoh:
A = {a, b}; B = {a, b, c}; C = {a, b, c, d}
terlihat bahwa A ⊂ B dan B ⊂ C.
Berdasarkan pernyataan di atas maka
A ⊂ C, dan jika kita periksa, memang
benar bahwa A ⊂ C

12. Operasi dalam Himpunan
1. Gabungan
Gabungan himpunan A dan B adalah
himpunan semua objek yang menjadi
anggota A dan B, ditulis A ∪ B
Operasi gabungan bersifat komutatif:
A ∪ B = B ∪ A

13. Operasi dalam Himpunan
2. Irisan
Irisan himpunan A dan B adalah
himpunan semua objek yang menjadi
anggota A dan juga menjadi anggota B,
ditulis ditulis A ∩ B
Operasi irisan bersifat komutatif:
A ∩ B = B ∩ A

14. Operasi dalam Himpunan
3. Selisih
Selisih himpunan A dan himpunan B adalah
himpunan semua objek yang menjadi anggota
A tetapi tidak menjadi anggota B, ditulis A – B
Selisih himpunan B dan himpunan A adalah
himpunan semua objek yang menjadi anggota
B tetapi tidak menjadi anggota A, ditulis B – A
Perhatikan bahwa A – B ≠ B – A

15. Operasi dalam Himpunan
4. Komplemen
Komplemen himpunan A adalah
himpunan semua objek yang bukan
anggota A, atau selisih himpunan
semesta S dengan himpunan A, ditulis AC
atau A‘
Jadi AC
= A‘ = S - A

16. Operasi dalam Himpunan
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5, 6, 7}, maka
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ∩ B = {3, 4}
B ∩ A = {3, 4}
A – B = {1, 2}
B – A = {5, 6, 7}

17. Operasi dalam Himpunan
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5, 6, 7}, dan
himpunan semesta S adalah himpunan
semua bilangan bulat positif
Maka
AC
= {5, 6, 7, 8, 9, …}
BC
= {1, 2, 8, 9, 10, …}

18. Sistem Bilangan Real
Bilangan real merupakan gabungan dari
bilangan rasional dan bilangan irrasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk a/b, dimana a dan b
merupakan bilangan bulat, dan b ≠ 0
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak
dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dimana a
dan b merupakan bilangan bulat, dan b ≠ 0
Contoh bilangan irrasional:
√2, π, bilangan e, dsb

19. Sistem Bilangan Real
Himpunan bilangan real dinyatakan
dengan simbol R
Pada sistem bilangan real, ada
hubungan satu-satu antara bilangan-
bilangan real dengan titik-titik pada garis
bilangan, sehingga tidak terdapat tempat
yang kosong pada garis bilangan

20. Sistem Bilangan Real
Apabila dilakukan operasi penjumlahan
dan perkalian pada sistem bilangan real
ini, makanya hasilnya merupakan
bilangan real juga atau dengan kata lain
dikatakan bahwa operasi penjumlahan
dan perkalian pada bilangan real bersifat
tertutup

21. Hukum-hukum penjumlahan dan
perkalian bilangan real
1. Jika a, b ∈ R, maka terdapat satu
bilangan real c dan d sedemikian
sehingga a + b = c dan ab = d
2. Jika a, b ∈ R, maka
a + b = b + a dan ab = ba
3. Jika a, b, c ∈ R, maka
a + (b + c) = (a + b) + c dan a(bc) = (ab)c

22. Hukum-hukum penjumlahan dan
perkalian bilangan real
4. Jika a, b, c ∈ R, maka
a(b + c) = ab + ac
5. Terdapat bilangan real 0 dan 1 sedemikian
sehingga untuk setiap bilangan real a,
a + 0 = a dan a.1 = a
6. Untuk setiap bilangan real a, terdapat satu
bilangan real b, sedemikian sehingga
a + b = 0 → b = -a

23. Hukum-hukum penjumlahan dan
perkalian bilangan real
7. Untuk setiap bilangan real a, kecuali 0,
terdapat bilangan real c sedemikian sehingga
a.c = 1 → c = a-1
atau 1/a
8. Untuk setiap a ∈ R, berlaku tepat satu di antara
tiga pernyataan berikut: a = 0, a positif, atau
–a positif
Jumlah dua bulangan positif adalah positif
Hasil kali dua bilangan positif adalah positif
9. Bilangan real a dikatakan negatif jika –a positif

24. Ketidaksamaan dan
pertidaksamaan
• Ketidaksamaan adalah pernyataan
tentang bilangan-bilangan yang
mengandung tanda <, ≤, >, ≥
Contoh: 4 < 12
• Pertidaksamaan adalah ketidaksamaan
yang mengandung variabel
Contoh: 4 x < 12

25. Ketidaksamaan dan
pertidaksamaan
• Penyelesaian suatu pertidaksamaan yang
mengandung variabel x adalah himpunan
semua nilai-nilai x sedemikian sehingga
pertidaksamaan tersebut bernilai benar
Contoh:
4 x < 12, maka nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan ini adalah x < 3

26. Sifat-sifat ketidaksamaan
10. a > 0 jika dan hanya jika a positif
a < 0 jika dan hanya jika a negatif
a > 0 jika dan hanya jika -a < 0
a < 0 jika dan hanya jika -a > 0
11.Jika a < b dan b < c, maka a < c

27. Sifat-sifat ketidaksamaan
12.Jika a < b maka a + c < b + c,
untuk setiap c
13.Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d
14.Jika a < b dan c positif, maka ac < bc
15.Jika a < b dan c negatif, maka ac > bc
16.Jika 0 < a < b dan 0 < c < d, maka ac < bd

28. Latihan soal
1. Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14},
maka (A ∩ B) - A =
A. {4, 10}
B. {2, 6, 8}
C. {4}
D. ∅

29. Latihan soal
2. Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka
(A ∪ B) - B =
A. { 3, 5, 9 }
B. { -2, 6 }
C. { -2, 3, 5, 6, 9 }
D. ∅

30. Latihan soal
3. Jika A = {a, b, c, d, e}, B = {c, j, k, n, p},
dan
C = {d, k, n, q, r}, maka (B - A) ∩ C =
A. {j, k, n, p}
B. {a, b, d, e},
C. {k, n}
D. {d}

31. Latihan soal
4. Jika himpunan semesta S = {a, e, i, o, u} dan
P = {a, i, u}, Q = {a, e, i}, R = {i, o}, maka
P ∪ (Q ∪ R)' =
A. P ∪ (Q' ∩ R')
B. (P ∪ Q') ∪ R'
C. (P ∪ Q') ∩ R'
D. P ∩ (Q' ∪ R')

32. Latihan soal
5. Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14},
maka (A ∩ B) - A =
A. {4, 10}
B. {2, 6, 8}
C. {4}
D. ∅

33. Latihan soal
6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2 + 3x < 5x + 8 adalah
A. (-3, +∞)
B. [-3, +∞)
C. (-∞, -3)
D. (-∞, -3]

34. Latihan soal
7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
4 < 3x – 2 ≤ 10 adalah
A. (2, 4)
B. (2, 4]
C. (2, 10)
D. (2, 10]

35. Latihan soal
8. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
7/x > 2 adalah
A. (0, 7/2)
B. [0, 7/2]
C. (0, 7/2]
D. [0, 7/2)

36. Latihan soal
9. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
x - 5 < 4 adalah
A. x < 9
B. x > 1
C. 1 < x < 9
D. 1 ≤ x ≤ 9

37. Latihan soal
10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
3x + 2 > 5 adalah
A. (7/3, +∞) ∪ (1, +∞)
B. (-∞, 7/3 ) ∪ (1, +∞)
C. (-7/3, +∞) ∪ (1, +∞)
D. (-∞, -7/3 ) ∪ (1, +∞)