Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu dan integral tertentu. Integral tak tentu adalah proses pencarian fungsi anti-turunan dari suatu fungsi, sedangkan integral tertentu adalah proses pencarian luas areal terbatas antara kurva dan sumbu x dengan batas tertentu. Dokumen ini juga menjelaskan beberapa kaidah integral tak tentu dan tertentu beserta contoh penerapannya.

1. PERTEMUAN 13
ANTI TURUNAN, PENDAHULUAN LUAS
& NOTASI SIGMA

2. Fungsi F disebut anti-turunan f pada I apabila
F’(x) = f(x)untuk setiap x є I.
Sebagai contoh, F(x) = x4 + 1 adalah anti-turunan
f(x) = 4x3 pada R.
Secara umum, keluarga fungsi F(x) = x4 + C
merupakan anti-turunan f(x) = 4x3 pada R,
karena F’(x) = 4x3 = f(x) untuk setiap x є R.
Keluarga fungsi anti-turunan f(x) disebut integral tak
tentu dari f(x), dan dilambangkan dengan ∫ f(x) dx.
Jadi, sebagai contoh, ∫ 4x3 dx = x4 + C.

3. Secara grafik, keluarga fungsi anti-
turunan f(x) adalah keluarga fungsi
yang anggotanya merupakan
pergeseran ke atas atau ke bawah
dari anggota lainnya.
Semua anggota keluarga fungsi
tersebut mempunyai turunan yang
sama, yaitu f(x)

4. Persamaan Diferensial
Sederhana
Jika F’(x) = f(x), maka ∫ f(x) dx = F(x) +
dalambahasa diferensial: jika F’(x) = f(x),
maka dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx (*)
sehingga
∫ dF(x) = ∫ f(x) dx = F(x) + C.
Persamaan (*) merupakan contoh persamaan
diferensial yang (paling) sederhana.

5. NOTASI SIGMA
Penjumlahan deret n bilangan
a1 + a2 + … + an
dilambangkan dengan notasi sigma

6. TEOREMA KELINIERAN DAN
SIGMA KHUSUS
 Teorema Kelinieran
 Beberapa deret khusus (dengan
indeks i berjalan dari 1 sampai
dengan n), di antaranya:

7. Deret pertama merupakan deret aritmetika
n bilangandengan suku pertama 1 dan
beda 1.
Untuk pembuktian rumus deret lihat Purcell

8. LUAS DAERAH DAN
JUMLAH RIEMANN

10. Jumlah Riemann

12. Perenungan
Selanjutnya dapat direnungkan
bahwa pendefinisian integral tentu
dalam mencari luas daerah adalah
sama dengan mencari limit jumlah
Riemannya

13. Latihan
 Ambil beberapa fungsi sederhana yaitu
fungsi linier atau kuadrat, dengan batas-
batas yang ditentukan
 Tentukan Luas Daerah dengan partisi dan
menggunakan limit Jumlah Riemann
 Agak sedikit loncat..selesaikan fungsi dan
batas tertentu tadi dengan integral tentu
dan bandingkan dengan hasil limit jumlah
Riemann
 Presentasikan setiap kelompok…Apa yang
dapat ditealaah

14. PERTEMUAN 14
INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU
(SUATU PENDAHULUAN)

15. Integral tak tentu
 Mengintegralkan suatu fungsi turunan
f(x) berarti adalah mencari integral atau
turunan antinya, yaitu F(x)
 Bentuk umum integral dari f(x) adalah :
 
 k
x
F
dx
x
f )
(
)
(
Dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya
tidak tentu.
15

16. Integral tak tentu ©
 Contoh
untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5
fungsi turunannya : f(x) = dF(x) / dx = 2x
Jika prosesnya dibalik, maka :
k
x
k
x
F
dx
x
f 




2
)
(
)
(
16

17. Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu
Kaidah 1. Formula Pangkat
k
n
x
dx
x
n
n




 1
1
Kaidah 2. Formula Logaritmis
k
x
dx
x


 ln
1
17

18. Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu ©
 Kaidah 3. Formula Eksponensial
 Kaidah 4. Formula Penjumlahan
f(x)
u
k
e
du
e
k
e
dx
e
u
u
x
x







 
k
G(x)
F(x)
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f





  
 )
(
)
(
)
(
)
(
18

19. Kaidah-kaidah Integrasi tak tentu
©
 Kaidah 5. Formula Perkalian
 Kaidah 6. Formula Substitusi

 
 0
)
( n
dx
x
f
n
dx
n f(x)

 

 k
u
F
du
u
f
dx
dx
du
u
f )
(
)
(
)
(
19

20. Integral Tertentu
 Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
 Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas
areal yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu
horizontal – x, dalam suatu rentangan wilayah yang
dibatasi oleh x = a dan x =b.
 Bentuk umum :
  )
(
)
(
)
(
)
( a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a 



20

21. Integral Tertentu ©
∆x1
∆x2
∆xn
0 a x1 x2 xi xi b
xn
x
y
y=f(x)
Nilai atau harga masing-
masing titik yang mebatasi
tiap sub-rentangan adalah :
X0 = a
X1 = a + ∆x
X2 = a + 2 (∆x)
…………………
Xn = a + n (∆x) = b
x0 21

22. Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a < b < c, berlaku :
 










a
b
b
a
a
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
.
3
0
)
(
.
2
)
(
)
(
)
(
)
(
.
1
22

23. Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu
©



 












b
c
a
b
c
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(
)
(
.
6
)
(
)
(
)
(
)
(
.
5
)
(
)
(
.
4
23

24. Latihan
 Evaluasi integral dibawah ini
  
1
0
2
)
(
y
y
dxdy
y
x
 
 dx
x
x )
2
1
( 3
dy dx
x
x
x
x
 



1
1 2
2
2
2
24